§E9.1圏と反対圏

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群準同型の合成は群準同型であり、連続写像の合成は連続写像である。群準同型、連続写像、線形写像、加群準同型について、合成の結合律と恒等写像の単位律が成り立つ。構造の種類ごとに定まるこれらの写像を、合成に共通する性質によって扱うための概念が圏である。圏の言葉では、対象の内部の元に立ち入らずに写像の可逆性を述べ、射の向きを反転することで双対の主張を得ることができる。本記事では、圏、同型射、部分圏、反対圏を定義し、対象と射の大きさの規約を定める。

1 圏と恒等射

定義 1.1. 圏 (category)C\mathcal Cは、次のデータと条件からなる。

  1. 対象 (object) の集まりOb⁡(C)\operatorname{Ob}(\mathcal C)を与える。
  2. 各対象の組A,BA,Bに対して、AAからBBへの射 (morphism) の集まりHom⁡C(A,B)\Hom_{\mathcal C}(A,B)を与える。射ffがこの集まりに属することをf:A→Bf:A\to Bと書く。AAをffの定義域 (domain)、BBをffの終域 (codomain) という。各射の定義域と終域は一意に定まる。射の全体をMor⁡(C)\operatorname{Mor}(\mathcal C)と書く。
  3. 射f:A→Bf:A\to Bとg:B→Cg:B\to Cに対して、射g∘f:A→Cg\circ f:A\to Cを与え、ffとggの合成 (composition) という。
  4. 各対象AAに対して射idA:A→A\mathrm{id}_A:A\to Aを与え、AAの恒等射 (identity morphism) という。
  5. 合成は結合律 (associativity) を満たす。すなわち、任意の射f:A→Bf:A\to B、g:B→Cg:B\to C、h:C→Dh:C\to Dに対して(h∘g)∘f=h∘(g∘f)(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)が成り立つ。
  6. 恒等射は単位律 (identity law) を満たす。すなわち、任意の射f:A→Bf:A\to Bに対してf∘idA=ff\circ\mathrm{id}_A=fおよびidB∘f=f\mathrm{id}_B\circ f=fが成り立つ。

命題 1.2.AAを圏C\mathcal Cの対象とする。このとき、射e:A→Ae:A\to Aが次の条件を満たすならば、e=idAe=\mathrm{id}_Aである。

  1. 任意の対象BBと射f:A→Bf:A\to Bについてf∘e=ff\circ e=fである。
  2. 任意の対象BBと射g:B→Ag:B\to Aについてe∘g=ge\circ g=gである。

証明.条件 (a)にf=idAf=\mathrm{id}_Aを代入すると、idA∘e=idA\mathrm{id}_A\circ e=\mathrm{id}_Aである。単位律から左辺はeeに等しいので、e=idAe=\mathrm{id}_Aである。▨

2 大きさの規約

注意 2.1. 圏の定義では、対象の全体と射の全体が集合であることを要求しない。すべての集合を対象にとると、対象の全体は集合ではない（§E1.13 命題 2.3）。

定義 2.2. 集合UUが推移的 (transitive) であるとは、x∈Ux\in Uならばx⊆Ux\subseteq Uとなることをいう。推移的集合UUが次の条件を満たすとき、UUを Grothendieck 宇宙 (Grothendieck universe) という。

  1. 自然数全体の集合ω=N≥0\omega=\NはUUに属する。
  2. 任意のx,y∈Ux,y\in Uについて{x,y}∈U\{x,y\}\in Uである。
  3. 任意のx∈Ux\in UについてP(x)∈U\mathcal P(x)\in Uである。
  4. I∈UI\in Uを添字集合とし、各i∈Ii\in Iについてxi∈Ux_i\in Uとなる任意の族(xi)i∈I(x_i)_{i\in I}に対して、⋃i∈Ixi∈U\bigcup_{i\in I}x_i\in Uである。

命題 2.3.UUを Grothendieck 宇宙とする。このとき、次が成り立つ。

  1. UUの元の部分集合と、UUの元からなる有限の組はUUの元である。
  2. UUの元の和集合と有限直積はUUの元である。
  3. A,B∈UA,B\in Uの間の写像の全体、および個々の写像はUUの元である。A∈UA\in U上の同値関係による商集合もUUの元である。
  4. I∈UI\in U、xi∈Ux_i\in U（i∈Ii\in I）ならば、族のグラフ{(i,xi)∣i∈I}\{(i,x_i)\mid i\in I\}、値の全体{xi∣i∈I}\{x_i\mid i\in I\}、添字付き直和∐i∈Ixi\coprod_{i\in I}x_iおよび添字付き直積∏i∈Ixi\prod_{i\in I}x_iはUUの元である。
  5. U∉UU\notin Uである。

証明.主張 (1)を示す。x∈Ux\in Uとy⊆xy\subseteq xを取る。y∈P(x)∈Uy\in\mathcal P(x)\in Uであるから、推移性によりy∈Uy\in Uである。とくに∅⊆ω\emptyset\subseteq\omegaから∅∈U\emptyset\in Uである。a,b∈Ua,b\in Uに対し、対を作る操作を繰り返すと順序対(a,b)={{a},{a,b}}(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}はUUに属する。有限の組についても、この操作を有限回繰り返せばよい。

主張 (2)を示す。x∈Ux\in Uならば、推移性により各i∈xi\in xはUUに属する。したがって、添字集合をxx、各項をxi=ix_i=iとした族の和として⋃x∈U\bigcup x\in Uを得る。A,B∈UA,B\in UならばA∪B=⋃{A,B}∈UA\cup B=\bigcup\{A,B\}\in Uであり、

A×B⊆P(P(A∪B))A\times B\subseteq\mathcal P(\mathcal P(A\cup B))

なのでA×B∈UA\times B\in Uである。有限直積についてはこの結果を繰り返す。

主張 (3)を示す。AAからBBへの写像のグラフはA×BA\times Bの部分集合である。写像を定義域・終域・グラフの三つ組として表すと、その全体は

{A}×{B}×P(A×B)\{A\}\times\{B\}\times\mathcal P(A\times B)

の部分集合であるからUUに属する。個々の写像も推移性によりUUに属する。同値関係∼\simによる商集合A/∼A/{\sim}はP(A)\mathcal P(A)の部分集合なのでUUに属する。

主張 (4)を示す。I∈UI\in Uと各i∈Ii\in Iに対するxi∈Ux_i\in Uを取る。推移性によりi∈Ui\in Uであるから、{xi}\{x_i\}と{(i,xi)}\{(i,x_i)\}はUUに属する。定義 2.2 条件 (d)により

{xi∣i∈I}=⋃i∈I{xi}∈U,{(i,xi)∣i∈I}=⋃i∈I{(i,xi)}∈U\{x_i\mid i\in I\}=\bigcup_{i\in I}\{x_i\}\in U, \qquad \{(i,x_i)\mid i\in I\}=\bigcup_{i\in I}\{(i,x_i)\}\in U

である。S=⋃i∈Ixi∈US=\bigcup_{i\in I}x_i\in Uとおく。添字付き直和はI×SI\times Sの部分集合である。添字付き直積の元は、§E1.2 定義 5.1によりI×SI\times Sの部分集合である族である。したがって、直和はI×SI\times Sの部分集合として、直積はP(I×S)\mathcal P(I\times S)の部分集合として、それぞれUUに属する。

主張 (5)を示す。U∈UU\in Uと仮定する。R={x∈U∣x∉x}R=\{x\in U\mid x\notin x\}はUUの部分集合であるから、主張 (1)によりR∈UR\in Uとなる。しかし§E1.13 命題 2.3を集合UUに適用するとR∉UR\notin Uである。よってU∉UU\notin Uである。▨

注意 2.4. 本単元では、Grothendieck 宇宙または集合全体の類{x∣x=x}\{x\mid x=x\}を一つ固定し、VVと書く。類を集合として扱うのではなく、集合の満たす条件によってその範囲を指定する。

VVについては、対・和・冪・部分集合・VVの元で添字づけたVVの元の族の和に関する閉包性とN≥0∈V\N\in Vを用いる。VVが宇宙である場合には命題 2.3により、集合全体の類である場合には集合の存在原理（§E1.13 定義 3.1、§E1.13 定義 2.1、§E1.13 定義 5.1）により、直積・写像の集合・商集合・族の値の全体もVVに属する。自然数から整数・有理数・実数・複素数を作る既習の構成も、可算族、冪、部分集合と商によるので、Z,Q,R,C∈V\Z,\Q,\R,\C\in Vである。

圏は、個々の対象と射がすべてVVの元であるものを扱う。

VVが集合であることは用いない。VVの部分集合をすべて集める操作や、VV自身を添字とする選択は行わない。圏の対象全体を添字とする選択は、その対象全体がVVの元である場合に限る。VVを集合全体の類にとる場合、これらの操作は集合に対する冪や選択の公理の適用範囲を超えるからである。

定義 2.5.VVの元である集合を VV-小 (V-small) という。圏C\mathcal Cの対象の全体Ob⁡(C)\operatorname{Ob}(\mathcal C)と射の全体Mor⁡(C)\operatorname{Mor}(\mathcal C)がともにVVの元であるとき、C\mathcal Cを VV-小圏 (V-small category) という。

注意 2.6.X⊆VX\subseteq Vについて、X∈VX\in Vであることは、あるA∈VA\in Vとの全単射があるための必要十分条件である。実際、全単射f:A→Xf:A\to Xが与えられれば、各a∈Aa\in Aについてf(a)∈Vf(a)\in Vなので、族の値の全体の閉包性からX={f(a)∣a∈A}∈VX=\{f(a)\mid a\in A\}\in Vとなる。逆向きにはA=XA=Xと恒等写像をとればよい。

定義 2.7. 圏C\mathcal Cが局所VV-小 (locally V-small) であるとは、任意の対象A,BA,Bに対してHom⁡C(A,B)∈V\Hom_{\mathcal C}(A,B)\in Vとなることをいう。この条件を満たす圏を局所VV-小圏 (locally V-small category) という。

注意 2.8.VV-小圏C\mathcal Cは局所VV-小である。実際、Hom⁡C(A,B)⊆Mor⁡(C)∈V\Hom_{\mathcal C}(A,B)\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)\in Vなので、部分集合についての閉包性を適用することができる。

注意 2.9. 後で定める関手・自然変換・圏同値・随伴について、VV-小でない圏を扱うときには、それらの存在を仮定や結論とせず、具体的な構成を与えてその性質を述べる。「任意の関手GGについて」という主張は、GGを与える構成ごとの主張として読む。VVが集合全体の類である場合、大きい圏の間の関手を表すグラフは類となり、その存在を述べる量化は集合論の一つの式にはならないからである。

一方、存在を示す対象がVVの元またはその有限の組である主張は、大きい圏についても扱う。各対象への普遍射の存在、本質的全射性、普遍元による表現可能性、十分な入射対象の存在、各点での余極限の存在は、この形の主張である。

注意 2.10.VV-小な集合の元であって所定の条件を満たすものがただ一つ存在するとき、その元は、選択を用いずに、その条件を表す式によって定める。同型を除いて一意なものについては、選んだ対象や射をデータとして与える。

後の記事で扱う極限への帰着での錐、米田の補題の逆写像、Kan 拡張の普遍性に現れる射δ\deltaは、条件を満たすただ一つの元として定まる。準逆、極限をとる関手lim⁡\lim、普遍射の族から作る随伴、Kan 拡張Lan⁡KF\operatorname{Lan}_KFは、選んだ対象や射をデータとして与える。

3 集合・代数的構造・位相空間の圏

例 3.1.VVの元である集合を対象とし、定義域と終域を指定した写像を射とする。このとき、合成を写像の合成、恒等射を恒等写像とすると、§E1.1 命題 2.2によりこれらのデータは圏をなす。この圏をSet\mathbf{Set}と書き、VVを明示するときにはSetV\mathbf{Set}_Vと書く。A,B∈VA,B\in Vの間の写像は、命題 2.3と大きさの規約によりVVの元である。

例 3.2. 次の対象と射は、写像の合成と恒等写像によって圏をなす。いずれも対象は構造を含めてVVの元であるものに限る。

  1. 群と群準同型の圏をGrp\mathbf{Grp}と書く。
  2. アーベル群と群準同型の圏をAb\mathbf{Ab}と書く。
  3. k∈Vk\in Vを可換体とする。kk上の線形空間と線形写像の圏をVectk\mathbf{Vect}_kと書く。可換体kk上の線形空間は左kk加群であり、線形写像は左kk加群準同型である。
  4. 単位元をもつ結合環と、加法・乗法・単位元を保つ環準同型の圏をRing\mathbf{Ring}と書く。零環も対象に含める。
  5. R∈VR\in Vを単位元をもつ結合環とする。左RR加群と左RR加群準同型の圏をR-ModR\text{-}\mathbf{Mod}と書く。
  6. 同じRRについて、右RR加群と右RR加群準同型の圏をMod-R\mathbf{Mod}\text{-}Rと書く。

群準同型の合成は§E7.3 命題 1.4により準同型である。加群準同型の合成は§E6.2 命題 4.2により準同型であり、線形写像の場合も左kk加群としてこの結果を適用することができる。環準同型の合成は§E1.6 系 1.9 (2)により加法・乗法・単位元を保つ。恒等写像は各演算を保つ。結合律と単位律は§E1.1 命題 2.2による。

VVに属する台集合上の演算は写像であり、構造を備えた対象は台集合とこれらの写像の有限の組である。したがって、対象と、定義域・終域・グラフを組にした射はVVに属する。

例 3.3.VVの元である位相空間を対象とし、連続写像を射とする圏をTop\mathbf{Top}と書く。連続写像の合成は§E2.12 命題 1.10により連続であり、恒等写像による開集合の逆像はもとの開集合なので、恒等写像も連続である。結合律と単位律は§E1.1 命題 2.2による。

台集合X∈VX\in V上の位相はP(X)\mathcal P(X)の部分集合であるから、位相と組にした空間もVVに属する。連続写像も、定義域と終域を添えたグラフの組としてVVに属する。

例 3.4.k∈Vk\in Vを可換体、R∈VR\in Vを単位元をもつ結合環とする。このとき、圏Set\mathbf{Set}、Grp\mathbf{Grp}、Ab\mathbf{Ab}、Vectk\mathbf{Vect}_k、Ring\mathbf{Ring}、R-ModR\text{-}\mathbf{Mod}、Mod-R\mathbf{Mod}\text{-}R、Top\mathbf{Top}は局所VV-小であり、VV-小ではない。

固定した対象A,BA,Bの間の射は、台集合の間の写像のうち構造を保つものに、対象A,BA,Bを添えた組である。写像の集合、部分集合、有限の組と族の値の全体についての閉包性により、各Hom⁡(A,B)\Hom(A,B)はVVに属する。

いずれかの圏の対象全体TTがVVの元であると仮定する。Set\mathbf{Set}ならばW=TW=Tとおくと、W∈VW\in Vであり、すべてのx∈Vx\in VがWWに属する。ほかの圏では、各対象AAの台集合を∣A∣|A|と書き、W=⋃A∈T∣A∣W=\bigcup_{A\in T}|A|とおく。台集合はVVの元であるから、族の和の閉包性によりW∈VW\in Vである。任意のx∈Vx\in Vに対し、一点集合{x}\{x\}上に、自明群、零線形空間、零環、零加群または一点位相空間の構造を入れることができる。この対象はTTに属するのでx∈Wx\in Wとなる。

いずれの場合も、W∈VW\in Vであり、すべてのx∈Vx\in VがWWに属する。しかしRW={x∈W∣x∉x}R_W=\{x\in W\mid x\notin x\}は部分集合の閉包性によりVVに属するのでRW∈WR_W\in Wとなり、§E1.13 命題 2.3のRW∉WR_W\notin Wに反する。したがって対象全体はVVの元でなく、これらの圏はVV-小でない。

4 前順序集合とモノイドから定まる圏

命題 4.1.(P,≤)(P,\le)をP⊆VP\subseteq Vを満たす前順序集合とする。このとき、PPの元を対象とし、

Hom⁡(x,y)={{(x,y)},x≤y,∅,x≰y\Hom(x,y)= \begin{cases} \{(x,y)\},&x\le y,\\ \emptyset,&x\not\le y \end{cases}

と定める。合成を(y,z)∘(x,y)=(x,z)(y,z)\circ(x,y)=(x,z)、恒等射をidx=(x,x)\mathrm{id}_x=(x,x)とすると、これらのデータは圏をなす。P∈VP\in Vならば、この圏はVV-小圏である。

証明.x≤yx\le y、y≤zy\le zならば推移律によりx≤zx\le zであるから、合成の値は指定された射の集まりに属する。反射律により(x,x)(x,x)も射である。結合律の両辺は同じ定義域と終域をもつ。その定義域と終域の間の射は高々一本なので、両辺は等しい。単位律も同じ理由で成り立つ。各射(x,y)(x,y)はVVの元である。さらにP∈VP\in Vならば、射の全体はP×PP\times Pの部分集合であるからVVに属する。▨

例 4.2.

  1. 正整数の整除関係から作る圏には、m∣nm\mid nのときに限りmmからnnへの射が一本ある。2,32,3から66への射があり、22と33の間にはどちらの向きにも射がない。1→2→61\to2\to6と1→3→61\to3\to6の合成は、いずれもただ一つの射1→61\to6に等しい。
  2. 位相空間X∈VX\in Vの開集合を対象とし、U′⊆UU'\subseteq Uのときに限りU′U'からUUへの射を一本もつ圏をO(X)\mathcal O(X)と書く。開集合全体はVVに属するので、O(X)\mathcal O(X)はVV-小圏である。
  3. 整数の整除関係も前順序である。−2-2と22の間には両方向の射があるが、−2≠2-2\ne2である。この関係は反対称律を満たさない。
  4. P⊆VP\subseteq V上の等号から作る圏には、各対象の恒等射だけがある。この圏をPP上の離散圏という。
  5. 空集合上の前順序から作る圏には、対象も射もない。この圏を空圏という。

命題 4.3.

  1. (M,⋅,e)(M,\cdot,e)をM⊆VM\subseteq Vを満たすモノイドとする。一つの対象∗=∅\ast=\emptyset、射の全体MM、合成g∘f=g⋅fg\circ f=g\cdot f、恒等射eeによって圏が定まる。この圏をBM\mathcal BMと書く。M∈VM\in VならばBM\mathcal BMはVV-小圏である。
  2. 対象をただ一つもつ圏を一対象圏 (one-object category) という。圏C\mathcal Cの対象がAAただ一つであり、M=Hom⁡C(A,A)∈VM=\Hom_{\mathcal C}(A,A)\in Vならば、合成とidA\mathrm{id}_AによってMMはモノイドをなす。再構成したBM\mathcal BMの対象∗\astをAAに、各射を同じ射に送る対応は、対象と射のそれぞれで全単射であり、合成と恒等射を保つ。唯一の対象を最初から∗\astとした場合、二つの構成は互いに逆である。

証明.主張 (1)を示す。モノイドの積の結合律は射の合成の結合律であり、単位元の条件は恒等射の単位律である。{∗}∈V\{\ast\}\in Vであり、M∈VM\in Vのときには対象と射の全体がともにVVに属する。

主張 (2)を示す。対象をただ一つもつ圏ではすべての射の組を合成することができる。圏の結合律と単位律により、合成と恒等射はMM上のモノイドの条件を満たす。∗↦A\ast\mapsto Aは一元集合間の全単射であり、射の対応はMM上の恒等対応である。再構成後の積はもとの合成そのものなので、この対応は合成と恒等射を保つ。▨

5 同型射

定義 5.1. 圏C\mathcal Cの射f:A→Bf:A\to Bに対し、射g:B→Ag:B\to Aが

g∘f=idA,f∘g=idBg\circ f=\mathrm{id}_A,\qquad f\circ g=\mathrm{id}_B

を満たすとき、ffを同型射 (isomorphism)、ggをffの逆射 (inverse morphism) という。AAからBBへの同型射が存在するとき、AAとBBは同型 (isomorphic objects) であるといい、A≅BA\cong Bと書く。

命題 5.2. 圏の同型射f:A→Bf:A\to Bの逆射はただ一つである。この逆射をf−1f^{-1}と書く。

証明.g,h:B→Ag,h:B\to Aをffの逆射とする。結合律と単位律により

g=g∘idB=g∘(f∘h)=(g∘f)∘h=idA∘h=hg=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h

である。したがって、f−1f^{-1}は逆射の条件を満たすただ一つの射として、選択なしに定まる。▨

命題 5.3. 圏C\mathcal Cにおいて次が成り立つ。

  1. 任意の対象AAの恒等射は同型射であり、(idA)−1=idA(\mathrm{id}_A)^{-1}=\mathrm{id}_Aである。
  2. 同型射f:A→Bf:A\to Bの逆射は同型射であり、(f−1)−1=f(f^{-1})^{-1}=fである。
  3. 同型射f:A→Bf:A\to Bとg:B→Cg:B\to Cの合成は同型射であり、(g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}である。

証明.主張 (1)を示す。idA∘idA=idA\mathrm{id}_A\circ\mathrm{id}_A=\mathrm{id}_Aなので、恒等射は自身を逆射にもつ。

主張 (2)を示す。ffとf−1f^{-1}の二つの逆射の等式は、両者を交換しても成り立つ。

主張 (3)を示す。結合律と逆射の等式により

(f−1∘g−1)∘(g∘f)=f−1∘(g−1∘g)∘f=idA,(g∘f)∘(f−1∘g−1)=idC(f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f) =f^{-1}\circ(g^{-1}\circ g)\circ f=\mathrm{id}_A, \qquad (g\circ f)\circ(f^{-1}\circ g^{-1})=\mathrm{id}_C

である。各逆射の公式は命題 5.2により従う。▨

例 5.4.

  1. Set\mathbf{Set}の同型射は全単射である。§E1.1 命題 3.8により、写像が両側逆写像をもつことは、全単射であるための必要十分条件である。
  2. Grp\mathbf{Grp}の同型射は、全単射な群準同型である。逆射があれば台集合の間で両側逆を与えるので全単射である。逆に、全単射な群準同型の逆写像は§E7.3 命題 1.5により群準同型である。
  3. Vectk\mathbf{Vect}_kの同型射は、全単射な線形写像である。逆射があれば台集合の間で両側逆を与えるので全単射である。逆に、全単射な線形写像の逆写像は§E3.4 命題 1.2により線形写像である。
  4. Top\mathbf{Top}の同型射は同相写像である。両側逆写像の一意性により、射としての逆があることは、全単射であって逆写像が連続であることと同値である。離散位相を入れたR\Rから通常位相を入れたR\Rへの恒等写像は連続全単射だが、逆写像は連続でない（§E2.12 例 6.9）。
  5. 前順序から作った圏で、射x→yx\to yが同型射であるための必要十分条件は、x≤yx\le yかつy≤xy\le xである。逆向きの射があれば、二つの合成はそれぞれただ一つの自己射、すなわち恒等射となる。半順序の場合、この条件が成り立つことは、x=yx=yであるための必要十分条件である。

例 5.5.

  1. G⊆VG\subseteq Vを台集合とする群GGの一対象圏BG\mathcal BGでは、各射ggの逆射は群の逆元g−1g^{-1}であるから、すべての射は同型射である。たとえばB(Z/2Z)\mathcal B(\Z/2\Z)は一対象と二本の同型射をもつ。
  2. 一対象圏の自己射全体がVVの元であり、すべての射が同型射であるならば、命題 4.3のモノイドの各元は逆元をもつ。したがって、そのモノイドは群である。

6 部分圏

定義 6.1. 圏C\mathcal Cの部分圏 (subcategory)D\mathcal Dは、次の条件を満たす対象と射の集まりに、C\mathcal Cの合成と恒等射を制限したものである。

  1. Ob⁡(D)⊆Ob⁡(C)\operatorname{Ob}(\mathcal D)\subseteq\operatorname{Ob}(\mathcal C)である。
  2. D\mathcal Dの任意の対象A,BA,Bについて、Hom⁡D(A,B)⊆Hom⁡C(A,B)\Hom_{\mathcal D}(A,B)\subseteq\Hom_{\mathcal C}(A,B)である。
  3. D\mathcal Dの各対象AAについて、idA∈Hom⁡D(A,A)\mathrm{id}_A\in\Hom_{\mathcal D}(A,A)である。
  4. D\mathcal Dの射f:A→Bf:A\to B、g:B→Cg:B\to Cについて、g∘f∈Hom⁡D(A,C)g\circ f\in\Hom_{\mathcal D}(A,C)である。

任意の対象A,B∈Ob⁡(D)A,B\in\operatorname{Ob}(\mathcal D)についてHom⁡D(A,B)=Hom⁡C(A,B)\Hom_{\mathcal D}(A,B)=\Hom_{\mathcal C}(A,B)となる部分圏を充満部分圏 (full subcategory) という。

命題 6.2. 圏C\mathcal Cの部分圏は、C\mathcal Cの合成と恒等射の制限によって圏をなす。

証明.定義 6.1 条件 (c)と定義 6.1 条件 (d)により、制限した合成と恒等射は指定された射の集まりに属する。射の定義域と終域の一意性はC\mathcal Cにおける一意性による。結合律と単位律は、C\mathcal Cにおける同じ射の等式として成り立つ。▨

例 6.3.

  1. アーベル群とその間のすべての群準同型は、Grp\mathbf{Grp}の充満部分圏をなす。
  2. 有限次元のkk上の線形空間とその間のすべての線形写像は、Vectk\mathbf{Vect}_kの充満部分圏をなす。
  3. 可換環とその間の単位元を保つすべての環準同型は、Ring\mathbf{Ring}の充満部分圏をなす。
  4. Set\mathbf{Set}と同じ対象をもち、単射だけを射とするものは部分圏である。恒等写像は単射であり、単射の合成も単射だからである（§E1.1 命題 3.5）。二元集合から一元集合への写像は単射でないので、この部分圏は充満でない。
  5. 00を含む自然数の加法モノイドから作るBN≥0\mathcal B\Nは、整数の加法群から作るBZ\mathcal B\Zの部分圏である。0∈N≥00\in\Nであり、N≥0\Nは加法で閉じている。−1∉N≥0-1\notin\Nなので、この部分圏は充満でない。

例 6.4.BN≥0⊆BZ\mathcal B\N\subseteq\mathcal B\Zの射11は、BZ\mathcal B\Zでは逆射−1-1をもつ。一方、BN≥0\mathcal B\Nではn+1=0n+1=0を満たすn∈N≥0n\in\Nが存在しないので、射11は同型射でない。同じ射でも、部分圏に逆射が含まれるかどうかによって同型射であるかどうかが変わる。

7 反対圏と双対

定義 7.1. 圏C\mathcal Cに対して、次のデータをもつものをC\mathcal Cの反対圏 (opposite category) といい、Cop\mathcal C^{\mathrm{op}}と書く。

  1. 対象はC\mathcal Cと同じである。
  2. 射の全体はC\mathcal Cと同じとし、各射の定義域と終域を交換する。すなわち、Hom⁡Cop(A,B)=Hom⁡C(B,A)\Hom_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A,B)=\Hom_{\mathcal C}(B,A)とする。
  3. Cop\mathcal C^{\mathrm{op}}の射f:A→Bf:A\to B、g:B→Cg:B\to Cに対してg∘opf=f∘gg\circ^{\mathrm{op}}f=f\circ gとする。右辺はC\mathcal Cの合成である。
  4. 各対象の恒等射はC\mathcal Cと同じ射とする。

命題 7.2.C\mathcal Cを圏とする。このとき、次が成り立つ。

  1. Cop\mathcal C^{\mathrm{op}}は圏である。
  2. (Cop)op=C(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=\mathcal Cである。
  3. 反対圏をとる操作は、VV-小性と局所VV-小性を保つ。

証明.主張 (1)を示す。Cop\mathcal C^{\mathrm{op}}の射f:A→Bf:A\to B、g:B→Cg:B\to C、h:C→Dh:C\to Dを取る。C\mathcal Cではf:B→Af:B\to A、g:C→Bg:C\to B、h:D→Ch:D\to Cであるから、

(h∘opg)∘opf=f∘(g∘h)=(f∘g)∘h=h∘op(g∘opf)(h\circ^{\mathrm{op}}g)\circ^{\mathrm{op}}f =f\circ(g\circ h) =(f\circ g)\circ h =h\circ^{\mathrm{op}}(g\circ^{\mathrm{op}}f)

となる。単位律も、C\mathcal Cの左右の単位律を交換した等式として成り立つ。

主張 (2)を示す。反対圏を二度とると、各射の定義域と終域、および合成の順序は元に戻り、対象と恒等射は変わらない。したがって、反対圏を二度とって得られる圏は元の圏と等しい。

主張 (3)を示す。対象の全体と射の全体は変わらず、各 Hom は対象の組を交換したもとの Hom に等しいので、二つの小性も保たれる。▨

定義 7.3. 圏の対象・射・合成・恒等射の言葉で書かれた主張について、すべての射の向きと合成の順序を反転して得られる主張を、もとの主張の双対 (dual statement) という。

注意 7.4. すべての圏で成り立つ主張をCop\mathcal C^{\mathrm{op}}に適用し、その射と合成をC\mathcal Cの言葉で書き直すと、双対の主張を得る。たとえば、後に定める余極限は、反対圏での極限をもとの圏の言葉で表したものである。

例 7.5.RRを台集合がVVの部分集合である環とし、乗法モノイドから作る一対象圏をBR\mathcal BRと書く。反対環はRRと同じ加法と単位元をもち、積をa⋆b=baa\star b=baとした環である（§E6.1 命題 4.2）。このとき

(BR)op=B(Rop)(\mathcal BR)^{\mathrm{op}}=\mathcal B(R^{\mathrm{op}})

である。両辺の対象は∗\ast、射はRRの元、恒等射は1R1_Rであり、左辺の合成g∘opf=fgg\circ^{\mathrm{op}}f=fgは右辺の合成g⋆f=fgg\star f=fgに一致する。

8 演習

問題 8.1.

  1. 圏の対象AAにおいて、射r:A→Ar:A\to Aが任意のf:A→Bf:A\to Bに対してf∘r=ff\circ r=fを満たし、射l:A→Al:A\to Aが任意のg:B→Ag:B\to Aに対してl∘g=gl\circ g=gを満たすとする。r=l=idAr=l=\mathrm{id}_Aを示せ。さらに、恒等射のデータを除いた圏のデータが与えられ、合成が結合的であるとする。各対象にこの形の右単位rrと左単位llが存在すれば、各対象に両側単位が一意に存在することを示せ。
解答.
  1. f=idAf=\mathrm{id}_AとすればidA∘r=idA\mathrm{id}_A\circ r=\mathrm{id}_Aであり、単位律からr=idAr=\mathrm{id}_Aである。g=idAg=\mathrm{id}_Aとすればl∘idA=idAl\circ\mathrm{id}_A=\mathrm{id}_Aなのでl=idAl=\mathrm{id}_Aである。恒等射をまだ与えていない場合には、右単位の条件からl∘r=ll\circ r=l、左単位の条件からl∘r=rl\circ r=rを得る。よってl=rl=rであり、この共通の射が両側単位である。別の両側単位との合成も、一方の単位律と他方の単位律によって両者に等しいので、一意である。

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問題 8.2.

  1. Set\mathbf{Set}の射f:A→Bf:A\to B、g:B→Ag:B\to Aについて、g∘f=idAg\circ f=\mathrm{id}_Aであってもffが同型射とは限らないことを、具体例によって示せ。
解答.
  1. A={0}A=\{0\}、B={0,1}B=\{0,1\}とし、ffを包含写像、ggを値00の定値写像とする。g∘f=idAg\circ f=\mathrm{id}_Aであるが、ffは全射でないので同型射でない。また、(f∘g)(1)=0≠1(f\circ g)(1)=0\ne1である。

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問題 8.3.

  1. 圏C\mathcal Cの対象の全体PPはVVの元であるとする。x⪯yx\preceq yをHom⁡C(x,y)≠∅\Hom_{\mathcal C}(x,y)\ne\emptysetによって定めると、PP上の前順序になることを示せ。各 Hom が高々一元ならば、対象を変えず、射f:x→yf:x\to yを(x,y)(x,y)に送る対応は、命題 4.1で前順序から作る圏の各 Hom への全単射であり、合成と恒等射を保つことを示せ。各 Hom が高々一元という条件を外すと、全単射性が成り立たない例を挙げよ。
解答.
  1. 恒等射があるのでx⪯xx\preceq xである。x⪯yx\preceq y、y⪯zy\preceq zならば射f:x→yf:x\to y、g:y→zg:y\to zがあり、その合成によりx⪯zx\preceq zである。関係はP×PP\times Pの部分集合なのでVVに属する。各 Hom が高々一元ならば、もとの Hom と前順序から作る圏の Hom はともに空か、ともに一元集合である。したがって指定の対応は全単射である。合成は(y,z)∘(x,y)=(x,z)(y,z)\circ(x,y)=(x,z)に、恒等射は(x,x)(x,x)に送られる。条件を外す例としてBN≥0\mathcal B\Nをとると、自己射00と11は異なるが、命題 4.1で前順序から作る圏の同じ射(∗,∗)(\ast,\ast)に送られる。

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問題 8.4.

  1. 台集合がVVの部分集合である環RRについて、(BR)op=B(Rop)(\mathcal BR)^{\mathrm{op}}=\mathcal B(R^{\mathrm{op}})を、対象・射・合成・恒等射のそれぞれについて確かめよ。
解答.
  1. どちらも対象は∗\astだけであり、射の全体はRRである。左辺の合成はg∘opf=fgg\circ^{\mathrm{op}}f=fg、右辺の合成は反対環の積g⋆f=fgg\star f=fgなので等しい。恒等射はともに1R1_Rである。

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問題 8.5.

  1. 部分圏D⊆C\mathcal D\subseteq\mathcal Cの同型射はC\mathcal Cでも同型射であることを示せ。D\mathcal Dの射がC\mathcal Cで同型射であってもD\mathcal Dで同型射とは限らない例を挙げよ。
解答.
  1. ffの逆射ggがD\mathcal Dに存在すれば、ggはC\mathcal Cの射でもある。部分圏の合成と恒等射はC\mathcal Cのものの制限なので、逆射の二つの等式はC\mathcal Cでも成り立つ。逆向きについては、例 6.4のBN≥0⊆BZ\mathcal B\N\subseteq\mathcal B\Zと射11が反例である。

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問題 8.6.

  1. 連続な全単射が同相写像とは限らない例を示せ。一方、有限な台集合をもつ位相空間XXの連続全単射f:X→Xf:X\to Xは同相写像であることを示せ。
解答.
  1. R\Rの離散位相から通常位相への恒等写像は、§E2.12 例 6.9により連続全単射であり、同相写像でない。有限なXXについて、開集合全体をO\mathcal Oと書く。ffの連続性により、逆像をとる写像O→O\mathcal O\to\mathcal O、U↦f−1(U)U\mapsto f^{-1}(U)が定まる。ffは全射なので、この写像は単射である。O⊆P(X)\mathcal O\subseteq\mathcal P(X)は有限であり、§E1.18 補題 2.3 (3)により有限集合はその真部分集合と全単射をもたないので、この写像は全射でもある。したがって任意の開集合UUに対し、U=f−1(W)U=f^{-1}(W)となる開集合WWが存在する。ffの全単射性によりf(U)=Wf(U)=Wであるから、ffは開写像である。よって§E2.12 命題 6.3によりffは同相写像である。この議論はX=∅X=\emptysetでも成り立つ。

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前提記事

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