群コホモロジー | 群論入門

1 整数群環と不変元

定義 1.1. $G$ を群とする。可換環 $\Z$ を係数環とする群環を $\Z[G]$ と書き、整数群環という。その元は有限台の形式和 $\sum_{g\in G}a_g g$ （ $a_g\in\Z$ ）であり、積は $G$ の積を $\Z$ -双線形に延長したものである。§E6.1 命題 6.2により、 $\Z[G]$ は単位元 $e_G$ をもつ環である。左 $\Z[G]$ -加群を $G$ -加群ともいう。 $G$ -加群 $M$ に対して、

M^G:=\{m\in M\mid gm=m\text{ がすべての }g\in G\text{ について成り立つ}\}

を $M$ の不変元の群 (group of invariants) という。

命題 1.2. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ とする。写像

\ep\colon R\longrightarrow\Z,\qquad \ep\left(\sum_{g\in G}a_g g\right)=\sum_{g\in G}a_g

は単位元を保つ環準同型である。この準同型を添加写像という。作用 $rz=\ep(r)z$ と $zr=z\ep(r)$ は、それぞれ $\Z$ に左 $R$ -加群構造と右 $R$ -加群構造を定める。これらを自明左加群、自明右加群という。

証明. $r=\sum_g a_g g$ と $s=\sum_h b_h h$ に対して、群環の積の定義から

\ep(rs)=\sum_{g,h}a_gb_h =\left(\sum_g a_g\right)\left(\sum_h b_h\right) =\ep(r)\ep(s)

である。各和は有限和である。係数の和は加法を保ち、 $\ep(e_G)=1$ であるから、 $\ep$ は単位元を保つ環準同型である。環準同型に沿って $\Z$ の左右の乗法作用を制限すると、表示された二つの加群構造を得る。▨

補題 1.3. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ 、 $M$ を左 $R$ -加群とする。各 $g\in G$ の作用 $m\mapsto gm$ はアーベル群 $M$ の自己同型であり、 $G$ から $\operatorname{Aut}_{\Z}(M)$ への群準同型を定める。 $M^G$ は $M$ の部分アーベル群であり、自明左 $R$ -加群 $\Z$ に対して

\Hom_R(\Z,M)\longrightarrow M^G,\qquad f\longmapsto f(1)

は $M$ について自然なアーベル群の同型である。

証明. $g$ の作用は加法を保ち、その逆写像は $g^{-1}$ の作用である。加群作用の結合律により、 $gh$ の作用は $g$ の作用と $h$ の作用の合成である。各作用が加法を保つため、不変元は加法と加法逆元について閉じている。 $f\colon\Z\to M$ が $R$ -線形ならば、 $g\cdot1=1$ により $gf(1)=f(g\cdot1)=f(1)$ である。逆に $m\in M^G$ に対し $f_m(z)=zm$ とおくと、 $r=\sum_g a_g g$ に対して

r f_m(z)=\sum_g a_g g(zm)=\ep(r)zm=f_m(rz)

であるから、 $f_m$ は $R$ -線形である。加法群準同型 $f\colon\Z\to M$ は $f(z)=zf(1)$ を満たすため、二つの構成は互いに逆である。左 $R$ -線形写像 $u\colon M\to N$ に対して $(uf)(1)=u(f(1))$ であり、自然性が従う。▨

2 標準自由分解

注意 2.1. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ とする。各非負整数 $n$ に対して、 $G^n$ を基底とする自由左 $R$ -加群を

B_n=\bigoplus_{(g_1,\ldots,g_n)\in G^n}R[g_1|\cdots|g_n]

と書く。 $G^0$ は空の組だけを含む一元集合であり、 $B_0=R[]$ である。 $n\ge1$ と $0\le i\le n$ に対して、左 $R$ -線形写像 $\partial_i^n\colon B_n\to B_{n-1}$ を基底上の値

\begin{aligned} \partial_0^n[g_1|\cdots|g_n]&=g_1[g_2|\cdots|g_n],\\ \partial_i^n[g_1|\cdots|g_n]&=[g_1|\cdots|g_i g_{i+1}|\cdots|g_n] && (1\le i<n),\\ \partial_n^n[g_1|\cdots|g_n]&=[g_1|\cdots|g_{n-1}] \end{aligned}

で定める。空の入力は $[]$ とする。自由加群の普遍性§E6.10 補題 1.4により、各写像は一意に定まる。

d_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\partial_i^n\quad(n\ge1),\qquad d_0(r[])=\ep(r)

と定め、 $d_0$ の終域は自明左 $R$ -加群 $\Z$ とする。

補題 2.2. $G$ を任意の群とし、注意 2.1の写像を取る。すべての $n\ge2$ と $0\le i<j\le n$ に対して

\partial_i^{n-1}\partial_j^n =\partial_{j-1}^{n-1}\partial_i^n

が成り立つ。したがって $d_{n-1}d_n=0$ はすべての $n\ge2$ で成り立ち、 $d_0d_1=0$ である。

証明. $B_n$ の下部のアーベル群は $g[g_1|\cdots|g_n]$ （ $g,g_1,\ldots,g_n\in G$ ）を $\Z$ -基底にもつ。この基底を

g[g_1|\cdots|g_n]\longleftrightarrow (g,gg_1,gg_1g_2,\ldots,gg_1\cdots g_n)

によって $G^{n+1}$ と同定する。逆対応は

(x_0,\ldots,x_n)\longmapsto x_0[x_0^{-1}x_1|x_1^{-1}x_2|\cdots|x_{n-1}^{-1}x_n]

である。面 $\partial_i^n$ は、この同定のもとで $i$ 番目の頂点 $x_i$ を削除する写像である。 $i<j$ のとき、 $x_j$ を削除してから $x_i$ を削除することと、 $x_i$ を削除してから元の $x_j$ を削除することは同じである。後者で元の $x_j$ は $j-1$ 番目にあるため、面恒等式が従う。 $d_{n-1}d_n$ の展開では、 $i<j$ の項 $(-1)^{i+j}\partial_i^{n-1}\partial_j^n$ と、項 $(-1)^{i+j-1}\partial_{j-1}^{n-1}\partial_i^n$ が対になって相殺する。各項はこのような対の一つに属するため、 $d_{n-1}d_n=0$ である。また、 $d_1[g]=g[]-[]$ に対して $d_0(g[]-[])=1-1=0$ であり、 $R$ -線形性から $d_0d_1=0$ が従う。▨

補題 2.3. $G$ を群とし、注意 2.1の添加複体の下部のアーベル群を考える。 $B_{-1}=\Z$ とおき、 $\Z$ -線形写像

h_{-1}\colon\Z\to B_0,\qquad h_{-1}(1)=[],

h_n\colon B_n\to B_{n+1},\qquad h_n\bigl(g[g_1|\cdots|g_n]\bigr)=[g|g_1|\cdots|g_n] \quad(n\ge0)

を定める。このとき $d_0h_{-1}=\id_{\Z}$ であり、すべての $n\ge0$ に対して

d_{n+1}h_n+h_{n-1}d_n=\id_{B_n}

が成り立つ。

証明. $n\ge1$ と $b=g[g_1|\cdots|g_n]$ を取る。面の式から

\begin{aligned} d_{n+1}h_n(b) ={}&b-[gg_1|g_2|\cdots|g_n]\\ &+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1} [g|g_1|\cdots|g_i g_{i+1}|\cdots|g_n]\\ &+(-1)^{n+1}[g|g_1|\cdots|g_{n-1}],\\ h_{n-1}d_n(b) ={}&[gg_1|g_2|\cdots|g_n]\\ &+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i [g|g_1|\cdots|g_i g_{i+1}|\cdots|g_n]\\ &+(-1)^n[g|g_1|\cdots|g_{n-1}] \end{aligned}

である。二つの式の和は $b$ に等しい。 $n=0$ では

d_1h_0(g[])+h_{-1}d_0(g[]) =d_1[g]+h_{-1}(1)=g[]-[]+[]=g[]

である。 $\Z$ -線形性により、恒等式は $B_n$ のすべての元について成り立つ。さらに $d_0h_{-1}(1)=d_0([])=1$ である。▨

定理 2.4. $G$ を任意の群、 $R=\Z[G]$ とする。注意 2.1の列

\cdots\longrightarrow B_2\xrightarrow{d_2}B_1 \xrightarrow{d_1}B_0\xrightarrow{d_0}\Z\longrightarrow0

は、自明左 $R$ -加群 $\Z$ の自由分解であり、したがって射影分解である。この分解を標準自由分解という。

証明.補題 2.2により、列は添加複体である。 $n\ge0$ と $z\in\ker d_n$ に対し、補題 2.3から

z=d_{n+1}h_n(z)+h_{n-1}d_n(z)=d_{n+1}h_n(z)

を得る。したがって $\ker d_n=\im d_{n+1}$ である。また $d_0h_{-1}=\id_{\Z}$ により $d_0$ は全射である。下部のアーベル群についての核と像の一致は、左 $R$ -加群の核と像の一致でもある。各 $B_n$ は自由左 $R$ -加群であり、§E6.10 系 1.5により射影的である。▨

3 正規化自由分解

補題 3.1. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ とする。 $n\ge1$ に対し、少なくとも一つの $g_i$ が $e_G$ である基底元 $[g_1|\cdots|g_n]$ で生成される左 $R$ -部分加群を $D_n\subseteq B_n$ とし、 $D_0=D_{-1}=0$ とする。このとき $d_n(D_n)\subseteq D_{n-1}$ は $n\ge1$ で成り立つ。さらに補題 2.3の $\Z$ -線形写像は $h_n(D_n)\subseteq D_{n+1}$ をすべての $n\ge0$ で満たす。

証明. $[g_1|\cdots|g_n]$ の $k$ 番目の入力が $e_G$ であるとする。 $1<k<n$ の場合、 $\partial_{k-1}^n$ と $\partial_k^n$ の値は、ともに $e_G$ の入力を除いた同じ基底元である。 $k=1$ の場合は $\partial_0^n$ と $\partial_1^n$ の値が同じであり、 $k=n$ の場合は $\partial_{n-1}^n$ と $\partial_n^n$ の値が同じである。 $n=1$ では $d_1[e_G]=e_G[]-[]=0$ である。 $n\ge2$ の各場合で、同じ値を与える二つの面の符号は反対であり、それ以外の面の値には $e_G$ の入力が残る。したがって $d_n(D_n)\subseteq D_{n-1}$ である。 $D_n$ の下部のアーベル群は、 $e_G$ の入力を含む $g[g_1|\cdots|g_n]$ で生成される。 $h_n$ は先頭に $g$ を挿入するため、既存の $e_G$ の入力は残る。よって $h_n(D_n)\subseteq D_{n+1}$ である。▨

定理 3.2. $G$ を任意の群、 $R=\Z[G]$ とする。商加群 $\overline B_n=B_n/D_n$ は、すべての入力が $e_G$ と異なる組 $[g_1|\cdots|g_n]$ を基底とする自由左 $R$ -加群であり、 $\overline B_0=B_0$ である。 $d_n$ と $d_0$ から誘導される写像を $\overline d_n$ とすると、列

\cdots\longrightarrow\overline B_2\xrightarrow{\overline d_2} \overline B_1\xrightarrow{\overline d_1} \overline B_0\xrightarrow{\overline d_0}\Z\longrightarrow0

は自明左 $R$ -加群 $\Z$ の自由分解である。この分解を正規化自由分解という。

証明. $B_n$ は、 $e_G$ の入力を含む基底の直和 $D_n$ と、 $e_G$ の入力を含まない基底の直和との直和である。したがって、商 $\overline B_n$ は後者の基底の自由左 $R$ -加群である。補題 3.1により、 $d_n$ と $h_n$ は商上にそれぞれ $\overline d_n$ と $\Z$ -線形写像 $\overline h_n$ を誘導する。 $D_0=D_{-1}=0$ であるから、添加写像と $h_{-1}$ も誘導される。商射を補題 2.2と補題 2.3の恒等式へ適用すると、 $\overline d_{n-1}\overline d_n=0$ 、 $\overline d_0\overline h_{-1}=\id_{\Z}$ 、および

\overline d_{n+1}\overline h_n+\overline h_{n-1}\overline d_n =\id_{\overline B_n}

を得る。 $\overline d_n(z)=0$ を満たす任意の $z$ は $z=\overline d_{n+1}\overline h_n(z)$ を満たし、添加は全射であるから、列は完全である。▨

4 群コホモロジーと非斉次コチェイン

定義 4.1. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ 、 $M$ を左 $R$ -加群とする。自明左 $R$ -加群 $\Z$ に対し、すべての非負整数 $n$ について

H^n(G,M):=\operatorname{Ext}_R^n(\Z,M)

と定める。このアーベル群を、係数 $M$ の $G$ の第 $n$ 群コホモロジー (group cohomology) という。

命題 4.2. $G$ を任意の群、 $R=\Z[G]$ 、 $M$ を任意の左 $R$ -加群とする。 $n\ge0$ に対して、写像 $G^n\to M$ 全体のアーベル群を $C^n(G,M)$ と書き、負次数では零群とする。 $C^0(G,M)=M$ と同定する。標準自由分解は、自然な同型

\Hom_R(B_n,M)\xrightarrow{\ \sim\ }C^n(G,M),\qquad \varphi\longmapsto\bigl((g_1,\ldots,g_n)\mapsto\varphi[g_1|\cdots|g_n]\bigr)

を与える。この同型のもとで、Hom 余鎖複体の微分は

\begin{aligned} (\delta^n f)(g_1,\ldots,g_{n+1}) ={}&g_1 f(g_2,\ldots,g_{n+1})\\ &+\sum_{i=1}^{n}(-1)^i f(g_1,\ldots,g_i g_{i+1},\ldots,g_{n+1})\\ &+(-1)^{n+1}f(g_1,\ldots,g_n) \end{aligned}

である。特に $\delta^0m(g)=gm-m$ である。この余鎖複体を非斉次コチェイン複体という。すべての $n\ge0$ に対して、 $M$ について自然な同型

H^n(G,M)\cong H^n\bigl(C^\bullet(G,M)\bigr)

が存在し、 $H^0(G,M)\cong M^G$ である。

証明.§E6.10 補題 1.4により、任意の写像 $f\colon G^n\to M$ は一意に $R$ -線形写像 $\varphi\colon B_n\to M$ を定める。基底値の対応は加法を保ち、係数加群の射の後合成と可換である。 Hom 余鎖複体の微分は $\varphi\mapsto\varphi d_{n+1}$ である。 $d_{n+1}$ の基底上の式に $\varphi$ を適用し、 $\varphi(g_1b)=g_1\varphi(b)$ を用いると、表示された $\delta^n$ の式を得る。したがって $\delta^{n+1}\delta^n=0$ は補題 2.2から従う。定理 2.4は $\Z$ の射影分解であるから、§E6.39 定理 1.4を $(R,\Z,M)$ に適用すると、全非負次数のコホモロジー同型を得る。零次では負次数の項が零であり、 $\ker\delta^0=\{m\mid gm-m=0\text{ がすべての }g\in G\text{ で成り立つ}\}=M^G$ である。▨

命題 4.3. $G$ を任意の群、 $R=\Z[G]$ 、 $M$ を任意の左 $R$ -加群とする。 $n\ge1$ に対し、少なくとも一つの入力が $e_G$ である組で零となる $f\in C^n(G,M)$ 全体を $C^n_{\mathrm{norm}}(G,M)$ とし、 $C^0_{\mathrm{norm}}(G,M)=M$ とする。これらは非斉次コチェイン複体の部分余鎖複体をなし、そのコホモロジーはすべての $n\ge0$ で $H^n(G,M)$ に自然に同型である。包含

C^\bullet_{\mathrm{norm}}(G,M)\hookrightarrow C^\bullet(G,M)

もコホモロジーに同型を誘導する。

証明. 商射 $q_n\colon B_n\to\overline B_n$ による前合成は、 $\Hom_R(\overline B_n,M)$ を $D_n$ 上で零となる $\Hom_R(B_n,M)$ の部分群に同定する。命題 4.2の基底値の同定のもとで、この部分群は $C^n_{\mathrm{norm}}(G,M)$ である。補題 3.1により $q$ は添加を保つ鎖写像であり、前合成は余鎖写像を与える。したがって、この部分群は $\delta$ によって保たれる。定理 3.2と定理 2.4はともに自明左 $R$ -加群 $\Z$ の射影分解であり、 $q$ は $\id_{\Z}$ を持ち上げる。§E6.39 定理 1.4を $q$ に適用すると、包含はコホモロジーに同型を誘導し、その群は $H^n(G,M)$ に同定される。▨

系 4.4. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ 、 $M$ を左 $R$ -加群とする。自明左 $R$ -加群 $\Z$ の任意の射影分解 $P_\bullet$ に対して、 $H^n(\Hom_R(P_\bullet,M))$ はすべての $n\ge0$ で $H^n(G,M)$ に自然に同型である。恒等写像を持ち上げる比較写像が与える同型は比較写像の選択によらず、三つの分解の間の合成と両立する。左 $R$ -線形写像 $u\colon M\to N$ は、すべての $n\ge0$ で準同型 $H^n(G,u)\colon H^n(G,M)\to H^n(G,N)$ を誘導する。

証明.§E6.39 定理 1.4に、環 $R=\Z[G]$ 、第一変数の自明左 $R$ -加群 $\Z$ 、第二変数の $M$ を代入する。係数の射に対する準同型は、同定理の第二変数の射である。▨

5 係数の長完全列

定理 5.1. $G$ を任意の群、 $R=\Z[G]$ とし、左 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow M'\xrightarrow{i}M\xrightarrow{p}M''\longrightarrow0

を取る。すべての $n\ge0$ に対して連結準同型

\partial^n\colon H^n(G,M'')\longrightarrow H^{n+1}(G,M')

が定まり、アーベル群の列

\begin{aligned} 0&\longrightarrow(M')^G\xrightarrow{i}M^G\xrightarrow{p}(M'')^G \xrightarrow{\partial^0}H^1(G,M')\\ &\xrightarrow{H^1(G,i)}H^1(G,M) \xrightarrow{H^1(G,p)}H^1(G,M'') \xrightarrow{\partial^1}H^2(G,M')\longrightarrow\cdots \end{aligned}

は完全である。一般の次数の連続する部分は

H^n(G,M')\xrightarrow{H^n(G,i)}H^n(G,M) \xrightarrow{H^n(G,p)}H^n(G,M'') \xrightarrow{\partial^n}H^{n+1}(G,M')

である。この列は係数の短完全列の射について自然であり、射影分解の選択によらない。

証明.§E6.39 定理 2.2 (1)において、固定された第一変数を自明左 $R$ -加群 $\Z$ とし、第二変数の短完全列を $0\to M'\to M\to M''\to0$ とする。定義 4.1の同定によって、Ext の各項は群コホモロジーの各項となる。零次の Hom の項は補題 1.3によって不変元の群に同定され、その自然性によって射は $i,p$ の制限である。Ext の連結準同型は次数 $n$ から次数 $n+1$ へ進み、既出の定理の自然性と分解独立性はこの同定でも保たれる。▨

命題 5.2. $G$ を群とし、 $G$ -加群の短完全列 $0\to M'\xrightarrow{i}M\xrightarrow{p}M''\to0$ を取る。 $n\ge0$ 、 $f''\in C^n(G,M'')$ 、 $\delta f''=0$ とする。 $p f=f''$ を満たす $f\in C^n(G,M)$ を取ると、 $\delta f=i f'$ を満たす $f'\in C^{n+1}(G,M')$ が一意に存在する。このとき $\delta f'=0$ であり、定理 5.1の連結準同型は

\partial^n[f'']=[f']

を満たす。

証明. 標準自由分解 $B_\bullet$ の各項は射影的であるため、係数の短完全列に対する Hom の列は次数ごとに短完全である（§E6.16 命題 1.2 (4)）。命題 4.2によって同定すると、 $0\to C^\bullet(G,M')\to C^\bullet(G,M)\to C^\bullet(G,M'')\to0$ は余鎖複体の短完全列となる。§E6.37 定理 3.3の連結公式をこの短完全列に適用すると、 $f'$ の存在と一意性、周期条件、および表示された式を得る。§E6.39 定理 2.2 (1)の連結は同じ Hom 余鎖複体の連結であるから、群コホモロジーの連結と一致する。▨

6 群ホモロジー

補題 6.1. $G$ を任意の群、 $R=\Z[G]$ とする。写像

\iota\colon R\to R,\qquad \iota\left(\sum_g a_g g\right)=\sum_g a_g g^{-1}

は $\iota(rs)=\iota(s)\iota(r)$ 、 $\iota^2=\id_R$ 、 $\ep\iota=\ep$ を満たす。 $B_n$ の下部のアーベル群に右作用 $x\cdot r=\iota(r)x$ を入れた右 $R$ -加群を $B_n^{\mathrm r}$ とする。微分 $d_n$ と添加 $d_0$ を保つと、 $B_\bullet^{\mathrm r}\to\Z$ は自明右 $R$ -加群 $\Z$ の自由分解であり、基底は $[g_1|\cdots|g_n]$ である。その微分は

\begin{aligned} d_n[g_1|\cdots|g_n] ={}&[g_2|\cdots|g_n]\cdot g_1^{-1}\\ &+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i [g_1|\cdots|g_i g_{i+1}|\cdots|g_n]\\ &+(-1)^n[g_1|\cdots|g_{n-1}] \end{aligned}

である。同じ右作用を正規化分解に入れた $\overline B_\bullet^{\mathrm r}\to\Z$ も自明右 $R$ -加群の自由分解である。

証明. 基底元 $g,h\in G$ に対して $(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$ である。有限和に延長すると、 $\iota(rs)=\iota(s)\iota(r)$ を得る。 $g$ の逆元の逆元は $g$ であり、係数の和は $g$ を $g^{-1}$ に置き換えても変わらないため、 $\iota^2=\id_R$ と $\ep\iota=\ep$ が成り立つ。反乗法性から $(x\cdot r)\cdot s=\iota(s)\iota(r)x=\iota(rs)x=x\cdot(rs)$ である。各微分の左 $R$ -線形性により

d_n(x\cdot r)=d_n(\iota(r)x)=\iota(r)d_n(x)=d_n(x)\cdot r

であり、添加についても $\ep\iota=\ep$ によって同じ右線形性が成り立つ。左基底表示 $x=\sum_b r_b b$ は右基底表示 $x=\sum_b b\cdot\iota(r_b)$ に等しい。 $\iota^2=\id_R$ により右表示も一意であるため、同じ族は右自由基底である。下部のアーベル群と写像は変わらないから、定理 2.4の完全性が保たれる。 $g_1b=b\cdot g_1^{-1}$ によって微分は表示された式となる。同じ構成と定理 3.2を正規化分解に適用すると、右正規化自由分解を得る。▨

定義 6.2. $G$ を群、 $R=\Z[G]$ 、 $M$ を左 $R$ -加群とする。自明右 $R$ -加群 $\Z$ に対し、すべての非負整数 $n$ について

H_n(G,M):=\operatorname{Tor}_n^R(\Z,M)

と定める。このアーベル群を、係数 $M$ の $G$ の第 $n$ 群ホモロジー (group homology) という。また、 $gm-m$ （ $g\in G,m\in M$ ）で生成される $M$ の部分アーベル群を $J_G(M)$ とし、

M_G:=M/J_G(M)

を $M$ の余不変元の群 (group of coinvariants) という。

命題 6.3. $G$ を任意の群、 $R=\Z[G]$ 、 $M$ を任意の左 $R$ -加群とする。すべての $n\ge0$ に対して、 $M$ について自然な同型

H_n(G,M)\cong H_n(B_\bullet^{\mathrm r}\otimes_R M) \cong H_n(\overline B_\bullet^{\mathrm r}\otimes_R M)

が存在する。また、 $\Z$ の右射影分解の代わりに $M$ の左射影分解 $Q_\bullet$ を取ると、自然な同型

H_n(G,M)\cong H_n(\Z\otimes_R Q_\bullet)

を得る。零次では $H_0(G,M)\cong M_G$ である。

証明.補題 6.1の二つの右自由分解を、Tor の右射影分解による定義§E6.41 定義 1.3に適用する。比較写像が与える同型と係数自然性は§E6.41 命題 1.4から従う。 $M$ の左射影分解による表示は§E6.41 定理 2.3に、右加群 $\Z$ と左加群 $M$ を代入して得られる。§E6.14 定理 4.2によって、 $B_0^{\mathrm r}\otimes_R M$ は $[]\otimes m\mapsto m$ により $M$ に同定され、 $B_1^{\mathrm r}\otimes_R M$ は $g\in G$ に添字をもつ $M$ の直和に同定される。補題 6.1の次数1の式から

(d_1\otimes1_M)([g]\otimes m) =([]\cdot g^{-1}-[])\otimes m =[]\otimes(g^{-1}m-m)

である。 $g\mapsto g^{-1}$ は $G$ の全単射であるため、この微分の像は $J_G(M)$ に同定される。次数0から負次数への微分は零であり、零次ホモロジーは $M/J_G(M)=M_G$ である。各同定は係数の射と可換である。▨

7 例と演習

例 7.1. $G=\{e_G\}$ を自明群とし、 $M$ を任意の $G$ -加群とする。このとき

H^0(G,M)=M,\qquad H_0(G,M)=M,\qquad H^n(G,M)=H_n(G,M)=0\quad(n\ge1)

である。実際、正規化自由分解の正次数には、すべての入力が $e_G$ と異なる組が存在しないため、 $\overline B_n=0$ である。次数0の項は $\Z$ であり、添加は恒等写像である。正規化コチェインの同定命題 4.3と正規化右分解による計算命題 6.3を適用すると、表示された群を得る。

問題 7.2. $G=\{e_G,t\}$ 、 $t^2=e_G$ とし、係数 $\Z$ に自明左 $\Z[G]$ -加群構造を入れる。正規化自由分解を用いて、すべての非負次数の $H^n(G,\Z)$ と $H_n(G,\Z)$ を計算せよ。

解答.

$R=\Z[G]$ とおく。各非負次数の正規化自由加群は一つの基底元 $b_n=[t|\cdots|t]$ をもち、 $b_0=[]$ である。 $n\ge2$ の微分の中間項は入力 $t^2=e_G$ を含むため商で零となる。次数1の式も含めて

\overline d_n(b_n)=\bigl(t+(-1)^n\bigr)b_{n-1}\quad(n\ge1)

である。係数 $\Z$ への $t$ の作用は恒等写像なので、正規化コチェイン複体の各項は $\Z$ であり、 $\delta^n$ は $1+(-1)^{n+1}$ 倍である。したがって複体は

\Z\xrightarrow{0}\Z\xrightarrow{2}\Z\xrightarrow{0}\Z\xrightarrow{2}\cdots

となる。整数の2倍写像は単射で、その余核は $\Z/2\Z$ であるから、命題 4.3により

H^0(G,\Z)=\Z,\qquad H^{2q+1}(G,\Z)=0\quad(q\ge0),\qquad H^{2q}(G,\Z)=\Z/2\Z\quad(q\ge1)

を得る。右分解でも $t^{-1}=t$ であるから、基底上の微分は $b_{n-1}\cdot(t+(-1)^n)$ である。右分解へ $-\otimes_R\Z$ を施すと、次数 $n$ の微分は $1+(-1)^n$ 倍となる。命題 6.3により

H_0(G,\Z)=\Z,\qquad H_{2q+1}(G,\Z)=\Z/2\Z\quad(q\ge0),\qquad H_{2q}(G,\Z)=0\quad(q\ge1)

である。▨

§E7.35群コホモロジー