加群の複体とホモロジー | 環論入門

1 鎖複体とホモロジー

定義 1.1. $R$ を単位元をもつ結合環とする。左 $R$ -加群の族 $(C_n)_{n\in\Z}$ と左 $R$ -線形写像の族

d_n^C\colon C_n\longrightarrow C_{n-1}\qquad(n\in\Z)

の組が、すべての $n\in\Z$ に対して

d_n^C\circ d_{n+1}^C=0

を満たすとき、組 $C=(C_n,d_n^C)_{n\in\Z}$ を左 $R$ -加群の鎖複体 (chain complex) という。写像 $d_n^C$ を微分 (differential) といい、 $C_n$ の元の次数を $n$ とする。微分は次数を $1$ 下げる。

\cdots\longrightarrow C_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}^C} C_n\xrightarrow{d_n^C}C_{n-1}\longrightarrow\cdots

定義 1.2. 左 $R$ -加群の鎖複体 $C$ と整数 $n$ に対して

Z_n(C):=\ker d_n^C,\qquad B_n(C):=\im d_{n+1}^C

とおく。 $Z_n(C)$ の元を次数 $n$ のサイクル (cycle)、 $B_n(C)$ の元を次数 $n$ の境界 (boundary) という。

補題 1.3. 左 $R$ -加群の鎖複体 $C$ の各整数次数 $n$ において、 $Z_n(C)$ と $B_n(C)$ は $C_n$ の左部分加群であり、

B_n(C)\subseteq Z_n(C)

が成り立つ。

証明.§E6.2 命題 4.2により、 $Z_n(C)$ と $B_n(C)$ は $C_n$ の左部分加群である。任意の $x\in C_{n+1}$ に対して

d_n^C\bigl(d_{n+1}^C(x)\bigr)=0

であるから、 $d_{n+1}^C(x)\in Z_n(C)$ である。したがって $B_n(C)\subseteq Z_n(C)$ である。▨

定義 1.4. 左 $R$ -加群の鎖複体 $C$ と整数 $n$ に対して、商左 $R$ -加群

H_n(C):=Z_n(C)/B_n(C)

を $C$ の第 $n$ ホモロジー加群 (homology module) という。サイクル $z\in Z_n(C)$ の剰余類 $[z]:=z+B_n(C)$ を $z$ のホモロジー類 (homology class) という。商写像を $q_n^C\colon Z_n(C)\to H_n(C)$ と書く。

補題 1.3の包含により、この商加群は定まる。サイクル $z,z'$ に対して $[z]=[z']$ であることは、 $z-z'=d_{n+1}^C(x)$ を満たす $x\in C_{n+1}$ が存在することと同値である。特に $[z]=0$ であることと $z$ が境界であることは同値である。

例 1.5. 左 $\Z$ -加群の鎖複体 $C$ を

C_2=\Z,\qquad C_1=\Z^2,\qquad C_0=\Z,

d_2^C(t)=(2t,0),\qquad d_1^C(x,y)=3y

で定め、指定していない次数の加群と微分はすべて零とする。このとき、写像 $d_2^C,d_1^C$ は $\Z$ -線形であり、 $d_1^C(d_2^C(t))=0$ を満たす。したがって、 $C$ は鎖複体である。

$d_2^C$ は単射であるから $Z_2(C)=0$ である。次数 $1$ では

Z_1(C)=\Z\times\{0\},\qquad B_1(C)=2\Z\times\{0\}

である。したがって、 $[(x,0)]\mapsto x+2\Z$ は $H_1(C)$ から $\Z/2\Z$ への同型を与える。この写像は商の普遍性によって定まり、逆写像は $x+2\Z\mapsto[(x,0)]$ である。次数 $0$ では $d_0^C=0$ であるから $Z_0(C)=\Z$ であり、 $B_0(C)=3\Z$ である。したがって

H_1(C)\cong\Z/2\Z,\qquad H_0(C)=\Z/3\Z, \qquad H_n(C)=0\quad(n\ne0,1)

を得る。サイクル $(1,0)$ は境界ではないが、 $2(1,0)=d_2^C(1)$ は境界である。

例 1.6. $R$ を単位元をもつ結合環、 $a\in R$ とする。 $C_1=C_0=R$ 、 $d_1^C(r)=ra$ とおき、指定していない次数の加群と微分を零とする。このとき、右乗法 $r\mapsto ra$ は加法を保ち、 $r,s\in R$ に対して

d_1^C(sr)=(sr)a=s(ra)=s\,d_1^C(r)

を満たすため左 $R$ -線形である。よって $C$ は左 $R$ -加群の鎖複体であり、

H_1(C)=\{r\in R\mid ra=0\},\qquad H_0(C)=R/Ra, \qquad H_n(C)=0\quad(n\ne0,1)

である。 $Ra$ は左イデアルであるから、 $R/Ra$ は商左加群として定まる。

2 複体の射と誘導準同型

定義 2.1. $C,D$ を同じ環 $R$ 上の左加群の鎖複体とする。左 $R$ -線形写像の族 $f=(f_n\colon C_n\to D_n)_{n\in\Z}$ が、すべての $n\in\Z$ に対して

d_n^D\circ f_n=f_{n-1}\circ d_n^C

を満たすとき、 $f\colon C\to D$ を鎖写像 (chain map) または鎖複体の射という。恒等写像の族 $(\id_{C_n})_{n\in\Z}$ を $\id_C$ と書く。鎖写像 $f\colon C\to D$ と $g\colon D\to E$ の合成を $(g\circ f)_n:=g_n\circ f_n$ で定める。

補題 2.2. 同じ環 $R$ 上の左加群の鎖複体について、恒等写像の族 $\id_C$ と鎖写像の合成は鎖写像である。合成は結合律と恒等則を満たす。

証明. 各 $n\in\Z$ に対して $d_n^C\circ\id_{C_n}=\id_{C_{n-1}}\circ d_n^C$ である。鎖写像 $f\colon C\to D$ と $g\colon D\to E$ に対しては

d_n^E\circ g_n\circ f_n =g_{n-1}\circ d_n^D\circ f_n =g_{n-1}\circ f_{n-1}\circ d_n^C

であるため、 $g\circ f$ も鎖写像である。結合律と恒等則は各次数の写像の合成について成り立つ。▨

補題 2.3. 左 $R$ -加群の鎖写像 $f\colon C\to D$ と任意の整数 $n$ に対して

f_n(Z_n(C))\subseteq Z_n(D),\qquad f_n(B_n(C))\subseteq B_n(D)

が成り立つ。特に制限写像 $Z_n(f)\colon Z_n(C)\to Z_n(D)$ 、 $z\mapsto f_n(z)$ は左 $R$ -線形である。

証明. $z\in Z_n(C)$ に対して

d_n^D(f_n(z))=f_{n-1}(d_n^C(z))=0

であるから、 $f_n(z)\in Z_n(D)$ である。また、 $x\in C_{n+1}$ に対して

f_n(d_{n+1}^C(x))=d_{n+1}^D(f_{n+1}(x))\in B_n(D)

である。制限写像 $Z_n(f)$ の左 $R$ -線形性は $f_n$ の左 $R$ -線形性から従う。▨

命題 2.4. 左 $R$ -加群の鎖写像 $f\colon C\to D$ と任意の整数 $n$ に対して、左 $R$ -線形写像

H_n(f)\colon H_n(C)\longrightarrow H_n(D)

であって

H_n(f)\circ q_n^C=q_n^D\circ Z_n(f)

を満たすものが一意に存在する。この写像は

H_n(f)([z])=[f_n(z)]\qquad(z\in Z_n(C))

で与えられる。さらに、左 $R$ -加群の鎖写像 $g\colon D\to E$ に対して

H_n(\id_C)=\id_{H_n(C)},\qquad H_n(g\circ f)=H_n(g)\circ H_n(f)

が成り立つ。

証明. 合成 $q_n^D\circ Z_n(f)\colon Z_n(C)\to H_n(D)$ は左 $R$ -線形である。補題 2.3により $Z_n(f)$ は $B_n(C)$ を $B_n(D)$ に送るため、 $q_n^D\circ Z_n(f)$ は $B_n(C)$ を零に送る。§E6.2 命題 4.3を適用すると、要求された等式を満たす左 $R$ -線形写像 $H_n(f)$ が一意に存在する。 $q_n^C(z)=[z]$ であるから、この等式を $z\in Z_n(C)$ に適用すると $H_n(f)([z])=[f_n(z)]$ を得る。

$Z_n(\id_C)=\id_{Z_n(C)}$ であり、 $\id_{H_n(C)}\circ q_n^C=q_n^C$ である。したがって誘導写像の一意性により $H_n(\id_C)=\id_{H_n(C)}$ である。

鎖写像 $g\colon D\to E$ に対して、制限写像は $Z_n(g\circ f)=Z_n(g)\circ Z_n(f)$ を満たす。よって

\begin{aligned} \bigl(H_n(g)\circ H_n(f)\bigr)\circ q_n^C &=H_n(g)\circ q_n^D\circ Z_n(f)\\ &=q_n^E\circ Z_n(g)\circ Z_n(f)\\ &=q_n^E\circ Z_n(g\circ f). \end{aligned}

誘導写像の一意性により $H_n(g\circ f)=H_n(g)\circ H_n(f)$ である。▨

定義 2.5 (非輪状複体と擬同型). $R$ を単位的結合環とする。左 $R$ -加群の鎖複体 $C_\bullet$ が

H_n(C_\bullet)=0\qquad(n\in\Z)

を満たすとき、 $C_\bullet$ は非輪状 (acyclic) であるという。左 $R$ -加群の鎖複体の間の鎖写像 $f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が、すべての $n\in\Z$ に対して同型

H_n(f_\bullet)\colon H_n(C_\bullet)\longrightarrow H_n(D_\bullet)

を誘導するとき、 $f_\bullet$ を擬同型 (quasi-isomorphism) という。

例 2.6. 正整数 $m$ に対して、左 $\Z$ -加群の鎖複体 $C(m)$ を、次数 $1$ と $0$ に置いた写像

\Z\xrightarrow{\times m}\Z

によって定め、ほかの次数の加群と微分を零とする。このとき、 $m$ 倍写像の核は零、像は $m\Z$ である。したがって、 $H_0(C(m))=\Z/m\Z$ であり、ほかの次数のホモロジーは零である。

$f\colon C(2)\to C(4)$ を $f_1=\id_{\Z}$ 、 $f_0=\times2$ で定め、 $g\colon C(4)\to C(2)$ を $g_1=\times2$ 、 $g_0=\id_{\Z}$ で定める。ほかの次数の写像は零とする。次数 $1$ の鎖写像の条件はそれぞれ

4t=2(2t),\qquad 2(2t)=4t\qquad(t\in\Z)

であり、ほかの次数の条件は両辺が零であるため成り立つ。誘導写像は

\begin{aligned} H_0(f)\colon\Z/2\Z&\longrightarrow\Z/4\Z,& x+2\Z&\longmapsto2x+4\Z,\\ H_0(g)\colon\Z/4\Z&\longrightarrow\Z/2\Z,& x+4\Z&\longmapsto x+2\Z \end{aligned}

となる。 $H_0(f)$ は単射であり、 $H_0(g)$ は全射である。合成 $g\circ f$ は次数 $1,0$ のいずれでも二倍写像である。一方、ホモロジーへの誘導写像は

H_0(g\circ f)=H_0(g)\circ H_0(f)=0

である。一方、 $H_0(f\circ g)$ は $\Z/4\Z$ の二倍写像であり、 $1+4\Z$ を非零元 $2+4\Z$ へ送る。

3 有向余極限とホモロジー

命題 3.1. $R$ を単位的結合環、 $I$ を空でない有向集合とし、 $(C_{\bullet,i})_{i\in I}$ を左 $R$ -加群の鎖複体と鎖写像からなる有向系とする。各次数の余極限に微分から誘導される写像を入れた鎖複体を

C_\bullet=\varinjlim_{i\in I}C_{\bullet,i}

とし、標準鎖写像を $\iota_i\colon C_{\bullet,i}\to C_\bullet$ と書く。このとき、任意の $n\in\Z$ に対して、 $H_n(\iota_i)$ から誘導される標準射

\theta_n\colon\varinjlim_{i\in I}H_n(C_{\bullet,i}) \longrightarrow H_n(C_\bullet)

は同型である。この同型は有向系の間の鎖写像に関して自然である。

証明. $C_n=\varinjlim_i C_{n,i}$ とおく。微分 $d_{n,i}\colon C_{n,i}\to C_{n-1,i}$ は遷移射と可換であるので、余極限の普遍性によって $d_n\colon C_n\to C_{n-1}$ を誘導する。各 $i\in I$ に対して $d_{n-1}d_n\iota_{n,i}=\iota_{n-2,i}d_{n-1,i}d_{n,i}=0$ であるから、同じ普遍性の一意性によって $d_{n-1}d_n=0$ である。したがって $C_\bullet$ は鎖複体であり、各 $\iota_i$ は鎖写像である。命題 2.4により、 $H_n(\iota_i)$ は遷移射と両立し、 $\theta_n$ を誘導する。

$n\in\Z$ を固定し、各 $i\in I$ に対して

Z_{n,i}=\ker d_{n,i},\qquad B_{n,i}=\im d_{n+1,i}

とおく。遷移鎖写像は輪体と境界を保つため、次の二つの短完全列は $I$ 上の図式の短完全列をなす。

0\longrightarrow Z_{n,i}\longrightarrow C_{n,i} \xrightarrow{d_{n,i}}B_{n-1,i}\longrightarrow0,

0\longrightarrow B_{n,i}\longrightarrow Z_{n,i} \longrightarrow H_n(C_{\bullet,i})\longrightarrow0.

$\overline Z_n=\varinjlim_i Z_{n,i}$ 、 $\overline B_n=\varinjlim_i B_{n,i}$ とおく。有向集合を射が高々一つの圏とみなすとフィルター圏となるので、§E6.9 定理 9.1により

0\longrightarrow\overline Z_n\longrightarrow C_n \longrightarrow\overline B_{n-1}\longrightarrow0,

0\longrightarrow\overline B_n\longrightarrow\overline Z_n \longrightarrow\varinjlim_i H_n(C_{\bullet,i})\longrightarrow0

はいずれも完全である。

微分 $d_n$ は、これらの完全列から得られる射の合成

C_n\longrightarrow\overline B_{n-1} \longrightarrow\overline Z_{n-1}\longrightarrow C_{n-1}

に等しい。実際、各 $C_{n,i}$ からの標準射との合成は、どちらも $\iota_{n-1,i}d_{n,i}$ である。後ろの二射が単射であるため、最初の短完全列により $\overline Z_n$ は $\ker d_n$ と同定される。また、次数 $n+1$ の最初の短完全列において $C_{n+1}\to\overline B_n$ は全射であるから、 $\overline B_n\to C_n$ の像は $\im d_{n+1}$ である。したがって、二番目の短完全列から同型

\varinjlim_i H_n(C_{\bullet,i}) \cong\overline Z_n/\overline B_n \cong\ker d_n/\im d_{n+1} =H_n(C_\bullet)

を得る。各 $Z_{n,i}$ からの射と合成すると、この同型は輪体 $z\in Z_{n,i}$ の類を $\iota_{n,i}(z)$ の類へ送る。ゆえに、この同型は標準射 $\theta_n$ に一致する。

同じ $I$ 上の有向系の間の射 $f_i\colon C_{\bullet,i}\to D_{\bullet,i}$ をとり、誘導される鎖写像を $f\colon\varinjlim_i C_{\bullet,i}\to\varinjlim_i D_{\bullet,i}$ とする。標準鎖写像について $f\iota_i^C=\iota_i^D f_i$ が成り立つ。命題 2.4を適用し、余極限の普遍性の一意性を用いると

H_n(f)\theta_n^C =\theta_n^D\bigl(\varinjlim_i H_n(f_i)\bigr)

を得る。これは $\theta_n$ の自然性を示す。▨

注意 3.2.§E6.12 例 19.3では、単射 $\times2\colon\Z\to\Z$ が $-\otimes_{\Z}(\Z/2\Z)$ によって零写像へ移る。この計算により、右完全性だけでは単射が保存されないことが分かる。本命題の証明では、 $\overline B_{n-1}\to C_{n-1}$ の単射性を用いて微分の核を同定する。その同定の段階で有向余極限の完全性を必要とする。

4 余鎖複体とコホモロジー

定義 4.1. $R$ を単位元をもつ結合環とする。左 $R$ -加群の族 $(A^n)_{n\in\Z}$ と左 $R$ -線形写像の族 $\delta_A^n\colon A^n\to A^{n+1}$ が、すべての $n\in\Z$ に対して

\delta_A^{n+1}\circ\delta_A^n=0

を満たすとき、組 $A=(A^n,\delta_A^n)_{n\in\Z}$ を左 $R$ -加群の余鎖複体 (cochain complex) という。微分 $\delta_A^n$ は次数を $1$ 上げる。

\cdots\longrightarrow A^{n-1}\xrightarrow{\delta_A^{n-1}} A^n\xrightarrow{\delta_A^n}A^{n+1}\longrightarrow\cdots

余鎖複体 $A,B$ に対して、左 $R$ -線形写像の族 $u=(u^n\colon A^n\to B^n)_{n\in\Z}$ が $\delta_B^n\circ u^n=u^{n+1}\circ\delta_A^n$ を満たすとき、 $u\colon A\to B$ を余鎖写像 (cochain map) または余鎖複体の射という。

$Z^n(A):=\ker\delta_A^n$ の元を次数 $n$ のコサイクル (cocycle)、 $B^n(A):=\im\delta_A^{n-1}$ の元を次数 $n$ のコバウンダリ (coboundary) という。両者は左部分加群であり、 $\delta_A^n\circ\delta_A^{n-1}=0$ から $B^n(A)\subseteq Z^n(A)$ が成り立つ。商左 $R$ -加群

H^n(A):=Z^n(A)/B^n(A)

を第 $n$ コホモロジー加群 (cohomology module) という。 $z\in Z^n(A)$ の類を $[z]$ 、商写像を $q_A^n\colon Z^n(A)\to H^n(A)$ と書く。

命題 4.2. 左 $R$ -加群の余鎖複体 $A$ に対して

C_n:=A^{-n},\qquad d_n^C:=\delta_A^{-n}\qquad(n\in\Z)

とおくと、 $C$ は鎖複体であり、 $Z_n(C)=Z^{-n}(A)$ 、 $B_n(C)=B^{-n}(A)$ および $H_n(C)=H^{-n}(A)$ が成り立つ。

余鎖写像 $u\colon A\to B$ は、各整数次数 $n$ で左 $R$ -線形写像

H^n(u)\colon H^n(A)\longrightarrow H^n(B),\qquad [z]\longmapsto[u^n(z)]

を誘導する。この写像は $H^n(u)\circ q_A^n=q_B^n\circ(u^n|_{Z^n(A)})$ により一意に定まり、恒等写像と合成を保つ。

証明. $d_n^C=\delta_A^{-n}$ の値域は $A^{-n+1}=C_{n-1}$ であり、

d_n^C\circ d_{n+1}^C =\delta_A^{-n}\circ\delta_A^{-n-1}=0

である。よって $C$ は鎖複体である。核と像を取ると

Z_n(C)=\ker\delta_A^{-n}=Z^{-n}(A),\qquad B_n(C)=\im\delta_A^{-n-1}=B^{-n}(A)

となり、両者の商も一致する。この次数反転では微分そのものを変えず、符号を付け加えない。

$D_n=B^{-n}$ 、 $d_n^D=\delta_B^{-n}$ 、 $f_n=u^{-n}$ とおく。余鎖写像の条件から

d_n^D\circ f_n =\delta_B^{-n}\circ u^{-n} =u^{-n+1}\circ\delta_A^{-n} =f_{n-1}\circ d_n^C

であるから、 $f\colon C\to D$ は鎖写像である。命題 2.4を次数 $-n$ に適用し、 $H^n(u):=H_{-n}(f)$ とおけば、要求された表示と一意性を得る。次数反転は恒等写像の各成分を変えず、 $(v\circ u)^{-n}=v^{-n}\circ u^{-n}$ を満たすため、ホモロジーの関手性の恒等則と合成則から $H^n(\id_A)=\id_{H^n(A)}$ および $H^n(v\circ u)=H^n(v)\circ H^n(u)$ が従う。▨

5 演習

問題 5.1. 各 $n\in\Z$ について $C_n=\Z/8\Z$ とし、微分 $d_n^C$ を四倍写像とする。 $C$ が鎖複体であることを示し、各次数のホモロジーを求めよ。また、各次数の二倍写像で定まる鎖写像 $f\colon C\to C$ がホモロジーに誘導する写像を求めよ。

解答.

四倍写像は $\Z$ -線形であり、連続する二つの微分の合成は十六倍写像である。 $16x+8\Z=0+8\Z$ であるから、 $C$ は鎖複体である。任意の整数 $n$ に対して

Z_n(C)=\{0+8\Z,2+8\Z,4+8\Z,6+8\Z\},\qquad B_n(C)=\{0+8\Z,4+8\Z\}

である。写像

Z_n(C)\longrightarrow\Z/2\Z,\qquad 2k+8\Z\longmapsto k+2\Z

は代表元によらない。実際、 $2k+8\Z=2\ell+8\Z$ ならば $k-\ell\in4\Z$ である。加法と整数倍を保つため、この写像は全射な $\Z$ -線形写像である。核は $B_n(C)$ に等しい。商の普遍性によって誘導される写像の逆を $k+2\Z\mapsto[2k+8\Z]$ で定めることができるため、 $H_n(C)\cong\Z/2\Z$ である。

二倍写像と四倍写像は可換であるから、 $f$ は鎖写像である。サイクル $2k+8\Z$ の像は $4k+8\Z\in B_n(C)$ である。したがって、 $H_n(f)=0$ である。一方、 $f_n(1+8\Z)=2+8\Z\ne0$ であるから、 $f_n$ 自体は零写像ではない。▨

問題 5.2. 左 $\Z$ -加群の鎖複体 $C$ を $C_1=C_0=\Z$ 、 $d_1^C=\times2$ で定め、ほかの次数の加群と微分を零とする。 $D$ は次数 $0$ にだけ $\Z$ を置いた複体、 $E$ は次数 $1$ にだけ $\Z$ を置いた複体とし、両複体の微分はすべて零とする。

$i\colon D\to C$ を $i_0=\id_{\Z}$ 、 $p\colon C\to E$ を $p_1=\id_{\Z}$ で定め、ほかの次数の写像を零とする。 $i,p$ が鎖写像であることを示せ。各 $i_n$ は単射、各 $p_n$ は全射であるにもかかわらず、 $H_0(i)$ は単射ではなく、 $H_1(p)$ は全射ではないことを示せ。

解答.

$i$ の鎖写像の条件のうち次数 $1$ の条件は $d_1^C\circ i_1=i_0\circ d_1^D=0$ であり、ほかの次数でも両辺が零である。 $p$ については $d_1^E\circ p_1=p_0\circ d_1^C=0$ であり、ほかの次数でも両辺が零である。したがって $i,p$ は鎖写像である。

$i_0$ は恒等写像であり、 $n\ne0$ では $D_n=0$ であるため、各 $i_n$ は単射である。 $p_1$ は恒等写像であり、 $n\ne1$ では $E_n=0$ であるため、各 $p_n$ は全射である。

$D$ の微分がすべて零であるため $H_0(D)=\Z$ であり、 $H_0(C)=\Z/2\Z$ である。誘導写像 $H_0(i)$ は $x\mapsto x+2\Z$ であるから、非零元 $2$ を零へ送り、単射ではない。 $D$ の次数 $0$ の元 $2$ は $D$ では境界ではないが、その像は $C$ では $d_1^C(1)$ という境界になる。

二倍写像 $\Z\to\Z$ は単射であるため $H_1(C)=0$ であり、 $H_1(E)=\Z$ である。よって $H_1(p)$ は $0\to\Z$ という写像であり、全射ではない。 $E_1$ のサイクル $1$ の $p_1$ による逆像は $C_1$ の元 $1$ だけであり、 $d_1^C(1)=2\ne0$ であるため、この逆像はサイクルではない。▨

§E6.33加群の複体とホモロジー

1 鎖複体とホモロジー

2 複体の射と誘導準同型

3 有向余極限とホモロジー

4 余鎖複体とコホモロジー

5 演習

前提記事