§E7.39群コホモロジーの制限と誘導

証明.§E7.35 命題 4.2の微分に$H$の元を代入すると、積と係数への作用は$H$に制限した微分の式と一致する。したがって制限は余鎖写像であり、コホモロジー上の写像を定める。係数の射による後合成もコチェインの制限と可換するため、$\operatorname{res}_H^G$は$M$について自然である。▨

証明.$H\backslash G$の右剰余類の代表族を$(s_i)_{i\in I}$とする。任意の$g\in G$は、ある一意の$i\in I$と$h\in H$によって$g=hs_i$と表される。したがって$\Z[G]=\bigoplus_{i\in I}\Z[H]s_i$であり、$\Z[G]$は左$\Z[H]$-自由加群である。よって自由左$\Z[G]$-加群も、制限後は自由左$\Z[H]$-加群である。射影加群を自由加群の直和因子として表す§E6.16 命題 1.2 (3)により、制限後の加群は自由左$\Z[H]$-加群の直和因子であり、射影的である。制限は下部のアーベル群、微分および添加写像を変えないため、分解の完全性も保つ。▨

証明. 自明左$\Z[G]$-加群$\Z$の射影分解$P_\bullet\to\Z$を取る。補題 2.2により、その制限も$\Z[H]$上の射影分解である。§E7.34 命題 2.2を各$P_k$に適用すると、同型

を得る。逆写像は$T\mapsto\bigl(p\mapsto(x\mapsto T(xp))\bigr)$である。随伴の第一変数に関する自然性により、これらの同型は$P_\bullet$の微分と可換する。したがって余鎖複体の同型をなし、§E7.35 系 4.4によって$S_V$を与える。分解の比較写像にも同じ自然性を適用すると、得られる同型は分解の選択によらない。随伴の第二変数に関する自然性は、$S_V$の$V$についての自然性を与える。

$\operatorname{Res}_H^G M$の恒等写像に同じ随伴を適用すると、$i_M$を得る。左$\Z[G]$-線形写像$f\colon P_k\to M$に対して

である。よって$S_V\circ H^n(G,i_M)$は、$\Z[G]$-線形写像を$\Z[H]$-線形写像とみなす余鎖写像が誘導する写像である。

$P_\bullet=B_\bullet(G)$を標準自由分解とする。基底上の包含

は、標準分解の微分の式により添加を保つ鎖写像であり、$\Z$の恒等写像を持ち上げる。§E6.38 定理 2.2と§E7.35 系 4.4により、この写像を用いて$H$のコホモロジーを同定することができる。包含による前合成は、非斉次コチェインの$H^k$への制限に等しい。したがって$S_V\circ H^n(G,i_M)=\operatorname{res}_H^G$である。▨

証明.§E7.34 定理 3.2に係数環$\Z$を代入すると、自然な同型$J_V$を得る。$G/H$の左剰余類の代表族$R$の任意の元$r,s$と任意の$v\in V$に対して、$s^{-1}r\in H$と$r=s$は同値であるから

したがって任意の$f\in\operatorname{Coind}_H^G V$と任意の$s\in R$に対して

である。任意の群元は一意的に$hs^{-1}$（$h\in H$、$s\in R$）と表されるため、左$\Z[H]$-線形写像$\Z[G]\to V$は各$s^{-1}$での値によって決まる。よって表示された和は$J_V^{-1}(f)$に等しい。そのコホモロジー上の同型と定理 2.3の同型を合成すればよい。▨

証明.$V=\operatorname{Res}_H^G M$と置く。系 2.4の逆写像の式から、任意の$m\in M$に対して

である。定理 2.3により、制限は$S_V\circ H^n(G,i_M)$に等しい。移送の定義へ代入し、係数の射の合成をコホモロジーへ移すと、主張の合成公式を得る。整数倍の係数射は Hom 余鎖複体上で同じ整数倍を与えるため、コホモロジー上でも$[G:H]$倍である。

次数零の Shapiro 同型は、不変元$f\in(\operatorname{Coind}_H^G V)^G$を$f(1)\in V^H$へ送る。不変性から$f(g)=f(1)$がすべての$g\in G$で成り立つ。逆に$m\in V^H$に対して、すべての群元で値$m$を取る写像の$\Z$-線形延長は$\Z[H]$-線形かつ$G$-不変である。よって$J_V^{-1}$と$\varepsilon_M$を適用すると$\sum_{r\in R}rm$を得る。$J_V$の定義は代表族によらないため、この和も代表族によらない。$S_V$、$J_V$および誘導随伴の自然性により、移送は係数の射と可換する。▨

証明.$m\in M^N$、$g\in G$、$n\in N$に対して$n(gm)=g(g^{-1}ng)m=gm$である。したがって$gm\in M^N$であり、$N$は$M^N$に自明に作用するので、$Q$の作用が定まる。

交差準同型$d\colon N\to M$に対して、$n_1,n_2\in N$ならば

である。また$(gh)*d=g*(h*d)$、$1*d=d$、および$g*(\delta_Nm)=\delta_N(gm)$が成り立つ。よって§E7.36 命題 1.3により$G$は$H^1(N,M)$に作用する。$t\in N$に対し、$d(t^{-1})=-t^{-1}d(t)$を用いると

である。したがって$t*d-d=\delta_N(d(t))$であり、$N$の作用はコホモロジー上で自明となる。

$G$上の交差準同型$z$に対し、同じ展開を$z(g^{-1}ng)$に適用すると

を得る。よって制限の像は$Q$-不変である。▨

証明.$g\in G$と$m\in M^N$に対して$gm=\pi(g)m$であり、$\pi$は群準同型である。§E7.35 命題 4.2の微分の各項にこの二つの等式を用いると、$\delta_G\pi^*=\pi^*\delta_Q$となる。したがって$\pi^*$は余鎖写像である。また$\pi(1)=1$であるから、正規化されたコチェインを正規化されたコチェインへ送る。▨

証明.$\pi$の集合としての右逆写像$s\colon Q\to G$を$s(1)=1$となるように取る。$[d]$の不変性により、各$q\in Q$について

を満たす$a(q)\in M$を選ぶことができる。$a(1)=0$とする。各$g\in G$は一意に$g=n s(q)$と表されるので、

と定める。交差準同型は$d(1)=0$を満たすため、$b(1)=0$、$b|_N=d$である。交差準同型の等式から$b(ng)=d(n)+nb(g)$を得る。

$n'=s(q)n s(q)^{-1}$と置くと、$a(q)$を定めた等式を$n'$に適用して

を得る。$g=n_0s(q)$と書けば

となる。

$F=\delta_Gb$と置く。二つの適合式により$F(n,g)=F(g,n)=0$であり、$\delta_GF=0$である。二次のコサイクル条件を順に$(n,g,h)$、$(g,n,h)$、$(g,h,n)$に適用すると

を得る。$N$は正規部分群であるから$nh=h n'$となる$n'\in N$が存在し、後ろの二式より$F(gn,h)=F(g,h)$である。また$ng=g n''$となる$n''\in N$が存在するので、第一式より$nF(g,h)=F(g,h)$である。したがって$F$は$M^N$に値を取り、両変数の$N$剰余類だけで定まる。一意な$c\colon Q^2\to M^N$が存在して$F=\pi^*c$となる。$F$の正規化から$c$も正規化される。$\pi$が全射であるためコチェイン上の$\pi^*$は単射であり、$\pi^*(\delta_Qc)=\delta_GF=0$から$\delta_Qc=0$を得る。

同じ$d$を延長する二つのコチェイン$b,b'$が適合式を満たすとする。$u=b'-b$と置くと

である。正規性から$u(ng)=u(g)$でもあるので、$u(g)\in M^N$である。よって一意な正規化された写像$v\colon Q\to M^N$が存在して$u=\pi^*v$となる。対応する$c,c'$について

であるから、$c'-c=\delta_Qv$であり、$[c']=[c]$を得る。

$m\in M$に対し$d'=d+\delta_Nm$とすると、$b'=b+\delta_Gm$は$d'$の適合式を満たす延長であり、$\delta_Gb'=\delta_Gb$である。§E7.36 命題 1.3により、$[c]$は$[d]$だけで定まる。また二つの交差準同型に対する延長の和は、その和の適合式を満たす延長である。微分と降下は加法を保つので、$[d]\mapsto[c]$は加法群準同型である。▨

証明.$Q$上の交差準同型$z\colon Q\to M^N$が$\pi^*z=\delta_Gm$を満たすとする。$N$への制限から$nm-m=0$がすべての$n\in N$で成り立つので、$m\in M^N$である。$\pi$の全射性から$z=\delta_Qm$となり、最初の膨張は単射である。

$G$上の交差準同型$z$に対し$z|_N=\delta_Nm$とする。$w=z-\delta_Gm$は$N$上で零となる交差準同型である。$n\in N$と$g\in G$に対して

である。正規性により$ng=gn'$となる$n'\in N$が存在するので、$nw(g)=w(g)$である。したがって$w$は$M^N$に値を取り、$Q$上の写像$v$の膨張となる。$w$の交差準同型の等式と$\pi$の全射性から、$v$も交差準同型である。よって$[z]=\operatorname{inf}[v]$となる。逆に$Q$上の交差準同型の膨張は$N$上で零であるから、$H^1(G,M)$での完全性を得る。

$G$上の交差準同型$z$は$d=z|_N$の二つの適合式を満たし、$\delta_Gz=0$である。補題 5.1で$b=z$を取ると、$\operatorname{tr}(\operatorname{res}_N^G[z])=0$となる。逆に$[d]\in H^1(N,M)^Q$が$\operatorname{tr}[d]=0$を満たすとする。同補題の$b,c$を取り、§E7.35 命題 4.3により$c=\delta_Qv$を満たす正規化された一次のコチェイン$v\colon Q\to M^N$を取ると、

である。よって$b-\pi^*v$は$G$上の交差準同型であり、その$N$への制限は$d$である。したがって$H^1(N,M)^Q$で完全である。

推移準同型の構成では$\pi^*c=\delta_Gb$であるから、$\operatorname{inf}(\operatorname{tr}[d])=0$である。逆に$[c]\in H^2(Q,M^N)$が$\operatorname{inf}[c]=0$を満たすとする。§E7.35 命題 4.3により$c$を正規化して取り、$\pi^*c=\delta_Gb$を満たす一次のコチェイン$b\colon G\to M$を取る。$(1,1)$における値から$b(1)=0$である。$\pi^*c$は$N\times G$と$G\times N$上で零であるため、$d=b|_N$は交差準同型であり、$b$は$d$の二つの適合式を満たす。$g\in G$、$n\in N$に対し$ng=g(g^{-1}ng)$と書いて二つの式を比較すると

を得る。したがって$g*d-d=\delta_N(b(g))$であり、$[d]\in H^1(N,M)^Q$である。この$b$を用いて推移準同型を構成すると、$\pi^*c=\delta_Gb$と降下の一意性から$\operatorname{tr}[d]=[c]$を得る。よって$H^2(Q,M^N)$でも完全である。▨