§E7.44コホモロジー次元

証明.条件 (a)$\Rightarrow$(c)を示す。$\Z$の長さ$d$以下の射影分解$P_\bullet$を取り、分解の長さより上の項を零とする。任意の左$R$-加群$M$に対して、$\Hom_R(P_\bullet,M)$の次数$d$より上の項は零である。§E7.35 系 4.4により、そのコホモロジーは$H^n(G,M)$に同型であるから、すべての$n>d$で$H^n(G,M)=0$である。

$n=d+1$とすることで条件 (c)$\Rightarrow$(b)が従う。

条件 (b)$\Rightarrow$(a)を示す。任意の左$R$-加群$M$に対して$H^{d+1}(G,M)=0$と仮定する。§E7.35 定義 4.1により、$\operatorname{Ext}_R^{d+1}(\Z,M)=0$である。$d=0$ならば、全係数に対する射影性判定§E6.39 定理 3.3により$\Z$は射影的である。従って恒等写像$\Z\to\Z$は長さ零の射影分解を与え、$\operatorname{cd}G=0$である。

$d\ge1$とし、§E6.38 定理 1.3により自明左$R$-加群$\Z$の射影分解を取る。$K_0=\Z$とし、その分解から$0\le j<d$に対して短完全列

を取る。ここで$K_1$は添加射$P_0\to\Z$の核であり、$K_{j+1}$は$P_j\to K_j$の核である。反復次元移動§E6.39 系 3.2を$s=d$、$n=1$、第一変数$\Z$、第二変数の任意の左$R$-加群$M$に適用すると、

となる。§E6.39 定理 3.3により$K_d$は射影的である。従って完全列

は長さ$d$の射影分解であり、$\operatorname{cd}G\le d$である。▨

証明. 必要性を示す。$\operatorname{cd}G=0$と仮定すると、$\Z$は左$R=\Z[G]$-加群として射影的である。添加写像$\ep\colon R\to\Z$は§E7.35 命題 1.2の左$R$-線形写像であり、$\ep(1)=1$により全射である。§E6.16 命題 1.2 (2)により、$\ep$は左$R$-線形な切断$s\colon\Z\to R$をもつ。$a=s(1)$とおくと、$a$は有限台の群環の元であり、$\ep(a)=1$である。$\Z$の作用は自明であるから、すべての$g\in G$について$ga=s(g\cdot1)=s(1)=a$である。

$a=\sum_{h\in G}a_hh$と書くと、$ga=a$の$g$における係数を比較することで$a_g=a_1$を得る。従ってすべての係数は一つの整数$c=a_1$に等しい。$G$が無限群ならば、$a$の台が有限であるため$c=0$となり、$a=0$となる。これは$\ep(a)=1$と両立しないので、$G$は有限群である。$m=|G|$とおくと、$a=c\sum_{g\in G}g$であり、$1=\ep(a)=mc$となる。$m$は正整数、$c$は整数であるから$m=1$であり、$G$は自明群である。

十分性を示す。$G=\{1\}$ならば$\Z[G]=\Z$であり、自明加群$\Z$は階数一の自由$\Z$-加群である。従って$\Z$は射影的であり、恒等写像による長さ零の分解から$\operatorname{cd}G=0$である。▨

証明.$X=\varnothing$ならば$F(X)$は自明群であり、命題 1.3により$\operatorname{cd}F(X)=0$である。$X\ne\varnothing$とする。自由群の増大イデアルの基底§E7.41 定理 1.1が与える自由分解は長さ一であるから、$\operatorname{cd}F(X)\le1$である。$F(X)$は非自明群であるから、零次元の判定命題 1.3により$\operatorname{cd}F(X)\ne0$である。よって$\operatorname{cd}F(X)=1$である。▨

証明.$n=0$ならば$\Z^0$は自明群であり、命題 1.3により$\operatorname{cd}\Z^0=0$である。$n\ge1$とする。§E7.41 定理 3.1の自由分解は、次数$n$より上の基底が空であるため長さ$n$である。従って$\operatorname{cd}\Z^n\le n$である。自明整数係数について、§E7.41 系 3.2により

である。もし$\operatorname{cd}\Z^n\le n-1$ならば、命題 1.2により$H^n(\Z^n,\Z)=0$となり、$\Z$に同型であることと両立しない。よって$\operatorname{cd}\Z^n=n$である。▨

証明.$\operatorname{cd}G=d<\infty$ならば、自明左$\Z[G]$-加群$\Z$の長さ$d$の射影分解を取る。§E7.39 補題 2.2により、この分解を$H$に制限すると、自明左$\Z[H]$-加群$\Z$の長さ$d$の射影分解を得る。従って$\operatorname{cd}H\le d=\operatorname{cd}G$である。$\operatorname{cd}G=\infty$ならば、コホモロジー次元の値域から$\operatorname{cd}H\le\infty=\operatorname{cd}G$である。▨

証明. 非自明な有限位数元$g\in G$を取り、その位数を$m\ge2$とする。部分群$C=\langle g\rangle$は位数$m$の巡回群である。§E7.38 例 2.2により、自明整数係数について、すべての整数$q\ge1$に対して

である。もし$\operatorname{cd}C=d<\infty$ならば、$2q>d$となる整数$q\ge1$を取る。命題 1.2により$H^{2q}(C,\Z)=0$となり、非零であることと両立しない。従って$\operatorname{cd}C=\infty$である。部分群への単調性命題 3.1により、$\infty=\operatorname{cd}C\le\operatorname{cd}G$であり、$\operatorname{cd}G=\infty$である。▨