群の拡大と加群の拡大 | 群論入門

命題 1.1. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ 、 $A$ を左 $R$ -加群とする。 $G$ の増大イデアル $I_G$ を左正則加群 $R$ の部分左加群とし、 $\Z$ に添加による自明左 $R$ -作用を入れる。左 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow I_G\longrightarrow R\xrightarrow{\ep}\Z\longrightarrow0

の連結準同型は同型

\partial_A:\operatorname{Ext}_R^1(I_G,A) \xrightarrow{\ \sim\ }H^2(G,A)

を与える。この同型は、 $G$ を固定した左 $R$ -線形写像 $A\to A'$ について自然である。

証明.§E7.35 命題 1.2により、 $\ep$ は $\Z$ の自明左作用に関して左 $R$ -線形である。 $\ep(1)=1$ なので全射であり、 $I_G=\ker\ep$ により表示された列は短完全である。中央項 $R$ は一元の自由左 $R$ -加群なので射影的である。§E6.39 系 3.1を $K=I_G$ 、 $P=R$ 、 $M=\Z$ 、 $N=A$ 、 $n=1$ に適用すると、係数 $A$ について自然な同型

\operatorname{Ext}_R^1(I_G,A) \xrightarrow{\ \partial_A\ }\operatorname{Ext}_R^2(\Z,A)

を得る。§E7.35 定義 4.1により右辺は $H^2(G,A)$ である。▨

定理 2.1. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ 、 $A$ を左 $R$ -加群とする。与えられた作用を誘導する群の拡大

1\longrightarrow A\xrightarrow{i}E\xrightarrow{p}G\longrightarrow1

の同値類の Baer 群と、左 $R$ -加群の拡大

0\longrightarrow A\longrightarrow X\longrightarrow I_G\longrightarrow0

の同値類の Baer 群との間に同型が存在する。群の拡大の同値は $A,G$ の恒等写像を固定し、加群の拡大の同値は $A,I_G$ の恒等写像を固定する。

群の拡大の因子集合の類を $\alpha\in H^2(G,A)$ とすると、対応する加群の拡大の第一 Ext における類は $\partial_A^{-1}(\alpha)$ である。群の拡大が群準同型による切断をもつことと、対応する加群の拡大が左 $R$ -線形切断をもつことは同値である。零元はそれぞれ半直積の拡大 $A\rtimes G$ と直和の拡大 $A\oplus I_G$ の類である。

証明.§E7.36 定理 2.5と§E7.36 定理 3.2により、群の拡大の同値類をその因子集合の類へ送る写像 $c$ は $H^2(G,A)$ への群同型である。§E6.40 系 3.3により、 $\operatorname{Ext}_R^1(I_G,A)$ から左 $R$ -加群の拡大の同値類への群同型 $y$ が存在する。したがって、命題 1.1の同型を用いた合成

y\circ\partial_A^{-1}\circ c

が求める群同型であり、指定された拡大類を $\partial_A^{-1}(\alpha)$ に対応する類へ送る。

§E7.36 系 3.3により、群の拡大が分裂することは $c$ による像が零であることと同値である。 $\partial_A$ は群同型なので、この条件は対応する第一 Ext の類が零であることと同値である。§E6.40 系 3.3により、第一 Ext の零類はちょうど左 $R$ -加群として分裂する拡大に対応する。群側の零元は§E7.36 定理 3.2によって $A\rtimes G$ の類であり、加群側の零元は標準包含と標準射影をもつ $A\oplus I_G$ の類である。▨

命題 2.2. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ 、 $A,A'$ を左 $R$ -加群、 $u:A\to A'$ を左 $R$ -線形写像とする。群の拡大の因子集合 $f$ を $uf$ に送る対応は、与えられた作用を誘導する群の拡大の同値類の間の準同型を定める。定理 2.1の対応は、この係数変更と、加群の拡大の $u$ による押出しについて自然である。

証明. $u$ は $R$ -線形なので、 $u\delta t=\delta(ut)$ が各一次コチェイン $t$ に対して成り立ち、二次コサイクル $f$ に対して $uf$ も二次コサイクルである。正規化された $f$ に対して $uf$ も正規化される。§E7.36 定理 2.5により、 $f$ を $uf$ に送る操作は拡大の同値類上に定まる。 $u(f+f')=uf+uf'$ と§E7.36 定理 3.2により、この対応は Baer 和を保つ。

群の拡大から $H^2$ への分類写像は、この係数変更を $H^2(G,u)$ に送る。命題 1.1によって次元移動の同型は係数について自然であり、§E6.40 定理 3.2によって加群拡大の分類同型は係数射と押出しについて自然である。したがって定理 2.1で与えた三つの同型の合成もこれらの係数変更と可換である。▨

命題 3.1. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ とする。自明右 $R$ -加群 $\Z$ の右 bar 自由分解 $B^{\mathrm r}_\bullet$ に対して、自明左 $R$ -加群 $\Z$ を用いた鎖複体

C_\bullet(G)=B^{\mathrm r}_\bullet\otimes_R\Z

を取る。負次数の項は零とする。各 $n\ge0$ において $C_n(G)$ は $G^n$ に添字をもつ記号 $[g_1|\cdots|g_n]$ を基底とする自由アーベル群である。 $n\ge1$ の微分は

\begin{aligned} d_n[g_1|\cdots|g_n] ={}&[g_2|\cdots|g_n]\\ &+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i[g_1|\cdots|g_i g_{i+1}|\cdots|g_n]\\ &+(-1)^n[g_1|\cdots|g_{n-1}] \end{aligned}

である。

$A$ を自明な $G$ -作用をもつ任意のアーベル群とすると、基底の値を取る同型は、余鎖微分 $\delta^n(\varphi)=\varphi d_{n+1}$ をもつ $\Hom_\Z(C_\bullet(G),A)$ を非斉次コチェイン複体に同定する。したがって

H_n(C(G))\cong H_n(G,\Z),\qquad H^n\Hom_\Z(C(G),A)\cong H^n(G,A)

が成り立つ。これらの同定は群準同型について、第二の同定はさらに係数準同型について自然である。

証明.§E7.35 補題 6.1により、 $B_n^{\mathrm r}$ は $G^n$ に添字をもつ右自由基底をもつ。自明左加群 $\Z$ とのテンソル積を取ると、この基底に添字をもつ $\Z$ の直和を得る。右 bar 微分の第一項の係数 $g_1^{-1}$ は、自明作用によって $g_1^{-1}\cdot1=1$ となるので、表示された $d_n$ の式を得る。§E7.35 命題 6.3により、この複体のホモロジーは $H_n(G,\Z)$ である。

任意の $\Z$ -線形写像 $\varphi:C_n(G)\to A$ は基底上の値によって一意に定まる。したがって、 $\varphi$ を $f(g_1,\ldots,g_n)=\varphi[g_1|\cdots|g_n]$ に送る写像は群同型である。表示された $d_{n+1}$ の式に $\varphi$ を適用すると、§E7.35 命題 4.2の微分における $g_1 f(g_2,\ldots,g_{n+1})$ が、自明作用によって $f(g_2,\ldots,g_{n+1})$ となる。よって基底の値による同型は余鎖微分と可換であり、同じ命題によりコホモロジーの同型を得る。

群準同型 $v:G'\to G$ に対して、基底写像

C_n(v)[g'_1|\cdots|g'_n]=[v(g'_1)|\cdots|v(g'_n)]

を $\Z$ -線形に延長する。 $v(g'_i g'_{i+1})=v(g'_i)v(g'_{i+1})$ により、この写像は表示された各微分と可換である。ホモロジー上の写像は群ホモロジーの誘導写像であり、Hom 上の前合成は非斉次コチェインの $f\mapsto f\circ v^n$ に対応する。係数準同型 $u:A\to A'$ による後合成も基底の値による同型と可換である。▨

定理 3.2. $G$ を群、 $A$ を自明な $G$ -作用をもつアーベル群とする。Schur 乗数 $M(G)=H_2(G,\Z)$ に対して、短完全列

0\longrightarrow\operatorname{Ext}_\Z^1(G^{\mathrm{ab}},A) \longrightarrow H^2(G,A) \xrightarrow{\ \rho_{G,A}\ }\Hom_\Z(M(G),A) \longrightarrow0

が存在する。この列は群準同型について反変に自然であり、係数準同型について共変に自然である。列はアーベル群として分裂し、整数 bar 複体のサイクル部分群へのレトラクションの選択から切断を構成することができる。

整数 bar 複体の二次サイクル $z=\sum_j n_j[g_j|h_j]$ と、自明係数の二次コサイクル $f$ に対して、右端の射は

\rho_{G,A}([f])([z])=\sum_j n_j f(g_j,h_j)

で与えられる。固定された両端 $A,G$ をもつ中心拡大の同値類の Baer 群を $H^2(G,A)$ と同定すると、この射は中心拡大の因子集合を二次ホモロジー類へ評価する準同型である。

証明.命題 3.1の整数自由鎖複体 $C(G)$ に§E6.43 系 3.1を $R=\Z$ 、 $M=A$ 、 $k=2$ として適用する。得られた自然短完全列は

0\longrightarrow\operatorname{Ext}_\Z^1(H_1(G,\Z),A) \longrightarrow H^2(G,A) \longrightarrow\Hom_\Z(H_2(G,\Z),A) \longrightarrow0

である。§E7.42 命題 1.3の自然同型 $H_1(G,\Z)\cong G^{\mathrm{ab}}$ と、Schur 乗数の定義を用いると、主張の列を得る。群準同型は命題 3.1の鎖写像を与え、係数準同型は Hom の後合成を与える。普遍係数列の両変数の自然性により、主張の列も両者について自然である。

普遍係数列の右端射は、コサイクルをサイクルに制限してホモロジーへ因子化する写像である。 $f$ に対応する $\varphi_f:C_2(G)\to A$ に対し、 $\varphi_f d_3=0$ なので境界上で零となり、

[z]\longmapsto\varphi_f(z)=\sum_j n_j f(g_j,h_j)

が定まる。 $f$ を $f+\delta t$ に替えても、サイクル $z$ 上では $(\delta t)(z)=t(d_2z)=0$ であるから値は変わらない。したがって、この公式はコホモロジー類とホモロジー類の双方の代表によらず、普遍係数列の右端射を与える。

命題 3.1の自由鎖複体 $C(G)$ に§E6.42 補題 1.2を $R=\Z$ 、 $n=2$ として適用し、切断の選択による同型 $Z_2(C(G))\oplus B_1(C(G))\to C_2(G)$ を一つ取る。この同型の逆と第一射影の合成を $r_2:C_2(G)\to Z_2(C(G))$ とすると、 $r_2$ は包含 $Z_2(C(G))\hookrightarrow C_2(G)$ のレトラクションである。商写像を $q_2:Z_2(C(G))\to H_2(C(G))=M(G)$ とし、

s:\Hom_\Z(M(G),A)\longrightarrow H^2(G,A), \qquad s(u)=[u q_2 r_2]

と定める。 $d_3$ の像は $Z_2(C(G))$ に含まれ、 $r_2$ はその部分群上で恒等写像であるから、 $u q_2 r_2 d_3=u q_2 d_3=0$ となる。よって $s(u)$ はコホモロジー類を定める。 $s$ は加法を保ち、任意の二次サイクル $z$ に対して

\rho_{G,A}(s(u))([z])=u(q_2 r_2 z)=u([z])

である。したがって $\rho_{G,A}s$ は恒等写像であり、列は分裂する。この切断の構成には $r_2$ の選択を用いている。

別のレトラクション $r'_2$ から得られる切断を $s'$ とすると、任意の $u:M(G)\to A$ に対して

s'(u)-s(u)=[u q_2(r'_2-r_2)]

である。 $r'_2-r_2$ は $Z_2(C(G))$ 上で零なので、この差の $\rho_{G,A}$ による像は零である。短完全性により、差は $\operatorname{Ext}_\Z^1(G^{\mathrm{ab}},A)$ の像に属する。

群の拡大が自明な作用を誘導することは、すべての $e\in E$ 、 $a\in A$ に対して $ei(a)e^{-1}=i(a)$ が成り立つこと、すなわち核の像が $E$ の中心に含まれることと同値である。§E7.36 定理 2.5と§E7.36 定理 3.2により、この中心拡大の Baer 群は $H^2(G,A)$ である。分類は拡大を因子集合の類へ送るので、表示された評価公式が中心拡大の解釈を与える。▨

系 3.3. $G$ を完全群、 $A$ を自明な $G$ -作用をもつ任意のアーベル群とする。このとき評価射

\rho_{G,A}:H^2(G,A)\xrightarrow{\ \sim\ }\Hom_\Z(M(G),A)

は同型である。したがって、両端の恒等写像を固定した $A$ による $G$ の中心拡大の同値類は、準同型 $M(G)\to A$ によって分類される。

証明. 完全群の定義により $[G,G]=G$ であり、アーベル化 $G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$ は零群である。零加群は射影的なので、§E6.39 命題 1.5により $\operatorname{Ext}_\Z^1(G^{\mathrm{ab}},A)=0$ となる。定理 3.2の短完全列において左項が零なので、 $\rho_{G,A}$ は同型である。同じ定理の中心拡大の解釈により分類を得る。▨

系 3.4. $G$ を任意の群、 $A$ を自明な $G$ -作用をもつ可除アーベル群とする。このとき評価射

\rho_{G,A}:H^2(G,A)\xrightarrow{\ \sim\ }\Hom_\Z(M(G),A)

は同型である。したがって、両端の恒等写像を固定した $A$ による $G$ の中心拡大の同値類は、準同型 $M(G)\to A$ によって分類される。

証明.§E6.17 命題 3.3により、 $A$ は入射 $\Z$ -加群である。§E6.39 定理 4.1 条件 (b)により $\operatorname{Ext}_\Z^1(G^{\mathrm{ab}},A)=0$ となる。したがって定理 3.2の短完全列の左項は零であり、評価射は同型である。同じ定理の中心拡大の解釈により分類を得る。▨

§E7.43群の拡大と加群の拡大

1 増大イデアルと次元移動

2 拡大類の対応

3 中心拡大と Schur 乗数

前提記事