群コホモロジーの積 | 群論入門

補題 1.1. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ とし、標準自由分解を $B_\bullet\xrightarrow{\ep}\Z$ と書く。添加を除いた複体では $B_0$ からの微分を零とする。 $k=2,3$ と各 $n\ge0$ に対して

(B^{\otimes k})_n =\bigoplus_{i_1+\cdots+i_k=n}B_{i_1}\otimes_{\Z}\cdots\otimes_{\Z}B_{i_k} \qquad(i_1,\ldots,i_k\ge0)

とおき、各テンソル積に対角作用

g(x_1\otimes\cdots\otimes x_k)=gx_1\otimes\cdots\otimes gx_k

を入れる。 $x_a\in B_{i_a}$ に対する微分を

D(x_1\otimes\cdots\otimes x_k) =\sum_{a=1}^k(-1)^{i_1+\cdots+i_{a-1}} x_1\otimes\cdots\otimes d x_a\otimes\cdots\otimes x_k

と定める。この複体と添加 $\ep^{\otimes k}\colon(B^{\otimes k})_0\to\Z$ は、自明左 $R$ -加群 $\Z$ の自由分解をなす。

証明. 各 $g\in G$ に対して $(x,y)\mapsto gx\otimes gy$ は $\Z$ -双線形であるから、テンソル積の普遍性§E6.14 定義 3.1により $B_i\otimes_{\Z}B_j$ の自己準同型を定める。二つの群元の作用の合成は、純テンソル上でその積の作用に等しい。純テンソルはテンソル積を生成するため、これらの写像は群の作用を定め、群環へ線形に延長して左 $R$ -加群構造を与える。三因子にも同じ構成を適用する。

$B_i,B_j$ の $R$ -基底の元を、それぞれ $b,c$ で表す。§E6.14 定理 4.2により、 $b,c$ を各基底全体に、 $g,h$ を $G$ 全体にわたらせた $g b\otimes h c$ は、 $B_i\otimes_{\Z}B_j$ の整数基底である。各基底元は

g b\otimes h c=g(b\otimes g^{-1}h c)

と一意に表されるので、 $b\otimes t c$ （ $t\in G$ ）は対角作用に関する $R$ -基底である。三因子の基底元も、第三因子の $R$ -基底の元を $a$ 、群元を $t$ とすると、

g b\otimes h c\otimes t a =g(b\otimes g^{-1}h c\otimes g^{-1}t a)

という一意な表示から $R$ -基底を得る。したがって各全複体の各項は自由である。

二因子の微分 $D(x\otimes y)=dx\otimes y+(-1)^i x\otimes dy$ （ $x\in B_i$ ）は $R$ -線形である。 $D^2$ の交差項の係数は $(-1)^{i-1}+(-1)^i=0$ であり、各因子の $d^2$ は零であるから $D^2=0$ となる。三因子の微分は二因子の全複体と $B$ に同じ構成を適用したものであり、その二乗も零である。

§E7.35 補題 2.3の整数線形写像を $h_n\colon B_n\to B_{n+1}$ 、 $\iota=h_{-1}\colon\Z\to B_0$ と書く。非添加複体 $B$ の写像 $e$ を、次数零では $\iota\ep$ 、正次数では零と定める。 $e$ は整数線形な鎖写像であり、既出の縮約恒等式は

dh+hd=1-e

となる。二因子の全複体に整数線形写像

H(x\otimes y)=h x\otimes y+(-1)^i e x\otimes h y \qquad(x\in B_i)

を定める。第一項を $H_1$ 、第二項を $H_2$ と書くと、

DH_1+H_1D=(1-e)\otimes1,\qquad DH_2+H_2D=e\otimes(1-e)

である。実際、第一の等式の交差項は $(-1)^{i+1}+(-1)^i=0$ で消え、残る項は $(dh+hd)x\otimes y$ となる。第二の等式では $de=ed$ によって第一因子を微分する項が消え、残る項は $ex\otimes(dh+hd)y$ となる。よって

DH+HD=1-e\otimes e.

正次数のサイクル $z$ は $(e\otimes e)z=0$ を満たすので $z=DH(z)$ である。次数零で $(\ep\otimes\ep)z=0$ の場合も $(e\otimes e)z=(\iota\otimes\iota)(\ep\otimes\ep)z=0$ なので $z=DH(z)$ となる。添加は $[]\otimes[]$ を $1$ に送るから全射であり、二因子の添加複体は完全である。

三因子では、二因子の複体の縮約 $H$ と写像 $e\otimes e$ 、および第三因子の $h,e$ に上記の二項の計算を適用する。すなわち $z\in(B\otimes B)_a$ に対し

K(z\otimes y)=H z\otimes y+(-1)^a(e\otimes e)z\otimes h y

とおくと、 $DK+KD=1-e\otimes e\otimes e$ となる。正次数のサイクルと次数零の添加の核は、この恒等式によってそれぞれ境界である。添加は $[]\otimes[]\otimes[]$ を $1$ に送るので全射である。整数加群についての核と像の一致は $R$ -加群についての核と像の一致でもあり、両複体は自由分解をなす。▨

補題 1.2. $G$ を群とし、標準自由分解を $B_\bullet\xrightarrow{\ep}\Z$ と書く。 $R=\Z[G]$ -線形写像 $\Delta_n\colon B_n\to(B\otimes_{\Z}B)_n$ を、自由基底上の式

\Delta_n[g_1|\cdots|g_n] =\sum_{i=0}^{n}[g_1|\cdots|g_i] \otimes(g_1\cdots g_i)[g_{i+1}|\cdots|g_n]

で定める。空の組は $[]$ 、空の群元の積は単位元を表す。この写像は $D\Delta=\Delta d$ と $(\ep\otimes\ep)\Delta_0=\ep$ を満たす。さらに、 $\ep$ を非添加複体 $B$ から次数零に置いた $\Z$ への写像とみなすと、

(\ep\otimes1)\Delta=1_B=(1\otimes\ep)\Delta

が成り立つ。この $\Delta$ を Alexander–Whitney 対角という。

証明.§E6.10 補題 1.4により、表示した基底値は $R$ -線形写像を一意に定める。§E7.35 補題 2.2の証明で用いた整数基底の表示を

v(x_0,\ldots,x_n) =x_0[x_0^{-1}x_1|\cdots|x_{n-1}^{-1}x_n]

と書く。この表示では面は一つの頂点を削除し、対角の式は

\Delta v(x_0,\ldots,x_n) =\sum_{i=0}^{n}v(x_0,\ldots,x_i)\otimes v(x_i,\ldots,x_n)

となる。 $n\ge1$ に対して $D\Delta v(x_0,\ldots,x_n)$ は、二つの和

\sum_{i=1}^{n}\sum_{r=0}^{i}(-1)^r v(x_0,\ldots,\widehat{x_r},\ldots,x_i)\otimes v(x_i,\ldots,x_n)

および

\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{s=i}^{n}(-1)^s v(x_0,\ldots,x_i)\otimes v(x_i,\ldots,\widehat{x_s},\ldots,x_n)

の和である。第一の和で $r=i$ の項は、第二の和で分割位置と削除位置がともに $i-1$ の項と値が等しく、符号が逆である。残る項では、削除する頂点が分割頂点より前にあるか後にあるかに応じて、それぞれ $r<i$ または $s>i$ となる。頂点を一つ削除してから残った頂点で分割する各項は、この二つの場合の一方にちょうど一度現れ、削除位置による符号も一致する。よって残る和は $\Delta d v(x_0,\ldots,x_n)$ に等しい。整数基底上での一致から $D\Delta=\Delta d$ を得る。

次数零では $\Delta v(x_0)=v(x_0)\otimes v(x_0)$ 、 $\ep v(x_0)=1$ であるから添加を保つ。 $(\ep\otimes1)\Delta$ には分割位置 $0$ の項だけが残り、値は $v(x_0,\ldots,x_n)$ である。 $(1\otimes\ep)\Delta$ には分割位置 $n$ の項だけが残り、同じ値を与える。したがって両合成は $1_B$ に等しい。▨

定理 2.1. $G$ を群、 $M,N,L$ を左 $\Z[G]$ -加群、 $\beta\colon M\times N\to L$ を $G$ -同変な $\Z$ -双線形写像とする。各 $p,q\ge0$ に対し、非斉次コチェインの積を

\begin{aligned} &(f\smile_\beta g)(g_1,\ldots,g_{p+q})\\ &\quad=\beta\bigl(f(g_1,\ldots,g_p), (g_1\cdots g_p)g(g_{p+1},\ldots,g_{p+q})\bigr) \qquad(f\in C^p(G,M),\ g\in C^q(G,N)) \end{aligned}

と定める。空の入力における零次コチェインの値は対応する係数加群の元とし、空の群元の積は単位元とする。この積は

\delta(f\smile_\beta g) =\delta f\smile_\beta g+(-1)^p f\smile_\beta\delta g

を満たし、双加法的な写像

H^p(G,M)\times H^q(G,N)\longrightarrow H^{p+q}(G,L), \qquad([f],[g])\longmapsto[f\smile_\beta g]

を定める。この積を $\beta$ によるカップ積という。

テンソル積 $M\otimes_{\Z}N$ に対角作用を入れ、 $\bar\beta\colon M\otimes_{\Z}N\to L$ を $\beta$ の線形化とする。標準分解の対角の $(p,q)$ 成分を $\Delta_{p,q}$ と書くと、コチェインの積は合成 $\bar\beta(f\otimes g)\Delta_{p,q}$ に等しい。 $\Delta$ を、同じ添加を保つ任意の鎖写像 $B\to B\otimes_{\Z}B$ に置き換えても、コホモロジー上の積は変わらない。 $\beta(m,n)=m\otimes n$ の場合には積を単に $\smile$ と書く。

証明. テンソル積の普遍性により $\bar\beta$ が一意に定まり、 $G$ -同変性の等式 $\beta(hm,hn)=h\beta(m,n)$ は、純テンソル上で $\bar\beta$ が $G$ -作用を保つことを与える。したがって $\bar\beta$ は $\Z[G]$ -線形である。§E7.35 命題 4.2によって $f,g$ をそれぞれ $B_p\to M$ 、 $B_q\to N$ とみなす。補題 1.2の $(p,q)$ 成分に $\bar\beta(f\otimes g)$ を合成すると、表示した非斉次コチェインの式を得る。

$\bar\beta(f\otimes g)$ を、全複体の次数 $p+q$ において $(p,q)$ 成分以外では零となるコチェイン $F$ とみなす。 $FD$ は $(p+1,q)$ 成分で $\bar\beta((\delta f)\otimes g)$ 、 $(p,q+1)$ 成分で $(-1)^p\bar\beta(f\otimes\delta g)$ となり、他の成分では零である。 $D\Delta=\Delta d$ により、これが積の Leibniz 則を与える。したがってコサイクル同士の積はコサイクルである。 $\delta g=0$ のとき $(\delta a)\smile_\beta g=\delta(a\smile_\beta g)$ であり、 $\delta f=0$ のとき $f\smile_\beta\delta b=(-1)^p\delta(f\smile_\beta b)$ であるから、代表の変更による差はコバウンダリーである。次数零には負次数からのコバウンダリーがない。コチェインの式の双加法性もコホモロジーへ移る。

添加を保つ別の鎖写像 $\Delta'$ を取る。始域 $B$ は§E7.35 定理 2.4によって射影分解であり、終域 $B\otimes B$ は補題 1.1によって分解である。§E6.38 定理 2.2により、 $\Delta-\Delta'=DS+Sd$ を満たす $\Z[G]$ -線形写像 $S$ が存在する。 $f,g$ がコサイクルなら $FD=0$ であり、 $n=p+q\ge1$ で

F(\Delta_n-\Delta'_n)=F S_{n-1}d_n=\delta(FS_{n-1})

となる。 $n=0$ では $\Delta_0-\Delta'_0=D S_0$ なので $F(\Delta_0-\Delta'_0)=0$ である。したがってコホモロジー上の積は対角の選択によらない。▨

定理 2.2. $G$ を群、 $M,N,L$ を左 $\Z[G]$ -加群、 $p,q,r\ge0$ とする。カップ積は次の性質を満たす。

左 $\Z[G]$ -線形写像 $u\colon M\to M'$ 、 $v\colon N\to N'$ 、 $w\colon L\to L'$ と、同変双線形写像 $\beta\colon M\times N\to L$ 、 $\beta'\colon M'\times N'\to L'$ が $w\beta(m,n)=\beta'(um,vn)$ を満たすならば、 $w_*(x\smile_\beta y)=u_*x\smile_{\beta'}v_*y$ がすべての $x\in H^p(G,M)$ 、 $y\in H^q(G,N)$ について成り立つ。
群準同型 $\varphi\colon H\to G$ に対し、 $\varphi^*M$ を作用 $hm=\varphi(h)m$ を入れた $H$ -加群とする。コチェインの入力への $\varphi$ の代入は、すべての $n\ge0$ について準同型 $\varphi^*\colon H^n(G,M)\to H^n(H,\varphi^*M)$ を定める。同変双線形写像 $\beta\colon M\times N\to L$ と $x\in H^p(G,M)$ 、 $y\in H^q(G,N)$ に対して、 $\varphi^*(x\smile_\beta y)=\varphi^*x\smile_\beta\varphi^*y$ が成り立つ。
$x\in H^p(G,M)$ 、 $y\in H^q(G,N)$ 、 $z\in H^r(G,L)$ に対し、テンソル積の自然な同型 $(M\otimes N)\otimes L\cong M\otimes(N\otimes L)$ による同定のもとで $(x\smile y)\smile z=x\smile(y\smile z)$ が成り立つ。
$\Z$ に自明作用を与え、 $1\in\Z=H^0(G,\Z)$ とする。自然な同型 $\Z\otimes M\cong M\cong M\otimes\Z$ による同定のもとで、すべての $x\in H^p(G,M)$ について $1\smile x=x=x\smile1$ である。
交換写像 $s\colon M\otimes N\to N\otimes M$ 、 $s(m\otimes n)=n\otimes m$ に対し、すべての $x\in H^p(G,M)$ 、 $y\in H^q(G,N)$ について $s_*(x\smile y)=(-1)^{pq}y\smile x$ が成り立つ。

ここでテンソル積はすべて $\Z$ 上で取り、各テンソル積には対角作用を入れる。

証明. $x,y$ のコサイクル代表を $f,g$ とする。 $w\bar\beta(f\otimes g)=\bar\beta'((uf)\otimes(vg))$ が純テンソル上で成り立つので、対角と合成すると(1)を得る。

群準同型 $\varphi\colon H\to G$ に対し、標準分解の間の $\Z[H]$ -線形写像

F_n\colon B_n(H)\longrightarrow\varphi^*B_n(G),\qquad [h_1|\cdots|h_n]\longmapsto[\varphi(h_1)|\cdots|\varphi(h_n)]

を取る。 $\varphi(h_i h_{i+1})=\varphi(h_i)\varphi(h_{i+1})$ と作用の定義により、 $F$ は標準分解の各面と可換であり、添加も保つ。したがって $F$ との前合成は余鎖写像を与え、コホモロジーに $\varphi^*$ を誘導する。二つの写像 $\Delta_G F$ と $(F\otimes F)\Delta_H$ は、 $B(H)$ から $\varphi^*(B(G)\otimes B(G))$ への鎖写像であり、同じ $\id_{\Z}$ を持ち上げる。始域は $\Z[H]$ 上自由であり、終域は作用を制限しても完全性を保つため、§E6.38 定理 2.2により両写像は鎖ホモトピックである。定理 2.1の証明で用いた閉コチェインとの合成の境界計算を適用すると、(2)を得る。

$M,N,L$ の左右の整数作用を通常の整数倍とし、§E6.14 定理 8.1を係数環 $R=S=T=\Z$ に適用して結合同型を得る。この同型は $(m\otimes n)\otimes\ell$ を $m\otimes(n\otimes\ell)$ へ送るので、純テンソル上で対角作用を保つ。以下の三重テンソル積をこの写像で同定する。 $B\to B\otimes B\otimes B$ の鎖写像 $(\Delta\otimes1)\Delta$ と $(1\otimes\Delta)\Delta$ は、いずれも $\id_{\Z}$ を持ち上げる。補題 1.1と§E6.38 定理 2.2により両写像は鎖ホモトピックである。 $z$ のコサイクル代表を $h\colon B_r\to L$ とし、次数 $p+q+r$ の全コチェイン $f\otimes g\otimes h$ を合成する。この全コチェインと全微分の合成は、 $\delta f=\delta g=\delta h=0$ によって零である。二つの合成の差はコバウンダリーとなるので、(3)が成り立つ。

$1\in H^0(G,\Z)$ の代表は $\ep\colon B_0\to\Z$ である。補題 1.2の $(\ep\otimes1)\Delta=1_B=(1\otimes\ep)\Delta$ を $f$ と合成すると、(4)を得る。

$a\in B_i$ 、 $b\in B_j$ に対し、 $\tau(a\otimes b)=(-1)^{ij}b\otimes a$ と定める。 $D\tau(a\otimes b)$ の $db\otimes a$ と $b\otimes da$ の係数は、それぞれ $(-1)^{ij}$ と $(-1)^{ij+j}$ である。 $\tau D(a\otimes b)$ の同じ二項の係数は、それぞれ $(-1)^{i+i(j-1)}$ と $(-1)^{(i-1)j}$ であり、前の二つの符号に等しい。よって $\tau$ は添加を保つ鎖写像であり、 $\tau\Delta$ と $\Delta$ は同じ $\id_{\Z}$ を持ち上げる。比較定理により両写像は鎖ホモトピックである。次数 $p+q$ の閉コチェイン $g\otimes f$ を合成すると、

[(g\otimes f)\Delta_{q,p}] =[(g\otimes f)\tau\Delta_{p,q}] =(-1)^{pq}s_*[(f\otimes g)\Delta_{p,q}]

となり、(5)が従う。▨

命題 3.1. $G$ を群、 $M$ を左 $\Z[G]$ -加群、 $p,q\ge1$ とする。係数の双線形写像 $M\times\Z\to M$ 、 $(m,a)\mapsto am$ によるカップ積

H^p(G,M)\times H^q(G,\Z)\longrightarrow H^{p+q}(G,M)

は、 $H^n(G,A)=\operatorname{Ext}_{\Z[G]}^n(\Z,A)$ という同定のもとで、射影分解上の持ち上げの合成による積と一致する。したがって、拡大による表示では Yoneda 積と一致する。特に $M=\Z$ のとき、整数の乗法による正次数のカップ積は Yoneda 積である。

零次の元を含める場合には、右側の $a\in H^0(G,\Z)$ は $a$ 倍写像との前合成、左側の $x\in H^0(G,M)$ は対応する写像 $\Z\to M$ との後合成として積に作用する。これらの合成作用もカップ積と一致する。

証明. 標準分解 $B$ 上のコサイクル $g\colon B_q\to\Z$ に対し、

A_j=(1\otimes g)\Delta_{j,q}\colon B_{j+q}\longrightarrow B_j \qquad(j\ge0)

と定める。終域では $B_j\otimes\Z\cong B_j$ と同定している。対角の微分適合性の $(j-1,q)$ 成分は、 $j\ge1$ で

(d_j\otimes1)\Delta_{j,q} +(-1)^{j-1}(1\otimes d_{q+1})\Delta_{j-1,q+1} =\Delta_{j-1,q}d_{j+q}

である。第二因子に $g$ を合成すると、 $g d_{q+1}=0$ により第二項は消え、

d_j A_j=A_{j-1}d_{j+q}

を得る。また $(\ep\otimes1)\Delta=1_B$ に $g$ を合成すると $\ep A_0=g$ となる。したがって $A$ は§E6.40 命題 4.1の積に用いる $g$ の持ち上げである。 $f\colon B_p\to M$ がコサイクルならば、

f A_p=(f\otimes g)\Delta_{p,q}=f\smile g

であるから、持ち上げの合成による積 $[f][g]$ とカップ積 $[f]\smile[g]$ は等しい。§E6.40 定理 4.3により、正次数のこの積は拡大の接合による Yoneda 積に一致する。

$a\in H^0(G,\Z)=\Z$ のコサイクル代表は $a\ep$ であり、 $a$ 倍写像 $\Z\to\Z$ の持ち上げとして各次数の $a\,1_{B_j}$ を取ることができる。前合成は $f\mapsto af$ であり、 $(1\otimes\ep)\Delta=1_B$ によって $f\smile(a\ep)=af$ でもある。一方、 $x\in H^0(G,M)=M^G$ は $t_x\colon\Z\to M$ 、 $t_x(1)=x$ を定め、代表は $t_x\ep$ である。 $(\ep\otimes1)\Delta=1_B$ によって

(t_x\ep)\smile g=t_x g

となり、係数への後合成に一致する。両方の次数が零の場合も、これらの式は $t_x$ と整数倍写像の合成を与える。▨

定義 3.2. $G$ を群とし、 $\Z$ に自明作用を与える。次数付きアーベル群

H^*(G,\Z)=\bigoplus_{n\ge0}H^n(G,\Z)

に、整数の乗法 $\Z\times\Z\to\Z$ によるカップ積を双加法的に延長する。この積をもつ $H^*(G,\Z)$ を、 $G$ の整数係数のコホモロジー環 (cohomology ring) という。整数の乗法の結合律、定理 2.2 (3)および定理 2.2 (4)により、この環は結合的で単位元 $1\in H^0(G,\Z)$ をもち、定理 2.2 (5)により

xy=(-1)^{pq}yx \qquad(x\in H^p(G,\Z),\ y\in H^q(G,\Z))

を満たす。すなわち、この環は次数付き可換である。

定理 4.1. $G=\langle\sigma\rangle$ を位数 $m\ge1$ の有限巡回群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とする。§E7.38 命題 1.2の周期分解 $P_n=\Z[G]$ を、奇数次の微分 $T=\sigma-1$ 、正偶数次の微分 $N=\sum_{i=0}^{m-1}\sigma^i$ によって取る。整数係数の二次類を

u=[\ep\colon P_2\to\Z]\in H^2(G,\Z)

と定める。評価 $\varphi\mapsto\varphi(1)$ による $H^2(G,\Z)\cong\Z/m\Z$ のもとで、 $u$ は $1+m\Z$ に対応する。すべての $n\ge1$ に対して、積による写像

H^n(G,A)\longrightarrow H^{n+2}(G,A),\qquad x\longmapsto x\smile u

は $A$ について自然な同型である。自然な係数の同定のもとで $x\smile u=u\smile x$ である。零次の同じ写像は、§E7.38 定理 2.1の同定のもとで商写像 $A^G\to A^G/NA$ である。

証明. $\ep d_3=\ep T=0$ であるから、 $\ep\colon P_2\to\Z$ はコサイクルである。§E7.38 定理 2.1の評価同型により、その類は $1+m\Z$ に対応する。 $j\ge0$ に対して $U_j\colon P_{j+2}\to P_j$ を群環の恒等写像とする。 $\ep U_0=\ep$ であり、 $j\ge1$ では周期分解の $d_{j+2}=d_j$ により

d_j U_j=U_{j-1}d_{j+2}

となる。したがって $U$ は二次コサイクル $\ep$ の持ち上げである。

$n\ge1$ のコサイクル $f\colon P_n\to A$ を取る。命題 3.1と§E6.40 命題 4.1の分解独立性により、 $[f]\smile u$ は $f U_n\colon P_{n+2}\to A$ の類である。評価すると $fU_n(1)=f(1)$ である。奇数次数ではこの写像は $\ker N/TA$ の恒等写像であり、正偶数次数では $A^G/NA$ の恒等写像である。よってすべての $n\ge1$ で同型である。係数加群の射は評価と可換なので自然性も成り立つ。定理 2.2 (5)の符号は $(-1)^{2n}=1$ であり、 $x\smile u=u\smile x$ を得る。

$a\in A^G$ に対して、 $t_a\colon\Z\to A$ 、 $t_a(1)=a$ は $\Z[G]$ -線形である。命題 3.1の零次の合成作用により、 $a\smile u$ は $t_a\ep\colon P_2\to A$ の類である。その評価は $a$ なので、零次の写像は $a\mapsto a+NA$ である。▨

定理 4.2. $G=\langle\sigma\rangle$ を位数 $m\ge1$ の有限巡回群とし、 $u\in H^2(G,\Z)$ を定理 4.1の二次類とする。次数二の不定元 $U$ に対して、 $U\mapsto u$ は次数付き環の同型

\Z[U]/(mU)\xrightarrow{\ \sim\ }H^*(G,\Z)

を与える。

証明.§E7.38 例 2.2により、次数零は $\Z$ 、奇数次数は零、各正偶数次数は $\Z/m\Z$ である。 $u$ は二次の群で $1+m\Z$ に対応する。定理 4.1の証明における恒等持ち上げを繰り返し用いると、各 $k\ge1$ に対し $u^k$ は $\ep\colon P_{2k}\to\Z$ の類であり、次数 $2k$ の群を生成する。したがって $U\mapsto u$ が定める環準同型 $\Z[U]\to H^*(G,\Z)$ は全射である。多項式 $a_0+a_1U+\cdots+a_sU^s$ の像が零であるための必要十分条件は、次数ごとに $a_0=0$ 、 $a_k\in m\Z$ （ $1\le k\le s$ ）となることである。この条件を満たす多項式全体はイデアル $(mU)$ であり、商を取ると主張の同型を得る。 $m=1$ のときも同じ計算が成り立ち、 $u=0$ 、 $\Z[U]/(U)\cong\Z$ となる。▨

例 4.3. 位数二の巡回群 $G=\langle\sigma\rangle$ が、アーベル群 $A=\Z$ に $\sigma a=-a$ によって作用するとする。このとき $T=-2$ 、 $N=1+\sigma=0$ であるから、§E7.38 定理 2.1により

H^0(G,A)=0,\qquad H^{2k+1}(G,A)\cong\Z/2\Z,\qquad H^{2k+2}(G,A)=0\quad(k\ge0)

である。評価による $H^1(G,A)\cong\Z/2\Z$ の非零類を $x$ とし、整数係数の二次類を $u$ とする。定理 4.1により、 $x\smile u^k$ はすべての $k\ge0$ について次数 $2k+1$ の非零類である。したがって二次整数類との積は、自明でない作用をもつ係数の奇数次数の類にも周期性を与える。

例 4.4. $G$ を位数 $m\ge1$ の有限巡回群とし、 $\Z$ に自明作用を与える。二次類 $u$ との積による零次から二次への写像は

\Z=H^0(G,\Z)\longrightarrow H^2(G,\Z)=\Z/m\Z, \qquad a\longmapsto a+m\Z

である。その核は $m\Z\ne0$ であり、同型ではない。したがって定理 4.1の正次数という条件を零次まで広げることができない。

§E7.40群コホモロジーの積

1 テンソル分解と対角

2 カップ積

3 Yoneda 積とコホモロジー環

4 有限巡回群の周期性と環

参考文献

前提記事