随伴 | 圏論 I | 数学汎典

1 随伴と自然性

定義 1.1 (随伴). 圏 $\mathcal C,\mathcal D$ の間の関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 、 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ と、各対象 $A,B$ に対する全単射

\Phi_{A,B}:\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A),B)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,G(B))

の族を考える。任意の射 $a:A'\to A$ 、 $b:B\to B'$ 、 $f:F(A)\to B$ に対して

\Phi_{A',B'}(b\circ f\circ F(a))=G(b)\circ\Phi_{A,B}(f)\circ a

\text{(1.1.1)}

が成り立つとき、組 $(F,G,\Phi)$ を随伴 (adjunction) といい、 $F\dashv G$ と書く。 $\Phi$ を随伴対応 (adjunction correspondence)、この等式を随伴対応の自然性 (naturality) という。 $F$ を $G$ の左随伴 (left adjoint)、 $G$ を $F$ の右随伴 (right adjoint) という。

族 $(\Phi_{A,B})_{A,B}$ は、対象の組 $(A,B)$ に $\Phi_{A,B}$ を対応させる写像のグラフとして与える。各 Hom が $V$ -小であることは仮定しない。両圏が局所 $V$ -小なら、各対応は $V$ の元である集合の間の全単射である。

補題 1.2. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 、 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ と随伴対応の型の全単射 $\Phi_{A,B}$ が与えられたとする。このとき、次の条件は同値である。

対応は式 (1.1.1)を満たす。
任意の $a:A'\to A$ 、 $b:B\to B'$ 、 $f:F(A)\to B$ に対して、 $\Phi(f\circ F(a))=\Phi(f)\circ a$ および $\Phi(b\circ f)=G(b)\circ\Phi(f)$ が成り立つ。
任意の $a:A'\to A$ 、 $b:B\to B'$ 、 $g:A\to G(B)$ に対して、 $\Phi^{-1}_{A',B'}(G(b)\circ g\circ a)=b\circ\Phi^{-1}_{A,B}(g)\circ F(a)$ が成り立つ。

証明.(1) $\Leftrightarrow$ (2)を示す。式 (1.1.1)で $b$ または $a$ を恒等射とすれば、主張 (2)の二つの等式を得る。逆に、この二つの等式を順に用いると、式 (1.1.1)を得る。

(1) $\Leftrightarrow$ (3)を示す。式 (1.1.1)に $f=\Phi^{-1}(g)$ を代入して $\Phi^{-1}$ を施すと、主張 (3)の等式を得る。逆に、この等式に $g=\Phi(f)$ を代入して $\Phi$ を施すと、式 (1.1.1)を得る。▨

2 unit・counit と三角恒等式

定義 2.1 (unit と counit). 随伴 $(F,G,\Phi)$ に対し、射の族

\eta_A=\Phi_{A,F(A)}(\mathrm{id}_{F(A)}):A\to GF(A),\qquad \varepsilon_B=\Phi^{-1}_{G(B),B}(\mathrm{id}_{G(B)}):FG(B)\to B

をそれぞれ unit (unit)、counit (counit) という。

補題 2.2. 随伴 $F\dashv G$ と、任意の射 $f:F(A)\to B$ 、 $g:A\to G(B)$ に対して、次が成り立つ。

\Phi_{A,B}(f)=G(f)\circ\eta_A,\qquad \Phi^{-1}_{A,B}(g)=\varepsilon_B\circ F(g).

\text{(2.2.1)}

証明. $\Phi$ の第二変数の自然性を $f\circ\mathrm{id}_{F(A)}$ に適用すると第一式を得る。 $\Phi^{-1}$ の第一変数の自然性を $\mathrm{id}_{G(B)}\circ g$ に適用すると第二式を得る。▨

命題 2.3. 随伴 $F\dashv G$ の unit と counit は自然変換 $\eta:\mathrm{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF$ 、 $\varepsilon:FG\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}$ である。すなわち、任意の $a:A'\to A$ 、 $b:B\to B'$ について

GF(a)\circ\eta_{A'}=\eta_A\circ a,\qquad \varepsilon_{B'}\circ FG(b)=b\circ\varepsilon_B

\text{(2.3.1)}

が成り立つ。

証明. $\Phi_{A',F(A)}(F(a))$ は、式 (2.2.1)によれば $GF(a)\circ\eta_{A'}$ であり、第一変数の自然性によれば $\eta_A\circ a$ である。同様に $\Phi^{-1}_{G(B),B'}(G(b))$ は、式 (2.2.1)によれば $\varepsilon_{B'}\circ FG(b)$ であり、第二変数の自然性によれば $b\circ\varepsilon_B$ である。▨

命題 2.4. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 、 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ について次が成り立つ。

随伴 $F\dashv G$ の unit と counit は、任意の対象 $A,B$ に対して三角恒等式 (triangle identities) $\varepsilon_{F(A)}\circ F(\eta_A)=\mathrm{id}_{F(A)},\qquad G(\varepsilon_B)\circ\eta_{G(B)}=\mathrm{id}_{G(B)}$ を満たす。
逆に、三角恒等式を満たす自然変換 $\eta:\mathrm{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF$ と $\varepsilon:FG\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}$ が与えられたとき、 $\Phi_{A,B}(f)=G(f)\circ\eta_A$ で定めた $\Phi$ は随伴を与え、その unit と counit は $\eta,\varepsilon$ である。

証明.主張 (1)を示す。式 (2.2.1)を $\Phi^{-1}(\eta_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$ と $\Phi(\varepsilon_B)=\mathrm{id}_{G(B)}$ に適用すると三角恒等式を得る。

主張 (2)を示す。 $\Psi_{A,B}(g)=\varepsilon_B\circ F(g)$ と置く。 $f:F(A)\to B$ に対し、 $\varepsilon$ の自然性と第一の三角恒等式から

\Psi\Phi(f)=\varepsilon_B\circ FG(f)\circ F(\eta_A) =f\circ\varepsilon_{F(A)}\circ F(\eta_A)=f

である。 $g:A\to G(B)$ に対し、 $\eta$ の自然性と第二の三角恒等式から

\Phi\Psi(g)=G(\varepsilon_B)\circ GF(g)\circ\eta_A =G(\varepsilon_B)\circ\eta_{G(B)}\circ g=g

である。したがって両対応は互いに逆である。さらに、 $\eta$ の自然性により

\Phi(b\circ f\circ F(a))=G(b)\circ G(f)\circ GF(a)\circ\eta_{A'} =G(b)\circ\Phi(f)\circ a

となるので、 $\Phi$ は式 (1.1.1)を満たす。恒等射に $\Phi$ と $\Psi$ を適用すれば unit と counit は元の族に一致する。▨

命題 2.5. 随伴 $F\dashv G$ について次が成り立つ。

$F$ が充満忠実であることは、すべての $\eta_A$ が同型射であるための必要十分条件である。
$G$ が充満忠実であることは、すべての $\varepsilon_B$ が同型射であるための必要十分条件である。

証明. 証明は問題 5.3 (1)と問題 5.3 (2)の演習とする。▨

3 普遍射

定義 3.1 (普遍射).

関手 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ 、対象 $A\in\mathcal C$ 、 $B_0\in\mathcal D$ を与える。射 $\eta:A\to G(B_0)$ が $A$ から $G$ への普遍射 (universal arrow) であるとは、任意の対象 $B\in\mathcal D$ と射 $g:A\to G(B)$ に対し、 $g=G(f)\circ\eta$ を満たす射 $f:B_0\to B$ がただ一つ存在することをいう。
関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 、対象 $A_0\in\mathcal C$ 、 $B\in\mathcal D$ を与える。射 $\varepsilon:F(A_0)\to B$ が $F$ から $B$ への普遍射 (universal arrow) であるとは、任意の対象 $A\in\mathcal C$ と射 $f:F(A)\to B$ に対し、 $f=\varepsilon\circ F(g)$ を満たす射 $g:A\to A_0$ がただ一つ存在することをいう。

命題 3.2. 普遍射の族から、次のとおり関手と随伴が定まる。

関手 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ と、各 $A\in\mathcal C$ に対する対象 $F_0(A)\in\mathcal D$ と普遍射 $\eta_A:A\to G(F_0(A))$ の族を与える。このとき、対象上で $F(A)=F_0(A)$ とし、射 $a:A'\to A$ に対して $G(F(a))\circ\eta_{A'}=\eta_A\circ a$ を満たす一意な射を $F(a)$ とすれば、関手 $F$ と随伴 $F\dashv G$ が定まる。対応は $f\mapsto G(f)\circ\eta_A$ であり、unit は $\eta$ である。
関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ と、各 $B\in\mathcal D$ に対する対象 $G_0(B)\in\mathcal C$ と普遍射 $\varepsilon_B:F(G_0(B))\to B$ の族を与える。このとき、対象上で $G(B)=G_0(B)$ とし、射 $b:B\to B'$ に対して $\varepsilon_{B'}\circ F(G(b))=b\circ\varepsilon_B$ を満たす一意な射を $G(b)$ とすれば、関手 $G$ と随伴 $F\dashv G$ が定まる。逆対応は $g\mapsto\varepsilon_B\circ F(g)$ であり、counit は $\varepsilon$ である。

証明.主張 (1)の証明は問題 5.2 (1)の演習とする。主張 (2)を示す。主張 (1)を $F^{\mathrm{op}}$ に適用する。反対圏で得られた随伴の対応の逆が元の圏の随伴対応となり、その unit は元の counit に当たる。▨

命題 3.3. 関手 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ と対象 $A\in\mathcal C$ を与える。このとき、二つの普遍射 $\eta:A\to G(B_1)$ 、 $\eta':A\to G(B_2)$ に対し、 $G(t)\circ\eta=\eta'$ を満たす射 $t:B_1\to B_2$ はただ一つ存在し、同型射である。両圏が局所 $V$ -小なら、 $\eta$ が普遍射であることは、 $\eta\in\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,G(B_1))$ が関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,G(-))$ の普遍元であるための必要十分条件である。

証明. $\eta$ の普遍性によって $t$ を、 $\eta'$ の普遍性によって $G(t')\circ\eta'=\eta$ を満たす $t':B_2\to B_1$ を取る。 $G(t'\circ t)\circ\eta=\eta$ なので、一意性から $t'\circ t=\mathrm{id}_{B_1}$ である。同様に $t\circ t'=\mathrm{id}_{B_2}$ である。最後の同値では、普遍元の条件 $G(f)\circ\eta=g$ が普遍射の条件そのものである。▨

命題 3.4. 関手 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ に関する普遍射の存在と選択には次の区別がある。

各対象 $A$ から $G$ への普遍射の存在は、対象と射の組という $V$ の元を存在を示す対象とする主張である。大きい圏でもこの各点の存在を述べることができる。関手と随伴の構成には普遍射の族を与える。
$\mathcal C$ が $V$ -小で各対象から $G$ への普遍射が存在するなら、その普遍射の族を得ることができる。関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ について、 $\mathcal D$ が $V$ -小で $F$ から各対象への普遍射が存在するなら、その普遍射の族を得ることができる。
添字となる圏が $V$ -小でない場合、各点の存在から族を選ぶことはせず、族をデータとして与える。随伴の存在を量化する表現は両圏が $V$ -小の場合に限る。

証明. $I=\operatorname{Ob}\mathcal C\in V$ と置く。各 $A\in I$ に対する対象と普遍射の組 $(B,\eta)$ は $V$ の元である。 $\mathcal D$ も $V$ -小なら候補の集合も $V$ -小なので選択公理を適用する。そうでない場合も§E1.21 命題 4.1を、 $\eta:A\to G(B)$ が普遍射であるという条件に適用すれば対象と普遍射の組の族を得る。添字と各値が $V$ の元なので族のグラフも $V$ に属する。双対では $I=\operatorname{Ob}\mathcal D$ と取る。各点の存在と族を与える構成の区別は§E9.1 注意 2.9に従う。▨

命題 3.5. 次の比較射は自然同型を定める。

随伴 $(F,G,\Phi)$ と $(F',G,\Phi')$ に対し、 $\theta_A=(\Phi'_{A,F(A)})^{-1}(\eta_A):F'(A)\to F(A)$ は自然同型 $\theta:F'\Rightarrow F$ を定める。各 $A$ で $G(\theta_A)\circ\eta'_A=\eta_A$ を満たす射の族は $\theta$ に限る。
随伴 $(F,G,\Phi)$ と $(F,G',\Phi')$ に対し、 $\sigma_B=\Phi'_{G(B),B}(\varepsilon_B):G(B)\to G'(B)$ は自然同型 $\sigma:G\Rightarrow G'$ を定める。各 $B$ で $\varepsilon'_B\circ F(\sigma_B)=\varepsilon_B$ を満たす射の族は $\sigma$ に限る。

証明.主張 (1)を示す。unit は補題 2.2により普遍射なので、命題 3.3を $\eta'_A,\eta_A$ に適用すると、一意な同型射 $\theta_A$ を得る。 $a:A'\to A$ に対して $\theta_A\circ F'(a)$ と $F(a)\circ\theta_{A'}$ は、 $G$ を施して $\eta'_{A'}$ と合成するとともに $\eta_A\circ a$ となる。普遍射の一意性から両射は等しく、 $\theta$ は自然である。

また、 $\Theta_{A,B}=(\Phi'_{A,B})^{-1}\Phi_{A,B}$ と置けば、両対応の第二変数の自然性から

\Theta_{A,B'}(b\circ f)=b\circ\Theta_{A,B}(f)

\text{(3.5.1)}

を得る。 $f=\mathrm{id}_{F(A)}$ とすれば $\Theta_{A,B}(b)=b\circ\theta_A$ である。

主張 (2)を示す。反対圏上の随伴 $G^{\mathrm{op}}\dashv F^{\mathrm{op}}$ と $(G')^{\mathrm{op}}\dashv F^{\mathrm{op}}$ に主張 (1)を適用する。対応と逆対応の始域と終域を元の圏へ戻すと、主張の $\sigma_B$ と等式 $\varepsilon'_B\circ F(\sigma_B)=\varepsilon_B$ を得る。▨

命題 3.6. $\mathcal D$ を局所 $V$ -小圏とし、関手 $F:\mathbf{Set}\to\mathcal D$ 、 $G:\mathcal D\to\mathbf{Set}$ と随伴 $F\dashv G$ を与える。このとき、 $e=\eta_{\{*\}}(*)$ は $G$ の普遍元であり、自然同型 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(\{*\}),-)\Rightarrow G$ を定める。

証明. 証明は演習とする（問題 5.4 (1)）。▨

4 例

命題 4.1. 自由群関手 $F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$ と忘却関手 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は、 $\Phi_{X,H}(f)=U(f)\circ\iota_X$ によって随伴する。unit は生成元の写像 $\iota_X:X\to U(F(X))$ であり、counit $\varepsilon_H:F(U(H))\to H$ は各生成元 $h$ を $h\in H$ へ送る準同型である。写像 $a:X'\to X$ の像 $F(a)$ は

U(F(a))\circ\iota_{X'}=\iota_X\circ a

\text{(4.1.1)}

を満たす一意な準同型である。

証明.§E9.2 命題 5.1によって、構成で与えられる $(F(X),\iota_X)$ は普遍射の族である。命題 3.2 (1)により、主張の随伴と unit を得る。命題 3.2 (1)で構成した関手の射への作用は、式 (4.1.1)の射の一意性によって、自由群関手の射への作用に一致する。counit は恒等写像 $U(H)\to U(H)$ の一意な延長なので、主張の値をもつ。三角恒等式は命題 2.4によって成り立つ。具体的には $U(\varepsilon_H)\circ\iota_{U(H)}=\mathrm{id}$ であり、 $\varepsilon_{F(X)}\circ F(\iota_X)$ は各生成元を元に戻すため恒等準同型である。▨

命題 4.2. 集合 $A$ を固定する。このとき、関手 $F(X)=X\times A$ 、 $F(u)=u\times\mathrm{id}_A$ と $G(Y)=Y^A$ 、 $G(v)(g)=v\circ g$ は、 $\Phi(f)(x)(a)=f(x,a)$ によって随伴する。unit は $\eta_X(x)(a)=(x,a)$ 、counit は $\varepsilon_Y(g,a)=g(a)$ である。 $F$ が充満忠実であることは、 $A$ が一点集合であるための必要十分条件である。

$A$ が一点集合ならすべての $\eta_X$ は全単射である。
$A=\varnothing$ なら、二点集合 $X$ において $\eta_X$ は単射でない。
$A$ が二点以上を含むなら、一点集合 $X$ において $\eta_X$ は全射でない。

証明. $\Psi(g)(x,a)=g(x)(a)$ と置けば $\Psi\Phi(f)=f$ 、 $\Phi\Psi(g)=g$ である。 $u:X'\to X$ 、 $v:Y\to Y'$ に対し、式 (1.1.1)の両辺を $x'\in X'$ と $a\in A$ で評価すると、どちらも $v(f(u(x'),a))$ に一致する。恒等写像を対応させると表示の unit と counit を得る。第一の三角恒等式は $(x,a)\mapsto(\eta_X(x),a)\mapsto(x,a)$ 、第二は $g\mapsto(a\mapsto(g,a))\mapsto(a\mapsto g(a))$ である。

主張 (1)を示す。 $A=\{a_0\}$ なら $\eta_X$ の逆は $h\mapsto\pr_X(h(a_0))$ である。

主張 (2)を示す。 $A=\varnothing$ なら $(X\times A)^A$ は一点集合なので、二点集合 $X$ において $\eta_X$ は単射でない。

主張 (3)を示す。 $A$ が二点以上を含む場合、 $X=\{*\}$ とすると $\eta_X(*)$ は $a\mapsto(*,a)$ であるが、 $a_0\in A$ を固定した定値写像 $a\mapsto(*,a_0)$ はその像に属さない。最後に命題 2.5 (1)を適用する。▨

5 演習

問題 5.1.

$F=G=\mathrm{id}_{\mathbf{Set}}$ とする。 $B=\{0,1\}$ のときだけ二元を交換し、他の集合では恒等写像とする $\sigma_B$ を定める。 $\Phi_{A,B}(f)=\sigma_B\circ f$ が第一変数に自然な全単射であるが、第二変数には自然でないことを示せ。

解答.

$\sigma_B$ は全単射であり、 $\Phi(f\circ a)=\sigma_B\circ f\circ a=\Phi(f)\circ a$ である。一点集合 $S=\{*\}$ と $b:S\to\{0,1\}$ 、 $b(*)=0$ を取ると、 $\Phi(b\circ\mathrm{id}_S)(*)=1$ だが $b\circ\Phi(\mathrm{id}_S)(*)=0$ である。

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問題 5.2.

命題 3.2 (1)を証明せよ。

解答.

$G(\mathrm{id})\circ\eta_A=\eta_A$ より一意性から $F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}$ である。 $a:A'\to A$ 、 $a':A''\to A'$ に対し $G(F(a)\circ F(a'))\circ\eta_{A''}=\eta_A\circ a\circ a'$ なので、同じ一意性から $F(a\circ a')=F(a)\circ F(a')$ である。普遍性は $\Phi(f)=G(f)\circ\eta_A$ の全単射性そのものである。さらに $\Phi(f\circ F(a))=G(f)\circ\eta_A\circ a$ と $\Phi(b\circ f)=G(b)\circ\Phi(f)$ が成り立つので補題 1.2より随伴になる。 $\Phi(\mathrm{id}_{F(A)})=\eta_A$ から unit も一致する。各 $F(a)$ は一意な射として定まるので、この構成は射の選択を用いない。

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問題 5.3.

随伴において $a:A'\to A$ に対し $\Phi(F(a))=\eta_A\circ a$ を示し、命題 2.5 (1)を証明せよ。
命題 2.5 (2)を双対性から導け。counit の全成分が同型射なら $G$ が忠実であることを直接にも示せ。

解答.

第一変数の自然性から $\Phi(F(a))=\Phi(\mathrm{id}_{F(A)})\circ a=\eta_A\circ a$ である。したがって $F$ が充満忠実であることは、すべての $X,A$ に対し $a\mapsto\eta_A\circ a$ が $\operatorname{Hom}(X,A)\to\operatorname{Hom}(X,GF(A))$ の全単射であることと同値である。 $\eta_A$ が同型ならこの条件は成り立つ。逆に $X=GF(A)$ での全射性から $\eta_A\circ r=\mathrm{id}$ を満たす $r:GF(A)\to A$ を得る。 $X=A$ での単射性と $\eta_A\circ r\circ\eta_A=\eta_A$ から $r\circ\eta_A=\mathrm{id}$ を得る。
$G^{\mathrm{op}}\dashv F^{\mathrm{op}}$ の unit は $\varepsilon$ なので、命題 2.5 (1)を反対圏に適用する。 $G$ が忠実であることを直接に示す。 $b:B\to B'$ が $b=\varepsilon_{B'}\circ FG(b)\circ\varepsilon_B^{-1}$ を満たすため、 $G(b)$ が $b$ を一意に決める。

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問題 5.4.

命題 3.6を証明せよ。群の忘却関手に適用し、 $F(\{*\})$ と $\Z$ の同型を求めよ。

解答.

$x\in G(B)$ を $*\mapsto x$ という写像とみなすと、随伴と式 (2.2.1)により $G(f)(e)=x$ を満たす射 $f:F(\{*\})\to B$ がただ一つ存在する。したがって $e$ は普遍元であり、§E9.7 命題 4.3により $f\mapsto G(f)(e)$ は主張の自然同型になる。群では $F(\{*\})$ は一つの生成元をもつ自由群である。§E9.7 例 5.1の $(\Z,1)$ も同じ忘却関手の普遍元なので、§E9.7 命題 4.4により生成元を $1$ に送る同型で両者が対応する。

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問題 5.5.

$A=\{a_0\}$ のとき、直積と写像集合の随伴の両関手、対応、unit、counit を具体的に求めよ。

解答.

$F(X)=\{(x,a_0):x\in X\}$ 、 $F(u)(x,a_0)=(u(x),a_0)$ であり、 $G(Y)$ は $\{a_0\}$ から $Y$ への写像の集合、 $G(v)(g)=v\circ g$ である。対応は $f\mapsto(x\mapsto(a_0\mapsto f(x,a_0)))$ 、unit は $x\mapsto(a_0\mapsto(x,a_0))$ 、counit は $(g,a_0)\mapsto g(a_0)$ である。射影と $a_0$ での評価によって両関手を恒等関手と同一視すると、対応、unit、counit はすべて恒等写像になる。

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§E9.10随伴

1 随伴と自然性

2 unit・counit と三角恒等式

3 普遍射

4 例

5 演習

参考文献

前提記事