融合積と HNN 拡大 | 群論入門

定義 1.1. 群 $A,B,C$ と単射準同型 $\iota_A\colon C\to A$ 、 $\iota_B\colon C\to B$ を取る。自由積 $A*B$ の標準準同型を $j_A,j_B$ とし、

N=\bigl\langle\!\bigl\langle j_A(\iota_A(c))j_B(\iota_B(c))^{-1}\mid c\in C \bigr\rangle\!\bigr\rangle

を、表示された元をすべて含む最小の正規部分群とする。群 $G=(A*B)/N$ を、この二つの単射準同型に沿う融合積 (amalgamated free product) といい、 $A*_C B$ と書く。商写像と $j_A,j_B$ の合成を $q_A\colon A\to G$ 、 $q_B\colon B\to G$ と書く。また、 $q_C=q_A\iota_A=q_B\iota_B$ とする。ここで最小の正規部分群は、指定された元を含む正規部分群の交わりとして存在する。

命題 1.2. 融合積 $G=A*_C B$ と群 $Q$ を取る。準同型 $f_A\colon A\to Q$ 、 $f_B\colon B\to Q$ が $f_A\iota_A=f_B\iota_B$ を満たすならば、 $f q_A=f_A$ 、 $f q_B=f_B$ を満たす準同型 $f\colon G\to Q$ がただ一つ存在する。

証明.§E7.9 定理 2.5により、 $f_A,f_B$ を延長する準同型 $\widetilde f\colon A*B\to Q$ がただ一つ存在する。任意の $c\in C$ について $\widetilde f(j_A(\iota_A(c))j_B(\iota_B(c))^{-1})=1$ なので、 $N\subseteq\ker\widetilde f$ である。§E7.7 定理 2.4により、 $\widetilde f$ は $G$ 上の準同型を一意に誘導する。 $G$ は $q_A(A)$ と $q_B(B)$ で生成されるため、所定の制限を持つ準同型はこの一つに限られる。▨

命題 1.3. 融合積 $A*_C B$ は、 $A$ の各元 $a$ に対応する記号 $[a]_A$ と $B$ の各元 $b$ に対応する記号 $[b]_B$ を生成元とし、関係式

[x]_F[y]_F=[xy]_F\quad(F\in\{A,B\},\ x,y\in F), \qquad [\iota_A(c)]_A=[\iota_B(c)]_B\quad(c\in C)

を持つ群と同型である。この同型は $[a]_A$ を $q_A(a)$ 、 $[b]_B$ を $q_B(b)$ に移す。

証明. 表示された群を $P$ とする。各因子の乗法関係により、 $x\mapsto[x]_F$ は準同型である。実際、 $[1]_F^2=[1]_F$ から $[1]_F=1$ も従う。二つの準同型は $C$ 上で一致するので、命題 1.2は $A*_C B\to P$ を与える。一方、 $q_A,q_B$ は表示されたすべての関係を満たすので、§E7.9 定理 3.2は $P\to A*_C B$ を与える。両合成は各群の生成元を固定するため恒等写像である。▨

定義 2.1. 融合積 $G=A*_C B$ について、各 $F\in\{A,B\}$ の左剰余類集合 $F/\iota_F(C)$ の代表集合 $T_F$ を取り、 $1\in T_F$ とする。各 $x\in F$ は一意に $x=r\iota_F(c)$ （ $r\in T_F,c\in C$ ）と書かれる。この代表集合に関する融合積の形式正規形 (formal normal form) とは、

(r_1,\ldots,r_n;c)

というデータであって、 $n\geq0$ 、 $c\in C$ 、各 $r_i$ は $T_A\setminus\{1\}$ または $T_B\setminus\{1\}$ に属し、隣接する代表が異なる因子に属するものをいう。各代表には所属する因子の標識を付ける。 $n=0$ のデータも許す。形式正規形全体の集合を $W$ とし、その評価 $E\colon W\to G$ を

E(r_1,\ldots,r_n;c)=q_{F_1}(r_1)\cdots q_{F_n}(r_n)q_C(c)

と定める。ここで $r_i\in T_{F_i}$ である。

補題 2.2. 融合積 $G=A*_C B$ の代表集合 $T_A,T_B$ に関する形式正規形全体を $W$ 、評価を $E$ とする。各因子 $F$ の元 $x$ に対し、置換 $R_x^F\colon W\to W$ が存在して

R_y^F\circ R_x^F=R_{xy}^F,\qquad R_1^F=\mathrm{id}_W,\qquad E(R_x^F(w))=E(w)q_F(x)

を満たす。また、すべての $c\in C$ について $R_{\iota_A(c)}^A=R_{\iota_B(c)}^B$ である。

証明. $F\in\{A,B\}$ を固定する。空であるか $F$ 以外の因子で終わる交互代表列 $p$ に対し、 $z\in F$ を $z=r\iota_F(d)$ と分解して

\Psi_p(z)= \begin{cases} (p,r;d)&r\ne1,\\ (p;d)&r=1 \end{cases}

と置く。 $p$ の後に高々一つの $F$ の代表を持つ形式正規形は、ちょうど $\Psi_p(F)$ の元である。任意の形式正規形について、最後の代表が $F$ に属すれば、その代表を除いた列が $p$ であり、最後の代表を $r_n$ 、末尾係数を $c$ として $z=r_n\iota_F(c)$ である。最後の代表が $F$ に属さない場合と代表列が空の場合は、代表列全体が $p$ であり、 $z=\iota_F(c)$ である。したがって $W$ は $\Psi_p(F)$ の非交和であり、各 $\Psi_p$ は $F$ からその部分集合への全単射である。

$x\in F$ に対して

R_x^F(\Psi_p(z))=\Psi_p(zx)

と定める。 $zx$ の代表が $1$ になる場合も、次に $y\in F$ を掛けて非単位代表が現れる場合も、列 $p$ は変わらない。結合律 $(zx)y=z(xy)$ から $R_y^F R_x^F=R_{xy}^F$ が従う。また $R_1^F=\mathrm{id}_W$ であり、 $R_{x^{-1}}^F$ は $R_x^F$ の逆写像である。分解 $zx=r\iota_F(d)$ は因子内の等式なので、評価について $E(R_x^F(w))=E(w)q_F(x)$ が成り立つ。

$h\in C$ とする。最後の代表が $F$ に属すれば $r_n\iota_F(c)\iota_F(h)=r_n\iota_F(ch)$ であり、属さなければ $\iota_F(c)\iota_F(h)=\iota_F(ch)$ の代表は $1$ である。空の代表列についても後者の計算が成り立つ。ゆえに

R_{\iota_F(h)}^F(r_1,\ldots,r_n;c)=(r_1,\ldots,r_n;ch)

であり、両因子から定まる置換は一致する。▨

定理 2.3. 融合積 $G=A*_C B$ について、左剰余類集合 $A/\iota_A(C)$ 、 $B/\iota_B(C)$ の単位元を含む代表集合 $T_A\subseteq A$ 、 $T_B\subseteq B$ をそれぞれ固定する。各 $g\in G$ は、これらの代表集合に関する形式正規形によって一意に表される。

証明. 形式正規形全体を $W$ 、その評価を $E$ 、空の代表列と係数 $1$ の組を $o$ とする。補題 2.2の置換に対して

\rho_F(x)=R_{x^{-1}}^F

と置く。通常の写像の合成を積とする置換群 $\operatorname{Sym}(W)$ において

\rho_F(xy)=R_{y^{-1}x^{-1}}^F =R_{x^{-1}}^F\circ R_{y^{-1}}^F=\rho_F(x)\rho_F(y)

であり、 $\rho_A\iota_A=\rho_B\iota_B$ である。命題 1.2によって準同型 $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(W)$ を得る。 $w\cdot g=\rho(g^{-1})(w)$ と定めれば $(w\cdot g)\cdot h=w\cdot(gh)$ であり、 $w\cdot q_F(x)=R_x^F(w)$ である。

$g\in G$ を両因子の元の像の積として書く。基点 $o$ にそれらを順に右から作用させると、評価との適合性により、評価が $g$ に等しい形式正規形を得る。逆に、形式正規形 $w=(r_1,\ldots,r_n;c)$ の評価を $o$ に作用させると、各 $r_i$ の掛け込みで異なる因子の代表が一つずつ付加され、最後に係数が $c$ になる。したがって $o\cdot E(w)=w$ である。 $E(w)=E(w')$ ならば $w=o\cdot E(w)=o\cdot E(w')=w'$ なので、正規形は一意である。▨

系 2.4. 融合積 $G=A*_C B$ について、次が成り立つ。

標準準同型 $q_A\colon A\to G$ と $q_B\colon B\to G$ は単射である。
$n\geq1$ とし、 $x_i\in F_i\setminus\iota_{F_i}(C)$ 、 $F_i\in\{A,B\}$ 、 $F_i\ne F_{i+1}$ とする。このとき $q_{F_1}(x_1)\cdots q_{F_n}(x_n)\ne1$ である。

証明.(1)を示す。 $x\in F$ を $x=r\iota_F(c)$ と書く。 $q_F(x)$ の正規形は、 $r\ne1$ ならば $(r;c)$ 、 $r=1$ ならば $(\,;c)$ である。定理 2.3により、 $q_F(x)=1$ ならば $r=1,c=1$ なので $x=1$ である。

(2)を示す。最初の $i-1$ 個の元を掛け込んだ正規形の末尾係数を $c$ とする。 $\iota_{F_i}(c)x_i$ が $\iota_{F_i}(C)$ に属すれば、 $x_i$ もこの部分群に属することになり、仮定に反する。したがって $\iota_{F_i}(c)x_i$ の代表は非単位元である。因子は交互に変わるため、各段階で代表が一つ増え、最終正規形の代表数は $n$ となる。定理 2.3により、この元は単位元ではない。▨

例 2.5. $C=1$ ならば、融合積 $A*_C B$ の形式正規形は自由積 $A*B$ の交互簡約語に一致する。実際、代表集合は各因子全体であり、末尾係数は常に $1$ である。

$\iota_A\colon C\to A$ が同型ならば、代表集合 $T_A$ は $\{1\}$ である。したがって融合積の正規形は $(\,;c)$ または $(r;c)$ （ $r\in T_B\setminus\{1\}$ ）であり、 $q_B$ は全射である。系 2.4 (1)により $q_B$ は同型である。 $\iota_B$ が同型の場合には $q_A$ が同型となる。

定義 3.1. 群 $B$ 、部分群 $U,V\leq B$ 、同型 $\theta\colon U\to V$ を取る。無限巡回群 $\langle t\rangle$ と $B$ の自由積を、 $tut^{-1}\theta(u)^{-1}$ （ $u\in U$ ）をすべて含む最小の正規部分群で割った群を HNN 拡大 (HNN extension) といい、 $H(B,U,V,\theta)$ と書く。標準準同型を $q\colon B\to H(B,U,V,\theta)$ とし、 $t$ の像も $t$ と書く。この群は $q(B)$ と $t$ で生成され、

tq(u)t^{-1}=q(\theta(u))\qquad(u\in U)

を満たす。 $B$ を基群 (base group)、 $t$ を安定文字 (stable letter) という。

命題 3.2. HNN 拡大 $H=H(B,U,V,\theta)$ と群 $Q$ を取る。準同型 $f\colon B\to Q$ と元 $s\in Q$ が、すべての $u\in U$ について $sf(u)s^{-1}=f(\theta(u))$ を満たすならば、 $\Phi q=f$ 、 $\Phi(t)=s$ を満たす準同型 $\Phi\colon H\to Q$ がただ一つ存在する。

証明. $t^k\mapsto s^k$ は $\langle t\rangle$ から $Q$ への準同型である。§E7.9 定理 2.5によって、この準同型と $f$ を延長する準同型 $\widetilde\Phi\colon B*\langle t\rangle\to Q$ を得る。仮定から $tut^{-1}\theta(u)^{-1}\in\ker\widetilde\Phi$ なので、§E7.7 定理 2.4は $H$ 上の準同型 $\Phi$ を与える。 $H$ は $q(B)$ と $t$ で生成されるため、 $\Phi$ は一意である。▨

命題 3.3. HNN 拡大 $H(B,U,V,\theta)$ は、 $B$ の各元 $b$ に対応する記号 $[b]$ と記号 $t$ を生成元とし、

[b][c]=[bc]\quad(b,c\in B),\qquad t[u]t^{-1}=[\theta(u)]\quad(u\in U)

を関係式とする群と同型である。同型は $[b]$ を $q(b)$ に移し、 $t$ を $t$ に移す。

証明. 表示された群を $P$ とする。乗法関係により $b\mapsto[b]$ は準同型であり、残りの関係により命題 3.2を適用して $H(B,U,V,\theta)\to P$ を得る。一方、 $q(b)$ と $t$ は表示の全関係を満たすので、§E7.9 定理 3.2は $P\to H(B,U,V,\theta)$ を与える。両合成は生成元を固定するため恒等写像である。▨

定義 4.1. HNN 拡大 $H=H(B,U,V,\theta)$ について

K_{+1}=V,\qquad K_{-1}=U,\qquad \varphi_{+1}=\theta^{-1},\qquad\varphi_{-1}=\theta

と置く。したがって $\varphi_\varepsilon\colon K_\varepsilon\to K_{-\varepsilon}$ は同型である。各 $\varepsilon\in\{+1,-1\}$ に対して左剰余類集合 $B/K_\varepsilon$ の代表集合 $\mathcal T_\varepsilon$ を取り、 $1\in\mathcal T_\varepsilon$ とする。この代表集合に関するHNN 拡大の形式正規形 (formal normal form) とは、

r_1t^{\varepsilon_1}\cdots r_nt^{\varepsilon_n}b

というデータであって、 $n\geq0$ 、 $b\in B$ 、 $\varepsilon_i\in\{+1,-1\}$ 、 $r_i\in\mathcal T_{\varepsilon_i}$ を満たし、 $\varepsilon_i=-\varepsilon_{i+1}$ ならば $r_{i+1}\ne1$ となるものをいう。 $n=0$ のデータは基群の元 $b$ だけからなる。形式正規形全体を $\Omega$ とし、評価を

E\colon\Omega\to H,\qquad E(r_1t^{\varepsilon_1}\cdots r_nt^{\varepsilon_n}b) =q(r_1)t^{\varepsilon_1}\cdots q(r_n)t^{\varepsilon_n}q(b)

と定める。

注意 4.2. HNN 拡大の代表集合 $\mathcal T_{+1},\mathcal T_{-1}$ に関する形式正規形全体を $\Omega$ とする。 $a\in B$ に対し、写像 $R_a\colon\Omega\to\Omega$ を末尾係数 $b$ を $ba$ に変える操作として定める。

$\varepsilon\in\{+1,-1\}$ に対する写像 $T_\varepsilon\colon\Omega\to\Omega$ を次のように定める。正規形 $w=r_1t^{\varepsilon_1}\cdots r_nt^{\varepsilon_n}b$ の末尾係数を、 $b=rh$ （ $r\in\mathcal T_\varepsilon,h\in K_\varepsilon$ ）と分解する。 $n>0$ 、 $\varepsilon_n=-\varepsilon$ 、 $r=1$ の三条件がすべて成り立つときは

T_\varepsilon(w)=r_1t^{\varepsilon_1}\cdots r_{n-1}t^{\varepsilon_{n-1}}\bigl(r_n\varphi_\varepsilon(b)\bigr)

とする。 $n=1$ のとき、右辺は基群係数 $r_1\varphi_\varepsilon(b)$ だけである。それ以外のときは

T_\varepsilon(w)=r_1t^{\varepsilon_1}\cdots r_nt^{\varepsilon_n} r t^\varepsilon\varphi_\varepsilon(h)

とする。後者の式では、 $n=0$ の場合も許す。

補題 4.3. HNN 拡大の形式正規形への右掛け込み $R_a,T_\varepsilon$ は置換であり、

R_d\circ R_a=R_{ad},\qquad R_1=\mathrm{id}_\Omega,\qquad T_{-\varepsilon}\circ T_\varepsilon=\mathrm{id}_\Omega

を満たす。また、評価 $E\colon\Omega\to H(B,U,V,\theta)$ に対して

E(R_a(w))=E(w)q(a),\qquad E(T_\varepsilon(w))=E(w)t^\varepsilon

である。

証明. $w=r_1t^{\varepsilon_1}\cdots r_nt^{\varepsilon_n}b$ を取る。 $R_a$ は末尾係数だけを変えるので、 $R_dR_a=R_{ad}$ 、 $R_1=\mathrm{id}_\Omega$ であり、逆写像は $R_{a^{-1}}$ である。 $T_\varepsilon$ が最後の安定文字を取り消す場合、残る列は元の正規形の一部であり、末尾係数には代表の条件がない。安定文字を付加する場合には、直前が逆符号ならば新しい代表は $1$ でない。したがって、いずれの場合も結果は形式正規形である。

$T_\varepsilon$ が安定文字を付加したとする。 $b=rh$ の分解に対して、付加後の最後の符号は $\varepsilon$ 、末尾係数は $\varphi_\varepsilon(h)\in K_{-\varepsilon}$ である。次の $T_{-\varepsilon}$ での代表は $1$ なので、付加した安定文字が取り消され、末尾係数は

r\varphi_{-\varepsilon}(\varphi_\varepsilon(h))=rh=b

に戻る。元の $n=0$ の場合もこの計算が成り立つ。

$T_\varepsilon$ が安定文字を取り消したとする。元の最後の符号は $-\varepsilon$ であり、 $b\in K_\varepsilon$ である。取消し後の末尾係数 $r_n\varphi_\varepsilon(b)$ は、 $r_n\in\mathcal T_{-\varepsilon}$ 、 $\varphi_\varepsilon(b)\in K_{-\varepsilon}$ による代表分解になっている。 $n=1$ ならば安定文字が残っていないため、次の $T_{-\varepsilon}$ は付加を行う。 $n>1$ で $\varepsilon_{n-1}=-\varepsilon$ ならば同符号なので付加を行う。 $n>1$ で $\varepsilon_{n-1}=\varepsilon$ ならば、元の正規形の条件から $r_n\ne1$ なので付加を行う。いずれも $r_nt^{-\varepsilon}b$ が復元される。両符号について $T_{-\varepsilon}T_\varepsilon=\mathrm{id}_\Omega$ が成り立つので、 $T_{+1}$ と $T_{-1}$ は互いに逆である。

HNN 拡大の定義関係から、 $h\in K_\varepsilon$ に対して

q(h)t^\varepsilon=t^\varepsilon q(\varphi_\varepsilon(h)),\qquad t^{-\varepsilon}q(h)t^\varepsilon=q(\varphi_\varepsilon(h))

である。前者は付加の場合、後者は取消しの場合の評価の等式を与える。 $R_a$ の評価の等式は $q(ba)=q(b)q(a)$ による。▨

補題 4.4. HNN 拡大の形式正規形への右掛け込みに対して、 $h\in K_\varepsilon$ ならば

T_\varepsilon\circ R_h=R_{\varphi_\varepsilon(h)}\circ T_\varepsilon

が成り立つ。特に、すべての $u\in U$ について

T_{-1}\circ R_u\circ T_{+1}=R_{\theta(u)}

である。

証明. 形式正規形の末尾係数を $b=rk$ （ $r\in\mathcal T_\varepsilon,k\in K_\varepsilon$ ）と分解する。 $bh=r(kh)$ は同じ代表 $r$ を持つため、 $R_h$ を先に適用しても、 $T_\varepsilon$ が付加と取消しのどちらを行うかは変わらない。付加の場合、 $T_\varepsilon R_h$ の結果の末尾係数は

\varphi_\varepsilon(kh)=\varphi_\varepsilon(k)\varphi_\varepsilon(h)

であり、これは $R_{\varphi_\varepsilon(h)}T_\varepsilon$ の末尾係数に等しい。取消しの場合には $b\in K_\varepsilon$ であり、両者の末尾係数は

r_n\varphi_\varepsilon(bh)=r_n\varphi_\varepsilon(b)\varphi_\varepsilon(h)

によって等しい。それ以外の代表と符号も一致するので、二つの写像は等しい。

$\varepsilon=+1$ 、 $h=\theta(u)$ とすれば $T_{+1}R_{\theta(u)}=R_uT_{+1}$ である。補題 4.3により、左から $T_{-1}$ を合成すると結論を得る。▨

定理 4.5. HNN 拡大 $H=H(B,U,V,\theta)$ について、左剰余類集合 $B/V$ 、 $B/U$ の単位元を含む代表集合 $\mathcal T_{+1}\subseteq B$ 、 $\mathcal T_{-1}\subseteq B$ をそれぞれ固定する。各 $g\in H$ は、これらの代表集合に関する形式正規形によって一意に表される。

証明. 形式正規形全体を $\Omega$ とし、安定文字を含まず末尾係数が $1$ である正規形を $o$ とする。補題 4.3により

f\colon B\to\operatorname{Sym}(\Omega),\qquad f(b)=R_{b^{-1}}

は準同型である。ここで置換の積は通常の写像の合成である。 $s=T_{-1}$ と置く。補題 4.4の等式の逆を取ると

sf(u)s^{-1}=T_{-1}R_{u^{-1}}T_{+1}=R_{\theta(u)^{-1}}=f(\theta(u))

となる。したがって命題 3.2は、 $\rho q=f$ 、 $\rho(t)=T_{-1}$ を満たす準同型 $\rho\colon H\to\operatorname{Sym}(\Omega)$ を与える。 $w\cdot g=\rho(g^{-1})(w)$ と定めれば、これは右作用であり、 $w\cdot q(b)=R_b(w)$ 、 $w\cdot t^\varepsilon=T_\varepsilon(w)$ となる。

$H$ は $q(B)$ と $t$ で生成される。補題 4.3の評価の等式により、これらの元を基点 $o$ に順に作用させれば、任意の元を表す形式正規形を得る。逆に、形式正規形 $w=r_1t^{\varepsilon_1}\cdots r_nt^{\varepsilon_n}b$ の評価を $o$ に作用させると、各安定文字の直前の末尾係数は $r_i$ であり、その代表分解は $r_i\cdot1$ である。逆符号が隣接する場合には $r_i\ne1$ なので、どの段階にも取消しは起きない。末尾の $b$ を掛けると $w$ そのものとなり、 $o\cdot E(w)=w$ を得る。 $E(w)=E(w')$ ならば $w=o\cdot E(w)=o\cdot E(w')=w'$ なので、一意性が従う。▨

系 4.6. 任意の群 $B$ 、部分群 $U,V\leq B$ 、同型 $\theta\colon U\to V$ に対し、標準準同型 $q\colon B\to H(B,U,V,\theta)$ は単射である。

証明. $b\in B$ の像の正規形は、安定文字を含まず末尾係数が $b$ のものである。定理 4.5により、この像が単位元ならば $b=1$ である。▨

定義 5.1. HNN 拡大 $H(B,U,V,\theta)$ について、基群を標準単射によってその像と同一視する。語 $b_0t^{\varepsilon_1}b_1\cdots t^{\varepsilon_n}b_n$ （ $b_i\in B$ 、 $\varepsilon_i\in\{+1,-1\}$ ）に現れる $tbt^{-1}$ （ $b\in U$ ）または $t^{-1}bt$ （ $b\in V$ ）という部分を pinch (pinch) という。

定理 5.2. HNN 拡大 $H(B,U,V,\theta)$ において、 $n\geq1$ 、 $b_0,\ldots,b_n\in B$ 、 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\in\{+1,-1\}$ とする。語 $b_0t^{\varepsilon_1}b_1\cdots t^{\varepsilon_n}b_n$ が pinch を含まないならば、この語が表す元は単位元でない。この主張を Britton の補題という。

証明. $K_{+1}=V$ 、 $K_{-1}=U$ とし、単位元を含む左剰余類の代表を固定する。 $b_0$ の後に最初の安定文字を掛け込むと、安定文字は一つ付加され、その直後の末尾係数 $c_1$ は $K_{-\varepsilon_1}$ に属する。 $1\leq i<n$ とし、 $i$ 番目の安定文字まで取消しが生じず、その直後の末尾係数 $c_i$ が $K_{-\varepsilon_i}$ に属すると仮定する。次の $b_i$ を掛けた末尾係数は $c_ib_i$ である。 $\varepsilon_{i+1}=\varepsilon_i$ ならば、同符号なので次の掛け込みに取消しは起きない。 $\varepsilon_{i+1}=-\varepsilon_i$ ならば、

c_ib_i\in K_{\varepsilon_{i+1}} \quad\Longleftrightarrow\quad b_i\in K_{\varepsilon_{i+1}}

である。右辺が成り立つと pinch が存在するため、仮定に反する。したがってこの場合も代表は $1$ でなく、取消しは起きない。いずれの場合も、付加後の末尾係数は $\varphi_{\varepsilon_{i+1}}$ の値域 $K_{-\varepsilon_{i+1}}$ に属する。帰納法によって、全 $n$ 個の安定文字が正規形に残る。末尾の $b_n$ を掛けても安定文字数は変わらない。定理 4.5により、この元は安定文字数が $0$ の単位元とは異なる。▨

例 5.3. $B=1$ ならば $U=V=1$ であり、HNN 拡大の両代表集合は $\{1\}$ である。正規形の符号はすべて同じなので、各元は一意に $t^k$ （ $k\in\Z$ ）と書かれる。したがってこの HNN 拡大は無限巡回群である。

$U=V=1$ ならば、HNN 拡大の定義における共役関係は恒等式だけであり、群は $B*\langle t\rangle$ に等しい。正規形で逆符号の安定文字が取り消されるのは、その間の基群係数が $1$ の場合に限られる。

$U=V=B$ ならば、 $\theta$ は $B$ の自己同型であり、両代表集合は $\{1\}$ である。定理 4.5により各元は一意に $t^kb$ （ $k\in\Z,b\in B$ ）と書かれる。

例 5.4. 群

\operatorname{BS}(2,3)=\langle a,t\mid ta^2t^{-1}=a^3\rangle

は Baumslag–Solitar 群の一例である。無限巡回群 $B=\langle x\rangle$ とその部分群 $U=\langle x^2\rangle$ 、 $V=\langle x^3\rangle$ に対し、 $\theta(x^{2k})=x^{3k}$ （ $k\in\Z$ ）と定めると、 $\theta\colon U\to V$ は同型である。このとき $H=H(B,U,V,\theta)$ は $\operatorname{BS}(2,3)$ と同型である。

実際、 $a\mapsto q(x)$ 、 $t\mapsto t$ は表示の関係式を満たすので、§E7.9 定理 3.2により $\operatorname{BS}(2,3)\to H$ を与える。逆に $x^k\mapsto a^k$ は $B$ 上の準同型であり、表示の一関係から、すべての整数 $k$ について

ta^{2k}t^{-1}=(ta^2t^{-1})^k=a^{3k}

が成り立つ。命題 3.2により $H\to\operatorname{BS}(2,3)$ を得る。両合成は各群の生成元を固定するため恒等写像である。

系 4.6により $q(x)$ は無限位数であるから、 $a$ も無限位数である。この表示は生成元二つと関係式一つからなるので、 $\operatorname{BS}(2,3)$ は有限表示群である。

§E7.29融合積と HNN 拡大

1 融合積の構成

2 融合積の正規形

3 HNN 拡大の構成

4 HNN 拡大の正規形

5 Britton の補題と具体例

参考文献

前提記事