§E7.27自由群の部分群

証明. 正辺の集合$E^+$上の語として歩道を扱うと、§E7.9 補題 1.3により簡約形は一意である。逆辺の組の削除は歩道の接続条件を保つため、得られる簡約語も歩道である。

木では、辺列と頂点列が一対一に対応し、逆辺の組がないことは頂点列に後戻りがないことと同値である。§E1.24 定理 2.2 (3)により、二頂点を結ぶ簡約歩道は一意である。同じ頂点を結ぶ長さ零の歩道は簡約されているので、閉歩道の簡約形は長さ零である。▨

証明. グラフからループを除き、相異なる二頂点の間に辺が存在するとき、その二頂点を単純無向グラフの辺とする。元の歩道からループを除くことによって、この単純無向グラフが連結であることが従う。§E1.24 定理 3.2により全域木を取る。その全域木の各辺に対して、同じ両端をもつ元のグラフの辺を選択公理によって一本選ぶ。選んだ辺とその逆辺からなる部分グラフは、求める全域木である。一頂点の場合は辺のない部分グラフが全域木である。▨

証明. 挿入と削除は歩道の前後に別の歩道を付け加えても行うことができるので、積は代表によらず定まる。辺列の連結は結合的であり、長さ零の歩道は連結を変えない。歩道と逆向きの歩道の連結は中央から逆辺を相殺して長さ零になる。したがって群の公理が成り立つ。▨

証明.§E7.9 定理 1.6によって、表示された写像に対応する準同型を$\alpha\colon F(B)\to L(\Gamma,o)$とする。歩道$P$の辺列から$T$の辺を除き、残った正辺$e\in B$を文字$e$、その逆辺を文字$e^{-1}$として読むと、$F(B)$の元を得る。逆辺の挿入と削除はこの元を変えない。歩道の連結は語の連結に対応するので、この操作は準同型$\beta\colon L(\Gamma,o)\to F(B)$を定める。

各$e\in B$に対して、$p_{s(e)}$と$p_{t(e)}^{-1}$の辺はすべて$T$に属するので、$\beta\alpha(e)=e$である。普遍性の一意性から$\beta\alpha$は恒等写像である。

閉歩道$P=e_1\cdots e_m$の頂点列を$v_0=o,v_1,\ldots,v_m=o$とする。閉歩道群において

が成り立つ。右辺の隣接する$p_{v_i}^{-1}p_{v_i}$が相殺され、$p_o$は長さ零だからである。$e_i$が$T$に属するとき、対応する閉歩道は$T$内にあるため、補題 1.2によりその類は単位元である。$e_i$が木外の正辺$e$ならば対応する類は$\alpha(e)$であり、逆辺$e^{-1}$ならば$\alpha(e)^{-1}$である。したがって右辺は$\alpha\beta([P])$に等しい。よって$\alpha\beta$も恒等写像であり、二つの準同型は互いに逆である。▨

証明. ラベル$x$の辺は$(g,x)$であり、ラベル$x^{-1}$の辺は$(gx^{-1},x)^{-1}$である。よってラベルと始点から辺は一意に定まる。ラベル語$w$の歩道を$g$から通った終点は$gw$である。

一文字$x$は単位元でないので、ループはない。同じ両端をもつ二つの辺を共通の始点$g$から向け、そのラベルを$y,z$とすると$gy=gz$となる。§E7.9 補題 1.3により一文字の簡約語$y,z$は等しく、辺も等しい。したがって辺の向きを忘れると単純無向グラフになる。

逆文字が隣接するラベル語に対応する二辺は、辺の一意性によって互いの逆辺である。したがって簡約歩道のラベル語は簡約語である。任意の$g,k\in F(X)$に対し、$g^{-1}k$の唯一の簡約語を$g$から読むと$k$への簡約歩道を得る。逆に、$g$から$k$への簡約歩道のラベル語は$g^{-1}k$の簡約語である。§E7.9 補題 1.3によりこの歩道は一意であり、§E1.24 定理 2.2 (3)と§E1.24 定理 2.2により$C_X$は木である。▨

証明. 各$g\in F(X)$へ$1$から歩道が存在するので、その像は$H$と$Hg$を結ぶ。よって$\Gamma_H$は連結である。

頂点$Hg$から出る正辺はラベル$x$ごとに$(Hg,x)$の一本である。$Hg$から出る逆辺のうちラベル$x^{-1}$のものは$(Hgx^{-1},x)^{-1}$の一本である。前者の$g$からの持上げは$(g,x)$、後者の持上げは$(gx^{-1},x)^{-1}$である。各辺をこの式によって順に持ち上げると存在と一意性が従い、各段階で頂点は右からラベルを乗じたものになる。逆辺の組の持上げは互いの逆辺であるから、その挿入と削除は持ち上げた歩道の同値類を変えない。▨

証明. 閉歩道のラベル語を$w$とする。補題 2.4により持上げの終点は$w$であり、閉じていることから$Hw=H$、したがって$w\in H$である。逆辺の挿入と削除はラベル語の自由簡約に対応するので、$\theta$は同値類上で定まる。

閉歩道$P,Q$の$1$からの持上げの終点を$h,k$とする。$Q$の持上げに$h$の左作用を施した歩道は$h$から出発し、同じ$Q$へ射影され、終点は$hk$である。持上げの一意性から、$PQ$を$1$から持ち上げた終点も$hk$となる。よって$\theta([P][Q])=\theta([P])\theta([Q])$である。

任意の$h\in H$に対して、$C_X$の$1$から$h$への歩道の像は$H$における閉歩道であり、その像の$\theta$による値は$h$である。したがって$\theta$は全射である。$\theta([P])=1$ならば、$P$の持上げは木$C_X$の閉歩道である。補題 2.2と補題 1.2により、その持上げは長さ零へ簡約される。簡約を射影すると$P$も長さ零と同値になるので、$\theta$の核は自明である。したがって$\theta$は単射でもある。▨

証明.補題 2.4により$Ht_v=v$であり、基点の木内歩道は長さ零なので$t_H=1$である。$u=vx$であるから、$Ht_vx=Ht_u$となり、$t_vxt_u^{-1}\in H$である。

補題 1.5の同型$\alpha\colon F(B)\to L(\Gamma_H,H)$と補題 2.5の同型$\theta$の合成を取る。木内歩道$p_v$のラベルの積は$t_v$であり、$p_u^{-1}$のラベルの積は$t_u^{-1}$である。したがって$\theta\alpha(e)=t_vxt_u^{-1}=b_e$であり、この合成が求める同型である。▨

証明. 自由群を$F(X)$と同一視し、部分群を$H$とする。補題 2.4と補題 1.3により$\Gamma_H$に全域木が存在する。定理 3.1により$H$は自由群と同型である。▨

証明. 個数$r$の自由基底をもつ群$G$に対し、§E7.9 定理 1.6によって、$G$から位数二の群$C_2$への準同型は基底から$C_2$への写像と一対一に対応する。したがってその個数は$2^r$である。別の有限自由基底の個数が$s$ならば$2^r=2^s$となり、$r=s$である。無限自由基底が存在すれば、異なる一つの基底元だけを$C_2$の非単位元へ送る準同型を取ることによって、相異なる準同型が無限個得られる。これは準同型が$2^r$個であることに反する。よって有限自由基底をもつ群に無限自由基底はない。▨

証明. 個数$r$の自由基底$X$を取り、$F=F(X)$と同一視する。逆元を取る写像$gH\mapsto Hg^{-1}$は左剰余類と右剰余類の間の全単射であるので、$\Gamma_H$の頂点は$d$個である。正辺は各頂点と各$x\in X$に一つずつあるため$dr$本である。

全域木$T$を取る。有限木の辺数に関する§E1.24 注意 2.6により、$T$の正辺は$d-1$本である。定理 3.1が与える自由基底の個数は

であり、補題 4.1によりこの個数が$H$の階数である。$r=0$のとき$F$と$H$はともに自明群なので$d=1$であり、同じ式は階数零を与える。▨

証明.$\varphi$は$a^n$を$n$へ送るので全射である。二つの右剰余類$Hg,Hk$が等しいことと$kg^{-1}\in H$であることは同値であり、さらに$\varphi(g)=\varphi(k)$と同値である。よって$Hg\mapsto\varphi(g)$は商グラフの頂点と$\Z$の全単射を与える。この同一視の下で、正辺のラベルが$a$ならば$n$から$n+1$へ向かい、ラベルが$b$ならば$n$におけるループとなる。

$a$の辺だけからなる部分グラフを$T$とする。任意の整数$m,n$の間の後戻りのない歩道は、整数を一つずつ増加させる歩道または一つずつ減少させる歩道の一つに限られる。したがって§E1.24 定理 2.2により$T$は全域木である。基点$0$から$n$への木内歩道の持上げの終点は$a^n$である。木外の正辺は各$n$における$b$のループの一本ずつなので、定理 3.1は表示された自由基底を与える。同型$F(\Z)\to H$によって相異なる文字は相異なる基底元へ写るため、この基底は可算無限である。

$H$の有限個の元を取る。各元はこの自由基底の有限語であり、これらの語に現れる基底元全体の集合$S$は有限である。$n$を$a^n b a^{-n}\notin S$となるように選ぶ。普遍性によって、この基底元を$C_2$の非単位元へ、他の基底元を単位元へ送る準同型$H\to C_2$が存在する。取った有限個の元はすべてその核に入るが、$a^n b a^{-n}$は核に入らない。したがって取った有限個の元は$H$を生成しない。▨