1 完全分解 定義 1.1. G G G R = Z [ G ] R=\Z[G] R = Z [ G ] R R R T ∙ T_\bullet T ∙ G G G 完全自由分解 (complete free resolution )n n n ker d n = im d n + 1 \ker d_n=\im d_{n+1} ker d n = im d n + 1
0 ⟶ ker d n ⟶ T n → d n im d n ⟶ 0 0\longrightarrow\ker d_n\longrightarrow T_n
\xrightarrow{d_n}\im d_n\longrightarrow0 0 ⟶ ker d n ⟶ T n d n im d n ⟶ 0 は整数加群として分裂する。さらに、自明左R R R Z \Z Z R R R ε T : T 0 → Z \ep_T\colon T_0\to\Z ε T : T 0 → Z R R R j T : Z → T − 1 j_T\colon\Z\to T_{-1} j T : Z → T − 1 d 0 = j T ε T d_0=j_T\ep_T d 0 = j T ε T f : T ∙ → U ∙ f\colon T_\bullet\to U_\bullet f : T ∙ → U ∙ ε U f 0 = ε T \ep_U f_0=\ep_T ε U f 0 = ε T f f f
補題 1.2. G G G R = Z [ G ] R=\Z[G] R = Z [ G ] F F F R R R R R R i : A → B i\colon A\to B i : A → B R R R u : A → F u\colon A\to F u : A → F v i = u vi=u v i = u R R R v : B → F v\colon B\to F v : B → F
証明. F ≅ R a F\cong R^a F ≅ R a a a a §E7.34 定理 3.2 を部分群{ 1 } \{1\} { 1 } Z a \Z^a Z a F ≅ Coind { 1 } G Z a F\cong\operatorname{Coind}_{\{1\}}^G\Z^a F ≅ Coind { 1 } G Z a §E7.34 命題 2.2 によってu u u u 0 : A → Z a u_0\colon A\to\Z^a u 0 : A → Z a r : B → A r\colon B\to A r : B → A r i = id A ri=\id_A r i = id A u 0 r u_0r u 0 r v v v u 0 r i = u 0 u_0ri=u_0 u 0 r i = u 0 v i = u vi=u v i = u
v ( b ) ( x ) = u 0 ( r ( x b ) ) ( b ∈ B , x ∈ R ) v(b)(x)=u_0(r(xb))\qquad(b\in B,\ x\in R) v ( b ) ( x ) = u 0 ( r ( x b )) ( b ∈ B , x ∈ R ) で与えられる。▨
定理 1.3. 任意の有限群G G G R = Z [ G ] R=\Z[G] R = Z [ G ] T ∙ T_\bullet T ∙ G G G Hom R ( T ∙ , R ) \Hom_R(T_\bullet,R) Hom R ( T ∙ , R )
証明. §E7.35 定理 2.4 の標準自由分解P ∙ → ε Z P_\bullet\xrightarrow{\ep}\Z P ∙ ε Z G G G P k P_k P k R R R §E7.35 補題 2.3 の縮約により、添加列は整数上分裂する。整数双対
P k ∗ = Hom Z ( P k , Z ) , ( g f ) ( p ) = f ( g − 1 p ) P_k^*=\Hom_{\Z}(P_k,\Z),\qquad
(gf)(p)=f(g^{-1}p) P k ∗ = Hom Z ( P k , Z ) , ( g f ) ( p ) = f ( g − 1 p ) に左R R R P k P_k P k R R R ( e j ) j (e_j)_j ( e j ) j ( g e j ) g , j (g e_j)_{g,j} ( g e j ) g , j ( λ g , j ) g , j (\lambda_{g,j})_{g,j} ( λ g , j ) g , j h λ g , j = λ h g , j h\lambda_{g,j}=\lambda_{hg,j} h λ g , j = λ h g , j ( λ 1 , j ) j (\lambda_{1,j})_j ( λ 1 , j ) j P k ∗ P_k^* P k ∗ R R R
0 ⟶ Z → ε ∗ P 0 ∗ → ( d 1 P ) ∗ P 1 ∗ ⟶ ⋯ 0\longrightarrow\Z\xrightarrow{\ep^*}P_0^*
\xrightarrow{(d_1^P)^*}P_1^*\longrightarrow\cdots 0 ⟶ Z ε ∗ P 0 ∗ ( d 1 P ) ∗ P 1 ∗ ⟶ ⋯ は完全であり、整数上分裂する。
すべての整数n n n
T n = { P n n ≥ 0 , P − n − 1 ∗ n ≤ − 1 , d n = { d n P n ≥ 1 , ε ∗ ε n = 0 , ( d − n P ) ∗ n ≤ − 1 T_n=\begin{cases}P_n&n\ge0,\\P_{-n-1}^*&n\le-1,\end{cases}
\qquad
d_n=\begin{cases}
d_n^P&n\ge1,\\
\ep^*\ep&n=0,\\
(d_{-n}^P)^*&n\le-1
\end{cases} T n = { P n P − n − 1 ∗ n ≥ 0 , n ≤ − 1 , d n = ⎩ ⎨ ⎧ d n P ε ∗ ε ( d − n P ) ∗ n ≥ 1 , n = 0 , n ≤ − 1 と置く。ε ∗ \ep^* ε ∗ ker d 0 = ker ε = im d 1 P \ker d_0=\ker\ep=\im d_1^P ker d 0 = ker ε = im d 1 P ε \ep ε im d 0 = im ε ∗ = ker ( d 1 P ) ∗ \im d_0=\im\ep^*=\ker(d_1^P)^* im d 0 = im ε ∗ = ker ( d 1 P ) ∗ ε T = ε \ep_T=\ep ε T = ε j T = ε ∗ j_T=\ep^* j T = ε ∗ T ∙ T_\bullet T ∙
任意の完全自由分解T ∙ T_\bullet T ∙ n n n a : T n → R a\colon T_n\to R a : T n → R a d n + 1 = 0 a d_{n+1}=0 a d n + 1 = 0 a a a T n / ker d n ≅ im d n T_n/\ker d_n\cong\im d_n T n / ker d n ≅ im d n R R R a ˉ : im d n → R \bar a\colon\im d_n\to R a ˉ : im d n → R im d n = ker d n − 1 ↪ T n − 1 \im d_n=\ker d_{n-1}\hookrightarrow T_{n-1} im d n = ker d n − 1 ↪ T n − 1 補題 1.2 を適用し、a ˉ \bar a a ˉ b : T n − 1 → R b\colon T_{n-1}\to R b : T n − 1 → R a = b d n a=b d_n a = b d n ▨
定理 1.4. G G G T ∙ , U ∙ T_\bullet,U_\bullet T ∙ , U ∙ G G G T ∙ → U ∙ T_\bullet\to U_\bullet T ∙ → U ∙ T ∙ T_\bullet T ∙ U ∙ U_\bullet U ∙
証明. 非負次数の添加列は自明左Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] Z \Z Z §E6.38 定理 2.2 をid Z \id_{\Z} id Z f n : T n → U n f_n\colon T_n\to U_n f n : T n → U n n ≥ 0 n\ge0 n ≥ 0 d 0 U f 0 = j U ε U f 0 = j U ε T d_0^U f_0=j_U\ep_U f_0=j_U\ep_T d 0 U f 0 = j U ε U f 0 = j U ε T d 0 U f 0 d_0^U f_0 d 0 U f 0 ker d 0 T = ker ε T \ker d_0^T=\ker\ep_T ker d 0 T = ker ε T
im d 0 T ⟶ U − 1 , d 0 T ( x ) ⟼ d 0 U f 0 ( x ) \im d_0^T\longrightarrow U_{-1},\qquad
d_0^T(x)\longmapsto d_0^U f_0(x) im d 0 T ⟶ U − 1 , d 0 T ( x ) ⟼ d 0 U f 0 ( x ) が定まる。補題 1.2 により、この写像をf − 1 : T − 1 → U − 1 f_{-1}\colon T_{-1}\to U_{-1} f − 1 : T − 1 → U − 1 f − 1 d 0 T = d 0 U f 0 f_{-1}d_0^T=d_0^U f_0 f − 1 d 0 T = d 0 U f 0
n ≤ − 1 n\le-1 n ≤ − 1 n n n f f f
d n U f n d n + 1 T = d n U d n + 1 U f n + 1 = 0 d_n^U f_n d_{n+1}^T=d_n^U d_{n+1}^U f_{n+1}=0 d n U f n d n + 1 T = d n U d n + 1 U f n + 1 = 0 により、d n U f n d_n^U f_n d n U f n ker d n T = im d n + 1 T \ker d_n^T=\im d_{n+1}^T ker d n T = im d n + 1 T d n T ( x ) ↦ d n U f n ( x ) d_n^T(x)\mapsto d_n^U f_n(x) d n T ( x ) ↦ d n U f n ( x ) im d n T \im d_n^T im d n T 補題 1.2 によってf n − 1 : T n − 1 → U n − 1 f_{n-1}\colon T_{n-1}\to U_{n-1} f n − 1 : T n − 1 → U n − 1 f n − 1 d n T = d n U f n f_{n-1}d_n^T=d_n^U f_n f n − 1 d n T = d n U f n f f f
添加を保つ二つの鎖写像f , g f,g f , g θ n = f n − g n \theta_n=f_n-g_n θ n = f n − g n h n : T n → U n + 1 h_n\colon T_n\to U_{n+1} h n : T n → U n + 1 n ≥ 0 n\ge0 n ≥ 0
θ 0 = d 1 U h 0 , θ n = d n + 1 U h n + h n − 1 d n T ( n ≥ 1 ) \theta_0=d_1^U h_0,\qquad
\theta_n=d_{n+1}^U h_n+h_{n-1}d_n^T\quad(n\ge1) θ 0 = d 1 U h 0 , θ n = d n + 1 U h n + h n − 1 d n T ( n ≥ 1 ) を得る。h − 1 : T − 1 → U 0 h_{-1}\colon T_{-1}\to U_0 h − 1 : T − 1 → U 0 n ≤ − 1 n\le-1 n ≤ − 1 n + 1 n+1 n + 1 w n = θ n − d n + 1 U h n w_n=\theta_n-d_{n+1}^U h_n w n = θ n − d n + 1 U h n
w n d n + 1 T = d n + 1 U ( θ n + 1 − h n d n + 1 T ) = d n + 1 U d n + 2 U h n + 1 = 0 \begin{aligned}
w_n d_{n+1}^T
&=d_{n+1}^U(\theta_{n+1}-h_n d_{n+1}^T)\\
&=d_{n+1}^U d_{n+2}^U h_{n+1}=0
\end{aligned} w n d n + 1 T = d n + 1 U ( θ n + 1 − h n d n + 1 T ) = d n + 1 U d n + 2 U h n + 1 = 0 である。n = − 1 n=-1 n = − 1 θ 0 = d 1 U h 0 \theta_0=d_1^U h_0 θ 0 = d 1 U h 0 h − 1 = 0 h_{-1}=0 h − 1 = 0 d n T ( x ) ↦ w n ( x ) d_n^T(x)\mapsto w_n(x) d n T ( x ) ↦ w n ( x ) im d n T \im d_n^T im d n T 補題 1.2 により、その写像をh n − 1 : T n − 1 → U n h_{n-1}\colon T_{n-1}\to U_n h n − 1 : T n − 1 → U n
θ n = d n + 1 U h n + h n − 1 d n T \theta_n=d_{n+1}^U h_n+h_{n-1}d_n^T θ n = d n + 1 U h n + h n − 1 d n T となる。帰納法によりf f f g g g
両方向の比較写像を取り、その合成と恒等写像に、証明したホモトピー一意性を適用する。両合成は恒等写像と鎖ホモトピックであるため、二つの完全自由分解は鎖ホモトピー同値である。▨
2 Tate コホモロジー 定義 2.1. G G G R = Z [ G ] R=\Z[G] R = Z [ G ] M M M R R R G G G T ∙ T_\bullet T ∙
C ^ n ( G , M ) = Hom R ( T n , M ) , δ n ( a ) = a ∘ d n + 1 ( n ∈ Z ) \widehat C^n(G,M)=\Hom_R(T_n,M),\qquad
\delta^n(a)=a\circ d_{n+1}\quad(n\in\Z) C n ( G , M ) = Hom R ( T n , M ) , δ n ( a ) = a ∘ d n + 1 ( n ∈ Z ) のコホモロジー
H ^ n ( G , M ) = H n ( C ^ ∙ ( G , M ) ) \widehat H^n(G,M)=H^n(\widehat C^\bullet(G,M)) H n ( G , M ) = H n ( C ∙ ( G , M )) を、係数M M M G G G n n n Tate コホモロジー (Tate cohomology )R R R u : M → M ′ u\colon M\to M' u : M → M ′ H ^ n ( G , u ) \widehat H^n(G,u) H n ( G , u ) a ↦ u ∘ a a\mapsto u\circ a a ↦ u ∘ a
命題 2.2. G G G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] n n n H ^ n ( G , M ) \widehat H^n(G,M) H n ( G , M ) n n n H ^ n ( G , − ) \widehat H^n(G,-) H n ( G , − )
証明. 比較写像f : T ∙ → U ∙ f\colon T_\bullet\to U_\bullet f : T ∙ → U ∙ Hom Z [ G ] ( U ∙ , M ) \Hom_{\Z[G]}(U_\bullet,M) Hom Z [ G ] ( U ∙ , M ) Hom Z [ G ] ( T ∙ , M ) \Hom_{\Z[G]}(T_\bullet,M) Hom Z [ G ] ( T ∙ , M ) f − g = d U h + h d T f-g=d^U h+h d^T f − g = d U h + h d T a ∈ Hom Z [ G ] ( U n , M ) a\in\Hom_{\Z[G]}(U_n,M) a ∈ Hom Z [ G ] ( U n , M ) K n ( a ) = a h n − 1 K^n(a)=a h_{n-1} K n ( a ) = a h n − 1
( δ K + K δ ) ( a ) = a ( h n − 1 d n T + d n + 1 U h n ) = a ( f n − g n ) (\delta K+K\delta)(a)
=a(h_{n-1}d_n^T+d_{n+1}^U h_n)=a(f_n-g_n) ( δ K + K δ ) ( a ) = a ( h n − 1 d n T + d n + 1 U h n ) = a ( f n − g n ) である。したがってf f f g g g 定理 1.4 の両方向の比較とホモトピー一意性により、その誘導写像は同型であり、選択によらない。比較写像の合成も添加を保つため、三つの分解の間の合成則が従う。係数の後合成は比較写像の前合成と可換する。また後合成は恒等写像、合成、射の和を保つため、係数についての加法的関手性を得る。▨
補題 2.3. G G G R = Z [ G ] R=\Z[G] R = Z [ G ] P P P R R R M M M R R R P ∗ = Hom Z ( P , Z ) P^*=\Hom_{\Z}(P,\Z) P ∗ = Hom Z ( P , Z ) ( g f ) ( p ) = f ( g − 1 p ) (gf)(p)=f(g^{-1}p) ( g f ) ( p ) = f ( g − 1 p ) P r P^{\mathrm r} P r p ⋅ g = g − 1 p p\cdot g=g^{-1}p p ⋅ g = g − 1 p
Φ P : P r ⊗ R M → ≅ Hom R ( P ∗ , M ) , Φ P ( p ⊗ m ) ( f ) = ∑ g ∈ G f ( g p ) g m \Phi_P\colon P^{\mathrm r}\otimes_R M\xrightarrow{\ \cong\ }\Hom_R(P^*,M),
\qquad
\Phi_P(p\otimes m)(f)=\sum_{g\in G}f(gp)gm Φ P : P r ⊗ R M ≅ Hom R ( P ∗ , M ) , Φ P ( p ⊗ m ) ( f ) = g ∈ G ∑ f ( g p ) g m が存在する。この同型はP P P R R R M M M R R R
証明. h ∈ G h\in G h ∈ G g = k h g=kh g = k h
∑ g f ( g h − 1 p ) g m = ∑ k f ( k p ) k h m \sum_g f(gh^{-1}p)gm=\sum_k f(kp)khm g ∑ f ( g h − 1 p ) g m = k ∑ f ( k p ) k hm である。したがって表示された写像は( p ⋅ h , m ) (p\cdot h,m) ( p ⋅ h , m ) ( p , h m ) (p,hm) ( p , hm ) R R R g = h k g=hk g = hk
∑ g ( h f ) ( g p ) g m = ∑ k f ( k p ) h k m \sum_g(hf)(gp)gm=\sum_k f(kp)hkm g ∑ ( h f ) ( g p ) g m = k ∑ f ( k p ) hk m であり、f f f R R R Φ P \Phi_P Φ P
P P P R R R ( e j ) j (e_j)_j ( e j ) j ( g e j ) g , j (g e_j)_{g,j} ( g e j ) g , j ( λ g , j ) g , j (\lambda_{g,j})_{g,j} ( λ g , j ) g , j P ∗ P^* P ∗ R R R ( λ 1 , j ) j (\lambda_{1,j})_j ( λ 1 , j ) j P r P^{\mathrm r} P r R R R ( e j ) j (e_j)_j ( e j ) j M M M
Φ P ( e j ⊗ m ) ( λ 1 , i ) = { m i = j , 0 i ≠ j \Phi_P(e_j\otimes m)(\lambda_{1,i})
=\begin{cases}m&i=j,\\0&i\ne j\end{cases} Φ P ( e j ⊗ m ) ( λ 1 , i ) = { m 0 i = j , i = j である。したがってΦ P \Phi_P Φ P R R R u : P → Q u\colon P\to Q u : P → Q f ∈ Q ∗ f\in Q^* f ∈ Q ∗ f ( g u ( p ) ) = f ( u ( g p ) ) f(g u(p))=f(u(gp)) f ( g u ( p )) = f ( u ( g p ))
Φ Q ( u r ( p ) ⊗ m ) ( f ) = Φ P ( p ⊗ m ) ( u ∗ f ) \Phi_Q(u^{\mathrm r}(p)\otimes m)(f)
=\Phi_P(p\otimes m)(u^*f) Φ Q ( u r ( p ) ⊗ m ) ( f ) = Φ P ( p ⊗ m ) ( u ∗ f ) となる。係数の射は和とG G G ▨
命題 2.4. G G G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ]
N G : M → M , N G ( m ) = ∑ g ∈ G g m N_G\colon M\to M,\qquad N_G(m)=\sum_{g\in G}gm N G : M → M , N G ( m ) = g ∈ G ∑ g m と書く。すべての整数n n n M M M
H ^ n ( G , M ) ≅ { H n ( G , M ) n ≥ 1 , M G / N G M n = 0 , ker N G / J G ( M ) n = − 1 , H − n − 1 ( G , M ) n ≤ − 2 \widehat H^n(G,M)\cong
\begin{cases}
H^n(G,M)&n\ge1,\\
M^G/N_GM&n=0,\\
\ker N_G/J_G(M)&n=-1,\\
H_{-n-1}(G,M)&n\le-2
\end{cases} H n ( G , M ) ≅ ⎩ ⎨ ⎧ H n ( G , M ) M G / N G M ker N G / J G ( M ) H − n − 1 ( G , M ) n ≥ 1 , n = 0 , n = − 1 , n ≤ − 2 が存在する。ただしJ G ( M ) J_G(M) J G ( M ) g m − m gm-m g m − m g ∈ G , m ∈ M g\in G,m\in M g ∈ G , m ∈ M
証明. P ∙ P_\bullet P ∙ 定理 1.3 の整数双対による完全自由分解T ∙ T_\bullet T ∙ n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 Hom Z [ G ] ( P ∙ , M ) \Hom_{\Z[G]}(P_\bullet,M) Hom Z [ G ] ( P ∙ , M ) §E7.35 系 4.4 によりH ^ n ( G , M ) ≅ H n ( G , M ) \widehat H^n(G,M)\cong H^n(G,M) H n ( G , M ) ≅ H n ( G , M )
P 0 = Z [ G ] [ ] P_0=\Z[G][] P 0 = Z [ G ] [ ] [ ] [] [ ] λ 1 \lambda_1 λ 1 0 0 0 − 1 -1 − 1 M M M ε ∗ ( 1 ) = ∑ g g λ 1 \ep^*(1)=\sum_g g\lambda_1 ε ∗ ( 1 ) = ∑ g g λ 1 d 0 = ε ∗ ε d_0=\ep^*\ep d 0 = ε ∗ ε
δ − 1 : M → M , m ⟼ N G ( m ) \delta^{-1}\colon M\to M,\qquad m\longmapsto N_G(m) δ − 1 : M → M , m ⟼ N G ( m ) に等しい。またd 1 [ g ] = g [ ] − [ ] d_1[g]=g[]-[] d 1 [ g ] = g [ ] − [ ] ker δ 0 = M G \ker\delta^0=M^G ker δ 0 = M G h N G ( m ) = N G ( m ) hN_G(m)=N_G(m) h N G ( m ) = N G ( m ) N G ( h m − m ) = 0 N_G(hm-m)=0 N G ( hm − m ) = 0 H ^ 0 ( G , M ) = M G / N G M \widehat H^0(G,M)=M^G/N_GM H 0 ( G , M ) = M G / N G M
k ≥ 0 k\ge0 k ≥ 0 補題 2.3 をP k P_k P k − k − 1 -k-1 − k − 1 P k r ⊗ Z [ G ] M P_k^{\mathrm r}\otimes_{\Z[G]}M P k r ⊗ Z [ G ] M k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 δ − k − 1 \delta^{-k-1} δ − k − 1 d k P , r ⊗ id M d_k^{P,\mathrm r}\otimes\id_M d k P , r ⊗ id M §E7.35 補題 6.1 の反自己同型g ↦ g − 1 g\mapsto g^{-1} g ↦ g − 1 n ≤ − 2 n\le-2 n ≤ − 2 §E7.35 命題 6.3 によりH − n − 1 ( G , M ) H_{-n-1}(G,M) H − n − 1 ( G , M ) J G ( M ) J_G(M) J G ( M ) H ^ − 1 ( G , M ) = ker N G / J G ( M ) \widehat H^{-1}(G,M)=\ker N_G/J_G(M) H − 1 ( G , M ) = ker N G / J G ( M ) ▨
定理 2.5. G G G Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] 0 → A → i B → p C → 0 0\to A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\to0 0 → A i B p C → 0 n n n ∂ n : H ^ n ( G , C ) → H ^ n + 1 ( G , A ) \partial^n\colon\widehat H^n(G,C)\to\widehat H^{n+1}(G,A) ∂ n : H n ( G , C ) → H n + 1 ( G , A )
⋯ ⟶ H ^ n ( G , A ) → H ^ n ( G , i ) H ^ n ( G , B ) → H ^ n ( G , p ) H ^ n ( G , C ) → ∂ n H ^ n + 1 ( G , A ) ⟶ ⋯ \cdots\longrightarrow\widehat H^n(G,A)\xrightarrow{\widehat H^n(G,i)}
\widehat H^n(G,B)\xrightarrow{\widehat H^n(G,p)}
\widehat H^n(G,C)\xrightarrow{\partial^n}
\widehat H^{n+1}(G,A)\longrightarrow\cdots ⋯ ⟶ H n ( G , A ) H n ( G , i ) H n ( G , B ) H n ( G , p ) H n ( G , C ) ∂ n H n + 1 ( G , A ) ⟶ ⋯ は完全である。この列は係数の短完全列の射について自然であり、完全自由分解の選択によらない。
証明. 完全自由分解T ∙ T_\bullet T ∙ T n T_n T n Hom Z [ G ] ( T n , − ) \Hom_{\Z[G]}(T_n,-) Hom Z [ G ] ( T n , − )
0 ⟶ Hom Z [ G ] ( T ∙ , A ) ⟶ Hom Z [ G ] ( T ∙ , B ) ⟶ Hom Z [ G ] ( T ∙ , C ) ⟶ 0 0\longrightarrow\Hom_{\Z[G]}(T_\bullet,A)
\longrightarrow\Hom_{\Z[G]}(T_\bullet,B)
\longrightarrow\Hom_{\Z[G]}(T_\bullet,C)\longrightarrow0 0 ⟶ Hom Z [ G ] ( T ∙ , A ) ⟶ Hom Z [ G ] ( T ∙ , B ) ⟶ Hom Z [ G ] ( T ∙ , C ) ⟶ 0 を得る。§E6.37 定理 3.3 により、所要の長完全列と自然性が従う。分解の比較写像による前合成も、これらの短完全列の射を与える。同定理の自然性と命題 2.2 により、連結準同型も分解の選択によらない。▨
3 制限と移送 補題 3.1. G G G H ≤ G H\le G H ≤ G G G G T ∙ T_\bullet T ∙ H H H H H H
証明. H \ G H\backslash G H \ G ( s i ) i (s_i)_i ( s i ) i Z [ G ] = ⨁ i Z [ H ] s i \Z[G]=\bigoplus_i\Z[H]s_i Z [ G ] = ⨁ i Z [ H ] s i G G G T n T_n T n Z [ H ] \Z[H] Z [ H ] d 0 = j T ε T d_0=j_T\ep_T d 0 = j T ε T ▨
定義 3.2. G G G H ≤ G H\le G H ≤ G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] G , H G,H G , H T G , T H T_G,T_H T G , T H q : T H → Res H G T G q\colon T_H\to\operatorname{Res}_H^G T_G q : T H → Res H G T G
Hom Z [ G ] ( ( T G ) n , M ) ⟶ Hom Z [ H ] ( ( T H ) n , Res H G M ) , a ⟼ a q n \Hom_{\Z[G]}((T_G)_n,M)\longrightarrow
\Hom_{\Z[H]}((T_H)_n,\operatorname{Res}_H^G M),
\qquad a\longmapsto a q_n Hom Z [ G ] (( T G ) n , M ) ⟶ Hom Z [ H ] (( T H ) n , Res H G M ) , a ⟼ a q n が誘導する写像
res H G : H ^ n ( G , M ) ⟶ H ^ n ( H , Res H G M ) ( n ∈ Z ) \operatorname{res}_H^G\colon\widehat H^n(G,M)
\longrightarrow\widehat H^n(H,\operatorname{Res}_H^G M)
\quad(n\in\Z) res H G : H n ( G , M ) ⟶ H n ( H , Res H G M ) ( n ∈ Z ) を制限 (restriction )
命題 3.3. G G G H ≤ G H\le G H ≤ G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] K ≤ H K\le H K ≤ H res K H res H G = res K G \operatorname{res}_K^H\operatorname{res}_H^G=\operatorname{res}_K^G res K H res H G = res K G
証明. 補題 3.1 と定理 1.4 により比較写像が存在し、その二つの選択は鎖ホモトピックである。命題 2.2 の Hom のホモトピー式から、誘導写像は一致する。分解を変える比較写像とq q q Z \Z Z Z [ H ] \Z[H] Z [ H ] K ≤ H K\le H K ≤ H K K K G G G Z [ K ] \Z[K] Z [ K ] [ h 1 ∣ ⋯ ∣ h k ] ↦ [ h 1 ∣ ⋯ ∣ h k ] [h_1|\cdots|h_k]\mapsto[h_1|\cdots|h_k] [ h 1 ∣ ⋯ ∣ h k ] ↦ [ h 1 ∣ ⋯ ∣ h k ] 定理 1.4 の負方向の延長をこの包含へ適用する。非負側での前合成は非斉次コチェインのH k H^k H k ▨
定理 3.4. G G G H ≤ G H\le G H ≤ G V V V Z [ H ] \Z[H] Z [ H ] n n n V V V
S V : H ^ n ( G , Coind H G V ) → ≅ H ^ n ( H , V ) S_V\colon\widehat H^n(G,\operatorname{Coind}_H^G V)
\xrightarrow{\ \cong\ }\widehat H^n(H,V) S V : H n ( G , Coind H G V ) ≅ H n ( H , V ) が存在する。さらに、左Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] M M M V = Res H G M V=\operatorname{Res}_H^G M V = Res H G M
i M : M → Coind H G V , i M ( m ) ( x ) = x m i_M\colon M\to\operatorname{Coind}_H^G V,\qquad
i_M(m)(x)=xm i M : M → Coind H G V , i M ( m ) ( x ) = x m はS V H ^ n ( G , i M ) = res H G S_V\widehat H^n(G,i_M)=\operatorname{res}_H^G S V H n ( G , i M ) = res H G S V S_V S V
証明. G G G T G T_G T G §E7.34 命題 2.2 を各項へ適用する。得られる同型は
Hom Z [ G ] ( ( T G ) n , Coind H G V ) ⟶ Hom Z [ H ] ( Res H G ( T G ) n , V ) , F ⟼ [ p ↦ F ( p ) ( 1 ) ] \Hom_{\Z[G]}((T_G)_n,\operatorname{Coind}_H^G V)
\longrightarrow\Hom_{\Z[H]}(\operatorname{Res}_H^G(T_G)_n,V),
\qquad F\longmapsto[p\mapsto F(p)(1)] Hom Z [ G ] (( T G ) n , Coind H G V ) ⟶ Hom Z [ H ] ( Res H G ( T G ) n , V ) , F ⟼ [ p ↦ F ( p ) ( 1 )] であり、逆はa ↦ [ p ↦ ( x ↦ a ( x p ) ) ] a\mapsto[p\mapsto(x\mapsto a(xp))] a ↦ [ p ↦ ( x ↦ a ( x p ))] 補題 3.1 によって右辺はH H H S V S_V S V 命題 2.2 により同型は分解によらない。第二変数の自然性はV V V
V = Res H G M V=\operatorname{Res}_H^G M V = Res H G M i M i_M i M V V V Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] a : ( T G ) n → M a\colon(T_G)_n\to M a : ( T G ) n → M
( i M ∘ a ) ( p ) ( 1 ) = a ( p ) (i_M\circ a)(p)(1)=a(p) ( i M ∘ a ) ( p ) ( 1 ) = a ( p ) である。T H → Res H G T G T_H\to\operatorname{Res}_H^G T_G T H → Res H G T G S V H ^ n ( G , i M ) = res H G S_V\widehat H^n(G,i_M)=\operatorname{res}_H^G S V H n ( G , i M ) = res H G §E7.39 定理 2.3 の同型と一致する。▨
定義 3.5. G G G H ≤ G H\le G H ≤ G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] V = Res H G M V=\operatorname{Res}_H^G M V = Res H G M §E7.39 系 2.4 の係数同型J V : Ind H G V → Coind H G V J_V\colon\operatorname{Ind}_H^G V\to\operatorname{Coind}_H^G V J V : Ind H G V → Coind H G V §E7.34 命題 2.1 の係数写像
ε M : Ind H G V ⟶ M , ε M ( x ⊗ m ) = x m \ep_M\colon\operatorname{Ind}_H^G V\longrightarrow M,\qquad
\ep_M(x\otimes m)=xm ε M : Ind H G V ⟶ M , ε M ( x ⊗ m ) = x m を用い、すべての整数n n n
cor H G = H ^ n ( G , ε M ) ∘ H ^ n ( G , J V − 1 ) ∘ S V − 1 : H ^ n ( H , V ) ⟶ H ^ n ( G , M ) \operatorname{cor}_H^G
=\widehat H^n(G,\ep_M)\circ\widehat H^n(G,J_V^{-1})\circ S_V^{-1}
\colon\widehat H^n(H,V)\longrightarrow\widehat H^n(G,M) cor H G = H n ( G , ε M ) ∘ H n ( G , J V − 1 ) ∘ S V − 1 : H n ( H , V ) ⟶ H n ( G , M ) と定める。この写像を移送 (corestriction )
補題 3.6. 任意のアーベル群M M M n n n H ^ n ( { 1 } , M ) = 0 \widehat H^n(\{1\},M)=0 H n ({ 1 } , M ) = 0
証明. { 1 } \{1\} { 1 } T ∙ T_\bullet T ∙ a : T n → M a\colon T_n\to M a : T n → M a d n + 1 = 0 a d_{n+1}=0 a d n + 1 = 0 a a a T n / ker d n ≅ im d n T_n/\ker d_n\cong\im d_n T n / ker d n ≅ im d n b : T n − 1 → M b\colon T_{n-1}\to M b : T n − 1 → M a = b d n a=b d_n a = b d n ▨
命題 3.7. G G G H ≤ G H\le G H ≤ G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] n n n
cor H G ∘ res H G = [ G : H ] id H ^ n ( G , M ) , ∣ G ∣ H ^ n ( G , M ) = 0 \operatorname{cor}_H^G\circ\operatorname{res}_H^G
=[G:H]\id_{\widehat H^n(G,M)},\qquad
|G|\widehat H^n(G,M)=0 cor H G ∘ res H G = [ G : H ] id H n ( G , M ) , ∣ G ∣ H n ( G , M ) = 0 が成り立つ。正次数の移送は通常の群コホモロジーの移送と一致する。
証明. V = Res H G M V=\operatorname{Res}_H^G M V = Res H G M G / H G/H G / H ( r i ) i (r_i)_i ( r i ) i §E7.39 系 2.4 の逆写像にi M i_M i M
J V − 1 i M ( m ) = ∑ i r i ⊗ r i − 1 m , ε M J V − 1 i M ( m ) = ∑ i m = [ G : H ] m J_V^{-1}i_M(m)=\sum_i r_i\otimes r_i^{-1}m,
\qquad
\ep_MJ_V^{-1}i_M(m)=\sum_i m=[G:H]m J V − 1 i M ( m ) = i ∑ r i ⊗ r i − 1 m , ε M J V − 1 i M ( m ) = i ∑ m = [ G : H ] m である。定理 3.4 と移送の定義から、
cor H G res H G = H ^ n ( G , ε M J V − 1 i M ) = [ G : H ] id \operatorname{cor}_H^G\operatorname{res}_H^G
=\widehat H^n(G,\ep_MJ_V^{-1}i_M)
=[G:H]\id cor H G res H G = H n ( G , ε M J V − 1 i M ) = [ G : H ] id を得る。最後の等式では、整数倍の係数射が Hom 複体の各次数で同じ整数倍を与えることを用いた。H = { 1 } H=\{1\} H = { 1 } 補題 3.6 により制限と移送の合成は零である。したがって∣ G ∣ H ^ n ( G , M ) = 0 |G|\widehat H^n(G,M)=0 ∣ G ∣ H n ( G , M ) = 0 S V S_V S V J V J_V J V ε M \ep_M ε M §E7.39 定義 3.1 と同じであるため、通常の移送と一致する。▨
系 3.8. G G G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ M → M M\to M M → M n n n H ^ n ( G , M ) = 0 \widehat H^n(G,M)=0 H n ( G , M ) = 0
証明. ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ 命題 3.7 により、その誘導写像は零である。したがって各H ^ n ( G , M ) \widehat H^n(G,M) H n ( G , M ) ▨
4 有限巡回群の周期性 定理 4.1. G = ⟨ σ ⟩ G=\langle\sigma\rangle G = ⟨ σ ⟩ m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] t = σ − 1 t=\sigma-1 t = σ − 1 N = ∑ i = 0 m − 1 σ i N=\sum_{i=0}^{m-1}\sigma^i N = ∑ i = 0 m − 1 σ i q q q
H ^ 2 q ( G , M ) ≅ M G / N M , H ^ 2 q + 1 ( G , M ) ≅ ker ( N : M → M ) / t M \widehat H^{2q}(G,M)\cong M^G/NM,\qquad
\widehat H^{2q+1}(G,M)\cong\ker(N\colon M\to M)/tM H 2 q ( G , M ) ≅ M G / N M , H 2 q + 1 ( G , M ) ≅ ker ( N : M → M ) / tM が存在する。したがってH ^ n + 2 ( G , M ) ≅ H ^ n ( G , M ) \widehat H^{n+2}(G,M)\cong\widehat H^n(G,M) H n + 2 ( G , M ) ≅ H n ( G , M ) n n n
証明. R = Z [ G ] R=\Z[G] R = Z [ G ] n n n C n = R C_n=R C n = R n n n d n d_n d n t t t n n n d n d_n d n N N N §E7.38 補題 1.1 により、ker t = N R \ker t=NR ker t = N R ker N = t R \ker N=tR ker N = tR d 0 = N d_0=N d 0 = N ε : R → Z \ep\colon R\to\Z ε : R → Z j : Z → R j\colon\Z\to R j : Z → R j ( 1 ) = N j(1)=N j ( 1 ) = N N R = Z N NR=\Z N N R = Z N r ∈ R r\in R r ∈ R a 1 ( r ) a_1(r) a 1 ( r ) r ↦ a 1 ( r ) N r\mapsto a_1(r)N r ↦ a 1 ( r ) N t R = ker ε tR=\ker\ep tR = ker ε ε \ep ε 1 ↦ 1 R 1\mapsto1_R 1 ↦ 1 R C ∙ C_\bullet C ∙
評価Hom R ( R , M ) → M \Hom_R(R,M)\to M Hom R ( R , M ) → M a ↦ a ( 1 ) a\mapsto a(1) a ↦ a ( 1 ) Hom R ( C ∙ , M ) \Hom_R(C_\bullet,M) Hom R ( C ∙ , M ) t t t N N N ker t = M G \ker t=M^G ker t = M G 命題 2.2 により表示された同型を得る。この余鎖複体を二次数ずらす写像は各項の恒等写像であり、係数の射と可換する。係数短完全列に対しても短完全余鎖列の同型を与えるため、§E6.37 定理 3.3 の自然性により、二周期の同型は連結準同型と両立する。m = 1 m=1 m = 1 t = 0 t=0 t = 0 N = 1 N=1 N = 1 ▨
5 Herbrand 商 定義 5.1. G G G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] H ^ 0 ( G , M ) \widehat H^0(G,M) H 0 ( G , M ) H ^ 1 ( G , M ) \widehat H^1(G,M) H 1 ( G , M )
h G ( M ) = ∣ H ^ 0 ( G , M ) ∣ ∣ H ^ 1 ( G , M ) ∣ h_G(M)=\frac{|\widehat H^0(G,M)|}{|\widehat H^1(G,M)|} h G ( M ) = ∣ H 1 ( G , M ) ∣ ∣ H 0 ( G , M ) ∣ をM M M Herbrand 商 (Herbrand quotient )
命題 5.2. G G G Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] 0 → A → B → C → 0 0\to A\to B\to C\to0 0 → A → B → C → 0 A , B , C A,B,C A , B , C
h G ( B ) = h G ( A ) h G ( C ) h_G(B)=h_G(A)h_G(C) h G ( B ) = h G ( A ) h G ( C ) が成り立つ。
証明. X = A , B , C X=A,B,C X = A , B , C i = 0 , 1 i=0,1 i = 0 , 1 X i = H ^ i ( G , X ) X_i=\widehat H^i(G,X) X i = H i ( G , X ) 定理 2.5 と定理 4.1 により、周期的な六項完全列
A 0 ⟶ B 0 ⟶ C 0 ⟶ A 1 ⟶ B 1 ⟶ C 1 ⟶ A 0 A_0\longrightarrow B_0\longrightarrow C_0
\longrightarrow A_1\longrightarrow B_1\longrightarrow C_1
\longrightarrow A_0 A 0 ⟶ B 0 ⟶ C 0 ⟶ A 1 ⟶ B 1 ⟶ C 1 ⟶ A 0 を得る。有限性がまだ分かっていない各項E E E E E E
六項を順にE 0 , … , E 5 E_0,\ldots,E_5 E 0 , … , E 5 6 6 6 K i = im ( E i → E i + 1 ) K_i=\im(E_i\to E_{i+1}) K i = im ( E i → E i + 1 )
0 ⟶ K i − 1 ⟶ E i ⟶ K i ⟶ 0 0\longrightarrow K_{i-1}\longrightarrow E_i
\longrightarrow K_i\longrightarrow0 0 ⟶ K i − 1 ⟶ E i ⟶ K i ⟶ 0 は短完全列であり、∣ E i ∣ = ∣ K i − 1 ∣ ∣ K i ∣ |E_i|=|K_{i-1}||K_i| ∣ E i ∣ = ∣ K i − 1 ∣∣ K i ∣ i i i i i i ∣ K i ∣ |K_i| ∣ K i ∣
∣ A 0 ∣ ∣ C 0 ∣ ∣ B 1 ∣ = ∣ B 0 ∣ ∣ A 1 ∣ ∣ C 1 ∣ |A_0||C_0||B_1|=|B_0||A_1||C_1| ∣ A 0 ∣∣ C 0 ∣∣ B 1 ∣ = ∣ B 0 ∣∣ A 1 ∣∣ C 1 ∣ であり、各位数で割るとh G ( B ) = h G ( A ) h G ( C ) h_G(B)=h_G(A)h_G(C) h G ( B ) = h G ( A ) h G ( C ) ▨
命題 5.3. G G G M M M Z [ G ] \Z[G] Z [ G ] h G ( M ) = 1 h_G(M)=1 h G ( M ) = 1
証明. G = ⟨ σ ⟩ G=\langle\sigma\rangle G = ⟨ σ ⟩ t = σ − 1 t=\sigma-1 t = σ − 1 N = ∑ g ∈ G g N=\sum_{g\in G}g N = ∑ g ∈ G g 定理 4.1 の二つの群は有限群M M M
∣ M ∣ = ∣ ker t ∣ ∣ im t ∣ = ∣ ker N ∣ ∣ im N ∣ |M|=|\ker t||\im t|=|\ker N||\im N| ∣ M ∣ = ∣ ker t ∣∣ im t ∣ = ∣ ker N ∣∣ im N ∣ である。したがって
h G ( M ) = ∣ ker t ∣ / ∣ im N ∣ ∣ ker N ∣ / ∣ im t ∣ = 1 h_G(M)
=\frac{|\ker t|/|\im N|}{|\ker N|/|\im t|}=1 h G ( M ) = ∣ ker N ∣/∣ im t ∣ ∣ ker t ∣/∣ im N ∣ = 1 となる。零加群についても各群の位数は1 1 1 ▨
例 5.4. G G G m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 Z \Z Z
H ^ 0 ( G , Z ) ≅ Z / m Z , H ^ 1 ( G , Z ) = 0 , h G ( Z ) = m \widehat H^0(G,\Z)\cong\Z/m\Z,\qquad
\widehat H^1(G,\Z)=0,\qquad h_G(\Z)=m H 0 ( G , Z ) ≅ Z / m Z , H 1 ( G , Z ) = 0 , h G ( Z ) = m である。実際、σ − 1 \sigma-1 σ − 1 m m m 定理 4.1 によって二つの群が求まる。したがって、係数加群が無限でも Herbrand 商が定義される場合がある。