非可換一次コホモロジー | 群論入門

定義 1.1. $G$ を群とする。群自己同型による $G$ の左作用を備えた群 $A$ を $G$ -群という。 $g\in G$ の $a\in A$ への作用を $g(a)$ と書く。 $G$ -群 $A,B$ の間の群準同型 $f\colon A\to B$ が、すべての $g\in G$ と $a\in A$ に対して $f(g(a))=g(f(a))$ を満たすとき、 $f$ を $G$ -同変という。

$A$ を $G$ -群とする。写像 $z\colon G\to A$ が、すべての $g,h\in G$ に対して

z(gh)=z(g)g(z(h))

を満たすとき、 $z$ を一次コサイクル (one-cocycle) といい、その全体を $Z^1(G,A)$ と書く。定数写像 $g\mapsto1$ は一次コサイクルであり、 $1$ と書く。

補題 1.2. $G$ を群、 $A$ を $G$ -群とする。任意の $z\in Z^1(G,A)$ に対して $z(1)=1$ である。 $a\in A$ に対して

z^a(g)=a^{-1}z(g)g(a)\qquad(g\in G)

と置くと、 $z^a\in Z^1(G,A)$ である。この対応は $Z^1(G,A)$ への右 $A$ 作用を定める。

証明. コサイクル条件に $g=h=1$ を代入すると $z(1)=z(1)^2$ となるので、 $z(1)=1$ である。任意の $g,h\in G$ に対して

\begin{aligned} z^a(g)g(z^a(h)) &=a^{-1}z(g)g(a)g(a^{-1}z(h)h(a))\\ &=a^{-1}z(g)g(z(h))(gh)(a)\\ &=a^{-1}z(gh)(gh)(a)=z^a(gh) \end{aligned}

である。また $z^1=z$ であり、任意の $a,b\in A$ に対して

(z^a)^b(g)=b^{-1}a^{-1}z(g)g(a)g(b)=z^{ab}(g)

であるから、右作用の二公理が成り立つ。▨

定義 1.3. $G$ を群、 $A$ を $G$ -群とする。二つの一次コサイクル $z,z'$ が、ある $a\in A$ に対して $z'=z^a$ を満たすとき、 $z$ と $z'$ は捻り共役であるという。捻り共役による軌道集合

H^1(G,A)=Z^1(G,A)/A

を、 $A$ を係数とする $G$ の第一次非可換コホモロジー (first nonabelian cohomology) と呼ぶ。 $z$ の類を $[z]$ と書く。

集合とその指定された一元との組を基点付き集合といい、指定された元を基点という。 $H^1(G,A)$ は $[1]$ を基点とする基点付き集合である。基点付き集合の間で基点を基点へ送る写像を基点付き写像という。

命題 1.4. $G$ を群、 $A,B$ を $G$ -群、 $f\colon A\to B$ を $G$ -同変な群準同型とする。このとき

f_*\colon H^1(G,A)\longrightarrow H^1(G,B),\qquad [z]\longmapsto[f\circ z]

は基点付き写像である。恒等準同型は恒等写像を誘導する。また、任意の $G$ -群 $C$ と $G$ -同変な群準同型 $k\colon B\to C$ に対して $(k\circ f)_*=k_*\circ f_*$ が成り立つ。

証明. $z\in Z^1(G,A)$ に対して、 $f$ の準同型性と同変性から

f(z(gh))=f(z(g))g(f(z(h)))

を得るので、 $f\circ z$ は一次コサイクルである。また

f(z^a(g))=f(a)^{-1}f(z(g))g(f(a))

であるから、 $[f\circ z]$ は代表元によらず定まる。 $f(1)=1$ により基点が保たれ、恒等写像と合成に関する等式は写像の合成から従う。▨

例 1.5. $G$ を群、 $A$ を $G$ が自明に作用する群とする。このときコサイクル条件は $z(gh)=z(g)z(h)$ であるから、 $Z^1(G,A)$ は群準同型 $G\to A$ の全体である。捻り共役は $z^a(g)=a^{-1}z(g)a$ となり、 $H^1(G,A)$ は準同型の共役類の集合である。

特に $G=C_2=\{1,s\}$ 、 $A=S_3$ とする。準同型は $s$ の像 $t$ によって一意に定まり、条件は $t^2=1$ である。 $S_3$ のこのような元は単位元と三つの互換であり、互換どうしは共役である。したがって $H^1(C_2,S_3)$ は、単位元を像とする基点と、互換を像とする類との二元からなる。

$s$ をそれぞれ $(12)$ 、 $(23)$ へ送る二つのコサイクルの点ごとの積は、 $s$ を $(12)(23)=(123)$ へ送る。 $(123)^2\ne1$ なので、この積はコサイクルではない。したがって、非可換な係数群ではコサイクルの点ごとの積によって $H^1(G,A)$ の群演算を定める方法は一般には成立しない。

命題 1.6. $G$ を群、 $A$ を $G$ -群、 $z\in Z^1(G,A)$ とする。式

g\star a=z(g)g(a)z(g)^{-1} \qquad(g\in G,\ a\in A)

は、群自己同型による $G$ の $A$ への左作用を定める。

証明. 各 $g\in G$ に対する写像 $a\mapsto g\star a$ は、与えられた自己同型と $z(g)$ による内部自己同型との合成である。任意の $g,h\in G$ と $a\in A$ に対して

g\star(h\star a) =z(g)g(z(h))(gh)(a)g(z(h))^{-1}z(g)^{-1} =z(gh)(gh)(a)z(gh)^{-1} =(gh)\star a

であり、 $z(1)=1$ から $1\star a=a$ である。▨

定義 2.1. $G$ を群、 $A$ を $G$ -群とする。 $G$ の作用を備えた右 $A$ 主等質空間 (right $A$ -torsor) とは、空でない集合 $P$ に右 $A$ 作用 $(p,a)\mapsto pa$ と左 $G$ 作用 $(g,p)\mapsto gp$ を与え、次の条件を満たすものである。右作用は $p1=p$ 、 $(pa)b=p(ab)$ を満たし、任意の $p,q\in P$ に対して $pa=q$ となる $a\in A$ がただ一つ存在する。また、すべての $g\in G$ 、 $p\in P$ 、 $a\in A$ に対して

g(pa)=(gp)g(a)

が成り立つ。

二つのこのような主等質空間の同型とは、左 $G$ 作用と右 $A$ 作用の両方を保つ全単射である。集合 $A$ に右乗法と与えられた $G$ 作用を入れた主等質空間を自明な主等質空間と呼ぶ。

定理 2.2. $G$ を群、 $A$ を $G$ -群とする。 $G$ の作用を備えた右 $A$ 主等質空間 $P$ と点 $p\in P$ に対して、等式

gp=pz_p(g)\qquad(g\in G)

は一次コサイクル $z_p\in Z^1(G,A)$ を一意に定める。点を $pa$ に替えると $z_{pa}=z_p^a$ となる。対応 $P\mapsto[z_p]$ は、主等質空間の同型類全体から $H^1(G,A)$ への全単射を与える。

この対応において、自明な主等質空間の同型類は基点に対応する。また、 $P$ の類が基点に対応することと、ある点 $p\in P$ がすべての $g\in G$ に対して $gp=p$ を満たすこととは同値である。

証明. $P$ の点 $p$ を取り、各 $g\in G$ に対して $gp=pz_p(g)$ となる唯一の元を $z_p(g)$ と置く。任意の $g,h\in G$ に対して

pz_p(gh)=(gh)p=g(pz_p(h))=pz_p(g)g(z_p(h))

であるから、移動元の一意性により $z_p$ はコサイクルである。

$a\in A$ に対して

g(pa)=pz_p(g)g(a)=(pa)\bigl(a^{-1}z_p(g)g(a)\bigr)

であるから、 $z_{pa}=z_p^a$ である。 $P$ の任意の点はただ一つの $a\in A$ によって $pa$ と表されるので、 $[z_p]$ は点の選択によらない。主等質空間の同型 $u\colon P\to Q$ に対しては

g u(p)=u(gp)=u(p)z_p(g)

であり、 $Q$ の点 $u(p)$ も同じコサイクルを定める。したがって $[z_p]$ は同型類にのみ依存する。

$z\in Z^1(G,A)$ に対し、集合 $A$ に右乗法と

g\cdot_z x=z(g)g(x)

を入れた集合を $P_z$ と置く。コサイクル条件により

g\cdot_z(h\cdot_z x)=z(g)g(z(h))(gh)(x)=(gh)\cdot_z x

であり、 $z(1)=1$ から $1\cdot_z x=x$ である。また

g\cdot_z(xa)=z(g)g(x)g(a)=(g\cdot_z x)g(a)

である。任意の $x,y\in A$ に対して $xa=y$ の唯一の解は $a=x^{-1}y$ なので、 $P_z$ は主等質空間である。

$z'=z^a$ のとき、左乗法 $x\mapsto ax$ は $P_{z'}$ から $P_z$ への全単射であり、右乗法を保つ。さらに

a\bigl(g\cdot_{z'}x\bigr)=a z'(g)g(x)=z(g)g(ax)=g\cdot_z(ax)

であるから、この写像は主等質空間の同型である。よって $P_z$ の同型類は $[z]$ にのみ依存する。

$P_z$ の点 $1$ から得られるコサイクルは $z$ である。一方、 $P$ と $p\in P$ から得た $z_p$ に対して、写像 $P_{z_p}\to P$ 、 $x\mapsto px$ は全単射であり、右 $A$ 作用を保つ。等式 $g(px)=pz_p(g)g(x)$ により、この写像は左 $G$ 作用も保つ。したがって二つの対応は互いに逆である。

定数コサイクル $1$ に対する $P_1$ は自明な主等質空間であり、その点 $1$ は $G$ 不変である。 $P$ の類が基点に対応するなら、同型 $P\cong P_1$ による $1$ の逆像が $G$ 不変点である。逆に $p\in P$ が $G$ 不変なら、 $gp=p$ から $z_p(g)=1$ がすべての $g\in G$ について成り立ち、 $P$ の類は基点に対応する。▨

定義 3.1. $G$ を群、 $A$ を $G$ -群とする。すべての $g\in G$ に対して $g(a)=a$ となる元 $a\in A$ の集合を $A^G$ と書く。単位元は $A^G$ に属し、 $a,b\in A^G$ なら $g(ab^{-1})=ab^{-1}$ であるから、 $A^G$ は部分群である。 $A^G$ は単位元を基点とする基点付き集合でもある。

基点付き写像の列 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z$ が $Y$ において完全 (exact) であるとは、 $u(X)$ が $v$ による $Z$ の基点の逆像に等しいことをいう。基点付き写像の列が完全であるとは、前後の写像をもつ各項において完全であることをいう。

命題 3.2. $G$ を群とし、 $G$ -群の短完全列

1\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{\pi}C\longrightarrow1

を考える。ここで $i,\pi$ は $G$ -同変な群準同型であり、 $A$ を $i$ によって $\ker\pi$ と同一視する。任意の $c\in C^G$ に対して $P_c=\pi^{-1}(c)$ は、 $B$ の右乗法と $G$ 作用により右 $A$ 主等質空間となる。その同型類に対応する元を $\delta(c)$ と置くと、基点付き写像

\delta\colon C^G\longrightarrow H^1(G,A)

が定まる。任意の $b\in B$ で $\pi(b)=c$ を満たすものに対して

\delta(c)=[g\mapsto b^{-1}g(b)]

である。

証明. $c\in C^G$ を取る。 $\pi$ は全射なので $P_c$ は空でない。 $p\in P_c$ と $a\in A$ に対して $\pi(pa)=c$ であるから、右 $A$ 作用は $P_c$ を保つ。 $p,q\in P_c$ に対して $p^{-1}q\in\ker\pi=A$ であり、 $pa=q$ の唯一の解は $a=p^{-1}q$ である。 $p\in P_c$ 、 $g\in G$ に対して $\pi(g(p))=g(c)=c$ であるから、 $P_c$ は $G$ 作用で保たれる。両作用の両立は、 $G$ が $B$ に群自己同型で作用することから従う。したがって定理 2.2により、 $P_c$ の同型類から $\delta(c)$ が定まる。

$b\in P_c$ を選ぶと、 $g(b)=b z_b(g)$ から $z_b(g)=b^{-1}g(b)$ である。分類定理により、この表示は選んだ $b$ によらず同じ類を与える。 $P_1=A$ は自明な主等質空間であるから、 $\delta(1)=[1]$ である。▨

定理 3.3. $G$ を群とし、 $G$ -同変な群準同型からなる $G$ -群の短完全列

1\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{\pi}C\longrightarrow1

が与えられているとする。 $\delta$ を命題 3.2の写像とすると、基点付き集合の列

1\longrightarrow A^G\xrightarrow{i}B^G\xrightarrow{\pi}C^G \xrightarrow{\delta}H^1(G,A)\xrightarrow{i_*}H^1(G,B) \xrightarrow{\pi_*}H^1(G,C)

は完全である。ここで先頭の $1$ は一元集合である。

証明. $A$ を $i$ によって $\ker\pi$ と同一視する。 $i,\pi$ の同変性により、不変部分群の間の写像が定まる。 $i_*,\pi_*$ は命題 1.4の基点付き写像である。包含 $A^G\to B^G$ は単射なので、 $A^G$ における完全性が成り立つ。また

\{b\in B^G\mid\pi(b)=1\}=B^G\cap A=A^G

であるから、 $B^G$ において完全である。

$c\in C^G$ に対して、定理 2.2により $\delta(c)=[1]$ であることと $P_c=\pi^{-1}(c)$ が $G$ 不変点をもつこととは同値である。この不変点は $c$ の $B^G$ に属する持上げにほかならない。したがって $\delta^{-1}([1])=\pi(B^G)$ である。

$[z]\in H^1(G,A)$ が $i_*[z]=[1]$ を満たすとする。 $B$ における基点の軌道の記述から、ある $b\in B$ が存在して、すべての $g\in G$ に対して $z(g)=b^{-1}g(b)$ となる。 $\pi(z(g))=1$ により $\pi(b)^{-1}g(\pi(b))=1$ であるから、 $c=\pi(b)$ は $C^G$ に属する。命題 3.2の表示により $[z]=\delta(c)$ である。逆に $\delta(c)$ の表示 $g\mapsto b^{-1}g(b)$ は $B$ では定数コサイクルの捻り共役 $1^b$ なので、 $i_*\delta(c)=[1]$ である。よって $H^1(G,A)$ において完全である。

$[z]\in H^1(G,B)$ が $\pi_*[z]=[1]$ を満たすとする。ある $c\in C$ が存在して、すべての $g\in G$ に対して $\pi(z(g))=c^{-1}g(c)$ となる。 $\pi(b)=c$ を満たす $b\in B$ を取り、 $z'=z^{b^{-1}}$ と置く。このとき

z'(g)=b z(g)g(b)^{-1},\qquad \pi(z'(g))=c\bigl(c^{-1}g(c)\bigr)g(c)^{-1}=1

である。したがって $z'$ は $A$ に値を取る一次コサイクルであり、 $i_*[z']=[z]$ である。逆に $A$ に値を取るコサイクルの $C$ における像は定数コサイクルなので、 $\pi_*i_*[z']=[1]$ である。よって $H^1(G,B)$ において完全である。▨

命題 4.1. $G$ を群、 $A$ をアーベル群である $G$ -群とし、 $A$ を加法で書く。コサイクルの点ごとの和は $H^1(G,A)$ にアーベル群の構造を定める。この群は、与えられた作用によって $A$ を左 $\Z[G]$ -加群としたときの第一次群コホモロジーと自然に同型である。この同型は基点を零元に対応させる。

証明. 積を和で書くと、コサイクル条件は $z(gh)=z(g)+g(z(h))$ となり、コサイクルは交差準同型である。また

z^a(g)=-a+z(g)+g(a)=z(g)+(g(a)-a)

である。したがって捻り共役は、交差準同型の群 $\operatorname{Der}(G,A)$ における主交差準同型の部分群 $\operatorname{PDer}(G,A)$ による剰余関係に等しい。§E7.36 命題 1.3により、商群 $\operatorname{Der}(G,A)/\operatorname{PDer}(G,A)$ は第一次群コホモロジーと自然に同型である。コサイクルと交差準同型との同定は係数の射との合成を保つので、得られた同型も係数について自然である。定数コサイクルは加法では零写像なので、基点は零元に対応する。▨

§E7.37非可換一次コホモロジー

1 一次コサイクルと捻り共役

2 主等質空間による分類

3 係数群の短完全列

4 アーベル係数との一致

参考文献

前提記事