非輪状分解 | 圏論 I

定義 1.1. アーベル圏の間のδ-関手 $T$ に対し、 $p\ge1$ で $T^p(L)=0$ となる対象 $L$ を、 $T$ に関して非輪状 (acyclic object) であるという。

十分な入射対象をもつアーベル圏からの加法関手 $F$ について、 $R^\bullet F$ に関して非輪状な対象を $F$ に関して非輪状という。全項が $F$ に関して非輪状な余鎖の分解 $M\to L$ を、 $F$ に関して非輪状な分解 (acyclic resolution) という。 $R^pF$ の各対象での消滅は入射分解の取り替えで変わらないので、 $F$ に関して非輪状であることは $R^\bullet F$ を定める分解の選択によらない。

双対に、十分な射影対象がある場合、 $L_pG(L)=0$ （ $p\ge1$ ）となる対象を $G$ に関して非輪状といい、そのような項からなる鎖の分解 $L\to M$ を $G$ に関して非輪状な分解という。

例 1.2.

入射対象は任意の加法関手 $F$ に関して非輪状である。これは§E9.25 命題 2.2による。
$F$ が完全なら、すべての対象は $F$ に関して非輪状である。入射分解の完全性を $F$ が保つので、正の次数のコホモロジーが零となる。
環 $R$ の右平坦加群 $M$ は、任意の左加群 $N$ に対して $-\otimes_RN$ に関して非輪状である。実際、§E6.38 定理 2.3により $N$ の射影分解 $Q$ を用いて $\operatorname{Tor}^R_p(M,N)=H_p(M\otimes_RQ)$ と計算することができる。平坦性は $M\otimes_R-$ の完全性であるため、 $p\ge1$ で $H_p(M\otimes_RQ)=0$ である。とくに、非輪状な対象は射影対象とは限らない。 $\Q$ は平坦な $\Z$ 加群であるが射影的ではない（§E6.15 例 4.1）。
群 $G$ とアーベル群 $A$ に対し、 $\operatorname{Coind}^G_1A$ は $(-)^G$ に関して非輪状である。 $p\ge1$ に対し、§E9.25 命題 6.5により $H^p(G,\operatorname{Coind}^G_1A)\cong H^p(1,A)=\operatorname{Ext}^p_{\Z}(\Z,A)$ であり、 $\Z$ の射影性から零である。

補題 2.1. $T:\mathcal A\to\mathcal B$ をアーベル圏の間のδ-関手とする。このとき、次が成り立つ。

全項が $T$ に関して非輪状な分解 $M\xrightarrow{\eta}L$ に対し、 $Z^k=\ker(d^k:L^k\to L^{k+1})$ とし、添加射によって $Z^0=M$ と同一視する。 $E_k:0\to Z^k\to L^k\to Z^{k+1}\to0$ とし、 $p\ge1$ に対して $b_p=\delta_{E_0}^{p-1}\delta_{E_1}^{p-2}\cdots\delta_{E_{p-2}}^1\delta_{E_{p-1}}^0:T^0(Z^p)\to T^p(M)$ とおく。商射を $c_p:T^0(Z^p)\to H^p(T^0(L))$ とすると、 $\theta_L^pb_p=c_p$ を満たす同型 $\theta_L^p:T^p(M)\to H^p(T^0(L))$ がただ一つ存在する。零次の同型 $\theta_L^0$ は $T^0(\eta)$ が誘導する射である。
全項が $T$ に関して非輪状な分解 $M\to L,N\to L'$ と、 $f:M\to N$ の上の分解の射 $\psi$ に対し、 $\theta_{L'}^pT^p(f)=H^p(T^0(\psi))\theta_L^p$ である。
δ-関手の射 $\alpha:T\to S$ と、全項が $T,S$ の両方に関して非輪状な分解 $M\to L$ に対し、 $\theta_L^{S,p}\alpha_M^p=H^p(\alpha_L^0)\theta_L^{T,p}$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $Z^k=\ker(d^k:L^k\to L^{k+1})$ とし、添加射によって $Z^0=M$ と同一視する。分解の完全性と像・余像の同型から短完全列

E_k:0\longrightarrow Z^k\xrightarrow{j_k}L^k\xrightarrow{q_k}Z^{k+1}\longrightarrow0

を得る。微分は $d^k=j_{k+1}q_k$ である。 $T^0$ は加法的なので $T^0(L)$ は複体であり、左完全性から、その次数 $k$ の核は $T^0(Z^k)$ である。

$T^r(L^k)=0$ （ $r\ge1$ ）なので、 $E_k$ の長完全列は同型

\delta_{E_k}^r:T^r(Z^{k+1})\xrightarrow{\sim}T^{r+1}(Z^k)\quad(r\ge1)

と、余核射 $\delta_{E_k}^0:T^0(Z^{k+1})\to T^1(Z^k)$ を与える。後者の核は $T^0(q_k)$ の像である。

$p\ge1$ に対し、 $T^0(Z^p)$ から出る合成

b_p=\delta_{E_0}^{p-1}\delta_{E_1}^{p-2}\cdots\delta_{E_{p-2}}^1\delta_{E_{p-1}}^0:T^0(Z^p)\longrightarrow T^p(M)

はエピ射であり、その核は $\operatorname{im}T^0(q_{p-1})$ である。一方、コホモロジーへの商射 $c_p:T^0(Z^p)\to H^p(T^0L)$ も同じ核をもつエピ射である。余核の普遍性により一意な同型 $\theta_L^p$ が $\theta_L^pb_p=c_p$ を満たす。 $p=0$ では左完全性により $T^0(M)\cong\ker T^0(d^0)$ であり、この同型を $\theta_L^0$ とする。

主張 (2)を示す。分解の射 $\psi$ は核の普遍性によって射 $\psi_Z^k:Z^k\to Z'^k$ を誘導し、各 $E_k$ の間の射を与える。連結射の自然性から $b'_pT^0(\psi_Z^p)=T^p(f)b_p$ が成り立ち、核・余核の普遍性から $c'_pT^0(\psi_Z^p)=H^p(T^0(\psi))c_p$ が成り立つ。 $b_p$ がエピ射なので、 $\theta$ の定義式から主張 (2)の等式を得る。

主張 (3)を示す。δ-関手の射 $\alpha$ は各連結射と可換なので、 $\alpha_M^pb_p^T=b_p^S\alpha_{Z^p}^0$ である。 $\alpha^0$ の自然性から $H^p(\alpha_L^0)c_p^T=c_p^S\alpha_{Z^p}^0$ も成り立つ。再び $b_p^T$ のエピ性で消去すると主張 (3)を得る。主張 (2)と主張 (3)の零次の等式も、添加射と核を通る射の一意性から従う。▨

定理 3.1. $\mathcal A$ を十分な入射対象をもつアーベル圏、 $\mathcal B$ をアーベル圏、 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ を左完全な加法関手とする。分解と $\mathcal B$ の核・余核の選択を固定して $R^\bullet F$ を定める。このとき、次が成り立つ。

$M$ の $F$ に関して非輪状な分解 $L$ 、入射分解 $I$ 、 $\mathrm{id}_M$ の上の分解の射 $\varphi:L\to I$ に対し、
$\kappa_L^p=H^p(F(\varphi)):H^p(F(L))\xrightarrow{\sim}R^pF(M)$
は同型であり、 $\varphi$ によらない。 $\kappa_L^p$ は入射分解の取り替えの標準同型とも可換である。 $a_L^p=H^p(\tau_L)$ 、 $a_I^p=H^p(\tau_I)$ とすると、
$\kappa_L^p=(a_I^p)^{-1}\theta_I^p(\theta_L^p)^{-1}a_L^p$
である。 $\tau_M:F(M)\to R^0F(M)$ を§E9.25 命題 2.1の同型とし、 $F(\eta_L)$ が核 $H^0(F(L))$ を通って定める射を $\overline{F(\eta_L)}:F(M)\to H^0(F(L))$ とする。零次では $\kappa_L^0=\tau_M\overline{F(\eta_L)}^{-1}$ である。
$f:M\to N$ の上の、 $F$ に関して非輪状な分解の射 $\psi:L\to L'$ に対し、
$R^pF(f)\kappa_L^p=\kappa_{L'}^pH^p(F(\psi))$
である。とくに誘導射は $\psi$ の選び方によらない。
$f=\mathrm{id}_M$ の場合、 $H^p(F(\psi))=(\kappa_{L'}^p)^{-1}\kappa_L^p$ は同型である。

$\kappa_L^p$ を非輪状分解による標準同型 (standard isomorphism from an acyclic resolution) という。

十分な射影対象をもつアーベル圏からの右完全な加法関手 $G$ について、 $G$ に関して非輪状な鎖の分解 $L\to M$ から、同じ自然性をもつ標準同型 $H_p(G(L))\cong L_pG(M)$ が得られる。

証明.主張 (1)を示す。§E9.23 定理 3.1 (2)により $\varphi$ が存在し、その二つの選択は余鎖ホモトピックである。 $F$ とコホモロジーを適用すると同じ射になる。 $T=R^\bullet F$ はδ-関手であり、 $L,I$ の全項は $T$ に関して非輪状である。補題 2.1 (2)により

H^p(R^0F(\varphi))\theta_L^p=\theta_I^p.

$\tau$ の自然性と左完全性から $a_L^p,a_I^p$ は自然同型である。したがって上式を書き換えると表示した $\kappa_L^p$ の式を得る。すべての因子が同型なので $\kappa_L^p$ も同型である。

入射分解を替える比較射 $\chi:I\to I'$ に対し、 $\chi\varphi$ と、新しく選んだ $L\to I'$ はともに恒等射の上にある。比較定理から両者が誘導する射は一致し、入射分解の取り替えとの可換性を得る。

主張 (2)を示す。一般の $f$ について、 $\varphi:L\to I$ 、 $\varphi':L'\to I'$ 、 $f$ の上の $\chi:I\to I'$ をとる。 $\chi\varphi$ と $\varphi'\psi$ はともに $f$ の上の $L\to I'$ であり、比較定理によりホモトピックである。したがってコホモロジーに誘導する射は一致し、主張 (2)を得る。 $\kappa$ が同型なので誘導射は $f$ だけで定まり、主張 (3)は $f=\mathrm{id}$ の場合である。零次の式は $\varphi\eta_L=\eta_I$ に $F$ を適用して核への射をとることで従う。

主張 (4)は反対圏に同じ議論を適用して得る。▨

命題 3.2. $\mathcal B$ が加群の圏であり、 $T=R^\bullet F$ 、 $I$ が $M$ の入射分解であるとする。このとき、 $a_I^p=H^p(\tau_I):H^p(FI)\to H^p(R^0F(I))$ は、入射対象における§E9.25 命題 2.1により同型である。次元移動の同型について

(a_I^p)^{-1}\theta_I^p=(-1)^{p(p+1)/2}\mathrm{id}

が、 $R^pF(M)=H^p(FI)$ という定義による同一視の下で成り立つ。

証明. $Z^k=\ker d^k$ とし、 $0\to Z^k\to I^k\to Z^{k+1}\to0$ の両端を尾部の入射分解で分解する。中央の入射分解として

E^q=I^{k+q}\oplus I^{k+q+1},\qquad D^q(a,b)=(da+(-1)^{q+1}b,db)

をとり、添加射を $x\mapsto(x,dx)$ とする。左端の複体 $I^{k+\bullet}$ から $E$ への射は第一成分への包含、 $E$ から右端の複体 $I^{k+1+\bullet}$ への射は第二成分への射影である。 $D^{q+1}D^q=0$ は隣接する二つの符号の和が零であることから従う。 $q\ge1$ で $h^q(a,b)=(0,(-1)^q a)$ とおけば $D^{q-1}h^q+h^{q+1}D^q=\mathrm{id}$ であり、次数零の核は $(a,da)$ の形の元である。したがって $I^k\to E$ は入射分解である。

$F$ を適用した列の連結射を§E9.21 命題 7.1の元による式で計算する。右端の次数 $q$ の閉元 $b$ を $(0,b)$ に持ち上げると、その微分の左成分は $(-1)^{q+1}b$ である。したがって連結射は、次数 $q$ の閉元 $b$ の類を、 $I^{k+\bullet}$ の次数 $q+1$ の閉元としての $b$ の類へ送る射の $(-1)^{q+1}$ 倍である。§E9.25 定理 3.2によりこの連結射は分解の選択によらない。次元移動に現れる $q=0,\ldots,p-1$ の符号を掛けると $(-1)^{p(p+1)/2}$ を得る。 $\theta_I^p$ は連結射の合成の逆から定まり、符号の逆は同じ符号なので、 $\theta_I^p$ の符号も $(-1)^{p(p+1)/2}$ である。▨

例 4.1. $F=\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/2\Z,-)$ 、 $M=\Z/2\Z$ とする。このとき、 $M$ を次数零に置き恒等射を添加した分解 $L$ では $H^1(F(L))=0$ である。しかし§E9.25 例 3.4により $R^1F(M)\cong\Z/2\Z$ である。この一項の分解は $F$ に関して非輪状ではなく、 $H^1(F(L))$ は $R^1F(M)$ と同型でない。

例 4.2. アーベル群 $A$ に対し、 $\Q/\Z$ の平坦な分解 $0\to\Z\to\Q\to\Q/\Z\to0$ を用いる。このとき、例 1.2 (3)と定理 3.1 (4)により

\operatorname{Tor}^{\Z}_1(\Q/\Z,A)\cong\ker(A\longrightarrow\Q\otimes_{\Z}A),\qquad \operatorname{Tor}^{\Z}_p(\Q/\Z,A)=0\quad(p\ge2).

§E6.12 定理 20.6により、右辺の写像は局所化 $A\to(\Z\setminus\{0\})^{-1}A$ である。 $a\in A$ について、 $a/1=0$ となる条件は、ある正整数 $n$ に対し $na=0$ となることである。したがって一次の Tor は $A$ のねじれ部分群と自然に同型である。たとえば $A=\Z/n\Z$ なら値は $\Z/n\Z$ である。

例 4.3. 群 $G$ と左 $\Z[G]$ 加群 $M$ に対し、 $i_M:M\to\operatorname{Coind}^G_1\operatorname{Res}^G_1M$ を $i_M(m)(g)=gm$ で定める。このとき、余誘導の作用が右移動であることから $i_M$ は $G$ 同変であり、 $i_M(m)(1)=m$ から単射である。

$Q^0=M$ 、 $Q^{k+1}=\operatorname{coker}i_{Q^k}$ 、 $C^k=\operatorname{Coind}^G_1\operatorname{Res}^G_1Q^k$ とする。各 $Q^k,C^k$ と列 $(Q^k)_k,(C^k)_k$ は§E9.1 命題 2.3により $V$ の元である。各段の余核射と次の単射の合成を微分とすると、像と核が一致するので分解 $M\to C$ を得る。各項は余誘導加群なので例 1.2 (4)により $(-)^G$ に関して非輪状である。したがって定理 3.1と§E9.25 命題 6.4によって

H^n(G,M)\cong H^n(C^G)

を得る。 $i_M$ は $M$ について自然であり余核は商加群で与えているので、対応 $M\mapsto C$ は恒等射と合成を保つ。標準同型も $M$ について自然である。

§E9.26非輪状分解

1 非輪状な対象

2 次元移動

3 非輪状分解による計算

4 例

参考文献

前提記事