誘導表現と Frobenius 相互律 | 群論入門

定義 1.1. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H\leq G$ とする。左 $A[G]$ -加群 $W$ の作用を $A[H]$ に制限した左加群を $\operatorname{Res}_H^G W$ と書き、 $W$ の制限 (restriction) という。左 $A[H]$ -加群 $V$ に対して

\operatorname{Ind}_H^G V=A[G]\otimes_{A[H]}V, \qquad \operatorname{Coind}_H^G V=\operatorname{Hom}_{A[H]}(A[G],V)

をそれぞれ $V$ の誘導 (induction)、余誘導 (coinduction) という。テンソル積の第一因子 $A[G]$ は右 $A[H]$ -加群であり、第二因子 $V$ には $va=av$ による右 $A$ 作用を入れる。Hom の入力 $A[G]$ は左 $A[H]$ -加群である。誘導と余誘導の左 $A[G]$ 作用を、それぞれ

b(a\otimes v)=ba\otimes v, \qquad (bf)(x)=f(xb) \quad (a,b,x\in A[G],\ v\in V)

で定める。

補題 1.2. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H\leq G$ 、 $V,V'$ を左 $A[H]$ -加群とする。定義された誘導と余誘導の作用は左 $A[G]$ -加群構造を与える。左 $A[H]$ -線形写像 $u\colon V\to V'$ は左 $A[G]$ -線形写像

\operatorname{Ind}(u)(a\otimes v)=a\otimes u(v), \qquad \operatorname{Coind}(u)(f)=u\circ f

を定める。これらの構成と制限は恒等写像と合成を保つ。

証明. $b\in A[G]$ に対して、写像 $(a,v)\mapsto ba\otimes v$ は加法的であり、 $h\in A[H]$ について

bah\otimes v=ba\otimes hv

を満たす。右 $A$ 作用とも可換するため、テンソル積の普遍性§E6.14 定義 3.1は右 $A$ -線形自己写像 $L_b$ を与える。純テンソルの全体は§E6.14 命題 3.2 (2)によって加法群を生成する。純テンソル上で $L_bL_c=L_{bc}$ 、 $L_1=\id$ 、 $L_{b+c}=L_b+L_c$ が成り立つので、誘導は左 $A[G]$ -加群である。

$f\in\operatorname{Coind}_H^G V$ 、 $h\in A[H]$ 、 $x,b\in A[G]$ に対して

(bf)(hx)=f(hxb)=h f(xb)=h(bf)(x)

である。したがって $bf$ は左 $A[H]$ -線形である。また

(b(cf))(x)=(cf)(xb)=f(xbc)=((bc)f)(x)

であり、単位元と加法に関する加群公理は評価ごとに成り立つ。よって余誘導も左 $A[G]$ -加群である。

$(a,v)\mapsto a\otimes u(v)$ は $A[H]$ -平衡かつ右 $A$ -線形であるから、同じ普遍性によって $\operatorname{Ind}(u)$ を定める。純テンソル上で左 $A[G]$ 作用と可換するので、この写像は左 $A[G]$ -線形である。 $u\circ f$ は左 $A[H]$ -線形であり、 $u((bf)(x))=(b(u\circ f))(x)$ であるから、 $\operatorname{Coind}(u)$ も左 $A[G]$ -線形である。恒等写像と合成の保存は、誘導では純テンソル上、余誘導では評価ごとに従い、制限では元の写像を変更しないことから従う。▨

命題 2.1. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H\leq G$ 、 $V$ を左 $A[H]$ -加群、 $W$ を左 $A[G]$ -加群とする。 $A$ -加群の同型

\operatorname{Hom}_{A[G]}(\operatorname{Ind}_H^G V,W) \cong \operatorname{Hom}_{A[H]}(V,\operatorname{Res}_H^G W)

は $F\mapsto[v\mapsto F(1\otimes v)]$ によって与えられる。逆写像は

f\longmapsto\widetilde f, \qquad \widetilde f(a\otimes v)=af(v)

である。この対応は $V$ の左 $A[H]$ -線形写像による前合成と、 $W$ の左 $A[G]$ -線形写像による後合成と可換する。

証明. $F\colon\operatorname{Ind}_H^G V\to W$ を左 $A[G]$ -線形とする。 $h\in A[H]$ と $v\in V$ に対して

F(1\otimes hv)=F(h\otimes v)=hF(1\otimes v)

であるから、 $v\mapsto F(1\otimes v)$ は左 $A[H]$ -線形である。

左 $A[H]$ -線形写像 $f\colon V\to\operatorname{Res}_H^G W$ に対して、加法的写像 $(a,v)\mapsto af(v)$ は

ahf(v)=af(hv)

を満たし、右 $A$ 作用と可換する。§E6.14 定義 3.1によって右 $A$ -線形写像 $\widetilde f$ を得る。 $\widetilde f(ba\otimes v)=baf(v)=b\widetilde f(a\otimes v)$ であるから、純テンソルによる生成により $\widetilde f$ は左 $A[G]$ -線形である。

$\widetilde f(1\otimes v)=f(v)$ であり、逆向きには $aF(1\otimes v)=F(a\otimes v)$ である。したがって二つの対応は互いに逆である。加法と $A$ のスカラー倍を保つことは表示式から従う。 $u\colon V'\to V$ と $c\colon W\to W'$ をそれぞれの係数環上の線形写像とすると、 $c\circ F\circ\operatorname{Ind}(u)$ に対応する写像の $v'\in V'$ における値は $c(F(1\otimes u(v')))$ である。これは対応する $f$ の前後に $u,c$ を合成した値に等しいため、自然性が成り立つ。▨

命題 2.2. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H\leq G$ 、 $V$ を左 $A[H]$ -加群、 $W$ を左 $A[G]$ -加群とする。 $A$ -加群の同型

\operatorname{Hom}_{A[H]}(\operatorname{Res}_H^G W,V) \cong \operatorname{Hom}_{A[G]}(W,\operatorname{Coind}_H^G V)

は

T\longmapsto\widehat T, \qquad \widehat T(w)(x)=T(xw)

によって与えられる。逆写像は $F\mapsto[w\mapsto F(w)(1)]$ である。この対応は $W$ の左 $A[G]$ -線形写像による前合成と、 $V$ の左 $A[H]$ -線形写像による後合成と可換する。

証明. $T\colon\operatorname{Res}_H^G W\to V$ を左 $A[H]$ -線形とする。 $h\in A[H]$ と $x\in A[G]$ に対して

\widehat T(w)(hx)=T(hxw)=hT(xw)

であるから、 $\widehat T(w)$ は余誘導の元である。さらに $b\in A[G]$ について

\widehat T(bw)(x)=T(xbw)=\widehat T(w)(xb)=(b\widehat T(w))(x)

であるから、 $\widehat T$ は左 $A[G]$ -線形である。

左 $A[G]$ -線形写像 $F\colon W\to\operatorname{Coind}_H^G V$ に対して $T_F(w)=F(w)(1)$ とおく。 $h\in A[H]$ に対して

T_F(hw)=(hF(w))(1)=F(w)(h)=hF(w)(1)=hT_F(w)

であるから、 $T_F$ は左 $A[H]$ -線形である。 $\widehat T(w)(1)=T(w)$ であり、逆向きには

\widehat {T_F}(w)(x)=F(xw)(1)=(xF(w))(1)=F(w)(x)

である。したがって二つの対応は互いに逆であり、評価式から $A$ -線形性も従う。左 $A[G]$ -線形写像 $c\colon W'\to W$ と左 $A[H]$ -線形写像 $u\colon V\to V'$ に対して、 $u\circ T\circ\operatorname{Res}(c)$ の対応する写像は $w',x$ において $u(T(xc(w')))=u(T(c(xw')))$ を取る。これは $\operatorname{Coind}(u)\circ\widehat T\circ c$ の値であるため、自然性が成り立つ。▨

注意 2.3. 誘導は制限の左随伴であり、余誘導は制限の右随伴である。表現と左群環加群の射は§E7.32 命題 1.6 (1)によって一致するため、体上では同じ対応が絡作用素の空間の同型を与える。これらの同型を Frobenius 相互律という。

補題 3.1. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H\leq G$ 、 $V$ を左 $A[H]$ -加群とする。 $G/H$ の左剰余類の代表族を $(r_i)_{i\in I}$ とする。 $A$ -加群の同型として次が成り立つ。

写像 $\bigoplus_{i\in I}V\longrightarrow\operatorname{Ind}_H^G V, \qquad (v_i)_i\longmapsto\sum_i r_i\otimes v_i$ は同型である。
写像 $\operatorname{Coind}_H^G V\longrightarrow\prod_{i\in I}V, \qquad f\longmapsto(f(r_i^{-1}))_i$ は同型である。

これらの同型は $V$ の左 $A[H]$ -線形写像と可換する。

証明. 各群元は一意的に $r_i h$ （ $h\in H$ ）と表されるため、 $A[G]$ は $(r_i)_{i\in I}$ を基底とする自由右 $A[H]$ -加群である。§E6.14 定理 4.2を $R=A[H]$ 、 $S=A$ 、 $F=A[G]$ 、 $N=V$ として適用すると、 $a=\sum_i r_i a_i$ （ $a_i\in A[H]$ ）に対して $a\otimes v\mapsto(a_i v)_i$ が同型を与える。その逆写像が(1)の写像である。右 $A$ 作用は $va=av$ であるから、この同型は左 $A$ -線形でもある。

逆元を取ると、 $H\backslash G$ の右剰余類の代表族は $(r_i^{-1})_i$ である。任意の $a\in A[G]$ は一意的に有限和 $a=\sum_i b_i r_i^{-1}$ （ $b_i\in A[H]$ ）と表される。任意の族 $(v_i)_i\in\prod_i V$ に対して

f\left(\sum_i b_i r_i^{-1}\right)=\sum_i b_i v_i

と定めると、 $f$ は左 $A[H]$ -線形である。入力の和は有限和であるため、族 $(v_i)_i$ の台に制限は要らない。この $f$ は $f(r_i^{-1})=v_i$ を満たし、左 $A[H]$ -線形性によってその値から一意に決まる。したがって(2)の写像は同型である。両同型と $V$ の射との可換性は、表示された各成分の式から従う。▨

定理 3.2. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H\leq G$ とし、 $[G:H]<\infty$ と仮定する。 $V$ を左 $A[H]$ -加群とする。 $A$ -線形写像 $E_H\colon A[G]\to A[H]$ を

E_H\left(\sum_{g\in G}a_g g\right)=\sum_{h\in H}a_h h

で定める。このとき左 $A[G]$ -加群の同型

J_V\colon\operatorname{Ind}_H^G V\xrightarrow{\ \cong\ }\operatorname{Coind}_H^G V, \qquad J_V(a\otimes v)(x)=E_H(xa)v

が存在する。この同型は左 $A[H]$ -加群 $V$ の射と可換する。

証明. $h,h'\in H$ と $g\in G$ に対して、 $hgh'\in H$ と $g\in H$ は同値である。したがって $E_H(hgh')=hE_H(g)h'$ であり、線形延長によって $E_H$ は両側の $A[H]$ 作用と可換する。 $a\in A[G]$ と $v\in V$ に対して $x\mapsto E_H(xa)v$ は左 $A[H]$ -線形である。 $c\in A[H]$ について $E_H(xac)v=E_H(xa)cv$ であるため、 $(a,v)\mapsto[x\mapsto E_H(xa)v]$ は平衡写像である。テンソル積の普遍性によって $J_V$ を得る。 $b\in A[G]$ に対して

J_V(ba\otimes v)(x)=E_H(xba)v=J_V(a\otimes v)(xb)=(bJ_V(a\otimes v))(x)

であるから、 $J_V$ は左 $A[G]$ -線形である。

有限な左剰余類代表族を $(r_i)_{i\in I}$ とする。 $r_j^{-1}r_i\in H$ と $i=j$ は同値であるため

J_V(r_i\otimes v)(r_j^{-1})=\begin{cases}v&i=j,\\0&i\ne j.\end{cases}

補題 3.1の座標において $J_V$ は直和から直積への標準写像である。 $I$ は有限であるから、この写像は同型であり、逆写像は

f\longmapsto\sum_{i\in I}r_i\otimes f(r_i^{-1})

である。 $J_V$ 自体の定義は代表族を含まない。左 $A[H]$ -線形写像 $u\colon V\to V'$ に対して $u(E_H(xa)v)=E_H(xa)u(v)$ であるから、 $\operatorname{Coind}(u)\circ J_V=J_{V'}\circ\operatorname{Ind}(u)$ が成り立つ。▨

注意 3.3. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H\leq G$ 、 $V$ を左 $A[H]$ -加群とする。有限指数の場合の式は、任意指数でも左 $A[G]$ -線形写像 $J_V\colon\operatorname{Ind}_H^G V\to\operatorname{Coind}_H^G V$ を与える。剰余類座標におけるこの写像は $\bigoplus_{G/H}V\to\prod_{G/H}V$ である。 $[G:H]$ が無限で $V\ne0$ ならば、非零の一定値を取る族は直和に属さないため、 $J_V$ は全射ではない。

注意 4.1. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H,K\leq G$ 、 $x\in G$ 、 $V$ を左 $A[H]$ -加群とする。 $L_x=K\cap xHx^{-1}$ とおく。 $V$ と同じ $A$ -加群に

l\cdot v=(x^{-1}lx)v\qquad(l\in L_x)

を入れた左 $A[L_x]$ -加群を ${}^xV$ と書く。共役による群準同型 $L_x\to H$ は群環準同型を定めるため、この作用は左加群構造を与える。

補題 4.2. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H,K\leq G$ 、 $x\in G$ 、 $V$ を左 $A[H]$ -加群とし、 $L_x=K\cap xHx^{-1}$ とおく。二重剰余類 $KxH$ を基底とする $A$ -加群 $A[KxH]\subseteq A[G]$ には、左 $A[K]$ 作用と右 $A[H]$ 作用が入る。左 $A[K]$ -加群の同型

A[K]\otimes_{A[L_x]}{}^xV \longrightarrow A[KxH]\otimes_{A[H]}V, \qquad a\otimes v\longmapsto ax\otimes v

が存在する。

証明. $l\in L_x$ に対して

alx\otimes v=ax(x^{-1}lx)\otimes v=ax\otimes(x^{-1}lx)v

である。線形延長とテンソル積の普遍性によって、表示された左 $A[K]$ -線形写像を得る。

$k\in K$ と $h\in H$ に対して、 $(kxh,v)$ を $k\otimes hv$ へ送る写像を考える。 $kxh=k'xh'$ ならば

l=k'^{-1}k=xh'h^{-1}x^{-1}\in L_x

であるから

k\otimes hv=k'l\otimes hv=k'\otimes(x^{-1}lx)hv=k'\otimes h'v.

したがって写像は基底元 $kxh$ の表示に依存しない。第一変数について $A$ -線形に延長すると、加法的写像 $A[KxH]\times V\to A[K]\otimes_{A[L_x]}{}^xV$ を得る。 $h_0\in H$ に対して $(kxhh_0,v)$ と $(kxh,h_0v)$ の像はともに $k\otimes hh_0v$ である。線形延長によってこの写像は $A[H]$ -平衡かつ右 $A$ -線形であるため、テンソル積からの写像を定める。その写像は基底元について左 $K$ 作用と可換するため、左 $A[K]$ -線形である。二つの合成は $k\otimes v$ および $kxh\otimes v$ をそれぞれ自身へ送る。これらは純テンソルを生成するため、二つの写像は互いに逆である。▨

定理 4.3. $A$ を可換な単位的環、 $G$ を群、 $H,K\leq G$ 、 $V$ を左 $A[H]$ -加群とする。 $K\backslash G/H$ の代表集合を $D\subseteq G$ とし、各 $x\in D$ に対して $L_x=K\cap xHx^{-1}$ とおく。左 $A[K]$ -加群の同型

\bigoplus_{x\in D}\operatorname{Ind}_{L_x}^K({}^xV) \xrightarrow{\ \cong\ } \operatorname{Res}_K^G\operatorname{Ind}_H^G V

が、各成分の $a\otimes v$ を $ax\otimes v$ へ送る写像によって与えられる。この同型は左 $A[H]$ -加群 $V$ の射と可換する。

証明. 二重剰余類による分割§E7.11 命題 3.2は、左 $A[K]$ ・右 $A[H]$ 双加群の直和分解

A[G]=\bigoplus_{x\in D}A[KxH]

を与える。各 $a\in A[G]$ の成分を $a_x\in A[KxH]$ と書くと、写像 $(a,v)\mapsto(a_x\otimes v)_{x\in D}$ は平衡写像である。 $a$ の台が有限であるため、その像は直和に属する。テンソル積の普遍性は

A[G]\otimes_{A[H]}V\longrightarrow \bigoplus_{x\in D}\bigl(A[KxH]\otimes_{A[H]}V\bigr)

を与える。逆写像は成分の包含が定める写像を加えたものである。両合成は純テンソル上で恒等写像であり、両写像は左 $A[K]$ -線形である。各成分に補題 4.2を適用して表示された同型を得る。左 $A[H]$ -線形写像 $u\colon V\to V'$ は各共役加群の左 $A[L_x]$ -線形写像でもあり、 $a\otimes v$ の像 $ax\otimes u(v)$ が両合成で一致するため、自然性が成り立つ。▨

定理 5.1. $G$ を有限群、 $H\leq G$ とし、 $V$ を $H$ の有限次元複素表現とする。対応する左 $\C[H]$ -加群を誘導して得る $G$ の表現の指標は、任意の $g\in G$ に対して

\chi_{\operatorname{Ind}_H^G V}(g) =\frac{1}{|H|}\sum_{\substack{x\in G\\x^{-1}gx\in H}}\chi_V(x^{-1}gx)

を満たす。

証明. 左剰余類代表族を $(r_i)_{i\in I}$ とする。補題 3.1 (1)によって、誘導表現の空間は有限個の $r_i\otimes V$ の直和であり、その次元は $[G:H]\dim_{\C}V$ である。 $gr_i=r_j h$ （ $h\in H$ ）ならば、 $g$ は $r_i\otimes v$ を $r_j\otimes hv$ へ送る。したがって $g$ の作用行列の対角ブロックは、 $gr_iH=r_iH$ の場合には $V$ 上の $r_i^{-1}gr_i$ の作用であり、それ以外の場合には零である。対角成分を加えると

\chi_{\operatorname{Ind}_H^G V}(g) =\sum_{\substack{i\in I\\r_i^{-1}gr_i\in H}}\chi_V(r_i^{-1}gr_i)

を得る。

$x=r_i h$ （ $h\in H$ ）に対して $x^{-1}gx=h^{-1}(r_i^{-1}gr_i)h$ である。この元が $H$ に属することと $r_i^{-1}gr_i\in H$ は同値であり、§E7.33 命題 4.3によって属する場合の指標値は等しい。各左剰余類には $|H|$ 個の元があるため、群全体についての和は直前の和の $|H|$ 倍である。これが表示された公式を与える。▨

例 5.2. $G=S_3$ 、 $H=\langle(12)\rangle$ とし、 $V=\C$ を $H$ の自明表現とする。写像

\operatorname{Ind}_H^{S_3}\C\longrightarrow\C^{(S_3/H)}, \qquad a\otimes1\longmapsto a e_H

は左 $\C[S_3]$ -線形である。 $H$ は $e_H$ を固定するため、この写像はテンソル積の普遍性によって定まり、補題 3.1 (1)の基底 $r_i\otimes1$ を置換表現の基底 $e_{r_iH}$ へ送るので同型である。 $H$ は自然な三点作用の点 $3$ の安定化群である。写像 $rH\mapsto r(3)$ は $S_3$ と可換する全単射であるから、この誘導表現は§E7.33 命題 5.1の $n=3$ の置換表現である。恒等元、互換、長さ三の巡回置換の固定点数はそれぞれ $3,1,0$ であるため、誘導指標の値はこの順で $(3,1,0)$ である。同じ命題の直和分解により、この表現は自明表現と二次元の標準表現の直和である。

§E7.34誘導表現と Frobenius 相互律

1 群環上の誘導と余誘導

2 制限との両随伴

3 剰余類座標と有限指数

4 二重剰余類による分解

5 有限群の誘導指標

参考文献

前提記事