§E7.41自由群と自由アーベル群のコホモロジー

証明.§E7.27 補題 2.2により、頂点集合$F$と正辺$(g,x)\colon g\to gx$をもつ Cayley グラフは木である。正辺上の整数の有限支持一鎖の群を$C_1$とし、各正辺$(g,x)$を$ge_x$に対応させると、

となる。頂点上の有限支持零鎖の群は$R$である。境界を$\partial(g,x)=gx-g$と定める。左乗法による群の作用に対して$\partial(ge_x)=g(x-1)$であるから、この境界は主張の左$R$-線形写像に一致する。

非零の一鎖$c$を取り、係数が非零である辺とその端点からなる有限部分グラフを考える。この部分グラフは森であり、辺をもつ連結成分が存在する。その成分の最長の単純道の端点$v$には、成分の辺が一本だけ接する。実際、別の辺が接するならば、その辺の他端が道の外にあれば道を延長することができ、道の上にあれば閉路が生じる。いずれも最長性または木性に反する。$\partial c$の$v$における係数は、この一本の辺の非零係数かその負である。よって$\partial c\ne0$であり、$\partial$は単射である。

任意の$g\in F$に対し、木の頂点$1$から$g$への唯一の単純道を取る。道が正辺をその向きに通るときは係数$1$、逆向きに通るときは係数$-1$を付けた一鎖を$p_g$とする。道の内点の境界は相殺されるので、$\partial p_g=g-1$である。$a=\sum_g a_g g\in\ker\ep$に対して、$\sum_g a_g=0$であるから

となる。係数$a_g$の台も各道も有限であるため、括弧内は$C_1$の元である。逆に$\ep(gx-g)=0$なので、$\im\partial=\ker\ep$である。従って$\partial$は$\bigoplus_xRe_x$から$I_F$への同型であり、$\ep(1)=1$と合わせて表示した列の完全性を得る。

$X=\varnothing$の場合には$F=\{1\}$、$C_1=0$であり、添加は$\Z$の恒等写像である。この場合も同じ列が自由分解となる。▨

証明.§E6.10 補題 1.4により、基底上の値を取る写像は

を与える。定理 1.1の分解に$\Hom_{\Z[F]}(-,A)$を施すと、これらの同型の下で余鎖複体は$0\to A\xrightarrow{\delta}\prod_xA\to0$となる。§E7.35 系 4.4により、そのコホモロジーが$H^q(F,A)$である。$\delta a=0$はすべての$x\in X$が$a$を固定することを意味し、$X$が$F$を生成するため$a\in A^F$と同値である。▨

証明.§E7.38 定理 3.1により、表示した$Q$は自由分解である。テンソル積の普遍性によって、表示した作用と$D$は整数上の線形写像を定める。群の積との両立性を純テンソル上で確かめると、各$T_n$は左$L$-加群となり、$D$と添加は左$L$-線形である。$D^2(u\otimes v)$の二つの交差項の係数は$(-1)^{p-1}$と$(-1)^p$であるため相殺され、$d_P^2=d_Q^2=0$から$D^2=0$である。

$L$を右$R$-加群とみなすと、各$p$に対して左$L$-加群の同型

が存在する。その逆は$u\otimes t^m\mapsto(1,t^m)\otimes u$であり、テンソル積の平衡関係によって両者の合成は恒等写像となる。§E6.16 命題 1.2 (3)により、$P_p$は自由左$R$-加群の直和因子である。分裂包含と射影に$L\otimes_R-$を施すと、その合成は引き続き恒等写像である。自由左$R$-加群の基底を$(b_i)_{i\in I}$とすると、誘導された加群は$(1\otimes b_i)_{i\in I}$を左$L$-基底とする。これは§E6.14 定理 4.2の整数基底による表示からも従う。従って§E6.16 命題 2.1 (2)により$P_p\otimes_{\Z}S$は射影的であり、二つのこの形の加群の直和である$T_n$も§E6.16 命題 2.1 (1)によって射影的である。$P_p$自身が自由ならば、同じ基底の表示によって各$T_n$は自由である。

整数上の写像$\eta\colon\Z\to Q_0$を$\eta(1)=e_0$により定める。また、$s\colon Q_0\to Q_1$を整数線形に

と定め、他の次数では零とする。各有限和の隣接項を相殺すると

を得る。従って$d_Qs+sd_Q=1-\eta\ep_Q$である。右辺の$\eta\ep_Q$は次数零にのみ作用する。

$E=1\otimes\ep_Q\colon T\to P$と$J=1\otimes\eta\colon P\to T$は整数上の鎖写像であり、$EJ=1_P$である。整数上の次数一の写像を$H(u\otimes v)=(-1)^p u\otimes s(v)$（$u\in P_p$）と定めると、

となる。第一因子の微分を含む二項は、係数$(-1)^p$と$(-1)^{p-1}$によって相殺される。よって$E$は整数上の鎖ホモトピー同値である。§E6.37 系 1.5により、$T$の正次数のホモロジーは零であり、$E$と添加の両立性から$H_0(T)\to\Z$も同型である。従って添加列は整数上で完全であり、同じ核と像をもつ左$L$-加群の列としても完全である。最後に§E6.38 定理 1.3によって$P$を自由分解に選ぶと、$T$は自由分解となる。▨

証明.$n=0$のとき、$K_0=\Z$、$K_k=0$（$k>0$）であり、添加は恒等写像である。$n\ge1$では、最初の$n-1$個の巡回因子から得た自由分解と最後の巡回因子の二項自由分解に定理 2.1を適用する。各因子で次数一の基底を選ぶ添字の集合を$J$とすると、テンソル積の基底は$e_J$で添字付けられる。添字$j_r$の因子を微分するとき、その前に次数一の因子が$r-1$個あるため、全複体の符号は$(-1)^{r-1}$である。従って得られる微分は表示した$d$に等しく、階数についての帰納法により主張が従う。▨

証明. 自明整数係数では各$t_i-1$が零として作用するため、$\Hom_{L_n}(K_\bullet,\Z)$の微分は零である。従って§E7.35 系 4.4により、各次数のコチェインの基底$(f_J)_{|J|=k}$がそのままコホモロジーの基底を与える。▨

証明.$L_n=\Z[A_n]$とし、$K$を定理 3.1の自由分解とする。$J=\{j_1<\cdots<j_k\}$に対して、左$L_n$-線形写像$\iota_i\colon K_k\to K_{k-1}$を

と定め、$K_0$では零とする。同じ添字を二度削除することはできないため$\iota_i^2=0$である。異なる二つの添字を削除すると、一方の削除は他方の位置を一だけ変えるので、二つの削除順の符号は逆になる。従って$\iota_i\iota_j=-\iota_j\iota_i$（$i\ne j$）である。微分は$d=\sum_i(t_i-1)\iota_i$であるから、$d\iota_i=-\iota_i d$となる。

$k\ge1$において$c_i|_{K_k}=(-1)^{k-1}\iota_i$とし、$K_0$では零とする。$k\ge2$では

であり、$k=1$では両辺が零である。また$\ep c_i|_{K_1}=f_{\{i\}}$であるから、写像の族$c_i\colon K_{j+1}\to K_j$（$j\ge0$）はコサイクル$f_{\{i\}}$の持上げである。

§E6.40 命題 4.1と§E7.40 命題 3.1により、任意の正次数のコサイクル$f\colon K_p\to\Z$に対して

である。$c_i^2=0$、$c_ic_j=-c_jc_i$であり、$f_{\{i\}}=\ep c_i|_{K_1}$なので、$u_i^2=0$と$u_i\smile u_j=-u_j\smile u_i$を得る。§E7.40 命題 3.1の次数零の記述により、$[f_\varnothing]=[\ep]$は単位であり、整数は通常の整数倍として作用する。従って$v_i\mapsto u_i$は単位的次数付き環の準同型を誘導する。

$i_1<\cdots<i_k$とすると、積$u_{i_1}\smile\cdots\smile u_{i_k}$はコチェイン$f_{\{i_1\}}c_{i_2}\cdots c_{i_k}$によって表される。$c_i(e_J)=(-1)^{|J|-r}e_{J\setminus\{i\}}$（$i=j_r$）であるから、最大の添字を削除するときの符号は$1$である。右端の写像から順に作用させると、表示したコチェインは$e_{\{i_1,\ldots,i_k\}}$に$1$を与え、他の次数$k$の基底には$0$を与える。よってこの積は$[f_{\{i_1,\ldots,i_k\}}]$に等しい。

外積代数の関係式を用いて語の添字を増加順に並べると、重複する添字をもつ語は零となる。従って相異なる添字の増加順の積と空積は、外積代数を整数加群として生成する。これらの積の像は系 3.2の整数基底であるため、得られた準同型は全射かつ単射である。$n=0$の場合には双方が次数零の$\Z$であり、同じ準同型は恒等写像である。▨