群環と表現 | 群論入門

定義 1.1. $G$ を群、 $k$ を体、 $V$ を $k$ -ベクトル空間とする。群準同型

\rho\colon G\longrightarrow\operatorname{GL}_k(V)

を $G$ の $k$ 上の線形表現 (linear representation) といい、 $V$ を表現空間という。表現を $(V,\rho)$ と書く。 $\operatorname{GL}_k(V)$ は $V$ の可逆な $k$ -線形自己写像の群であり、積は写像の合成である。

補題 1.2. $k$ を体、 $G$ を群、 $B$ を単位的 $k$ -代数とし、 $B^\times$ をその単元群とする。任意の群準同型 $u\colon G\to B^\times$ に対して、単位的 $k$ -代数準同型

\widetilde u\colon k[G]\longrightarrow B,\qquad \widetilde u\left(\sum_{g\in G}a_g g\right)=\sum_{g\in G}a_g u(g)

が一意的に存在し、すべての $g\in G$ に対して $\widetilde u(g)=u(g)$ を満たす。逆に、任意の単位的 $k$ -代数準同型 $\varphi\colon k[G]\to B$ の $G$ への制限は $B^\times$ への群準同型である。

証明. $k[G]$ は $G$ を基底とする $k$ -ベクトル空間であるから、 $u$ は一意的な $k$ -線形写像 $\widetilde u\colon k[G]\to B$ へ延長される。群環の積§E6.1 命題 6.2によって、基底元 $g,h\in G$ に対して

\widetilde u(gh)=u(gh)=u(g)u(h)=\widetilde u(g)\widetilde u(h)

が成り立つ。積の双線形性により $\widetilde u$ は乗法を保ち、 $u(e_G)=1_B$ により単位元を保つ。単位的 $k$ -代数準同型 $\varphi$ に対しては $\varphi(g)\varphi(g^{-1})=1_B=\varphi(g^{-1})\varphi(g)$ であるから、 $\varphi(g)$ は単元であり、制限は群準同型である。▨

命題 1.3. $G$ を群、 $k$ を体とする。 $k$ 上の $G$ の線形表現と左 $k[G]$ -加群は、次の構成によって一対一に対応する。表現 $(V,\rho)$ に対応する作用は

\left(\sum_{g\in G}a_g g\right)v=\sum_{g\in G}a_g\rho(g)v

である。左 $k[G]$ -加群 $M$ に対応する表現は、 $k$ -ベクトル空間構造を $k\to k[G]$ , $a\mapsto ae_G$ による制限で定め、 $\rho_M(g)m=gm$ とする。

証明. 表現 $\rho$ に補題 1.2を $B=\operatorname{End}_k(V)$ として適用すると、単位的 $k$ -代数準同型 $k[G]\to\operatorname{End}_k(V)$ が得られる。§E6.2 命題 1.3により、この準同型は表示された左加群構造を定める。逆に、左 $k[G]$ -加群 $M$ では $a e_G$ がすべての $g\in G$ と可換であるから、 $m\mapsto gm$ は $k$ -線形である。その逆写像は $m\mapsto g^{-1}m$ であり、加群作用の結合律により $\rho_M(gh)=\rho_M(g)\rho_M(h)$ である。表現から得た加群の基底元 $g$ の作用は $\rho(g)$ に等しいので、表現に戻すと元の表現を得る。加群から得た表現の線形延長は、基底元 $g$ において元の加群作用に一致するので、補題 1.2の一意性により元の加群作用に等しい。▨

定義 1.4. $G$ を群、 $k$ を体、 $(V,\rho)$ と $(W,\sigma)$ を $k$ 上の $G$ の表現とする。 $k$ -線形写像 $T\colon V\to W$ が、すべての $g\in G$ に対して

T\rho(g)=\sigma(g)T

を満たすとき、 $T$ を絡作用素 (intertwining operator) という。絡作用素全体の $k$ -ベクトル空間を $\operatorname{Hom}_G(V,W)$ と書き、 $\operatorname{End}_G(V)=\operatorname{Hom}_G(V,V)$ と書く。全単射である絡作用素を表現の同型という。

定義 1.5. $G$ を群、 $k$ を体、 $(V,\rho)$ を $k$ 上の $G$ の表現とする。 $k$ -部分空間 $U\subseteq V$ が、すべての $g\in G$ に対して $\rho(g)U\subseteq U$ を満たすとき、 $U$ を $G$ -不変部分空間といい、 $\rho(g)$ の $U$ への制限が定める表現を部分表現という。 $V\ne0$ であり、 $G$ -不変部分空間が $0$ と $V$ だけであるとき、 $(V,\rho)$ を既約表現 (irreducible representation) という。

命題 1.6. $G$ を群、 $k$ を体、 $(V,\rho)$ と $(W,\sigma)$ を $k$ 上の $G$ の表現とし、対応する左 $k[G]$ -加群構造を入れる。

$k$ -線形写像 $T\colon V\to W$ が絡作用素であることと、 $T$ が $k[G]$ -線形であることは同値である。したがって $\operatorname{Hom}_G(V,W)=\operatorname{Hom}_{k[G]}(V,W)$ であり、自己準同型環の積も一致する。
$V$ の $k$ -部分空間が $G$ -不変であることと、左 $k[G]$ -部分加群であることは同値である。したがって $V$ が既約表現であることと、対応する左 $k[G]$ -加群が単純であることは同値である。

証明. $T$ が絡作用素ならば、 $x=\sum_g a_g g\in k[G]$ と $v\in V$ に対して

T(xv)=\sum_g a_g T\rho(g)v=\sum_g a_g\sigma(g)T(v)=xT(v)

である。逆に、 $k[G]$ -線形写像は基底元 $g$ と $ae_G$ の作用を保つから、絡作用素である。 $G$ -不変部分空間は、各 $\rho(g)$ の有限 $k$ -線形結合に対しても安定であるから、左 $k[G]$ -部分加群である。逆に、左 $k[G]$ -部分加群は $ae_G$ と $g$ の作用に対して安定であるから、 $k$ -部分空間であり $G$ -不変である。既約性と単純性は、どちらも非零であり真の非零部分対象をもたないという条件である。▨

命題 2.1. $G$ を群、 $k$ を体とする。

左 $k[G]$ -加群 $k[G]$ の左乗法に対応する表現は、 $L(g)x=gx$ で与えられる。この表現を左正則表現という。
$X$ を左 $G$ -集合とし、 $k^{(X)}$ を基底 $(e_x)_{x\in X}$ をもつ $k$ -ベクトル空間、すなわち $X$ 上の有限台の $k$ 値関数の空間とする。 $P(g)e_x=e_{gx}$ は $k^{(X)}$ 上の表現を定める。この表現を置換表現という。 $X=G$ に左乗法作用を入れたとき、置換表現は左正則表現と同型である。

証明. $k[G]$ 自身は左乗法によって左 $k[G]$ -加群であるから、命題 1.3により $L$ は表現である。 $g\in G$ に対して $x\mapsto gx$ は $X$ の置換であるから、基底の置換は可逆な線形写像 $P(g)$ を定める。基底元において $P(g)P(h)e_x=e_{g(hx)}=e_{(gh)x}=P(gh)e_x$ であるから、 $P$ は群準同型である。 $X=G$ の場合、線形写像 $e_h\mapsto h$ は基底を基底へ移す全単射であり、 $e_{gh}\mapsto gh$ により $G$ の作用を保つ。▨

系 3.1. $G$ を群、 $k$ を体とし、 $V,W$ を $k$ 上の $G$ の既約表現とする。非零絡作用素 $T\colon V\to W$ は同型である。特に、 $V$ と $W$ が同型でなければ $\operatorname{Hom}_G(V,W)=0$ であり、 $\operatorname{End}_G(V)$ は斜体である。

証明.命題 1.6により、 $V,W$ は単純左 $k[G]$ -加群であり、絡作用素は左 $k[G]$ -加群の射である。§E6.25 定理 1.1を $R=k[G]$ に適用すると主張が従う。▨

系 3.2. $G$ を群、 $k$ を代数閉体、 $V$ を $k$ 上の有限次元既約表現とする。任意の $T\in\operatorname{End}_G(V)$ は、ある $\lambda\in k$ に対して $T=\lambda\operatorname{id}_V$ と書くことができる。したがって $k\to\operatorname{End}_G(V)$ , $\lambda\mapsto\lambda\operatorname{id}_V$ は $k$ -代数の同型である。

証明. $V\ne0$ であるから、 $T$ の特性多項式は正次数である。 $k$ が代数閉であることにより、この多項式は根 $\lambda\in k$ をもち、 $T-\lambda\operatorname{id}_V$ の核は非零である。 $T-\lambda\operatorname{id}_V$ は絡作用素であり単射ではないから、系 3.1により零写像である。スカラー倍の写像はすべて絡作用素であり、 $V\ne0$ によりスカラーからの写像は単射でもある。▨

系 3.3. $G$ を可換群、 $k$ を代数閉体、 $V$ を $k$ 上の有限次元既約表現とする。このとき $\dim_k V=1$ である。

証明. $g,h\in G$ に対して $\rho(g)\rho(h)=\rho(h)\rho(g)$ であるから、各 $\rho(g)$ は絡作用素である。系 3.2により、各 $\rho(g)$ はスカラー倍である。非零ベクトル $v\in V$ を取ると直線 $kv$ は $G$ -不変であり、既約性により $kv=V$ である。▨

系 3.4. 有限可換群の有限次元複素既約表現はすべて一次元である。

証明.系 3.3を $k=\C$ に適用する。▨

例 3.5. $n$ を正整数、 $C_n=\langle c\mid c^n=e\rangle$ とし、 $k$ を体とする。 $k$ 上の $C_n$ の一次元表現の同型類は、 $\zeta\in k$ で $\zeta^n=1$ を満たすものと一対一に対応する。実際、一次元表現で $\rho(c)=\zeta\operatorname{id}_k$ と書くと $\rho(c)^n=\operatorname{id}_k$ により $\zeta^n=1$ である。逆に $\zeta^n=1$ ならば、 $\rho(c^j)v=\zeta^jv$ は指数を $n$ を法として変更しても変わらず、群準同型を定める。一次元空間の同型はスカラー倍であるから、異なる $\zeta$ が定める表現は同型ではない。 $k$ が代数閉ならば系 3.3により、有限次元既約表現はすべてこの形である。 $k=\C$ の場合は $\zeta=\exp(2\pi i j/n)$ （ $0\le j<n$ ）であり、 $\operatorname{char}k$ が $n$ を割る場合にも分類の条件は $\zeta^n=1$ のままである。

例 4.1. $C_4=\langle c\mid c^4=e\rangle$ の実表現を $V=\R^2$ と

\rho(c)=J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

で定める。 $J^2=-I$ により $J^4=I$ であり、表現が定まる。不変な実直線が存在すれば、その直線上で $J$ は実数 $t$ の倍として作用するので $t^2=-1$ となる。したがって不変直線は存在せず、 $V$ は既約である。 $T=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ に対して $TJ=JT$ は $s=p$ , $r=-q$ と同値である。よって

\operatorname{End}_{C_4}(V)=\{aI+bJ\mid a,b\in\R\}\cong\C, \qquad aI+bJ\longmapsto a+bi.

この同型は $J^2=-I$ によって積を保つ。

例 4.2. 複素行列環 $M_2(\C)$ の実部分空間

\mathbb H=\left\{\begin{pmatrix}z&w\\-\overline w&\overline z\end{pmatrix}\;\middle|\;z,w\in\C\right\}

は乗法に関して閉じている。実際、パラメータ $(z,w)$ と $(z',w')$ の積のパラメータは $(zz'-w\overline{w'},\;zw'+w\overline{z'})$ である。行列の積により結合律が成り立ち、単位行列を $1$ と書く。各 $q\in\mathbb H$ は一意的に $q=a+bi+cj+dk$ （ $a,b,c,d\in\R$ ）と書くことができる。ただし

i=\begin{pmatrix}\mathrm i&0\\0&-\mathrm i\end{pmatrix},\qquad j=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad k=ij

であり、 $\mathrm i$ は複素数の虚数単位である。行列積から $i^2=j^2=k^2=-1$ , $ij=k=-ji$ を得る。 $\overline q=a-bi-cj-dk$ と書くと

q\overline q=\overline q q=(a^2+b^2+c^2+d^2)1

であるから、 $q\ne0$ は $q^{-1}=\overline q/(a^2+b^2+c^2+d^2)$ をもつ。

部分群 $Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}\subseteq\mathbb H^\times$ を四元数群とする。実ベクトル空間 $V=\mathbb H$ 上の左乗法 $\rho(g)x=gx$ は忠実な四次元実表現を定める。忠実性は $\rho(g)1=g$ から従う。 $Q_8$ の実線形包は $\mathbb H$ であるから、 $Q_8$ -不変部分空間 $U$ はすべての左乗法に対して安定である。 $0\ne u\in U$ が存在すれば $1=u^{-1}u\in U$ であり、任意の $q\in\mathbb H$ について $q=q1\in U$ となる。したがって $V$ は既約である。

絡作用素 $T$ はすべての左乗法と可換であるから、 $b=T(1)$ と置くと $T(x)=T(x1)=xT(1)=xb$ である。逆に、各右乗法 $R_b(x)=xb$ は結合律により左乗法と可換である。 $R_b\circ R_c=R_{cb}$ であるから、 $b\mapsto R_b$ は $\mathbb H^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_{Q_8}(V)$ の実代数同型である。共役 $q\mapsto\overline q$ は行列モデルで共役転置に等しいから、 $\overline{bc}=\overline c\,\overline b$ を満たす。したがって共役は $\mathbb H^{\mathrm{op}}\to\mathbb H$ の実代数同型であり、

\operatorname{End}_{Q_8}(V)\cong\mathbb H.

例 4.3. $S_3$ の実置換表現 $\R^3$ の部分空間

V=\{(x_1,x_2,x_3)\in\R^3\mid x_1+x_2+x_3=0\}

に座標の置換による表現を入れる。 $r=(1\,2\,3)$ と $s=(2\,3)$ に対して、 $V$ の基底

u=\frac1{\sqrt6}(2,-1,-1),\qquad v=\frac1{\sqrt2}(0,1,-1)

に関する行列は

R=\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&-\frac12\end{pmatrix},\qquad F=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

である。 $R$ の特性多項式 $t^2+t+1$ は実根をもたないので、 $R$ に不変な実直線は存在しない。したがって $V$ は既約である。 $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ とすると $R=-\frac12 I+\frac{\sqrt3}2J$ であるから、 $TR=RT$ は $TJ=JT$ と同値である。例 4.1の行列計算により $T=aI+bJ$ となる。 $FJ=-JF$ であるから $TF=FT$ は $b=0$ と同値である。 $r,s$ は $S_3$ を生成するので、 $\operatorname{End}_{S_3}(V)=\R\operatorname{id}_V$ である。

自明表現と符号表現は一次元であるから既約であり、二次元の既約表現 $V$ と同型ではない。したがって系 3.1により、 $V$ から自明表現または符号表現への絡作用素は零写像だけである。

注意 4.4 (実斜体の分類). 有限次元実既約表現 $V$ の自己準同型環は、系 3.1により斜体であり、 $\operatorname{End}_{\R}(V)$ の部分空間であるから実数体上で有限次元である。 Frobenius の分類定理によれば、有限次元実斜体は $\R$ , $\C$ , $\mathbb H$ のいずれかに同型である。この分類定理の証明はここでは扱わない。例 4.3、例 4.1、例 4.2は、それぞれの自己準同型環が実際に現れる例である。

§E7.32群環と表現

1 群環の普遍性と線形表現

2 正則表現と置換表現

3 Schur の補題と可換群

4 実数体上の自己準同型環

参考文献

前提記事