1 増大イデアルと第一次ホモロジー 定義 1.1. 群G G G ε : Z [ G ] → Z \ep\colon\Z[G]\to\Z ε : Z [ G ] → Z I G I_G I G G G G 増大イデアル (augmentation ideal )
補題 1.2. 任意の群G G G g ↦ ( g − 1 ) + I G 2 g\mapsto(g-1)+I_G^2 g ↦ ( g − 1 ) + I G 2
G a b ⟶ I G / I G 2 G^{\mathrm{ab}}\longrightarrow I_G/I_G^2 G ab ⟶ I G / I G 2 を誘導する。この同型は群準同型について自然である。
証明. 群環の等式
g h − 1 = ( g − 1 ) + ( h − 1 ) + ( g − 1 ) ( h − 1 ) gh-1=(g-1)+(h-1)+(g-1)(h-1) g h − 1 = ( g − 1 ) + ( h − 1 ) + ( g − 1 ) ( h − 1 ) により、g ↦ ( g − 1 ) + I G 2 g\mapsto(g-1)+I_G^2 g ↦ ( g − 1 ) + I G 2 I G / I G 2 I_G/I_G^2 I G / I G 2 §E7.22 定理 1.3 により、G a b G^{\mathrm{ab}} G ab α \alpha α
a = ∑ g a g g ∈ I G a=\sum_g a_g g\in I_G a = ∑ g a g g ∈ I G ∑ g a g = 0 \sum_g a_g=0 ∑ g a g = 0 a = ∑ g ≠ 1 a g ( g − 1 ) a=\sum_{g\ne1}a_g(g-1) a = ∑ g = 1 a g ( g − 1 ) g ≠ 1 g\ne1 g = 1 ( g − 1 ) g ≠ 1 (g-1)_{g\ne1} ( g − 1 ) g = 1 I G I_G I G g ˉ \bar g g ˉ G a b G^{\mathrm{ab}} G ab g g g g − 1 ↦ g ˉ g-1\mapsto\bar g g − 1 ↦ g ˉ β : I G → G a b \beta\colon I_G\to G^{\mathrm{ab}} β : I G → G ab I G 2 I_G^2 I G 2 ( g − 1 ) ( h − 1 ) (g-1)(h-1) ( g − 1 ) ( h − 1 )
β ( ( g − 1 ) ( h − 1 ) ) = g h ‾ − g ˉ − h ˉ = 0 \beta((g-1)(h-1))=\overline{gh}-\bar g-\bar h=0 β (( g − 1 ) ( h − 1 )) = g h − g ˉ − h ˉ = 0 であるから、β \beta β I G / I G 2 I_G/I_G^2 I G / I G 2 α \alpha α u : G → K u\colon G\to K u : G → K g − 1 g-1 g − 1 u ( g ) − 1 u(g)-1 u ( g ) − 1 u u u ▨
命題 1.3. 任意の群G G G
H 1 ( G , Z ) ≅ G a b H_1(G,\Z)\cong G^{\mathrm{ab}} H 1 ( G , Z ) ≅ G ab が存在する。自明な整数係数の bar 複体における一次元の鎖[ g ] [g] [ g ] g g g
証明. A = Z [ G ] A=\Z[G] A = Z [ G ] A A A Z \Z Z A A A
0 ⟶ I G ⟶ A → ε Z ⟶ 0 0\longrightarrow I_G\longrightarrow A\xrightarrow{\ep}\Z\longrightarrow0 0 ⟶ I G ⟶ A ε Z ⟶ 0 に§E6.41 命題 4.2 (2) を適用する。A A A A A A §E7.35 定義 6.2 により低次の列は
0 ⟶ H 1 ( G , Z ) → δ Z ⊗ A I G ⟶ Z ⊗ A A ⟶ Z ⊗ A Z ⟶ 0 0\longrightarrow H_1(G,\Z)\xrightarrow{\delta}
\Z\otimes_A I_G\longrightarrow\Z\otimes_A A
\longrightarrow\Z\otimes_A\Z\longrightarrow0 0 ⟶ H 1 ( G , Z ) δ Z ⊗ A I G ⟶ Z ⊗ A A ⟶ Z ⊗ A Z ⟶ 0 となる。Z ⊗ A A → Z \Z\otimes_A A\to\Z Z ⊗ A A → Z n ⊗ a ↦ n ε ( a ) n\otimes a\mapsto n\ep(a) n ⊗ a ↦ n ε ( a ) Z ⊗ A Z → Z \Z\otimes_A\Z\to\Z Z ⊗ A Z → Z n ⊗ m ↦ n m n\otimes m\mapsto nm n ⊗ m ↦ nm Z \Z Z δ \delta δ
テンソル積の平衡関係によって
Z ⊗ A I G ⟶ I G / I G 2 , n ⊗ a ⟼ n a + I G 2 \Z\otimes_A I_G\longrightarrow I_G/I_G^2,
\qquad n\otimes a\longmapsto na+I_G^2 Z ⊗ A I G ⟶ I G / I G 2 , n ⊗ a ⟼ na + I G 2 が定まる。実際、b ∈ A b\in A b ∈ A ( b − ε ( b ) ) a ∈ I G 2 (b-\ep(b))a\in I_G^2 ( b − ε ( b )) a ∈ I G 2 a + I G 2 ↦ 1 ⊗ a a+I_G^2\mapsto1\otimes a a + I G 2 ↦ 1 ⊗ a b ∈ I G b\in I_G b ∈ I G 1 ⊗ b a = ε ( b ) ⊗ a = 0 1\otimes ba=\ep(b)\otimes a=0 1 ⊗ ba = ε ( b ) ⊗ a = 0 補題 1.2 と合わせると所要の群同型を得る。
右 bar 分解§E7.35 補題 6.1 では、[ g ] ⊗ 1 [g]\otimes1 [ g ] ⊗ 1 A A A [ ] ⊗ ( g − 1 − 1 ) []\otimes(g^{-1}-1) [ ] ⊗ ( g − 1 − 1 ) δ \delta δ [ g ] [g] [ g ] 1 ⊗ ( g − 1 − 1 ) 1\otimes(g^{-1}-1) 1 ⊗ ( g − 1 − 1 ) I G / I G 2 → G a b I_G/I_G^2\to G^{\mathrm{ab}} I G / I G 2 → G ab δ \delta δ [ g ] [g] [ g ] − g − 1 ‾ = g ˉ -\overline{g^{-1}}=\bar g − g − 1 = g ˉ u : G → K u\colon G\to K u : G → K [ g 1 ∣ ⋯ ∣ g n ] ↦ [ u ( g 1 ) ∣ ⋯ ∣ u ( g n ) ] [g_1|\cdots|g_n]\mapsto[u(g_1)|\cdots|u(g_n)] [ g 1 ∣ ⋯ ∣ g n ] ↦ [ u ( g 1 ) ∣ ⋯ ∣ u ( g n )] [ g ] ↦ [ u ( g ) ] [g]\mapsto[u(g)] [ g ] ↦ [ u ( g )] ▨
2 自由表示と関係加群 定義 2.1. X X X F = F ( X ) F=F(X) F = F ( X ) G G G π : F → G \pi\colon F\to G π : F → G R R R R a b = R / [ R , R ] R^{\mathrm{ab}}=R/[R,R] R ab = R / [ R , R ] g ∈ G g\in G g ∈ G f ∈ F f\in F f ∈ F
g ⋅ r ˉ = f r f − 1 ‾ ( r ∈ R ) g\cdot\bar r=\overline{frf^{-1}}\qquad(r\in R) g ⋅ r ˉ = f r f − 1 ( r ∈ R ) と作用を定める。この作用をもつ左Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] R a b R^{\mathrm{ab}} R ab 関係加群 (relation module )
証明. R R R F F F f f f R R R [ R , R ] [R,R] [ R , R ] s ∈ R s\in R s ∈ R R a b R^{\mathrm{ab}} R ab π ( f ′ ) = π ( f ) \pi(f')=\pi(f) π ( f ′ ) = π ( f ) f ′ = s f f'=sf f ′ = s f s ∈ R s\in R s ∈ R f ′ f' f ′ f f f G G G Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] ▨
定理 2.2. X X X F = F ( X ) F=F(X) F = F ( X ) π : F → G \pi\colon F\to G π : F → G R = ker π R=\ker\pi R = ker π A = Z [ G ] A=\Z[G] A = Z [ G ] A A A C = ⨁ x ∈ X A e x C=\bigoplus_{x\in X}Ae_x C = ⨁ x ∈ X A e x
∂ : C ⟶ I G , ∂ ( e x ) = π ( x ) − 1 \partial\colon C\longrightarrow I_G,
\qquad \partial(e_x)=\pi(x)-1 ∂ : C ⟶ I G , ∂ ( e x ) = π ( x ) − 1 に対して、左A A A
0 ⟶ R a b → ρ C → ∂ I G ⟶ 0 0\longrightarrow R^{\mathrm{ab}}\xrightarrow{\rho}C
\xrightarrow{\partial}I_G\longrightarrow0 0 ⟶ R ab ρ C ∂ I G ⟶ 0 が存在する。ρ ( r ˉ ) \rho(\bar r) ρ ( r ˉ ) G G G ( g , x ) : g → g π ( x ) (g,x)\colon g\to g\pi(x) ( g , x ) : g → g π ( x ) r r r
証明. π ∗ : Z [ F ] → A \pi_*\colon\Z[F]\to A π ∗ : Z [ F ] → A π \pi π §E7.41 定理 1.1 により、( x − 1 ) x ∈ X (x-1)_{x\in X} ( x − 1 ) x ∈ X Z [ F ] \Z[F] Z [ F ] I F I_F I F
q : I F ⟶ C , q ( ∑ x b x ( x − 1 ) ) = ∑ x π ∗ ( b x ) e x q\colon I_F\longrightarrow C,\qquad
q\left(\sum_x b_x(x-1)\right)=\sum_x\pi_*(b_x)e_x q : I F ⟶ C , q ( x ∑ b x ( x − 1 ) ) = x ∑ π ∗ ( b x ) e x が定まり、q ( b v ) = π ∗ ( b ) q ( v ) q(bv)=\pi_*(b)q(v) q ( b v ) = π ∗ ( b ) q ( v ) D ( f ) = q ( f − 1 ) D(f)=q(f-1) D ( f ) = q ( f − 1 ) f ∈ F f\in F f ∈ F
D ( u v ) = D ( u ) + π ( u ) D ( v ) , D ( u − 1 ) = − π ( u ) − 1 D ( u ) , D ( x ) = e x D(uv)=D(u)+\pi(u)D(v),\qquad
D(u^{-1})=-\pi(u)^{-1}D(u),\qquad D(x)=e_x D ( uv ) = D ( u ) + π ( u ) D ( v ) , D ( u − 1 ) = − π ( u ) − 1 D ( u ) , D ( x ) = e x である。また、基底x − 1 x-1 x − 1 ∂ q ( x − 1 ) = π ( x ) − 1 \partial q(x-1)=\pi(x)-1 ∂ q ( x − 1 ) = π ( x ) − 1 ∂ q ( v ) = π ∗ ( v ) \partial q(v)=\pi_*(v) ∂ q ( v ) = π ∗ ( v ) ∂ D ( f ) = π ( f ) − 1 \partial D(f)=\pi(f)-1 ∂ D ( f ) = π ( f ) − 1 π \pi π I G I_G I G g − 1 g-1 g − 1 ∂ \partial ∂
r , s ∈ R r,s\in R r , s ∈ R D ( r s ) = D ( r ) + D ( s ) D(rs)=D(r)+D(s) D ( r s ) = D ( r ) + D ( s ) D D D R R R R a b R^{\mathrm{ab}} R ab ker ∂ \ker\partial ker ∂ ρ \rho ρ f ∈ F f\in F f ∈ F r ∈ R r\in R r ∈ R
D ( f r f − 1 ) = D ( f ) + π ( f ) D ( r ) + π ( f ) D ( f − 1 ) = π ( f ) D ( r ) D(frf^{-1})=D(f)+\pi(f)D(r)+\pi(f)D(f^{-1})
=\pi(f)D(r) D ( f r f − 1 ) = D ( f ) + π ( f ) D ( r ) + π ( f ) D ( f − 1 ) = π ( f ) D ( r ) であるから、ρ \rho ρ A A A
商グラフΓ = R \ C X \Gamma=R\backslash C_X Γ = R \ C X R f Rf R f π ( f ) \pi(f) π ( f ) ( g , x ) (g,x) ( g , x ) ( g , x ) (g,x) ( g , x ) g e x ge_x g e x D D D D ( f ) D(f) D ( f ) f f f §E7.27 補題 2.5 により、基点1 1 1 R R R
§E7.27 補題 2.4 と§E7.27 補題 1.3 により、Γ \Gamma Γ T T T v v v T T T 1 1 1 v v v p v p_v p v T T T E E E e ∈ E e\in E e ∈ E p s ( e ) e p t ( e ) − 1 p_{s(e)}e p_{t(e)}^{-1} p s ( e ) e p t ( e ) − 1 z e z_e z e §E7.27 補題 1.5 により、この閉歩道の類をe e e E E E §E7.9 定理 1.6 と§E7.22 定理 1.3 により、この閉歩道群のアーベル化は、それらの類を基底とする自由アーベル群である。実際、各基底候補のアーベル群への像を指定すると、自由群の普遍性によって準同型が一意に定まり、アーベル化を一意に経由する。
任意のz ∈ ker ∂ z\in\ker\partial z ∈ ker ∂ e e e a e a_e a e
z ′ = z − ∑ e ∈ E a e z e z'=z-\sum_{e\in E}a_ez_e z ′ = z − e ∈ E ∑ a e z e とおく。z z z z ′ z' z ′ T T T z ′ ≠ 0 z'\ne0 z ′ = 0 ∂ z ′ \partial z' ∂ z ′ ∂ z ′ = 0 \partial z'=0 ∂ z ′ = 0 z ′ = 0 z'=0 z ′ = 0 ( z e ) e ∈ E (z_e)_{e\in E} ( z e ) e ∈ E ker ∂ \ker\partial ker ∂ z e z_e z e e e e 1 1 1 0 0 0 ρ \rho ρ R a b R^{\mathrm{ab}} R ab ( z e ) e ∈ E (z_e)_{e\in E} ( z e ) e ∈ E R a b → ker ∂ R^{\mathrm{ab}}\to\ker\partial R ab → ker ∂ X = ∅ X=\varnothing X = ∅ F = R = G = { 1 } F=R=G=\{1\} F = R = G = { 1 } Γ \Gamma Γ R a b = C = I G = 0 R^{\mathrm{ab}}=C=I_G=0 R ab = C = I G = 0 ▨
3 第二次ホモロジーと Hopf の公式 証明. A = Z [ G ] A=\Z[G] A = Z [ G ] A A A Z \Z Z 0 → I G → A → Z → 0 0\to I_G\to A\to\Z\to0 0 → I G → A → Z → 0 §E6.41 命題 4.2 (2) を適用すると、
H 2 ( G , Z ) ≅ Tor 1 A ( Z , I G ) H_2(G,\Z)\cong\operatorname{Tor}_1^A(\Z,I_G) H 2 ( G , Z ) ≅ Tor 1 A ( Z , I G ) を得る。定理 2.2 の中央の加群C = ⨁ x A e x C=\bigoplus_xAe_x C = ⨁ x A e x
0 ⟶ H 2 ( G , Z ) ⟶ Z ⊗ A R a b → 1 ⊗ ρ Z ⊗ A C ⟶ Z ⊗ A I G ⟶ 0 0\longrightarrow H_2(G,\Z)\longrightarrow
\Z\otimes_A R^{\mathrm{ab}}
\xrightarrow{1\otimes\rho}\Z\otimes_A C
\longrightarrow\Z\otimes_A I_G\longrightarrow0 0 ⟶ H 2 ( G , Z ) ⟶ Z ⊗ A R ab 1 ⊗ ρ Z ⊗ A C ⟶ Z ⊗ A I G ⟶ 0 は完全である。
任意の左A A A M M M 1 ⊗ m ↦ m + J G ( M ) 1\otimes m\mapsto m+J_G(M) 1 ⊗ m ↦ m + J G ( M ) Z ⊗ A M → M G \Z\otimes_A M\to M_G Z ⊗ A M → M G m + J G ( M ) ↦ 1 ⊗ m m+J_G(M)\mapsto1\otimes m m + J G ( M ) ↦ 1 ⊗ m 1 ⊗ ( g m − m ) = 0 1\otimes(gm-m)=0 1 ⊗ ( g m − m ) = 0 Z ⊗ A C ≅ ⨁ x Z e x \Z\otimes_A C\cong\bigoplus_x\Z e_x Z ⊗ A C ≅ ⨁ x Z e x 1 ⊗ g e x 1\otimes ge_x 1 ⊗ g e x e x e_x e x ⨁ x Z e x → F a b \bigoplus_x\Z e_x\to F^{\mathrm{ab}} ⨁ x Z e x → F ab e x ↦ x ˉ e_x\mapsto\bar x e x ↦ x ˉ 1 ⊗ ρ 1\otimes\rho 1 ⊗ ρ
( R a b ) G ⟶ F a b , r ˉ ⟼ r [ F , F ] (R^{\mathrm{ab}})_G\longrightarrow F^{\mathrm{ab}},
\qquad \bar r\longmapsto r[F,F] ( R ab ) G ⟶ F ab , r ˉ ⟼ r [ F , F ] に対応する。実際、ρ ( r ˉ ) \rho(\bar r) ρ ( r ˉ ) g e x ge_x g e x e x e_x e x − e x -e_x − e x r r r
k ∈ F k\in F k ∈ F f r f − 1 r − 1 frf^{-1}r^{-1} f r f − 1 r − 1
( k f k − 1 ) ( k r k − 1 ) ( k f k − 1 ) − 1 ( k r k − 1 ) − 1 (kfk^{-1})(krk^{-1})(kfk^{-1})^{-1}(krk^{-1})^{-1} ( k f k − 1 ) ( k r k − 1 ) ( k f k − 1 ) − 1 ( k r k − 1 ) − 1 であり、k r k − 1 ∈ R krk^{-1}\in R k r k − 1 ∈ R [ F , R ] [F,R] [ F , R ] F F F R R R [ F , F ] [F,F] [ F , F ] f ∈ R f\in R f ∈ R
[ R , R ] ⊆ [ F , R ] ⊆ R ∩ [ F , F ] [R,R]\subseteq[F,R]\subseteq R\cap[F,F] [ R , R ] ⊆ [ F , R ] ⊆ R ∩ [ F , F ] となる。R a b R^{\mathrm{ab}} R ab f r f − 1 ‾ − r ˉ \overline{frf^{-1}}-\bar r f r f − 1 − r ˉ R R R [ R , R ] ⊆ [ F , R ] [R,R]\subseteq[F,R] [ R , R ] ⊆ [ F , R ] [ F , R ] [F,R] [ F , R ] ( R a b ) G ≅ R / [ F , R ] (R^{\mathrm{ab}})_G\cong R/[F,R] ( R ab ) G ≅ R / [ F , R ]
ker ( R / [ F , R ] ⟶ F / [ F , F ] ) = R ∩ [ F , F ] [ F , R ] \ker\bigl(R/[F,R]\longrightarrow F/[F,F]\bigr)
=\frac{R\cap[F,F]}{[F,R]} ker ( R / [ F , R ] ⟶ F / [ F , F ] ) = [ F , R ] R ∩ [ F , F ] である。完全列の左端と合わせて同型を得る。
π ′ : F ′ = F ( X ′ ) → G \pi'\colon F'=F(X')\to G π ′ : F ′ = F ( X ′ ) → G v : F → F ′ v\colon F\to F' v : F → F ′ C ′ C' C ′ D ′ D' D ′ ∂ ′ \partial' ∂ ′ A A A C C C e x ↦ D ′ ( v ( x ) ) e_x\mapsto D'(v(x)) e x ↦ D ′ ( v ( x )) A A A L : C → C ′ L\colon C\to C' L : C → C ′ D D D D ′ D' D ′
L D ( f ) = D ′ ( v ( f ) ) ( f ∈ F ) LD(f)=D'(v(f))\qquad(f\in F) L D ( f ) = D ′ ( v ( f )) ( f ∈ F ) となる。また、∂ ′ L ( e x ) = π ′ v ( x ) − 1 = ∂ ( e x ) \partial'L(e_x)=\pi'v(x)-1=\partial(e_x) ∂ ′ L ( e x ) = π ′ v ( x ) − 1 = ∂ ( e x ) ∂ ′ L = ∂ \partial'L=\partial ∂ ′ L = ∂ v v v R a b → ( R ′ ) a b R^{\mathrm{ab}}\to(R')^{\mathrm{ab}} R ab → ( R ′ ) ab L L L I G I_G I G §E6.41 命題 4.2 (2) の自然性により、得られる核の同型はH 2 ( G , Z ) H_2(G,\Z) H 2 ( G , Z ) r [ F , R ] ↦ v ( r ) [ F ′ , R ′ ] r[F,R]\mapsto v(r)[F',R'] r [ F , R ] ↦ v ( r ) [ F ′ , R ′ ] ▨
例 3.2. 任意の巡回群G G G H 2 ( G , Z ) = 0 H_2(G,\Z)=0 H 2 ( G , Z ) = 0 F ( { x } ) F(\{x\}) F ({ x }) G G G §E7.9 例 1.7 によりF ( { x } ) F(\{x\}) F ({ x }) [ F , F ] = 1 [F,F]=1 [ F , F ] = 1 定理 3.1 の分子は自明群となり、結論が従う。
4 Schur 乗数 定義 4.1. 群G G G Schur 乗数 (Schur multiplier )M ( G ) = H 2 ( G , Z ) M(G)=H_2(G,\Z) M ( G ) = H 2 ( G , Z )
定理 4.2. 有限群G G G M ( G ) M(G) M ( G )
証明. §E7.35 命題 6.3 により、H 2 ( G , Z ) H_2(G,\Z) H 2 ( G , Z ) Z \Z Z C ∙ C_\bullet C ∙ C n C_n C n [ g 1 ∣ ⋯ ∣ g n ] [g_1|\cdots|g_n] [ g 1 ∣ ⋯ ∣ g n ] ( g 1 , … , g n ) ∈ G n (g_1,\ldots,g_n)\in G^n ( g 1 , … , g n ) ∈ G n G G G §E6.30 定理 1.1 をZ \Z Z C 2 C_2 C 2 ker d 2 \ker d_2 ker d 2 ker d 2 \ker d_2 ker d 2 H 2 ( C ∙ ) H_2(C_\bullet) H 2 ( C ∙ )
同じ基底をもつ有理ベクトル空間C n Q C_n^{\Q} C n Q §E7.35 補題 6.1 の微分は次数二と三で
d 2 [ g ∣ k ] = [ k ] − [ g k ] + [ g ] , d 3 [ h ∣ g ∣ k ] = [ g ∣ k ] − [ h g ∣ k ] + [ h ∣ g k ] − [ h ∣ g ] \begin{aligned}
d_2[g|k]&=[k]-[gk]+[g],\\
d_3[h|g|k]&=[g|k]-[hg|k]+[h|gk]-[h|g]
\end{aligned} d 2 [ g ∣ k ] d 3 [ h ∣ g ∣ k ] = [ k ] − [ g k ] + [ g ] , = [ g ∣ k ] − [ h g ∣ k ] + [ h ∣ g k ] − [ h ∣ g ] となる。m = ∣ G ∣ m=|G| m = ∣ G ∣
s 1 [ g ] = 1 m ∑ h ∈ G [ h ∣ g ] , s 2 [ g ∣ k ] = 1 m ∑ h ∈ G [ h ∣ g ∣ k ] s_1[g]=\frac1m\sum_{h\in G}[h|g],
\qquad
s_2[g|k]=\frac1m\sum_{h\in G}[h|g|k] s 1 [ g ] = m 1 h ∈ G ∑ [ h ∣ g ] , s 2 [ g ∣ k ] = m 1 h ∈ G ∑ [ h ∣ g ∣ k ] を定める。微分の式から
( d 3 s 2 + s 1 d 2 ) [ g ∣ k ] = [ g ∣ k ] + 1 m ∑ h ∈ G ( − [ h g ∣ k ] + [ h ∣ k ] ) = [ g ∣ k ] \begin{aligned}
(d_3s_2+s_1d_2)[g|k]
&=[g|k]+\frac1m\sum_{h\in G}\bigl(-[hg|k]+[h|k]\bigr)\\
&=[g|k]
\end{aligned} ( d 3 s 2 + s 1 d 2 ) [ g ∣ k ] = [ g ∣ k ] + m 1 h ∈ G ∑ ( − [ h g ∣ k ] + [ h ∣ k ] ) = [ g ∣ k ] である。最後の等式ではh ↦ h g h\mapsto hg h ↦ h g G G G
任意の整数係数のサイクルz ∈ ker d 2 z\in\ker d_2 z ∈ ker d 2 z = d 3 s 2 z z=d_3s_2z z = d 3 s 2 z s 2 z s_2z s 2 z a a a w ∈ C 3 w\in C_3 w ∈ C 3 a z = d 3 w az=d_3w a z = d 3 w H 2 ( C ∙ ) H_2(C_\bullet) H 2 ( C ∙ ) u 1 , … , u t u_1,\ldots,u_t u 1 , … , u t a 1 , … , a t a_1,\ldots,a_t a 1 , … , a t ⨁ i = 1 t Z / a i Z \bigoplus_{i=1}^t\Z/a_i\Z ⨁ i = 1 t Z / a i Z H 2 ( C ∙ ) H_2(C_\bullet) H 2 ( C ∙ ) M ( G ) = H 2 ( C ∙ ) M(G)=H_2(C_\bullet) M ( G ) = H 2 ( C ∙ ) ▨