§E9.7米田の補題と表現可能関手

証明. 射$u:X\to Y$を取る。局所小性により各 hom は$V$の元であり、射の合成により$h_A(u)$と$h^A(u)$は指定された集合の間の写像である。さらに射$v:Y\to Z$を取ると、任意の$w:Z\to A$と$t:A\to X$に対し、結合律から

である。単位律により$h_A(\id_X)$と$h^A(\id_X)$は恒等写像である。したがって、これらの対応は反変と共変のそれぞれの関手の保存則を満たす。▨

証明.§E9.1 命題 7.2により、反対圏は局所小性と小性を保つ。反対圏の定義から$\Hom_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(X,A)=\Hom_{\mathcal C}(A,X)$である。$\mathcal C$の射$u:X\to Y$による、反対圏の反変 hom の写像は、$t:A\to X$を$u\circ t$に送る。これは$h^A(u)$である。反対圏の共変 hom の対象値は$\Hom_{\mathcal C}(X,A)$であり、その射の対応は前からの合成$w\mapsto w\circ u$なので$h_A$に一致する。▨

証明.主張 (1)を示す。$a\in F(A)$を取る。$u:X\to A$に対し$F(u):F(A)\to F(X)$であるから、$\Psi(a)_X(u)=F(u)(a)$は指定された写像を定める。射$v:X\to Y$と$u:Y\to A$に対し、反変関手性により

である。したがって$\Psi(a)$は自然変換である。恒等射の保存により

を得る。

自然変換$\eta:h_A\Rightarrow F$と射$u:X\to A$を取る。$u$における自然性$F(u)\circ\eta_A=\eta_X\circ h_A(u)$を$\id_A$で評価すると、

となる。左辺は$\Psi(\Phi(\eta))_X(u)$なので、$\Psi(\Phi(\eta))=\eta$である。$\mathcal C$が$V$-小の場合には§E9.3 命題 4.5により$\operatorname{Nat}(h_A,F)\in V$であり、二つの構成は互いに逆な写像を与える。

主張 (2)を示す。主張 (1)を$\mathcal C^{\mathrm{op}}$に適用する。命題 1.3により反対圏は必要な小性をもち、その反変 hom は$h^A$に一致するので、主張 (2)を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。射$f:A\to B$における$\eta:h_B\Rightarrow F$の自然性を$\id_B$で評価すると、

である。

主張 (2)を示す。自然変換$\theta:F\Rightarrow F'$と$\eta:h_A\Rightarrow F$に対しては、垂直合成の成分（§E9.3 命題 1.3）から

となる。▨

証明.主張 (1)を示す。対象$X$と射$u:X\to A$を取る。$y(f)$の自然性は定義に用いた定理 2.1 (1)から従い、単位律と結合律から

である。同じ米田の補題を$F=h_B$に適用すると、$y(f)=\Psi(f)$と$\Phi(\alpha)=\alpha_A(\id_A)$が互いに逆なので、射$f$の一意復元を得る。

主張 (2)を示す。$\mathcal C$が$V$-小ならば、$\widehat{\mathcal C}$は圏であり、示した二つの保存則により$y$は関手となる。米田の全単射は$\Hom(A,B)\to\operatorname{Nat}(h_A,h_B)$であるから、充満忠実性の定義により主張 (2)が成り立つ。▨

証明.主張 (1)を示す。命題 3.3 (1)により、$\alpha=y(f)$となるただ一つの$f:A\to B$を取る。成分$\alpha_B:\Hom(B,A)\to\Hom(B,B)$は全射なので、$f\circ g=\id_B$となる射$g:B\to A$がある。成分$\alpha_A$について

であるから、この成分の単射性により$g\circ f=\id_A$となる。したがって$f$は同型射である。逆に$f$が同型射ならば、命題 3.3 (1)により$y(f^{-1})$との両順の合成は恒等自然変換なので、$y(f)$の各成分は同型射である。

主張 (2)の証明は演習とする（問題 6.4 (1)）。▨

証明.主張 (1)を示す。$\int F$の射$u:(X,x)\to(Y,y)$と$v:(Y,y)\to(Z,z)$を取る。反変関手性により

なので、$v\circ u$は$(X,x)$から$(Z,z)$への射を定める。また$F(\id_X)(x)=x$なので、$\id_X$は$(X,x)$の恒等射を定める。

主張 (2)を示す。共変の場合には

により、それぞれの場合の恒等射と合成についての閉性が成り立つ。どちらの場合も、射には両端を添えているので定義域と終域は一意であり、結合律と単位律は$\mathcal C$の等式から従う。対象の組と射の組は有限の組として$V$の元である。組から$X$と$u$を取り出す対応は合成と恒等射を保つので関手である。

$\mathcal C$が$V$-小であるとする。$\int F$の対象全体は

である。射全体は

と一対一に対応する。実際、右辺の元$(u,y)$から、始点$(\operatorname{dom}u,F(u)(y))$と終点$(\operatorname{cod}u,y)$を添えた射がただ一つ定まる。§E9.1 命題 2.3と大きさの規約により、これらの直和と対応する組の族は$V$の元である。$\int G$では対象全体に$G(X)$を、射全体の表示に$G(\operatorname{dom}u)$を用いると同じ閉包性が適用される。▨

証明.主張 (1)を示す。任意の対象$X$に対し、$\Psi(a)_X$は$u$を$F(u)(a)$に送る。したがって、その全単射性は、各$x\in F(X)$に対して$F(u)(a)=x$となる射$u:X\to A$がただ一つあることと同値である。集合の同型射は全単射なので（§E9.1 例 5.4 (1)）、全成分が同型射であることは普遍元の条件に等しい。また、この射$u$は元の圏の射$(X,x)\to(A,a)$そのものであるから、普遍元の条件は終対象の条件に等しい。

主張 (2)を示す。共変の場合には、$\Psi(a)_X$は$u:A\to X$を$G(u)(a)$に送る。その全単射性は、各$(X,x)$に対して射$(A,a)\to(X,x)$がただ一つあることと同値であり、普遍元と始対象の両条件に等しい。

与えられた自然同型$\alpha$に米田の補題を適用すると、$a=\Phi(\alpha)=\alpha_A(\id_A)$は$\Psi(a)=\alpha$を満たすので、示した同値により普遍元を与える。$\mathcal C$が$V$-小のときは、米田の二つの全単射を表現と普遍元に制限すれば、最後の全単射を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。命題 4.3 (1)により、$(A,a)$と$(B,b)$は$\int F$の終対象である。§E9.6 命題 1.5を適用すると、射$t:(A,a)\to(B,b)$はただ一つであり、同型射である。元の圏の射の条件は$F(t)(b)=a$である。対象$(X,x)$を$X$に、射をその台の射に送る関手$\int F\to\mathcal C$と§E9.2 命題 1.5により、もとの圏でも$t:A\to B$は同型射である。

命題 3.2 (1)を$\eta=\Psi(b)$と$f=t$に適用すると、

となる。米田の補題の$\Psi$を施すことにより、$\Psi(b)\circ y(t)=\Psi(a)$を得る。

主張 (2)の証明は演習とする（問題 6.7 (1)）。▨