δ-関手 | 圏論 I | 数学汎典

定義 1.1. アーベル圏 $\mathcal A,\mathcal B$ の間のδ-関手 (delta functor) とは、加法関手 $T^n:\mathcal A\to\mathcal B$ （ $n\ge0$ ）と、短完全列 $E:0\to A'\to A\to A''\to0$ ごとの射 $\delta^n_{T,E}:T^n(A'')\to T^{n+1}(A')$ の組で、次の条件を満たすものをいう。

各短完全列 $E$ に対し、列 $0\longrightarrow T^0(A')\longrightarrow T^0(A)\longrightarrow T^0(A'') \xrightarrow{\delta^0_{T,E}}T^1(A')\longrightarrow T^1(A)\longrightarrow\cdots$ は完全である。
短完全列の射 $(a',a,a''):E\to E_1$ に対し、 $T^{n+1}(a')\delta^n_{T,E}=\delta^n_{T,E_1}T^n(a'')$ が成り立つ。

$\delta^n_{T,E}$ を連結射という。δ-関手の射 (morphism of delta functors) $\alpha:T\to S$ とは、自然変換 $\alpha^n:T^n\Rightarrow S^n$ の列で、すべての $E,n$ について

\alpha^{n+1}_{A'}\delta^n_{T,E}=\delta^n_{S,E}\alpha^n_{A''}

を満たすものをいう。

双対に、加法関手 $T_n:\mathcal A\to\mathcal B$ と自然な連結射 $T_{n+1}(A'')\to T_n(A')$ が、各短完全列に完全列

\cdots\longrightarrow T_1(A'')\longrightarrow T_0(A')\longrightarrow T_0(A)\longrightarrow T_0(A'')\longrightarrow0

を対応させるとき、ホモロジー的なδ-関手 (homological delta functor) という。これは $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ から $\mathcal B^{\mathrm{op}}$ へのδ-関手である。

命題 1.2. δ-関手の零次 $T^0$ は左完全であり、ホモロジー的なδ-関手の零次 $T_0$ は右完全である。

証明. いずれも長完全列の端の三項から従う。ホモロジー的なδ-関手の反対圏のδ-関手との同一視には§E9.19 命題 4.2を用いる。▨

定義 1.3. δ-関手 $T:\mathcal A\to\mathcal B$ が普遍的 (universal delta functor) であるとは、任意のδ-関手 $S:\mathcal A\to\mathcal B$ と自然変換 $\alpha^0:T^0\Rightarrow S^0$ に対し、零次の成分が $\alpha^0$ であるδ-関手の射 $T\to S$ がただ一つ存在することをいう。双対に、ホモロジー的なδ-関手が普遍的であるとは、 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ から $\mathcal B^{\mathrm{op}}$ へのδ-関手として普遍的であることをいう。

命題 1.4. 普遍δ-関手 $T,T'$ と自然同型 $a:T^0\Rightarrow T'^0$ に対し、零次の成分が $a$ であるδ-関手の同型 $T\to T'$ はただ一つ存在する。

証明. 普遍性により $a$ と $a^{-1}$ をそれぞれ $\alpha:T\to T'$ 、 $\beta:T'\to T$ へ延長する。 $\beta\alpha$ と $\mathrm{id}_T$ は零次で一致するので、延長の一意性から等しい。同じ理由で $\alpha\beta=\mathrm{id}_{T'}$ である。 $\alpha$ 自身の一意性も普遍性による。▨

注意 1.5. $\mathcal A$ が $V$ -小でない場合、δ-関手、その射、および零次の自然変換は構成として与える。普遍性の主張は、 $S$ と $\alpha^0$ を与える各構成について読む。定理 2.2の構成では、各 Hom 集合の中の一意な射を式で指定するため、対象全体を添字とする選択を用いない。

命題 1.4の証明では、 $a,a^{-1}$ の延長 $\alpha,\beta$ をデータとして用い、 $\beta\alpha,\alpha\beta$ に普遍性の一意性を適用する。 $\mathcal A$ が $V$ -小である場合は、通常の関手と自然変換の集合における普遍性である。

定義 2.1. アーベル圏の間の加法関手 $G:\mathcal A\to\mathcal B$ が消去可能 (effaceable functor) であるとは、任意の対象 $A$ に対し、 $G(u)=0$ を満たすモノ射 $u:A\to M$ が存在することをいう。 $G$ が余消去可能 (coeffaceable functor) であるとは、任意の対象 $A$ に対し、 $G(q)=0$ を満たすエピ射 $q:M\to A$ が存在することをいう。

定理 2.2.

δ-関手 $T:\mathcal A\to\mathcal B$ の $T^n$ がすべての $n\ge1$ で消去可能ならば、 $T$ は普遍的である。零次の自然変換の延長は、各対象で一意な射を指定する式によって構成される。
双対に、ホモロジー的なδ-関手 $T$ の $T_n$ がすべての $n\ge1$ で余消去可能ならば、 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ から $\mathcal B^{\mathrm{op}}$ へのδ-関手として普遍的である。

証明.主張 (1)を示す。δ-関手 $S$ と自然変換 $\alpha^0:T^0\Rightarrow S^0$ をとる。次数に関する帰納法で構成する。 $\alpha^0,\ldots,\alpha^n$ が自然変換であり、任意の $k<n$ と短完全列 $E$ に対して $\alpha^{k+1}\delta^k_{T,E}=\delta^k_{S,E}\alpha^k$ を満たすとする。対象 $A$ に対し $T^{n+1}(u)=0$ を満たすモノ射 $u:A\to M$ とその余核 $q:M\to C$ をとり、短完全列を $E$ と書く。定義 1.1 条件 (a)と $T^{n+1}(u)=0$ により

T^n(M)\xrightarrow{T^n(q)}T^n(C)\xrightarrow{\delta^n_{T,E}}T^{n+1}(A)\longrightarrow0

は完全であり、 $\delta^n_{T,E}$ は $T^n(q)$ の余核である。自然性と $S$ の完全性から

\delta^n_{S,E}\alpha^n_C T^n(q) =\delta^n_{S,E}S^n(q)\alpha^n_M=0.

したがって余核の普遍性により、一意な射 $b_E:T^{n+1}(A)\to S^{n+1}(A)$ が

b_E\delta^n_{T,E}=\delta^n_{S,E}\alpha^n_C

を満たす。

条件 $T^{n+1}(u_k)=0$ を満たす二つのモノ射 $u_k:A\to M_k$ （ $k=1,2$ ）について $w=(u_1,u_2):A\to M_1\oplus M_2$ とおく。 $w$ はモノ射であり、加法性から $T^{n+1}(w)=0$ である。その余核を $D$ とすると、双積の射影は短完全列の射 $E_w\to E_{u_k}$ を誘導する。余核の間の射を $c_k:D\to C_k$ と書く。連結射の自然性と $\alpha^n$ の自然性により

b_{E_{u_k}}\delta^n_{T,E_w} =b_{E_{u_k}}\delta^n_{T,E_{u_k}}T^n(c_k) =\delta^n_{S,E_w}\alpha^n_D.

$\delta^n_{T,E_w}$ はエピ射なので $b_{E_{u_k}}=b_{E_w}$ である。 $E_{u_k}$ の余核は任意に取ったので、 $b_E$ は $u$ と余核の選択によらない。すべてのこのような $E$ に対して表示の等式を満たす唯一の射を $\alpha^{n+1}_A$ と定める。

射 $f:A\to B$ をとる。 $u:A\to M$ と $v:B\to N$ を、それぞれ $T^{n+1}$ を消去するモノ射とする。 $w=(u,vf):A\to M\oplus N$ も消去するモノ射である。第二射影は $f$ とともに短完全列の射 $E_w\to E_v$ を与え、余核の射を $c:D\to C_v$ と書く。定義式と自然性を用いると

\begin{aligned} S^{n+1}(f)\alpha^{n+1}_A\delta^n_{T,E_w} &=S^{n+1}(f)\delta^n_{S,E_w}\alpha^n_D\\ &=\delta^n_{S,E_v}\alpha^n_{C_v}T^n(c)\\ &=\alpha^{n+1}_B T^{n+1}(f)\delta^n_{T,E_w}. \end{aligned}

エピ射を右から簡約して $\alpha^{n+1}$ の自然性を得る。

任意の短完全列 $E:0\to A'\xrightarrow{i}A\to A''\to0$ をとり、 $T^{n+1}(v)=0$ を満たすモノ射 $v:A\to N$ をとる。 $vi$ も消去するモノ射である。 $E'$ を $0\to A'\xrightarrow{vi}N\to C\to0$ とすると、余核の間に $v$ が誘導する射を $c:A''\to C$ とすると、 $(\mathrm{id}_{A'},v,c):E\to E'$ は短完全列の射である。連結射の自然性により

\begin{aligned} \alpha^{n+1}_{A'}\delta^n_{T,E} &=\alpha^{n+1}_{A'}\delta^n_{T,E'}T^n(c)\\ &=\delta^n_{S,E'}\alpha^n_C T^n(c) =\delta^n_{S,E}\alpha^n_{A''}. \end{aligned}

よって新しい成分は連結射と可換である。

任意の延長は、 $T^{n+1}$ を零へ送るモノ射から作る短完全列に対して $b_E$ の定義式を満たす。その式の右側は前の次数だけで決まり、左側の $\delta^n_{T,E}$ はエピ射なので、新しい成分は一意である。次数に関する帰納法で延長とその一意性を得る。各成分は Hom 集合の唯一の元として定まり、全対象にわたって消去する射を選ぶ必要はない。

主張 (2)は、反対圏に主張 (1)を適用して得る。▨

補題 2.3. 十分な入射対象をもつアーベル圏 $\mathcal A$ からアーベル圏 $\mathcal B$ への加法関手 $G$ について、すべての入射対象 $I$ において $G(I)=0$ となることは、 $G$ が消去可能であるための必要十分条件である。双対に、十分な射影対象をもつ場合、射影対象での消滅は、 $G$ が余消去可能であるための必要十分条件である。

証明. $G$ が消去可能なら、入射対象 $I$ に対し $G(u)=0$ となるモノ射 $u:I\to M$ がある。入射性により $ru=\mathrm{id}_I$ を満たす $r:M\to I$ があるので、 $\mathrm{id}_{G(I)}=G(r)G(u)=0$ である。恒等射が零である対象は零対象である。

逆に入射対象上で $G$ が消滅するなら、任意の $A$ を入射対象 $I$ へ埋め込むと、 $G(A)\to G(I)=0$ が零である。反対圏に適用すると射影側を得る。▨

例 3.1. 完全な加法関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ に対し、 $T^0=F$ 、 $n>0$ で $T^n=0$ とし、連結射を零とする。このとき、 $F$ の完全性によりδ-関手の公理が成り立つ。高次は恒等モノ射によって消去されるので、定理 2.2により普遍的である。零次の自然変換の延長は、正の次数では零射に一意に定まる。

$F=\mathrm{id}_{\mathbf{Ab}}$ の場合、 $0\to\Z\xrightarrow{2}\Z\to\Z/2\Z\to0$ に対応する長完全列の非零部分は、この短完全列そのものである。

例 3.2. $\mathbf{Ab}$ 上で $T^1=\mathrm{id}$ 、 $n\ne1$ で $T^n=0$ 、連結射を零とする。このとき、各短完全列から得られる長完全列の非零部分は次数一の短完全列そのものなので、 $T$ はδ-関手である。

零次の唯一の自然変換 $0\Rightarrow0$ は、恒等射 $\mathrm{id}_T$ と零射 $0:T\to T$ の両方へ延長される。零δ-関手も同じ零次 $0$ をもつ。次数一の $\Z$ における成分は、それぞれ $\mathrm{id}_{\Z}$ と零であり異なる。したがって $T$ は普遍的でない。非零対象 $A$ からのモノ射 $u$ は零ではないので $T^1(u)=u\ne0$ であり、 $T^1$ は消去可能でない。また入射対象 $\Q$ においても $T^1(\Q)=\Q\ne0$ である。

§E9.24δ-関手

1 δ-関手と普遍性

2 消去可能性

3 例

参考文献

前提記事