極限・余極限と自由加群 | 環論入門

1 小圏と加群の図式

定義 1.1 (小圏). 小圏 (small category) $I$ とは、対象の集合、射の集合、各射の始域と終域、および次の合成と恒等射を備えたものである。対象 $i,j$ に対し、始域が $i$ 、終域が $j$ である射の集合を $I(i,j)$ と書く。射 $u\in I(i,j)$ と $v\in I(j,k)$ には合成 $vu\in I(i,k)$ が定まり、合成は結合的である。各対象 $i$ には恒等射 $1_i\in I(i,i)$ があり、任意の $u\in I(i,j)$ に対して $u1_i=u=1_ju$ が成り立つ。

定義 1.2 (加群の図式). $R$ を単位的結合環、 $I$ を小圏とする。左 $R$ 加群の $I$ 上の図式 (diagram) $D$ とは、各対象 $i$ に左 $R$ 加群 $D_i$ を、各射 $u\colon i\to j$ に線形写像 $D(u)\colon D_i\to D_j$ を対応させ、 $D(1_i)=1_{D_i}$ および $D(vu)=D(v)D(u)$ を満たすものである。

二つの図式 $D,E$ の間の射 $a\colon D\to E$ とは、線形写像の族 $a_i\colon D_i\to E_i$ であって、任意の $u\colon i\to j$ に対して $a_jD(u)=E(u)a_i$ を満たすものである。図式の射は成分ごとに合成する。右 $R$ 加群の図式は、左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群の図式である。以下の極限と余極限の構成・普遍性も、 $R^{\mathrm{op}}$ に適用することで右加群に対して成り立つ。

2 極限と余極限の構成

定義 2.1 (錐と極限). $R$ を単位的結合環、 $D$ を小圏 $I$ 上の左 $R$ 加群の図式とする。 $D$ への錐 (cone) とは、左 $R$ 加群 $L$ と線形写像の族 $p_i\colon L\to D_i$ であって、任意の $u\colon i\to j$ に対して $D(u)p_i=p_j$ を満たすものである。

錐 $(L,(p_i))$ が $D$ の極限 (limit) であるとは、任意の錐 $(X,(f_i))$ に対して、すべての $i$ で $p_if=f_i$ を満たす線形写像 $f\colon X\to L$ がただ一つ存在することをいう。極限の加群を $\varprojlim_I D_i$ と書く。

定理 2.2. $R$ を単位的結合環、 $D$ を小圏 $I$ 上の左 $R$ 加群の図式とする。このとき、直積の部分加群

L=\left\{(x_i)\in\prod_{i\in I}D_i\;\middle|\; D(u)(x_i)=x_j\text{（任意の射 }u\colon i\to j\text{）}\right\}

と座標射影の制限 $p_i\colon L\to D_i$ は $D$ の極限である。

証明. 各射 $u\colon i\to j$ について、直積の射影を用いて $D(u)p_i-p_j\colon\prod_iD_i\to D_j$ を取る。§E6.2 命題 6.3により、これらを成分とする射

\partial\colon\prod_iD_i\longrightarrow\prod_{u:i\to j}D_j, \qquad (x_i)_i\longmapsto(D(u)(x_i)-x_j)_u

が定まる。表示した $L$ は $\ker\partial$ であるから、部分加群である。射影の制限は $D(u)p_i=p_j$ を満たす。

錐 $(X,(f_i))$ に直積の普遍性を適用し、各成分が $f_i$ である射 $f\colon X\to\prod_iD_i$ を取る。錐の条件から $\partial f=0$ である。§E6.2 命題 4.4 (1)によって $f$ は $L$ を経由し、直積と核の普遍性の一意性から所要の因子化は一意である。空図式では二つの直積が零加群なので、 $L=0$ である。▨

定義 2.3 (余錐と余極限). $R$ を単位的結合環、 $D$ を小圏 $I$ 上の左 $R$ 加群の図式とする。 $D$ からの余錐 (cocone) とは、左 $R$ 加群 $C$ と線形写像の族 $q_i\colon D_i\to C$ であって、任意の $u\colon i\to j$ に対して $q_jD(u)=q_i$ を満たすものである。

余錐 $(C,(q_i))$ が $D$ の余極限 (colimit) であるとは、任意の余錐 $(X,(g_i))$ に対して、すべての $i$ で $gq_i=g_i$ を満たす線形写像 $g\colon C\to X$ がただ一つ存在することをいう。余極限の加群を $\varinjlim_I D_i$ と書く。

定理 2.4. $R$ を環、 $D$ を小圏 $I$ 上の左 $R$ 加群の図式とする。直和

P=\bigoplus_{i\in I}D_i,\qquad Q=\bigoplus_{u:i\to j}D_i

の標準包含をそれぞれ $\iota_i$ 、 $\jmath_u$ とする。各射 $u\colon i\to j$ について

\delta\jmath_u=\iota_jD(u)-\iota_i

を満たす射 $\delta\colon Q\to P$ を取り、 $q\colon P\to\coker\delta$ を商写像とする。このとき、 $\coker\delta$ と構造写像 $q_i=q\iota_i$ は $D$ の余極限である。空図式の余極限は零加群である。

証明. 各 $\iota_jD(u)-\iota_i$ は左 $R$ 線形であるから、§E6.2 命題 6.5により $\delta$ が一意に定まる。 $q\delta=0$ なので、任意の $u\colon i\to j$ について $q_jD(u)-q_i=q\delta\jmath_u=0$ であり、 $(\coker\delta,(q_i))$ は余錐である。

余錐 $(X,(g_i))$ を取る。直和の普遍性により $\widetilde g\iota_i=g_i$ を満たす射 $\widetilde g\colon P\to X$ が一意に定まる。任意の射 $u\colon i\to j$ について

\widetilde g\delta\jmath_u=g_jD(u)-g_i=0

であるから、直和 $Q$ の普遍性の一意性により $\widetilde g\delta=0$ となる。§E6.2 命題 4.4 (2)により、 $gq=\widetilde g$ を満たす射 $g\colon\coker\delta\to X$ が一意に存在する。 $gq_i=g_i$ である。別の射 $g'$ が $g'q_i=g_i$ を満たせば、直和 $P$ の普遍性から $g'q=\widetilde g$ となり、余核の普遍性から $g'=g$ である。

$I$ が空なら $P=Q=0$ であり、 $\coker\delta=0$ である。▨

命題 2.5. $R$ を単位的結合環、 $D$ を小圏上の左 $R$ 加群の図式とする。このとき、 $D$ の二つの極限の間には、すべての構造写像と可換する同型がただ一つ存在する。二つの余極限についても、すべての構造写像と可換する同型がただ一つ存在する。

証明. 二つの極限を $(L,(p_i))$ 、 $(L',(p'_i))$ とする。普遍性から $p'_if=p_i$ を満たす $f\colon L\to L'$ と、 $p_ig=p'_i$ を満たす $g\colon L'\to L$ が一意に定まる。 $gf$ と $1_L$ はすべての $p_i$ との合成が等しいので $gf=1_L$ であり、同じ一意性を $L'$ に用いると $fg=1_{L'}$ である。

二つの余極限を $(C,(q_i))$ 、 $(C',(q'_i))$ とする。普遍性から $fq_i=q'_i$ を満たす $f\colon C\to C'$ と、 $gq'_i=q_i$ を満たす $g\colon C'\to C$ が一意に定まる。 $(gf)q_i=q_i$ と $(fg)q'_i=q'_i$ から、余極限の一意性によって $gf=1_C$ 、 $fg=1_{C'}$ を得る。▨

命題 2.6. $R$ を単位的結合環、 $a\colon D\to E$ を小圏 $I$ 上の左 $R$ 加群の図式の射とする。極限の構造写像を $p_i^D,p_i^E$ 、余極限の構造写像を $q_i^D,q_i^E$ とする。このとき、

p_i^E(\varprojlim a_i)=a_ip_i^D,\qquad (\varinjlim a_i)q_i^D=q_i^Ea_i

を満たす線形写像 $\varprojlim a_i$ および $\varinjlim a_i$ がそれぞれ一意に定まる。誘導写像は恒等射と合成を保つ。

証明. 族 $(a_ip_i^D)_i$ は $E$ への錐であり、族 $(q_i^Ea_i)_i$ は $D$ からの余錐である。各普遍性から誘導写像が定まる。恒等射からの誘導写像と恒等写像は同じ構造写像との合成をもち、合成からの誘導写像と誘導写像の合成も同じ構造写像との合成をもつので、一意性から一致する。▨

命題 2.7. $R$ を単位的結合環、 $I$ を小圏、 $r$ を非負整数とし、 $D^1,\ldots,D^r$ を $I$ 上の左 $R$ -加群の図式とする。各 $a$ について $L^a=\operatorname{colim}_{i\in I}D_i^a$ とし、構造射を $\lambda_i^a\colon D_i^a\to L^a$ とする。図式 $D$ を

D_i=\bigoplus_{a=1}^rD_i^a, \qquad D(u)=\bigoplus_{a=1}^rD^a(u)

で定める。ここで $u$ は $I$ の任意の射である。余錐 $s_i=\bigoplus_{a=1}^r\lambda_i^a$ が誘導する標準射

\operatorname{colim}_{i\in I}\left(\bigoplus_{a=1}^rD_i^a\right) \longrightarrow \bigoplus_{a=1}^r\operatorname{colim}_{i\in I}D_i^a

は同型である。空の直和は零加群とし、 $I$ が空圏である場合も含む。

証明. $L=\bigoplus_{a=1}^rL^a$ とおき、標準的な包含を $\iota_i^a\colon D_i^a\to D_i$ 、 $j^a\colon L^a\to L$ とする。 $s_i\iota_i^a=j^a\lambda_i^a$ であるから、各 $\lambda^a$ の余錐条件と直和の普遍性§E6.2 命題 6.5より、 $s_i\colon D_i\to L$ は $D$ の余錐をなす。

$M$ を左 $R$ -加群、 $f_i\colon D_i\to M$ を $D$ の任意の余錐とする。各 $a$ について、射の族 $f_i\iota_i^a\colon D_i^a\to M$ は $D^a$ の余錐である。定理 2.4により、一意な射 $g^a\colon L^a\to M$ が存在して、すべての $i$ について $g^a\lambda_i^a=f_i\iota_i^a$ を満たす。直和の普遍性により、一意な射 $g\colon L\to M$ が存在して、すべての $a$ について $gj^a=g^a$ を満たす。各 $i$ と $a$ について

gs_i\iota_i^a=gj^a\lambda_i^a=g^a\lambda_i^a=f_i\iota_i^a

であるから、直和の普遍性の一意性より $gs_i=f_i$ である。

$h\colon L\to M$ がすべての $i$ について $hs_i=f_i$ を満たすとする。各 $a$ と $i$ について

hj^a\lambda_i^a=hs_i\iota_i^a=f_i\iota_i^a=g^a\lambda_i^a

であるから、 $L^a$ の余極限の普遍性の一意性より $hj^a=g^a$ である。直和の普遍性の一意性より $h=g$ となる。したがって $(L,(s_i)_{i\in I})$ は $D$ の余極限である。よって命題 2.5により、標準射は同型である。▨

3 核・余核・引戻し・押出し

命題 3.1. $R$ を単位的結合環、 $D$ を小圏 $I$ 上の左 $R$ 加群の図式とする。このとき、次が成り立つ。

射で添字づけられた直和の標準包含を $\jmath_u$ とすると、線形写像 $\delta\colon\bigoplus_{u:i\to j}D_i\longrightarrow\bigoplus_iD_i, \qquad\delta\jmath_u(x)=\iota_j(D(u)(x))-\iota_i(x)$ の余核は、標準写像とともに $D$ の余極限を与える。
線形写像 $\partial\colon\prod_iD_i\longrightarrow\prod_{u:i\to j}D_j, \qquad\partial((x_i))=(D(u)(x_i)-x_j)_u$ の核は、座標射影とともに $D$ の極限を与える。

証明. 余核による表示は定理 2.4である。核による表示は、定理 2.2の等式 $D(u)(x_i)=x_j$ を $\partial((x_i))=0$ と書いたものである。▨

命題 3.2. $R$ を単位的結合環とする。このとき、左 $R$ 加群の線形写像に対して次の普遍構成が成り立つ。

二射 $f,g\colon A\to B$ の等化子（equalizer）は $\ker(f-g)\hookrightarrow A$ である。すなわち $fh=gh$ を満たす線形写像 $h\colon X\to A$ は、この包含を通じて一意に因子化する。特に $\ker f$ は $f$ と零写像の等化子である。
二射 $f,g\colon A\to B$ の余等化子（coequalizer）は $B\to\coker(f-g)$ である。すなわち $hf=hg$ を満たす線形写像 $h\colon B\to X$ は、この商写像を通じて一意に因子化する。特に $\coker f$ は $f$ と零写像の余等化子である。
二射 $f\colon A\to C$ 、 $g\colon B\to C$ の引戻し（pullback）は $A\times_C B=\{(a,b)\in A\oplus B\mid f(a)=g(b)\}$ と二つの座標射影である。 $fu=gv$ を満たす二射 $u\colon X\to A$ 、 $v\colon X\to B$ は、両座標が $u,v$ であるただ一つの射 $X\to A\times_C B$ を定める。
二射 $f\colon C\to A$ 、 $g\colon C\to B$ の押出し（pushout）は $A\amalg_C B=(A\oplus B)/\{(f(c),-g(c))\mid c\in C\}$ と標準写像である。 $uf=vg$ を満たす二射 $u\colon A\to X$ 、 $v\colon B\to X$ は、標準写像との合成が $u,v$ であるただ一つの射 $A\amalg_C B\to X$ を定める。

等化子と引戻しは、それぞれ二本の平行射の図式と $A\to C\leftarrow B$ の図式の極限である。余等化子と押出しは、それぞれ二本の平行射の図式と $A\leftarrow C\to B$ の図式の余極限である。

証明. $fh=gh$ は $(f-g)h=0$ と同値であり、 $hf=hg$ は $h(f-g)=0$ と同値である。§E6.2 命題 4.4を $f-g$ に適用すると、等化子と余等化子の主張を得る。

引戻しは射 $(f,-g)\colon A\oplus B\to C$ の核である。直積の普遍性により、射 $h\colon X\to A\oplus B$ は二射 $u\colon X\to A$ 、 $v\colon X\to B$ と一対一に対応する。 $(f,-g)h=0$ は $fu=gv$ と同値であるから、核の普遍性が所要の一意因子化を与える。

押出しは射 $(f,-g)\colon C\to A\oplus B$ の余核である。直和の普遍性により、射 $h\colon A\oplus B\to X$ は二射 $u\colon A\to X$ 、 $v\colon B\to X$ と一対一に対応する。 $h(f,-g)=0$ は $uf=vg$ と同値であるから、余核の普遍性が所要の一意因子化を与える。

各図式の錐または余錐の残る成分は、表示した射との合成で定まる。したがって、各因子化の条件は対応する極限または余極限の普遍性である。▨

例 3.3. $\Z$ 加群の射 $f\colon\Z/12\Z\to\Z/8\Z$ を $f(\bar a)=\overline{2a}$ と定める。このとき、 $2\cdot12$ は $8$ の倍数なので、 $f$ は剰余類によらず定まる。 $2a\equiv0\pmod8$ は $4\mid a$ と同値であるため、 $\ker f=\{\bar0,\bar4,\bar8\}\cong\Z/3\Z$ である。一方、 $\im f=\{\bar0,\bar2,\bar4,\bar6\}$ なので、法 $2$ の剰余を取る写像によって $\coker f\cong\Z/2\Z$ を得る。核の包含は $\bar b\mapsto\overline{4b}$ 、余核への射は $\bar a\mapsto a+2\Z$ である。

例 3.4. 二射 $f,g\colon\Z\to\Z$ をそれぞれ $f(a)=2a$ 、 $g(b)=3b$ とする。このとき、図式 $\Z\xrightarrow{f}\Z\xleftarrow{g}\Z$ の引戻しは

\{(a,b)\in\Z^2\mid2a=3b\}=\{(3t,2t)\mid t\in\Z\}

であり、 $t\mapsto(3t,2t)$ により $\Z$ と同型である。したがって、引戻しの二つの射影は、この同型のもとで三倍写像と二倍写像になる。

図式 $\Z\xleftarrow{f}\Z\xrightarrow{g}\Z$ の押出しは $\Z^2/\{(2t,-3t)\mid t\in\Z\}$ である。射 $h\colon\Z^2\to\Z$ を $h(a,b)=3a+2b$ と定めると、 $h(1,-1)=1$ なので全射である。 $3a+2b=0$ は $(a,b)=(2t,-3t)$ と同値であるから、§E6.2 定理 5.1によって押出しも $\Z$ と同型である。この同型のもとで、二つの標準写像は三倍写像と二倍写像になる。

4 自由加群の普遍性

定義 4.1. $R$ を環、 $X$ を集合とする。 $x\in X$ に対して、 $\delta_x\in R^X$ を

\delta_x(y):= \begin{cases} 1_R,&y=x,\\ 0,&y\ne x \end{cases}

によって定める。このとき $\supp(\delta_x)\subseteq\{x\}$ であるから、 $\delta_x\in R^{\oplus X}$ である。族 $(\delta_x)_{x\in X}$ を $R^{\oplus X}$ の標準基底 (standard basis) といい、 $R^{\oplus X}$ を $X$ 上の標準自由左 $R$ 加群 (standard free left $R$ -module) という。

定義 4.2. $R$ を環とする。

左 $R$ 加群 $M$ の下部集合 (underlying set) を $U(M)$ と書く。同じく、左 $R$ 加群の射 $f\colon M\to N$ の下部の写像を $U(f)\colon U(M)\to U(N)$ と書く。左 $R$ 加群の射の列 $M_1\xrightarrow{f} M_2\xrightarrow{g}M_3$ に対して $U(g\circ f) = U(g)\circ U(f)$ が成り立つ。
集合 $X$ に対し、 $\eta_X\colon X\to U(R^{\oplus X})$ で $x\mapsto \delta_x$ により得られる写像を表す。

注意 4.3. $U(-)$ は「加群の構造を忘却する函手 $U$ を適用する」ことを意味する記号であり、他の構造の忘却においてもよく用いられる記号である。また、写像 $\eta$ は集合の圏と左 $R$ 加群の圏の随伴の unit である。これらの用語の一般論は後の単元で紹介する。下部集合と加群を区別する必要がない場合には、下部集合も $M$ で表す。

注意 4.4. $R$ を環、 $M$ を左 $R$ 加群、 $X$ を集合とする。写像 $m\colon X\to U(M)$ のグラフが定める $X$ 上の族について、各 $x\in X$ での値 $m(x)\in U(M)$ を $m_x$ とも書く。

補題 4.5. $R$ を環、 $M$ を左 $R$ 加群、 $X$ を集合とする。このとき、任意の写像 $f\colon X\to U(M)$ に対し、左 $R$ 加群の射 $\tilde{f}\colon R^{\oplus X}\to M$ が存在し、 $f = U(\tilde{f})\circ \eta_X$ が成り立つ。また、このような左 $R$ 加群の射 $\tilde{f}$ は一意的である。この射を $f$ の自由延長 (linear extension) と呼ぶ。

証明. 写像 $f\colon X\to U(M)$ は一意的に左 $R$ 加群の射の族 $(\tilde{f}_x\colon R\to M, r\mapsto rf(x))_{x\in X}$ を定める。したがって、直和の普遍性§E6.2 命題 6.5をこの射の族に適用すると、 $\tilde f$ の存在と一意性を得る。▨

定義 4.6. $R$ を環、 $M$ を左 $R$ 加群、 $I$ を集合、 $m\colon I\to U(M)$ を写像とする。

補題 4.5で対応する左 $R$ 加群の射 $\tilde{m}\colon R^{\oplus I}\to M$ が全射であるとき、 $(m_i)_{i\in I}$ を $M$ の生成系 (generating system) という。
補題 4.5で対応する左 $R$ 加群の射 $\tilde{m}\colon R^{\oplus I}\to M$ が単射であるとき、 $(m_i)_{i\in I}$ は一次独立 (linearly independent) であるという。
補題 4.5で対応する左 $R$ 加群の射 $\tilde{m}\colon R^{\oplus I}\to M$ が同型であるとき、 $(m_i)_{i\in I}$ を $M$ の基底 (basis) という。
$M$ が基底を持つとき、自由左 $R$ 加群 (free left $R$ -module) という。

命題 4.7. $R$ を環、 $X$ を集合とする。このとき、標準基底 $(\delta_x)_{x\in X}$ は $R^{\oplus X}$ の基底であり、 $R^{\oplus X}$ は自由左 $R$ 加群である。

証明. 標準基底に補題 4.5で対応する左 $R$ 線形写像 $R^{\oplus X}\to R^{\oplus X}$ は、各 $\delta_x$ を $\delta_x$ へ送る。恒等写像がこの条件を満たすため、普遍性の一意性によって、この写像は恒等写像である。したがって同型であり、標準基底は基底である。▨

例 4.8.

$X=\varnothing$ の場合、 $R^{\oplus X}$ は零加群である。
$R$ が零環の場合にもこの定義は有効である。この場合はどのような集合 $X$ をとっても $R^X = R^{\oplus X} \cong R = 0$ である。特に零環上の一意的な加群は自由加群である。
$k$ を（可換な）体とすると、任意の $k$ -線形空間は基底を持つので、自由加群である。

例 4.9. $R$ を環、 $X=\{u,v\}$ とし、 $M$ を左 $R$ 加群とする。 $m,n\in M$ を任意に選び、 $g(u)=m$ 、 $g(v)=n$ と定める。このとき、普遍性に対応する写像は

\overline g\colon R^{\oplus X}\longrightarrow M, \qquad a\delta_u+b\delta_v\longmapsto am+bn

である。 $R$ が非可換であっても、係数を基底元とその像の左から掛ける順序は変わらない。

定義 4.10. 右 $R$ 加群 $F$ の元の族 $(e_x)_{x\in X}$ が $F$ の基底 (basis of a right module) であるとは、任意の $m\in F$ に対して、有限台をもつ係数関数 $a\colon X\to R$ で

m=\sum_{x\in X}e_xa(x)

を満たすものがただ一つ存在することをいう。基底をもつ右 $R$ 加群を自由右 $R$ 加群 (free right R-module) という。

集合 $X$ に対して、有限台関数の全体 $R^{(X)}$ に成分ごとの加法と $(ar)(x):=a(x)r$ による右 $R$ 作用を入れたものを、 $X$ 上の自由右 $R$ 加群という。標準元の族 $(\delta_x)_{x\in X}$ はその基底である。

系 4.11. $M$ を右 $R$ 加群、 $X$ を集合とする。このとき、任意の写像 $f\colon X\to M$ に対して、 $\widetilde f(\delta_x)=f(x)$ を満たす右 $R$ 線形写像 $\widetilde f\colon R^{(X)}\to M$ が一意に存在し、

\widetilde f\left(\sum_x\delta_xa_x\right)=\sum_x f(x)a_x

で与えられる。右加群の生成系・一次独立な族・基底は、この射がそれぞれ全射・単射・同型となる族である。

証明.補題 4.5と定義 4.6を $R^{\mathrm{op}}$ に適用する。左 $R^{\mathrm{op}}$ 作用を右 $R$ 作用で書き直すと、表示した式になる。同型であることは、各元が標準元の有限和として一意に表されることに等しいため、右基底の定義とも一致する。▨

補題 4.12. $R$ を環、 $J$ を集合、 $(F_j)_{j\in J}$ を自由左 $R$ 加群の族とする。このとき、直和 $\bigoplus_{j\in J}F_j$ は自由左 $R$ 加群である。

証明. 演習とする（問題 9.1）。▨

5 生成部分加群と生成イデアル

定義 5.1. $M$ を左 $R$ 加群、 $(m_i)_{i\in I}$ を $M$ の元の族とし、 $\widetilde m\colon R^{\oplus I}\to M$ をこの族の自由延長とする。

像 $\im\widetilde m$ を族から生成される部分加群 (submodule generated by a family) といい、 $\operatorname{span}(m)$ 、 $\langle m\rangle$ または $\langle m_i\mid i\in I\rangle$ と書く。部分集合 $S\subseteq M$ に対しても、包含写像 $S\hookrightarrow M$ に対応する像を $\operatorname{span}(S)$ または $\langle S\rangle$ と書く。有限族の場合には $\langle m_1,\ldots,m_n\rangle$ または $\operatorname{span}(m_1,\ldots,m_n)$ と書く。

右加群では、右自由延長の像として生成部分加群を定義する。

命題 5.2. $M$ を左 $R$ 加群、 $(m_i)_{i\in I}$ をその元の族とする。このとき

\langle m_i\mid i\in I\rangle =\left\{\sum_{i\in F}a_im_i\ \middle|\ F\subseteq I\text{ は有限集合},\ a_i\in R\right\}

であり、この部分加群はすべての $m_i$ を含む最小の部分加群である。右 $R$ 加群では、同じ主張が有限和 $\sum_{i\in F}m_ia_i$ について成り立つ。空族の生成する部分加群は零加群である。したがって、族が生成系であるための必要十分条件は、各元がその族の有限一次結合として表されることである。添字の重複を許す有限列による和も、同じ添字の係数を加えることによって同じ部分加群を表す。

証明. 左自由延長は $\sum_i a_i\delta_i$ を $\sum_i a_im_i$ へ送るため、その像は表示した有限和全体である。各 $m_i$ は $\delta_i$ の像なので、この部分加群に属する。すべての $m_i$ を含む部分加群は左作用と加法について閉じるため、表示した有限和をすべて含む。右加群の場合には系 4.11の式を用いる。空族からの自由延長の始域は零加群である。▨

命題 5.3. 環 $R$ の部分集合 $X\subseteq R$ に対して

RX:=\left\{ \sum_{k=1}^n r_kx_k \ \middle|\ n\ge 0,\ r_k\in R,\ x_k\in X \right\},

XR:=\left\{ \sum_{k=1}^n x_kr_k \ \middle|\ n\ge 0,\ r_k\in R,\ x_k\in X \right\},

RXR:=\left\{ \sum_{k=1}^n r_kx_ks_k \ \middle|\ n\ge 0,\ r_k,s_k\in R,\ x_k\in X \right\}

と置く。 $n=0$ の和は $0$ と解釈する。このとき、 $RX$ は $X$ を含む最小の左イデアル、 $XR$ は $X$ を含む最小の右イデアル、 $RXR$ は $X$ を含む最小の両側イデアルである。

$X=\{x\}$ の場合には、それぞれ $Rx$ 、 $xR$ 、 $RxR$ と書く。 $RxR$ は有限個の $rxs$ の和全体を表す。両側生成イデアル $RXR$ を $(X)$ とも書く。特に有限集合 $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ では $(x_1,\ldots,x_n)$ と書く。 $R$ が可換なら $RX=XR=RXR$ である。

証明.命題 5.2を左正則加群と右正則加群に適用すると、それぞれ $RX$ と $XR$ の表示および最小性を得る。

$RXR$ は、右イデアル $xR$ （ $x\in X$ ）の元すべてから生成される左部分加群である。したがって加法部分群であり、左作用で閉じる。任意の $a\in R$ に対して

\left(\sum_k r_kx_ks_k\right)a=\sum_k r_kx_k(s_ka)\in RXR

であるから、右作用についても閉じる。各 $x\in X$ は $1_Rx1_R$ と書かれるので $RXR$ に属する。 $X$ を含む両側イデアルは各 $r_kx_ks_k$ とその有限和を含むため、 $RXR$ は最小である。▨

6 自由加群の射と行列

例 6.1. $R$ を環、 $n,m$ を非負整数とし、 $f\colon R^n\to R^m$ を左 $R$ 加群の射とする。このとき $R^n = R^{\oplus\{1,\cdots, n\}}$ であり、 $1 \leq i \leq n$ に対し、 $\delta_i\in R^n$ は $i$ 番目の座標だけ $1$ で他の座標は $0$ であるような元となる。特に $(\delta_i)_{i=1}^n$ は $R^n$ の標準基底である。各 $1 \leq i \leq n$ に対し、 $f(\delta_i) = (r^1_i,\cdots,r^m_i)\in R^m$ となる $r^j_i\in R$ , ( $j=1,\cdots,m$ ) が一意的に存在する。 $R^n$ と $R^m$ の元を行ベクトルで表し、 $A:=(r_i^j)\in\operatorname{Mat}_{n\times m}(R)$ と置くと、

f(a_1,\ldots,a_n) =(a_1,\ldots,a_n)A =\left(\sum_{i=1}^n a_i r_i^j\right)_{j=1}^m

となる。非可換環の場合にも、係数 $a_i$ は行列成分 $r_i^j$ の左にあり、積の順序を変更しない。右加群の準同型を行列で表す場合には、係数を列ベクトルで表して行列を左から掛ける。

命題 6.2. $R$ を環、 $m,n$ を非負整数とし、 $A=(a_{ij})\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$ とする。このとき、行ベクトル $x=(x_1,\ldots,x_m)\in R^m$ に対して、通常の行列積

(xA)_j:=\sum_{i=1}^m x_i a_{ij} \qquad(1\le j\le n)

によって定まる写像 $R^m\to R^n$ 、 $x\mapsto xA$ は左 $R$ 線形である。逆に、任意の左 $R$ 線形写像 $f\colon R^m\to R^n$ は、一意な $A\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$ によって $f(x)=xA$ と表される。

さらに、非負整数 $p$ 、 $B\in\operatorname{Mat}_{n\times p}(R)$ および任意の $x\in R^m$ に対して

(xA)B=x(AB)

であり、 $m$ 次単位行列 $I_m$ に対して $xI_m=x$ である。 $m=0$ または $n=0$ の場合にも、空の行列と空の和によって同じ主張が成り立つ。

右自由加群では元を列ベクトルで表す。任意の右 $R$ 線形写像 $R^m\to R^n$ は一意な $A\in\operatorname{Mat}_{n\times m}(R)$ によって $x\mapsto Ax$ と表される。 $B\in\operatorname{Mat}_{p\times n}(R)$ に対して、後合成は $x\mapsto B(Ax)=(BA)x$ であり、零行・零列の場合も空和によって定まる。

証明.例 6.1により、任意の環上の自由左加群の射は、一意な右行列積として表される。逆に、 $A$ の第 $i$ 行を標準基底 $e_i$ の像に指定し、補題 4.5を適用すると、 $f(x)=xA$ を満たす左 $R$ 線形写像を得る。

任意の $1\leq k\leq p$ に対して、有限和の結合順序を変更すると

\begin{aligned} ((xA)B)_k &=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^m x_i a_{ij}\right)b_{jk}\\ &=\sum_{i=1}^m x_i\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}\right)\\ &=(x(AB))_k \end{aligned}

となる。したがって $(xA)B=x(AB)$ である。単位行列については $(xI_m)_j=x_j$ となる。右加群の場合には、 $A$ の第 $i$ 列を $\delta_i$ の像として系 4.11を適用する。この自由延長は $\sum_i\delta_i x_i$ を $\sum_i(A\delta_i)x_i=Ax$ へ送る。各列が標準元の像であるため、 $A$ は一意である。行列積の結合律から $B(Ax)=(BA)x$ となる。左右いずれの場合も、行数または列数が零なら空の標準基底と空和によって各等式が成り立つ。▨

7 持上げと生成元・関係式

系 7.1. $R$ を環、 $p\colon M\to N$ を左 $R$ 加群の全射、 $X$ を集合とする。このとき、任意の左 $R$ 加群の射 $f\colon R^{\oplus X}\to N$ に対し、ある左 $R$ 加群の射 $g\colon R^{\oplus X}\to M$ が存在し、 $f = p\circ g$ が成り立つ。任意の自由左 $R$ 加群を始域とする射についても同じ主張が成り立ち、右加群についても成り立つ。

証明. $p$ の全射性と選択公理により、各 $x\in X$ に対して $p(m_x)=f(\delta_x)$ を満たす $m_x\in M$ を取る。補題 4.5により、 $g(\delta_x)=m_x$ を満たす射 $g$ が一意に定まる。 $pg$ と $f$ はすべての標準元で一致するから、同じ普遍性の一意性により $pg=f$ である。

任意の自由加群の場合は、基底に対応する標準自由加群との同型を合成する。右加群の場合は $R^{\mathrm{op}}$ に適用する。▨

定理 7.2. $R$ を環、 $M$ を左 $R$ 加群とする。任意の生成系 $(m_x)_{x\in X}$ に対応する射 $\pi\colon R^{\oplus X}\to M$ に対し、 $K=\ker\pi$ と置く。このとき、 $K$ の任意の生成系 $(k_y)_{y\in Y}$ から、

u\colon R^{\oplus Y}\longrightarrow R^{\oplus X},\qquad u(\delta_y)=k_y

が定まり、 $\im u=\ker\pi$ および $\coker u\cong M$ となる。任意の左 $R$ 加群にはこのような表示が存在する。

族 $(m_x)$ を生成元 (generator)、各 $k_y=\sum_x a_{yx}\delta_x$ に対応する等式 $\sum_x a_{yx}m_x=0$ を関係式 (relation) と呼び、 $R^{\oplus Y}\xrightarrow{u}R^{\oplus X}\xrightarrow{\pi}M$ を $M$ の自由表示 (free presentation) という。各 $y$ について、零でない $a_{yx}$ は有限個である。

任意の左 $R$ 加群 $N$ に対して、射 $M\to N$ は、すべての $y\in Y$ について $\sum_x a_{yx}n_x=0$ を満たす族 $(n_x)_{x\in X}$ と、 $m_x\mapsto n_x$ によって一対一に対応する。

証明. $K$ の生成系に対応する自由延長 $R^{\oplus Y}\to K$ と包含射 $K\hookrightarrow R^{\oplus X}$ を合成して $u$ を定める。前者が全射なので、 $\im u=K=\ker\pi$ である。 $\pi$ も全射であるから、§E6.2 定理 5.1により

\coker u=R^{\oplus X}/K\cong M

を得る。存在については、 $X=U(M)$ と $m_x=x$ を取り、 $Y=U(K)$ と $k_y=y$ を取ればよい。各元は自分自身を標準元の像としてもつため、両族は生成系である。

族 $(n_x)$ は自由加群の普遍性により一意な射 $v\colon R^{\oplus X}\to N$ を定める。このとき、

vu(\delta_y)=v(k_y)=\sum_x a_{yx}n_x

である。自由加群の普遍性の一意性から、すべての関係式が成り立つことと $vu=0$ は同値である。余核の普遍性により、 $vu=0$ を満たす射 $v$ は、一意な射 $M\cong\coker u\to N$ に対応する。▨

系 7.3. 任意の右 $R$ 加群 $M$ に対して、自由右 $R$ 加群 $F_0,F_1$ と右 $R$ 線形写像

F_1\xrightarrow{u}F_0\xrightarrow{\pi}M

であって、 $\pi$ が全射であり $\im u=\ker\pi$ を満たすものが存在する。したがって $\coker u\cong M$ である。具体的には $F_0=R^{(U(M))}$ とし、 $\pi(\delta_m)=m$ 、 $F_1=R^{(U(\ker\pi))}$ および $u(\delta_k)=k$ とすることができる。

生成元 $(m_x)$ と関係式 $\sum_xm_xa_{xy}=0$ を指定した右自由表示では、射 $M\to N$ は、すべての関係式 $\sum_xn_xa_{xy}=0$ を満たす族 $(n_x)$ と一対一に対応する。

証明.定理 7.2を反対環 $R^{\mathrm{op}}$ に適用する。左 $R^{\mathrm{op}}$ 作用を右 $R$ 作用に戻すと、係数は生成元の右側に置かれる。標準元の像による $\pi$ と $u$ の指定は系 4.11によって右 $R$ 線形写像を定める。▨

8 Gauss 整数環の商表示

例 8.1. $M_2(\Z)$ の単位行列を $I_2$ とし、

J:= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}

と置く。このとき、 $J^2=-I_2$ である。行列環 $M_2(\Z)$ の中に

\Z[i] :=\{aI_2+bJ\mid a,b\in\Z\} \subseteq M_2(\Z)

を定める。 $a,b,c,d\in\Z$ に対して

\begin{aligned} (aI_2+bJ)+(cI_2+dJ)&=(a+c)I_2+(b+d)J,\\ -(aI_2+bJ)&=(-a)I_2+(-b)J,\\ (aI_2+bJ)(cI_2+dJ)&=(ac-bd)I_2+(ad+bc)J \end{aligned}

である。また、零行列は $0I_2+0J$ 、 $M_2(\Z)$ の単位元は $I_2=1I_2+0J$ である。したがって $\Z[i]$ は加法、加法逆元および乗法について閉じ、行列環と同じ単位元を含む部分環である。

さらに

aI_2+bJ= \begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}

であるから、 $aI_2+bJ=0$ ならば行列成分の比較によって $a=b=0$ となる。したがって $\Z[i]$ の各元の表示 $aI_2+bJ$ は一意である。

環準同型

\iota\colon\Z\longrightarrow\Z[i], \qquad n\longmapsto nI_2

の像は $J$ と可換である。§E6.1 例 8.4の行列への評価を $B=J$ として用いると、 $X$ を $J$ へ写す環準同型

\operatorname{ev}_J\colon\Z[X]\longrightarrow\Z[i], \qquad \sum_{n\ge0}a_nX^n\longmapsto\sum_{n\ge0}a_nJ^n

が一意に定まる。この写像は $a+bX$ を $aI_2+bJ$ へ写すため全射である。また、

\ker(\operatorname{ev}_J)=(X^2+1)

である。

$f(X)=\sum_{n\ge0}a_nX^n$ とし、有限和

A:=\sum_{k\ge0}(-1)^ka_{2k}, \qquad B:=\sum_{k\ge0}(-1)^ka_{2k+1}

を考える。 $J^{2k}=(-1)^kI_2$ および $J^{2k+1}=(-1)^kJ$ であるから、 $\operatorname{ev}_J(f)=AI_2+BJ$ である。上で証明した表示の一意性により、 $\operatorname{ev}_J(f)=0$ と $A=B=0$ は同値である。

$k\ge1$ に対する恒等式

X^{2k}-(-1)^k =(X^2+1)\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^jX^{2(k-1-j)}

と、その両辺へ $X$ を掛けた恒等式から、 $X^{2k}-(-1)^k$ と $X^{2k+1}-(-1)^kX$ はともに $X^2+1$ の倍数である。したがって

\begin{aligned} f(X)-(A+BX) ={}&\sum_{k\ge0}a_{2k}\bigl(X^{2k}-(-1)^k\bigr)\\ &+\sum_{k\ge0}a_{2k+1}\bigl(X^{2k+1}-(-1)^kX\bigr) \end{aligned}

は $(X^2+1)$ に属する。 $\operatorname{ev}_J(f)=0$ ならば $A=B=0$ であるため、 $f\in(X^2+1)$ となる。逆に、 $J^2+I_2=0$ であるから $\operatorname{ev}_J(X^2+1)=0$ であり、 $(X^2+1)\subseteq\ker(\operatorname{ev}_J)$ となる。よって核の等式が成り立つ。

§E6.2 定理 10.3を適用すると、

\Z[X]/(X^2+1)\cong\Z[i]

を得る。

9 演習

問題 9.1.補題 4.12を証明せよ。

解答.

各 $j\in J$ に対して基底 $e_j\colon I_j\to U(F_j)$ を取り、 $I:=\coprod_{j\in J}I_j$ とおく。写像 $e\colon I\to U\bigl(\bigoplus_jF_j\bigr)$ を $(j,i)\mapsto \iota_j(e_j(i))$ で定める。台を各 $I_j$ へ制限する分解から左 $R$ 加群の標準的な同型 $R^{\oplus I}\cong\bigoplus_jR^{\oplus I_j}$ が得られ、この同型と直和の射 $\bigoplus_j\tilde{e_j}$ の合成は、各標準元 $\delta_{(j,i)}$ を $\iota_j(e_j(i))$ へ送る。補題 4.5の一意性より、この合成は $\tilde{e}$ に等しい。各 $\tilde{e_j}$ は同型であるから、成分ごとの逆射を束ねることで $\bigoplus_j\tilde{e_j}$ も同型であり、したがって $\tilde{e}$ は同型である。よって $e$ は $\bigoplus_jF_j$ の基底であり、直和は自由左 $R$ 加群である。▨

問題 9.2.

例 8.1の $\operatorname{ev}_J$ に対して、 $f(X)=X^5+2X^4+3X^3+4X^2+5X+6$ を $A+BX$ と $X^2+1$ の倍数との和に分解し、 $\operatorname{ev}_J(f)$ を求めよ。一般の多項式 $g$ についても $g-(A_g+B_gX)\in(X^2+1)$ を確認し、この事実と表示の一意性から $\ker(\operatorname{ev}_J)=(X^2+1)$ を導け。第一同型定理による同型で $X+(X^2+1)$ が写る元も求めよ。

解答.

与えられた $f$ では $A=6-4+2=4$ 、 $B=5-3+1=3$ であり、 $f(X)=(X^2+1)(X^3+2X^2+2X+2)+(4+3X)$ となる。したがって $\operatorname{ev}_J(f)=4I_2+3J$ である。一般の $g(X)=\sum_{n\ge0}a_nX^n$ に対し、 $A_g=\sum_{k\ge0}(-1)^ka_{2k}$ 、 $B_g=\sum_{k\ge0}(-1)^ka_{2k+1}$ と置く。例 8.1の偶数次と奇数次の項についての恒等式を $g$ に適用すると、 $g-(A_g+B_gX)\in(X^2+1)$ である。また、同例の評価式から $\operatorname{ev}_J(g)=A_gI_2+B_gJ$ である。表示の一意性により、 $\operatorname{ev}_J(g)=0$ ならば $A_g=B_g=0$ となるため、 $g\in(X^2+1)$ である。逆に $J^2+I_2=0$ から $(X^2+1)\subseteq\ker(\operatorname{ev}_J)$ であり、核は $(X^2+1)$ に等しい。 $\operatorname{ev}_J$ は全射なので、§E6.2 定理 10.3を適用すると $\Z[X]/(X^2+1)\cong\Z[i]$ を得る。この同型は $X+(X^2+1)$ を $J$ へ写す。

▨

問題 9.3.例 8.1の Gauss 整数環において $i:=J$ と書く。多項式 $h(X)=X^5+2X^2-3$ を $X^2+1$ の倍数と次数が $1$ 以下の多項式との和に分解せよ。また、商環 $\Z[X]/(X^2+1)$ における $h$ の剰余類と、Gauss 整数環への同型による像を求めよ。

解答.

恒等式

X^5-X=X(X^4-1)=(X^2+1)(X^3-X), \qquad 2X^2+2=2(X^2+1)

を加えると、

h(X)-(X-5)=(X^2+1)(X^3-X+2)

となる。したがって

h(X)=(X^2+1)(X^3-X+2)+(X-5)

であり、 $X^2+1$ による剰余は $X-5$ である。商環での剰余類は

h(X)+(X^2+1)=(X-5)+(X^2+1)

である。例 8.1の同型は $X+(X^2+1)$ を $J=i$ に、整数 $n$ の剰余類を $nI_2$ に写すため、 $h$ の剰余類の像は $i-5I_2$ 、すなわち Gauss 整数 $i-5$ である。▨

問題 9.4. 二射 $\Z\to\Z$ をともに二倍写像とする。図式 $\Z\leftarrow\Z\to\Z$ の押出し $P$ と、その二つの標準写像を求めよ。さらに、任意のアーベル群 $A$ に対して $P\to A$ を指定するための条件を、二つの元の関係式として記せ。

解答.

命題 3.2 (4)により $P=\Z^2/\{(2t,-2t)\mid t\in\Z\}$ である。射

h\colon\Z^2\longrightarrow\Z\oplus\Z/2\Z, \qquad h(a,b)=(a+b,b+2\Z)

は全射である。実際、 $(n,\bar b)$ に対し $h(n-b,b)=(n,\bar b)$ である。 $h(a,b)=0$ は $a=-b$ かつ $b$ が偶数であることと同値なので、 $\ker h=\{(2t,-2t)\mid t\in\Z\}$ である。第一同型定理により $P\cong\Z\oplus\Z/2\Z$ となる。二つの標準写像は、この同型のもとで $a\mapsto(a,\bar0)$ と $b\mapsto(b,\bar b)$ である。

$P$ は二つの生成元 $e_1,e_2$ と関係式 $2e_1-2e_2=0$ で表示される。定理 7.2により、射 $P\to A$ は $2x=2y$ を満たす二元 $x,y\in A$ と一対一に対応する。▨

§E6.3極限・余極限と自由加群

1 小圏と加群の図式

2 極限と余極限の構成

3 核・余核・引戻し・押出し

4 自由加群の普遍性

5 生成部分加群と生成イデアル

6 自由加群の射と行列

7 持上げと生成元・関係式

8 Gauss 整数環の商表示

9 演習

参考文献

前提記事