§E9.9前層の圏

証明. 自然変換の垂直合成と恒等自然変換は成分ごとに定まるので、

である。前層の場合には$\mathcal C^{\mathrm{op}}$に同じ構成を適用する。▨

証明.§E9.3 命題 4.5を$\mathcal C^{\mathrm{op}}$と$\mathbf{Set}$に適用すると、局所小性を得る。

$\mathcal C$が非空であるとし、対象$c$を一つ取る。前層全体$T$が$V$の元であると仮定すると、族の値の全体についての閉包性により

となる。任意の$S\in V$に対し、$S$を値とし、すべての射を$\id_S$に送る定値前層があるので、$S\in W$である。一方、$R=\{x\in W\mid x\notin x\}$は部分集合の閉包性により$V$に属する。したがって$R\in W$であるが、$R$の定義から$R\in R$と$R\notin R$が同値となり、矛盾する。

$\mathcal C$が空圏ならば、関手の対象と射の対応はともに空であり、自然変換の成分族も空である。したがって前層も自然変換も一つであり、それらを集合として符号化したものは$V$に属する。▨

証明. 射$u:c\to c'$における自然性の等式

を$\mathcal D^{\mathrm{op}}$で読むと、

となる。これは$u:c'\to c$における$\eta^{\mathrm{op}}$の自然性である。関手の反対は§E9.2 命題 2.1によって定まる。反対を二度取ると、関手も自然変換ももとに戻る。垂直合成の成分は射の合成であるから、反対を取ると合成の順が逆になり、恒等自然変換は恒等自然変換に移る。$\mathcal C$が$V$-小の場合には両辺の関手圏が定まり、これらの対応は互いに逆な関手となる。▨

証明.$\mathcal J$から$\mathcal D$への図式全体は、対象間と射間の写像の集合の直積の部分集合である。各図式の錐全体も、頂点と射の族の組からなり、$V$の元である。したがって、図式全体も、各図式の極限錐全体も$V$の元である。後者は仮定により空でないので、図式を添字とする族に選択公理を適用すればよい。余極限の場合は、余錐全体に同じ議論を適用する。▨

証明. 集合の構成は§E9.6 命題 5.4と§E9.6 命題 5.5により、それぞれ極限と余極限である。加群の構成は§E6.3 定理 2.2と§E6.3 定理 2.4による。後者の差の射の像は、表示した元が生成する部分加群である。

添字圏が$V$-小なので、直積、集合の直和、有限台の族からなる加群の直和、およびそれらの部分集合と商は$V$の元である。各構成は図式から式によって一つに定まるので、図式の全体にわたる選択公理を用いることなく規則を与えることができる。▨

証明.主張 (1)を示す。$u:c\to c'$を取る。$\mathcal J$の射$v:j\to k$に対し、自然変換$F(v):F_j\Rightarrow F_k$の自然性と錐の条件から

である。よって$(F_j(u)\circ\pi_{j,c})_j$は$F(-)(c')$への錐であり、その極限の普遍性によって

を満たす射$L(u):L(c)\to L(c')$がただ一つ定まる。$u=\id_c$の場合には$\id_{L(c)}$がこの等式を満たす。合成可能な射$u:c\to c'$、$w:c'\to c''$については$L(w)\circ L(u)$が$w\circ u$に対する等式を満たす。媒介射の一意性により、$L$は恒等射と合成を保つ。等式$\pi_{j,c'}\circ L(u)=F_j(u)\circ\pi_{j,c}$は各$\pi_j$の自然性であり、各点の錐の条件は$F(v)\circ\pi_j=\pi_k$を与える。

$F$への錐$(M,(\rho_j)_j)$を取る。各点の普遍性により、すべての$j$について$\pi_{j,c}\circ m_c=\rho_{j,c}$を満たす射$m_c:M(c)\to L(c)$がただ一つ定まる。射$u:c\to c'$に対し、$L(u)\circ m_c$と$m_{c'}\circ M(u)$を任意の$\pi_{j,c'}$と合成すると、いずれも$F_j(u)\circ\rho_{j,c}$となる。媒介射の一意性により両射は等しいので、$m=(m_c)_c$は自然変換である。各成分の一意性から、$\pi_j\circ m=\rho_j$を満たす自然変換も一意である。各点で極限である錐$(L',(\pi'_j)_j)$にこの構成を適用すると、対象での値は$L(c)=L'(c)$である。射での値も媒介射の一意性によって一致するので、もとの錐は極限である。

主張 (2)を示す。$F$の別の極限錐$(K,(\kappa_j)_j)$を取る。§E9.5 命題 2.3 (1)により、$\pi_j\circ t=\kappa_j$を満たす同型射$t:K\Rightarrow L$がある。各成分$t_c$は同型射であり、$\pi_{j,c}\circ t_c=\kappa_{j,c}$である。$F(-)(c)$への錐から$K(c)$への媒介射は、$L(c)$への一意な媒介射に$t_c^{-1}$を合成すれば得られる。逆に$t_c$を合成すると元の媒介射に戻るので、一意性も従う。

主張 (3)を示す。$\mathcal D$がすべての$\mathcal J$形の極限をもつとする。各$c$に対する極限錐は、$V$の元である頂点と、$\operatorname{Ob}(\mathcal J)$で添字づけた射の族の組で符号化されるので、$V$の元である。条件「$q$は$F(-)(c)$の極限錐である」に§E1.21 命題 4.1を、添字集合$\operatorname{Ob}(\mathcal C)$について適用すると、各$c$に極限錐$q_c$を一つずつ与える族を得る。その族も閉包性により$V$の元である。$\mathcal D$が$V$-小ならば、候補の極限錐全体が$V$の元なので、通常の選択公理を直接適用してよい。

$\mathcal D$の$\mathcal J$形の極限の選択が与えられている場合には、その規則を図式$F(-)(c)$に適用する。得られた族からの関手$L$と錐は主張 (1)によって一意に定まるので、$F$にその極限錐を対応させる規則が得られる。二つの選択から得られる極限錐の間には§E9.5 命題 2.3 (1)により構造射を保つ一意な同型がある。各成分も構造射を保つので、各点の標準同型に等しい。これで主張 (3)が成り立つ。

余極限の場合は命題 2.1によって反対の図式を$[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal D^{\mathrm{op}}]$の図式とし、示した極限の主張を適用する。§E9.5 命題 2.1 (4)により、得られた錐、媒介射、選択はそれぞれ元の図式の余極限余錐、媒介射、選択に対応する。▨

証明. 任意の$V$-小圏$\mathcal J$に定理 2.6 (3)を適用すると、主張 (1)と主張 (2)を得る。命題 2.5の選択を$\mathcal C^{\mathrm{op}}$上で用いると、主張 (3)の表示を得る。空図式では集合の極限は一点集合、余極限は空集合となり、離散図式の余極限には異なる項を結ぶ関係がないので、直和となる。▨

証明. 各$\alpha_c$がモノ射であるとする。§E9.8 命題 4.2 (1)により、$(F(c),(\id,\id,\alpha_c))$は$\alpha_c$と$\alpha_c$の pullback である。したがって$[\mathcal C,\mathcal D]$の錐$(F,(\id,\id,\alpha))$は各点で極限であり、定理 2.6 (1)により pullback である。再び§E9.8 命題 4.2 (1)を用いると、$\alpha$はモノ射である。

$\mathcal D$が pullback をもち、$\alpha$がモノ射であるとする。§E9.8 命題 4.2 (1)により$(F,(\id,\id,\alpha))$は pullback である。定理 2.6 (3)により各点の pullback の族が存在するので、定理 2.6 (2)により、この錐は各点で pullback である。各$c$に§E9.8 命題 4.2 (1)を適用すると、$\alpha_c$はモノ射である。

エピ射については、$\mathcal D^{\mathrm{op}}$に示した主張を適用する。命題 2.1と§E9.8 命題 4.2 (2)により、pullback を pushout に、モノ射をエピ射に読み替えた主張を得る。▨

証明.$\mathbf{Set}$は§E9.6 命題 4.5と§E9.6 命題 4.7により pullback と pushout をもつ。命題 3.1と§E9.8 命題 3.1を適用すると、単射性と全射性による判定を得る。両者を満たす射の各成分は全単射なので、§E9.1 例 5.4 (1)により同型射であり、§E9.3 命題 4.3により$\alpha$は同型射である。前層については$\mathcal C^{\mathrm{op}}$に適用する。▨

証明.§E9.7 命題 4.1により$\int P$は$V$-小であり、§E9.7 命題 3.3 (2)により$y\circ\pi_P$は関手である。射$w:(X,x)\to(X',x')$に対し、$P(w)(x')=x$である。§E9.7 命題 3.2 (1)と米田の対応の単射性により、

となるので、$(\Psi(x))_{(X,x)}$は余錐である。

主張 (1)を示す。前層$E$と、$y\circ\pi_P$から$E$への余錐$(\lambda_{(X,x)}:h_X\Rightarrow E)_{(X,x)}$を取る。§E9.7 定理 2.1 (1)により、各$\lambda_{(X,x)}$は元$e_{(X,x)}\in E(X)$と一対一に対応する。§E9.7 命題 3.2 (1)により、余錐の等式

は$E(w)(e_{(X',x')})=e_{(X,x)}$と同値である。

この条件を満たす族から$\theta_X:P(X)\to E(X)$を$\theta_X(x)=e_{(X,x)}$と定める。射$u:Y\to X$と元$x\in P(X)$に対し、元の圏には射$u:(Y,P(u)(x))\to(X,x)$がある。族の条件をこの射に適用すると

となるので、$\theta$は自然変換である。逆に自然変換$\theta$から取った族$e_{(X,x)}=\theta_X(x)$は、$P(w)(x')=x$と自然性によって同じ条件を満たす。二つの操作は互いに逆であり、主張 (1)が従う。

主張 (2)を示す。さらに§E9.7 命題 3.2 (2)により、$\theta\circ\Psi(x)$に対応する元は$\theta_X(x)=e_{(X,x)}$である。したがって$\theta\circ\Psi(x)=\lambda_{(X,x)}$であり、この等式を満たす$\theta$は元の族から一意に定まる。これで余極限の普遍性、すなわち主張 (2)が示された。▨

証明.系 2.7 (3)の商における関係は、元の圏の射$w:(X,x)\to(X',x')$に対する

で生成される。$P(w)(x')=x$なので、$P(u)(x)=P(w\circ u)(x')$であり、表示した写像は商上に定まる。射$u:(Y,P(u)(x))\to(X,x)$によって

である。したがって$z\mapsto[((Y,z),\id_Y)]$は表示した写像の逆である。射$v:Y'\to Y$による制限は$u$を$u\circ v$に送るので、$P(u\circ v)(x)=P(v)(P(u)(x))$によって自然性を得る。標準写像の式は$u\mapsto P(u)(x)=\Psi(x)_Y(u)$である。▨

証明. 一対象圏の合成は$g\circ h=gh$である。反変関手性により

となる。逆に右作用からこれらの式で反変関手が定まる。自然性の条件は作用を保つ条件であり、二つの対応は互いに逆である。$h_\ast(g)$は射への前合成、すなわち$h\mapsto hg$なので、表現可能前層は、右正則作用をもつ$G$である。§E9.7 定理 2.1 (1)の評価を恒等射$e$で読むと、表示した対応を得る。

元の圏の対象$(\ast,x)$を$x$と書く。元の圏の射$g:x\to x'$の条件$P(g)(x')=x$は$x'\cdot g=x$である。射$g:x\to x'$の逆は$g^{-1}:x'\to x$であり、すべての射が可逆である。$X=1$では対象は一つで、各$g\in G$が自己射となる。この同一視のもとで$y(g)$は後合成$h\mapsto gh$である。各点余極限は、左からの積による関係$h\sim gh$で$G$を割った集合であり、任意の二元はこの関係で同値である。したがって余極限は一元集合$G/G$で、誘導される右作用は自明である。▨

証明. 開集合全体は$\mathcal P(X)$の部分集合なので$V$の元であり、§E9.1 命題 4.1により$\mathcal O(X)$は$V$-小圏である。反変関手の恒等射と合成の保存は、制限写像の恒等性と推移性そのものであり、自然性は制限写像との可換性である。

$W$から$U$への射は、$W\subseteq U$のときだけ一つあるので、$h_U(W)$は表示した集合である。一点集合間の写像と空集合からの写像は一意なので、各非空値の標準全単射は自然である。最後の二つの対応は§E9.7 定理 2.1 (1)と定理 4.1 (2)による。▨

証明. 制限した写像の恒等射と合成の等式は、$P$の同じ等式の制限である。包含の族と制限写像は定義によって可換である。▨

証明.主張 (1)を示す。部分前層の包含は各成分が単射なので、系 3.2によってモノ射である。

主張 (2)を示す。射$u:X\to X'$と元$s\in F(X')$に対し、自然性により

となるので、像は部分前層である。各$\alpha_X$の終域をその像に制限した写像は全射であり、同じ等式によって自然変換をなす。系 3.2により、この自然変換はエピ射である。

主張 (3)を示す。その各成分が全単射であることは各$\alpha_X$の単射性と同値なので、同じ判定と§E9.3 命題 4.3により主張 (3)を得る。

主張 (4)を示す。余積の各成分から$P$への射として$\Psi(x_i)$を取る。系 2.7 (3)により、余積は各点の直和であり、その像は§E9.7 定理 2.1 (1)の式$\Psi(x_i)_X(u)=P(u)(x_i)$によって$\langle x_i\rangle(X)$に等しい。$u=\id_{X_i}$を取れば$x_i\in\langle x_i\rangle(X_i)$である。すべての$x_i$を含む部分前層$Q$は制限で閉じるので、各$P(u)(x_i)$を含む。したがって$\langle x_i\rangle\subseteq Q$である。▨

証明. 部分前層$Q\subseteq h_U$に$\mathcal S=\{W\mid Q(W)\ne\emptyset\}$を対応させる。$h_U(W)$が非空ならば一点だけからなるので、$Q$は$\mathcal S$から一意に復元される。制限による閉性は、$W\in\mathcal S$と$T\subseteq W$から$T\in\mathcal S$が従うことと同じである。したがってこの対応は全単射である。$A$のすべての元を含む最小のこのような集合は、ある$W\in A$に含まれる開集合全体であり、表示した$S$を与える。

各$(W,W')\in A\times A$に対し、$W\cap W'$の$W$と$W'$への包含に米田埋め込みを適用し、それぞれの余積入射を合成して二射を定める。対象$T$で評価すると、中央の余積は集合$B_T=\{W\in A\mid T\subseteq W\}$と標準的に全単射である。$W,W'\in B_T$ならば$T\subseteq W\cap W'$なので、左の余積の$(W,W')$成分は一点をもち、二射はその点を$W$と$W'$に送る。したがって生成される同値関係は$B_T$のすべての元を同一視する。商は$B_T$が空ならば空集合、非空ならば一点集合である。各$h_W(T)$から$h_U(T)$への写像の像は$S(T)$に属し、商から$S(T)$への全単射を誘導する。定理 2.6 (1)の余極限の主張により、表示した余錐は余等化子である。

余等化子と余積の普遍性により、射$S\Rightarrow F$は、各$W\in A$に対する射$h_W\Rightarrow F$の族で、共通部分$h_{W\cap W'}$からの二つの合成が一致するものと一対一に対応する。米田の補題と§E9.7 命題 3.2 (1)により、余錐の条件は各$W$上の切断が共通部分上で一致する条件である。元の族について$U_i=U_j$ならば共通部分は$U_i$なので、適合する切断は$s_i=s_j$を満たす。よって$s_{U_i}=s_i$と定めることで、$I$上の適合族と$A$上の適合族は、代表を選ぶことなく互いに復元される。$I=\emptyset$の場合、両余積と$S$は始前層であり、適合族は空族ただ一つである。

米田の自然性により、$s\in F(U)$に対応する射$h_U\Rightarrow F$を$h_{U_i}$に制限した射は$s|_{U_i}$に対応する。したがって表示した写像は切断の制限である。被覆に対するこの写像の単射性は局所性、全射性は適合切断の貼り合わせにそれぞれ等しい。▨

証明.主張 (1)を示す。命題 4.4と部分前層の条件により、群の場合、部分前層は右からの積で閉じた部分集合である。空でない部分集合から元$x$を取ると、任意の$y\in G$について$y=x(x^{-1}y)$なので、$y$もその部分集合に属する。

主張 (2)を示す。$\mathcal B\N$の表現可能前層では、射への前合成は加法なので、$m$による制限写像は$x\mapsto x+m$である。空でない部分前層の最小元を$k$とすると、加法で閉じることからすべての$k+m$（$m\in\N$）を含み、最小性から$k$より小さい元を含まない。逆に各尾部$\{k,k+1,\ldots\}$は非負整数の加法で閉じる。▨