§E9.12極限・余極限の計算

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極限と余極限は普遍性で定まるが、その具体的な構成は圏ごとに異なる。位相空間の圏では、集合としての極限と余極限にそれぞれ始位相と終位相を入れることで、もとの図式の極限と余極限を得る。群の圏でも極限の台集合は集合の圏の極限になるが、余極限の台集合は一般には集合の圏の余極限にならない。たとえば、二つの位数22の巡回群の余積は無限群である自由積となり、四元集合である台集合の余積とは異なる。本記事では、集合、群、線形空間、位相空間、前順序集合の圏で極限と余極限を計算する。

1 集合

命題 1.1.VV-小な図式D:J→SetD:\mathcal J\to\mathbf{Set}について、次の構成が極限と余極限を与える。このとき、次が成り立つ。

  1. 極限は、すべてのu:i→ju:i\to jに対してD(u)(xi)=xjD(u)(x_i)=x_jを満たす族(xj)j∈∏jD(j)(x_j)_j\in\prod_jD(j)の集合と成分射影である。
  2. 余極限は、直和∐jD(j)\coprod_jD(j)を、すべてのu:i→ju:i\to jとx∈D(i)x\in D(i)に対する(i,x)∼(j,D(u)(x))(i,x)\sim(j,D(u)(x))が生成する同値関係で割った集合と標準写像である。
  3. 二写像f,g:A→Bf,g:A\to Bの coequalizer は、すべてのa∈Aa\in Aについてf(a)∼g(a)f(a)\sim g(a)とする最小の同値関係による商B→B/∼B\to B/{\sim}である。
  4. f:C→Xf:C\to X、g:C→Yg:C\to Yの pushout は、X⊔YX\sqcup Yにおいて各f(c)f(c)とg(c)g(c)を同一視して得る商と標準写像である。

証明.主張 (1)は§E9.6 命題 5.4により、主張 (2)は§E9.6 命題 5.5により成り立つ。主張 (3)は§E9.6 命題 3.6により、主張 (4)は§E9.6 命題 4.7により成り立つ。▨

2 群

命題 2.1.VV-小な集合IIで添字づけた群の族(Gi)i∈I(G_i)_{i\in I}に対し、台集合の直積に成分ごとの演算を入れた群∏iGi\prod_iG_iと成分射影は、Grp\mathbf{Grp}の直積である。

証明.§E9.6 命題 2.12による。▨

命題 2.2. 準同型f,g:G→Hf,g:G\to Hに対し、E={a∈G:f(a)=g(a)}E=\{a\in G:f(a)=g(a)\}はGGの部分群であり、包含e:E→Ge:E\to Gはf,gf,gの equalizer である。

証明.1∈E1\in Eであり、a,b∈Ea,b\in Eならf(ab−1)=f(a)f(b)−1=g(a)g(b)−1=g(ab−1)f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=g(a)g(b)^{-1}=g(ab^{-1})なのでab−1∈Eab^{-1}\in Eである。f∘t=g∘tf\circ t=g\circ tを満たす準同型t:K→Gt:K\to GはEEに値をとる。終域をEEに制限した写像は準同型であり、包含との合成がttとなる射はこの写像に限る。▨

命題 2.3.Grp\mathbf{Grp}は完備である。VV-小な図式D:J→GrpD:\mathcal J\to\mathbf{Grp}の極限は、D(u)(xi)=xjD(u)(x_i)=x_jをすべてのu:i→ju:i\to jについて満たす族の集合に成分ごとの演算を入れた群と成分射影である。

証明.§E9.6 定理 5.2に、群の直積と equalizer を適用する。§E9.6 定理 5.2の構成の二準同型は(xj)j(x_j)_jをそれぞれ(D(u)(xi))u(D(u)(x_i))_uと(xj)u(x_j)_uへ送るので、その equalizer は主張の部分群である。▨

命題 2.4. 自明群{e}\{e\}はGrp\mathbf{Grp}の零対象である。

証明. 任意の群から{e}\{e\}への準同型も、{e}\{e\}から任意の群への準同型も一つだけである。▨

注意 2.5. 零対象が存在しても、各 Hom に加法が備わるとは限らない。例えば群の圏は零対象をもつが、次の二群の直積は余積ではない。

命題 2.6.A=B=Z/2ZA=B=\Z/2\Zとする。このとき、座標埋め込みκA(a)=(a,0)\kappa_A(a)=(a,0)、κB(b)=(0,b)\kappa_B(b)=(0,b)を備えたA×BA\times BはGrp\mathbf{Grp}の余積ではない。

証明.A,BA,Bの非単位元を、それぞれ対称群S3S_3の互換(12),(23)(12),(23)に送る準同型を取る。座標部分群の元は互いに可換であるため、これらを延長する準同型A×B→S3A\times B\to S_3があれば(12)(12)と(23)(23)は可換である。しかし、右側から置換を適用すると(12)(23)(1)=2(12)(23)(1)=2、(23)(12)(1)=3(23)(12)(1)=3であり、可換しない。▨

命題 2.7.A=B=Z/2ZA=B=\Z/2\Zについて次が成り立つ。

  1. 自由積A∗BA*Bは無限群である。
  2. 位数44の群A×BA\times Bは、入射をどのように与えてもA,BA,Bの余積にはならない。
  3. 忘却関手U:Grp→SetU:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}はこの余積を保たない。

証明.主張 (1)を示す。非単位元a∈A,b∈Ba\in A,b\in Bに対し、語(ab)n(ab)^nは長さ2n2nの交互簡約語である。§E7.9 定義 2.3の構成では異なる長さの語は異なる元なので自由積は無限である。

主張 (2)を示す。自由積は§E7.9 定理 2.5による余積であり、他の余積はこれと同型でなければならない。位数44の群とは同型にならないため、どの入射を備えても余積にはならない。

主張 (3)は§E9.11 命題 5.2 (2)による。集合の余積U(A)⊔U(B)U(A)\sqcup U(B)は44元であり、自由積の台集合は無限集合である。▨

注意 2.8. 二群の自由積は、各群の演算を保ちつつ、両群の間には可換性を課さない余積である。ここで用いた交互簡約語の構成は二群の余積を与える。

3 線形空間

命題 3.1. 体kkと、VV-小な集合IIで添字づけたkk-線形空間の族(Wi)i(W_i)_iを与える。このとき、台集合の直積に成分ごとの和とスカラー倍を入れた線形空間∏iWi\prod_iW_iと成分射影は、Vectk\mathbf{Vect}_kの直積である。

証明.kk-線形空間は左kk-加群であるから、§E6.2 命題 6.3をR=kR=kに適用する。▨

命題 3.2. 体kk上の線形空間のVV-小な族(Wi)i(W_i)_iに対し、∏iWi\prod_iW_iの有限台の元全体⨁iWi\bigoplus_iW_iは部分空間であり、ii成分にだけ元を入れる写像ιi:Wi→⨁iWi\iota_i:W_i\to\bigoplus_iW_iとともにVectk\mathbf{Vect}_kの余積である。

証明.§E6.2 命題 6.5をR=kR=kに適用する。▨

命題 3.3. 体kk上の線形空間のVV-小な族(Wi)i∈I(W_i)_{i\in I}と座標埋め込みκi:Wi→∏iWi\kappa_i:W_i\to\prod_iW_iに対し、θ∘ιi=κi\theta\circ\iota_i=\kappa_iを満たす一意な線形写像θ:⨁iWi→∏iWi\theta:\bigoplus_iW_i\to\prod_iW_iは包含写像である。IIが有限ならθ\thetaは恒等写像であり、(∏iWi,(κi))(\prod_iW_i,(\kappa_i))も余積である。

証明. 包含写像は各ιi\iota_iとの合成がκi\kappa_iなので、余積の一意性によってθ\thetaに一致する。IIが有限ならすべての族の台が有限であり、直和と直積は同じ空間である。▨

命題 3.4. 体kkに対し、定数族(k)i∈N≥0(k)_{i\in\N}について命題 3.3の標準射θ:⨁i∈N≥0k→∏i∈N≥0k\theta:\bigoplus_{i\in\N}k\to\prod_{i\in\N}kは全射でない。座標埋め込みを備えた∏i∈N≥0k\prod_{i\in\N}kは、この族の余積ではない。

証明. 定数11の族は無限台なのでθ\thetaの像に属さない。直積も指定された埋め込みについて余積なら、余積の一意性によって埋め込みと両立する同型が直和から直積へ存在する。その射はθ\thetaの一意性によってθ\thetaに等しく、非全射性に反する。▨

命題 3.5. 体kk上の線形写像f,g:W→W′f,g:W\to W'に対し、ker⁡(f−g)\ker(f-g)とその包含は equalizer である。

証明.§E6.3 命題 3.2の equalizer の構成をR=kR=kに適用する。▨

系 3.6. 体kkに対し、Vectk\mathbf{Vect}_kは完備である。

証明. 直積と equalizer の存在に§E9.6 定理 5.2を適用する。得られる錐は§E6.3 定理 2.2のR=kR=kの場合であり、§E6.3 定理 2.2の普遍性とVectk\mathbf{Vect}_kの極限の普遍性は、同じ線形写像の一意な分解を述べている。構成はVV-小な直積の部分空間なので、得られる空間はVVに属する。▨

4 位相空間

命題 4.1.J\mathcal JをVV-小圏、D:J→TopD:\mathcal J\to\mathbf{Top}を図式、U:Top→SetU:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}を忘却関手とする。このとき、次が成り立つ。

  1. UDUDの集合としての極限(L,(πj))(L,(\pi_j))のLLに、族(πj)j(\pi_j)_jによる始位相を入れると、射影とともにDDの極限になる。
  2. UDUDの集合としての余極限(Q,(ιj))(Q,(\iota_j))のQQに、族(ιj)j(\iota_j)_jによる終位相を入れると、入射とともにDDの余極限になる。

証明.主張 (1)を示す。始位相の定義により各πj\pi_jは連続であり、錐の等式は台写像の等式として成り立つ。DDへの錐(ψj:X→D(j))j(\psi_j:X\to D(j))_jに対し、集合の極限の普遍性からπj∘t=ψj\pi_j\circ t=\psi_jを満たす一意な写像t:U(X)→Lt:U(X)\to Lを得る。各合成πj∘t\pi_j\circ tが連続なので§E2.12 定理 3.4によりttは連続である。一意性は台写像の一意性から従う。

主張 (2)を示す。終位相の定義により各ιj\iota_jは連続であり、余錐の等式は台写像の等式として成り立つ。任意の余錐(φj:D(j)→Y)j(\varphi_j:D(j)\to Y)_jから、集合の普遍性によりt∘ιj=φjt\circ\iota_j=\varphi_jを満たす一意な写像t:Q→U(Y)t:Q\to U(Y)を得る。各合成t∘ιjt\circ\iota_jが連続なので§E2.12 定理 3.10によりttは連続である。一意性は台写像の一意性から従う。

位相はそれぞれP(L)\mathcal P(L)、P(Q)\mathcal P(Q)の部分集合なので、L,Q∈VL,Q\in Vなら得られる位相空間もVVの元である。▨

系 4.2. 位相空間のVV-小な族(Xi)i(X_i)_iの余積は、直和∐iU(Xi)\coprod_iU(X_i)に、各入射ιi:x↦(i,x)\iota_i:x\mapsto(i,x)の逆像が開となる部分集合を開集合とする位相を入れたものである。

証明. 主張の位相は入射の族の終位相なので命題 4.1 (2)を離散図式に適用する。元の表し方(i,x)(i,x)と入射は§E2.12 定義 7.1の位相的直和と同じである。▨

系 4.3. 連続写像f,g:X→Yf,g:X\to Yの一致集合E={x:f(x)=g(x)}E=\{x:f(x)=g(x)\}に部分空間位相を入れると、包含E→XE\to Xは equalizer である。

証明.§E2.12 命題 4.3によって部分空間位相は包含の始位相であるから、命題 4.1 (1)を適用する。YYへの射影は包含とffの合成である。したがって二つの射影の族の始位相は包含の始位相に一致する。▨

系 4.4. 連続写像f,g:X→Yf,g:X\to Yに対し、f(x)∼g(x)f(x)\sim g(x)が生成する同値関係の商Y/∼Y/{\sim}に商位相を入れると、標準全射Y→Y/∼Y\to Y/{\sim}は coequalizer である。

証明. 集合の coequalizer は§E9.6 命題 3.6によって得られる。商位相は標準全射の終位相なので命題 4.1 (2)を適用する。XXからの構造写像は標準全射とffの合成である。したがって二つの構造写像の族の終位相は標準全射の終位相に一致する。▨

系 4.5. 連続写像f:C→Xf:C\to X、g:C→Yg:C\to Yの pushout は、集合の pushoutQ=(U(X)⊔U(Y))/∼Q=(U(X)\sqcup U(Y))/{\sim}に二つの標準写像の終位相を入れた空間である。この位相は位相的直和X⊔YX\sqcup Yからの商位相に一致する。

証明.命題 4.1 (2)を適用する。商写像をq:X⊔Y→Qq:X\sqcup Y\to Qとすると、O⊆QO\subseteq Qについて、q−1(O)q^{-1}(O)が直和で開であることは両成分への逆像が開であるための必要十分条件である。したがって二つの終位相は一致する。部分空間A⊆YA\subseteq Yと連続写像f ⁣:A→Xf\colon A\to XからX⊔YX\sqcup Yをa∼f(a)a\sim f(a)で割って作る接着空間は、この pushout の特別な場合である。▨

系 4.6. 唯一の位相を入れた一点集合はTop\mathbf{Top}の終対象、空集合は始対象である。

証明. 空図式に命題 4.1を適用する。空の族による始位相は密着位相、終位相は離散位相であり、それぞれ一点集合と空集合では唯一の位相である。▨

系 4.7.Top\mathbf{Top}は完備かつ余完備である。

証明.命題 1.1による集合の構成に命題 4.1を適用する。▨

命題 4.8. 忘却関手U:Top→SetU:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}はVV-小な図式の極限と余極限をすべて保つ。

証明. 構成した極限と余極限の台集合は、集合の極限と余極限そのものである。別の極限は§E9.5 命題 2.3により構成した極限と射影に両立する同型で結ばれる。UUはこの同型を同型へ送るので、別の極限の像も極限である。余極限については§E9.5 命題 2.3 (2)を用いる。▨

注意 4.9. 位相空間の忘却関手は余積も保つが、群の忘却関手は§E9.11 命題 5.2 (2)により余積を保たない。位相空間では、離散位相を与える関手、忘却関手、密着位相を与える関手がこの順に随伴する。随伴の対応は §E9.14 随伴の例 で与える。

5 前順序集合

命題 5.1. 前順序集合(P,≤)(P,\le)の圏では、m∈Pm\in Pが終対象であるための必要十分条件はすべてのx∈Px\in Pについてx≤mx\le mとなることである。n∈Pn\in Pが始対象であるための必要十分条件はすべてのx∈Px\in Pについてn≤xn\le xとなることである。

証明. 対象間の射は高々一つなので、終対象と始対象の普遍性はそれぞれ記された射の存在だけになる。▨

命題 5.2. 前順序集合の圏では、任意の平行二射f,g:x→yf,g:x\to yは等しく、idx:x→x\mathrm{id}_x:x\to xはその equalizer である。

証明.x→yx\to yの射は高々一つなのでf=gf=gである。任意の射t:z→xt:z\to xはidx\mathrm{id}_xを通って一意に分解する。▨

命題 5.3. 半順序集合PPについて次が成り立つ。

  1. PPの圏が完備であるための必要十分条件は、すべてのVV-小な部分集合が下限をもつことである。PPがVV-小なら、これはすべての部分集合が下限をもつという条件である。
  2. 空部分集合の下限は、存在すればPPの最大元である。

証明.主張 (1)を示す。完備なら、各VV-小な部分集合を離散図式とした極限は§E9.5 例 3.3によってその下限である。逆に、VV-小な図式の対象の値の集合はVV-小なので下限をもつ。同じ結果によって、この下限は図式の極限である。

主張 (2)を示す。空集合の下界の条件はすべてのx∈Px\in Pに成り立つため、その最大下界は最大元である。▨

命題 5.4. 前順序集合の圏では次が成り立つ。

  1. xxとyyが同型であるための必要十分条件はx≤yx\le yかつy≤xy\le xである。
  2. 同じ図式の二つの最大下界x,yx,yはこの意味で同型である。
  3. 半順序では同型対象は等しく、下限は一意である。

証明.主張 (1)を示す。双方向の射があれば、各自己射は恒等射しかないので合成は恒等射になる。

主張 (2)は§E9.5 例 3.3 (2)による。

主張 (3)は、同じ§E9.5 例 3.3 (2)と反対称律による。▨

例 5.5.VVの元を対象とし、A⊆BA\subseteq Bのとき射を一つ置く圏を考える。このとき、VV-小な族の上限は和集合であり、非空なVV-小な族の下限は共通部分である。しかし終対象はない。最大対象M∈VM\in Vがあれば、任意のx∈Vx\in Vについて{x}⊆M\{x\}\subseteq Mなのでx∈Mx\in Mである。特にR={x∈M:x∉x}R=\{x\in M:x\notin x\}はVVに属し、R∈MR\in Mとなるが、R∈RR\in RとR∉RR\notin Rが同値になって矛盾する。したがってこの圏は空図式の極限をもたない。

命題 5.6. 集合X∈VX\in V上の位相全体を包含で順序づけると束をなし、次が成り立つ。

  1. 二位相τ,σ\tau,\sigmaの積はτ∩σ\tau\cap\sigmaである。
  2. 両者の余積はτ∪σ\tau\cup\sigmaを含むすべての位相の共通部分である。
  3. 密着位相は始対象、離散位相は終対象である。

証明. 位相の族の共通部分は、空集合と全体集合を含み、有限共通部分と任意の和について閉じているため位相である。したがってτ∩σ\tau\cap\sigmaは最大下界である。両位相を含む位相の族には離散位相が属し、その共通部分は最小上界となる。密着位相はすべての位相に含まれ、離散位相はすべての位相を含む。順序の積と余積の特徴づけから結論を得る。▨

注意 5.7. 固定集合XX上の位相の順序では、射は位相の包含である。位相空間の圏の射は連続写像であり、同じ台集合上の恒等写像(X,τ)→(X,σ)(X,\tau)\to(X,\sigma)が連続であるための必要十分条件はσ⊆τ\sigma\subseteq\tauである。位相の順序の最大・最小は同じ台集合の位相の包含で決まり、Top\mathbf{Top}の始対象・終対象はすべての位相空間との連続写像で決まる。

6 極限の選択

命題 6.1. 群の極限と位相空間の極限・余極限について命題 2.3と命題 4.1の構成は、各VV-小な図式に具体的な極限錐・余極限余錐を対応させ、極限・余極限の選択を与える。このとき、集合と線形空間についても具体的な選択がある。半順序集合では、極限と余極限は存在すれば一意に定まる。

証明. 群ではVV-小な直積の部分群を取る。位相空間では集合の具体的な極限・余極限に始位相・終位相を入れる。直積、部分集合、商集合、冪集合についてのVVの閉包性により、すべての構成は再びVVの元になる。式で与えた構成は図式ごとに一つに定まり、選択公理を使わない。集合と線形空間は§E9.9 命題 2.5を、後者についてはR=kR=kとして用いる。半順序では極限・余極限を与える下限・上限の一意性による。▨

7 演習

問題 7.1.

  1. A={1,2}A=\{1,2\}、B={x,y,z}B=\{x,y,z\}とし、f(1)=x,f(2)=y,g(1)=y,g(2)=zf(1)=x,f(2)=y,g(1)=y,g(2)=zとする。f,g:A→Bf,g:A\to Bの集合としての coequalizer を求めよ。
解答.
  1. 生成される関係はx∼yx\sim yとy∼zy\sim zを含むため、推移律によって三元は一つの同値類になる。商は一点集合である。

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問題 7.2.

  1. 空の族の群の直積を求めよ。
  2. 群A,BA,Bの直積と座標埋め込みが余積であるための必要十分条件は、少なくとも一方が自明群であることであると示せ。A,BA,Bがアーベル群なら、同じ直積がAb\mathbf{Ab}では余積となることを示せ。
解答.
  1. 空の族の直積は空の族を唯一の元とする自明群である。空図式の極限は終対象であり、命題 2.4と整合する。
  2. BBが自明なら座標埋め込みκA:A→A×B\kappa_A:A\to A\times Bは同型射である。任意の群HHと準同型f:A→Hf:A\to Hに対して、h=f∘κA−1h=f\circ\kappa_A^{-1}はh∘κA=fh\circ\kappa_A=fを満たす一意な準同型であり、BBからの準同型との条件も満たす。AAが自明な場合も同様である。両方が非自明ならa≠1a\ne1、b≠1b\ne1を取り、標準入射A,B→A∗BA,B\to A*Bを考える。自由積では語ababとbabaは異なる交互簡約語である。直積の座標元は可換であるので、この二入射を直積からの準同型へ延長することはできない。アーベル群への準同型f:A→Hf:A\to H、g:B→Hg:B\to Hに対しては(a,b)↦f(a)+g(b)(a,b)\mapsto f(a)+g(b)が一意な延長になる。

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問題 7.3.

  1. VV-小な線形空間の族(Wi)i∈I(W_i)_{i\in I}について、直和から直積への標準射が全射であるための必要十分条件は、Wi≠{0}W_i\ne\{0\}となるiiが有限個であることであると示せ。選択公理を用いてよい。
解答.
  1. 非零成分が有限個なら任意の族は有限台である。非零成分の添字集合SSが無限なら、§E1.20 定理 2.1 (1)によって各i∈Si\in Sからwi≠0w_i\ne0を取り、他の成分を零とする。得られた族は台がSSであり、直和には属さない。

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問題 7.4.

  1. f,g:R→Rf,g:\R\to\R、f(x)=x,g(x)=2xf(x)=x,g(x)=2xのTop\mathbf{Top}における coequalizerπ\piを求め、π(0)\pi(0)を含む開集合は商空間全体だけであることを示せ。この商は Hausdorff か。
解答.
  1. y=2nxy=2^nxを満たすn∈Zn\in\Zが存在するときx∼yx\sim yと定める関係は同値関係であり、x∼2xx\sim2xを含む。逆に、x∼2xx\sim2xを含む同値関係はすべての整数nnでx∼2nxx\sim2^nxを含むので、この関係が生成同値関係である。商に商位相を入れたものが系 4.4の構成である。π(0)∈O\pi(0)\in OでOOが開なら、π−1(O)\pi^{-1}(O)はある(−δ,δ)(-\delta,\delta)を含む。任意のx∈Rx\in\Rに対し十分大きいnnで2−nx∈(−δ,δ)2^{-n}x\in(-\delta,\delta)なので、飽和性からx∈π−1(O)x\in\pi^{-1}(O)となる。よってOOは全体である。π(0)≠π(1)\pi(0)\ne\pi(1)であり、π(0)\pi(0)の開近傍は全体だけなので、両点を互いに素な開近傍で分離することはできず、この商は Hausdorff でない。

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問題 7.5.

  1. 半順序集合の圏の余完備性をVV-小な部分集合の上限によって特徴づけ、集合X∈VX\in V上の位相全体がこの条件を満たすことを示せ。
解答.
  1. 命題 5.3を反対順序に適用すれば、余完備であるための必要十分条件はすべてのVV-小な部分集合が上限をもつことである。位相の任意の族に対し、そのすべてを含む位相全体の共通部分が上限になる。候補には離散位相が含まれ、共通部分が位相であることは命題 5.6の証明による。

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参考文献

  1. Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 5, Springer, New York, 1998.具体圏における極限と余極限の構成、および完備性の判定を参考にした。
  2. Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra 1: Basic Category Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 50, Cambridge University Press, 1994.集合の圏における一般の余極限の表示と、位相空間の圏の余極限の構成を参考にした。
  3. Emily Riehl, Category Theory in Context, Dover Publications, 2016. 著者公開版前順序集合を圏とみなしたときの極限と下限の対応を参考にした。

前提記事

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