剰余有限性と副有限完備化 | 群論入門

定義 1.1. 群 $G$ が剰余有限 (residually finite) であるとは、任意の $g\in G\setminus\{e\}$ に対して、有限群 $Q$ と準同型 $\varphi\colon G\to Q$ が存在して $\varphi(g)\neq e_Q$ となることをいう。群 $G$ が Hopf 群 (Hopfian group) であるとは、任意の全射自己準同型 $f\colon G\to G$ が単射であることをいう。

命題 1.2. 群 $G$ について、次の条件は同値である。

$G$ は剰余有限である。
任意の $g\in G\setminus\{e\}$ に対して、有限指数正規部分群 $N\trianglelefteq G$ が存在して $gN\neq N$ となる。
有限指数正規部分群すべての交わりは $\{e\}$ である。

証明. $Q$ を有限群、 $\varphi\colon G\to Q$ を準同型とすると、 $N=\ker\varphi$ は正規部分群であり、 $G/N$ は $\varphi(G)$ と同型であるから有限である。また、 $\varphi(g)\neq e_Q$ と $g\notin N$ は同値である。逆に、有限指数正規部分群 $N$ に対して標準全射 $G\to G/N$ は有限群への準同型であり、 $gN\neq N$ ならば $g$ を単位元へ写さない。したがって(1) $\Leftrightarrow$ (2)が成り立つ。

すべての有限指数正規部分群は $e$ を含む。それらの交わりが $\{e\}$ であるための必要十分条件は、任意の $g\neq e$ に対して、 $g$ を含まない有限指数正規部分群が存在することである。したがって(2) $\Leftrightarrow$ (3)が成り立つ。▨

定理 2.1. 任意の集合 $X$ に対して、自由群 $F(X)$ は剰余有限である。

証明. $w\in F(X)\setminus\{e\}$ を取り、その簡約語を $y_1\cdots y_\ell$ とする。ここで $\ell\geq1$ であり、各 $y_i$ は $X^{\pm1}$ の文字である。 $z_i=y_{\ell+1-i}$ とおき、有限集合 $S=\{0,\ldots,\ell\}$ を取る。各 $x\in X$ に対して、 $S$ 上の部分写像 $p_x$ の値を

\begin{cases} p_x(i-1)=i & (z_i=x),\\ p_x(i)=i-1 & (z_i=x^{-1}) \end{cases} \qquad(1\leq i\leq\ell)

によって指定する。

同じ向きの指定どうしは、異なる添字に対して始点も終点も異なる。異なる向きの指定が始点を共有するならば、隣接する文字列 $z_i,z_{i+1}$ が $x^{-1},x$ となる。異なる向きの指定が終点を共有するならば、隣接する文字列が $x,x^{-1}$ となる。いずれの場合も $y_1\cdots y_\ell$ の簡約性に反する。したがって $p_x$ は、その定義域から像への全単射である。定義域と像の補集合は同じ有限個数をもつので、その間の全単射を選ぶことによって $p_x$ を置換 $\sigma_x\in\operatorname{Sym}(S)$ へ拡張することができる。語に現れない生成元 $x$ に対しては $\sigma_x=\id_S$ とする。

§E7.9 定理 1.6により、 $x\mapsto\sigma_x$ は準同型 $\rho\colon F(X)\to\operatorname{Sym}(S)$ へ一意に延長される。各 $i$ について、 $z_i=x$ ならば $\rho(z_i)(i-1)=i$ であり、 $z_i=x^{-1}$ ならば $\sigma_x(i)=i-1$ から $\rho(z_i)(i-1)=\sigma_x^{-1}(i-1)=i$ である。置換の積は写像の合成であるから、§E7.9 式 (1.6.1)により

\rho(w)(0) =\rho(y_1)\circ\cdots\circ\rho(y_\ell)(0) =\ell.

$\ell\neq0$ なので $\rho(w)$ は恒等置換ではない。 $\operatorname{Sym}(S)$ は有限群であるから、 $F(X)$ は剰余有限である。▨

定理 3.1. 有限生成剰余有限群は Hopf 群である。

証明. $G$ を有限生成剰余有限群、 $f\colon G\to G$ を全射自己準同型とする。 $x\in\ker f\setminus\{e\}$ が存在すると仮定する。命題 1.2 (2)により、 $x\notin N$ を満たす有限指数正規部分群 $N\trianglelefteq G$ が存在する。 $d=[G:N]$ とおき、指数 $d$ の正規部分群全体の集合を $\mathcal N_d$ とする。§E7.28 命題 3.4により $\mathcal N_d$ は有限である。

$M\in\mathcal N_d$ に対して、合成 $G\xrightarrow{f}G\to G/M$ は全射であり、その核は $f^{-1}(M)$ である。したがって $f^{-1}(M)$ は正規部分群で、 $G/f^{-1}(M)\cong G/M$ より指数は $d$ である。また、 $f$ の全射性から $f(f^{-1}(M))=M$ が成り立つので、 $M\mapsto f^{-1}(M)$ は $\mathcal N_d$ 上の単射である。有限集合上の単射は置換であるから、ある整数 $m\geq1$ に対して

(f^m)^{-1}(N)=N

となる。ところが $f(x)=e$ なので $f^m(x)=e\in N$ であり、 $x\in(f^m)^{-1}(N)=N$ となる。これは $x\notin N$ に反する。したがって $\ker f=\{e\}$ であり、 $f$ は単射である。▨

定義 4.1. 群 $G$ の有限指数正規部分群全体を $\mathcal N(G)$ と書く。 $N,M\in\mathcal N(G)$ が $N\subseteq M$ を満たすとき、標準全射を

q_{NM}\colon G/N\longrightarrow G/M,\qquad gN\longmapsto gM

と書く。 $L\subseteq N\subseteq M$ に対して $q_{NM}\circ q_{LN}=q_{LM}$ である。また、 $N\cap M$ は有限指数正規部分群である。実際、準同型 $G\to G/N\times G/M$ の核は $N\cap M$ であり、その像は有限である。

群 $G$ の副有限完備化 (profinite completion) を

\widehat G =\varprojlim_{N\in\mathcal N(G)}G/N =\left\{(u_N)_{N\in\mathcal N(G)}\in \prod_{N\in\mathcal N(G)}G/N\ \middle|\ q_{NM}(u_N)=u_M\text{ whenever }N\subseteq M\right\}

と定め、各成分の群演算によって積と逆元を定める。各 $g\in G$ に対して $(gN)_{N\in\mathcal N(G)}$ はこの整合条件を満たす。写像

\eta_G\colon G\longrightarrow\widehat G,\qquad g\longmapsto(gN)_{N\in\mathcal N(G)}

を標準写像 (canonical map) と呼ぶ。

命題 4.2. 任意の群 $G$ に対して、 $\widehat G$ は積群 $\prod_{N\in\mathcal N(G)}G/N$ の部分群であり、 $\eta_G$ は群準同型である。その核は

\ker\eta_G=\bigcap_{N\in\mathcal N(G)}N

である。したがって、 $\eta_G$ が単射であるための必要十分条件は、 $G$ が剰余有限であることである。

証明. 各 $q_{NM}$ は準同型であるから、整合条件を満たす二つの族の積と、整合条件を満たす族の逆元も整合条件を満たす。単位元の族も整合条件を満たす。したがって $\widehat G$ は積群の部分群である。 $\eta_G$ の各成分は標準全射 $G\to G/N$ であるから、 $\eta_G$ は準同型である。 $g\in G$ に対して $\eta_G(g)$ が単位元であることは、すべての $N\in\mathcal N(G)$ に対して $gN=N$ となることと同値である。したがって核は主張の交わりであり、単射性の特徴づけは命題 1.2から従う。▨

例 4.3. $G$ を有限群とすると、 $\eta_G\colon G\to\widehat G$ は同型である。実際、 $\{e\}\in\mathcal N(G)$ であり、整合条件を満たす族 $(u_N)_N$ は成分 $u_{\{e\}}\in G/\{e\}\cong G$ によって一意に定まる。この成分を $g\in G$ と同一視すると、各 $N$ について $u_N=q_{\{e\}N}(u_{\{e\}})=gN$ である。したがって成分 $u_{\{e\}}$ を取る写像は $\eta_G$ の逆写像である。特に、単位群の副有限完備化は単位群である。

例 5.1. Baumslag–Solitar 群

G=\operatorname{BS}(2,3)=\langle a,t\mid ta^2t^{-1}=a^3\rangle

は Hopf 群ではない。

$a\mapsto a^2$ 、 $t\mapsto t$ とすると、

t(a^2)^2t^{-1}=(ta^2t^{-1})^2=a^6=(a^2)^3

であるから、§E7.9 定理 3.2により自己準同型 $f\colon G\to G$ が定まる。その像は $a^2$ と $t$ を含み、 $a^3=ta^2t^{-1}$ も含む。 $a=(a^2)^{-1}a^3$ なので、像は生成元 $a,t$ を含み、 $f$ は全射である。

元

w=tat^{-1}a\,ta^{-1}t^{-1}a^{-1}

に対して

f(w) =(ta^2t^{-1})a^2(ta^{-2}t^{-1})a^{-2} =a^3a^2a^{-3}a^{-2} =e

である。一方、§E7.29 例 5.4により、 $G$ は基群 $\langle a\rangle$ 、部分群 $\langle a^2\rangle$ と $\langle a^3\rangle$ 、および $a^{2k}\mapsto a^{3k}$ による同型の HNN 拡大であり、 $a$ は無限位数である。したがって

a\notin\langle a^2\rangle,\qquad a\notin\langle a^3\rangle,\qquad a^{-1}\notin\langle a^2\rangle.

語 $w$ における安定文字の隣接対の間の係数は、順に $a,a,a^{-1}$ である。上の三つの不包含により、 $w$ は pinch を含まない。§E7.29 定理 5.2により $w\neq e$ である。ゆえに $f$ は単射ではなく、 $G$ は Hopf 群ではない。

§E7.30剰余有限性と副有限完備化

1 剰余有限群と Hopf 群

2 自由群の剰余有限性

3 有限生成剰余有限群の Hopf 性

4 有限商の逆極限

5 Hopf 群でない Baumslag–Solitar 群

参考文献

前提記事