§E7.31副有限群

証明. 各遷移写像が準同型なので、整合条件は積と逆元で保たれ、単位元の族も整合条件を満たす。座標ごとの積と逆元の連続性、および積位相の有限座標開基§E2.14 命題 1.3により$P$は位相群である。各条件$\phi_{ij}(x_j)=x_i$は有限個の離散座標における閉条件なので、$P$は$\prod_iG_i$の閉部分集合である。有限離散空間のコンパクト性、§E2.19 定理 8.2および§E2.19 命題 4.1により$P$はコンパクトである。異なる二点$x,y\in P$はある座標$i$で異なるので、$\pi_i^{-1}(\{x_i\})$と$\pi_i^{-1}(\{y_i\})$は互いに交わらない開近傍である。したがって$P$は Hausdorff である。連結部分集合$C\subseteq P$の各座標像は有限離散空間の連結部分集合であるから高々一点である。したがって$C$も高々一点であり、$P$は全不連結である。有限座標開基により、単位元の任意の近傍は$\bigcap_{i\in F}\ker\pi_i$（$F$は有限）を含む。この共通部分は連続準同型$P\to\prod_{i\in F}G_i$の核であり、開正規部分群である。その指数はこの準同型の像の位数なので有限である。▨

証明.$X=\prod_iX_i$は§E2.19 定理 8.2によりコンパクトである。各$i\le j$に対して$C_{ij}=\{x\in X\mid f_{ij}(x_j)=x_i\}$は閉集合である。有限個の条件に現れる添字の共通上界$k$と$a\in X_k$を取る。条件に現れる各座標$i$を$f_{ik}(a)$とし、残りの座標を任意に選ぶと、逆系の合成条件により指定された有限個の条件が満たされる。したがって$(C_{ij})_{i\le j}$は有限交差性をもち、§E2.19 定理 3.2によりその共通部分は空でない。この共通部分は逆極限であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。すべての遷移写像が全射であると仮定し、$i_0\in I$と$b\in X_{i_0}$を取る。任意の有限個の整合条件に対して、$i_0$と条件の添字の共通上界$k$を取る。$f_{i_0k}(a)=b$を満たす$a\in X_k$を取ると、前段の座標の選択は、その有限個の条件と$x_{i_0}=b$を満たす。閉集合族$(C_{ij})_{i\le j}$に$\{x\mid x_{i_0}=b\}$を加えて§E2.19 定理 3.2を適用すると、$i_0$座標が$b$である逆極限の元を得る。▨

証明.$H$が開ならば各左剰余類$gH$は開であり、$P\setminus H$は$H$と異なる左剰余類の和なので開である。したがって$H$は閉である。左剰余類すべては$P$の開被覆なので、命題 1.2により有限個の左剰余類が$P$を覆う。したがって$[P:H]$は有限である。$H$が閉で有限指数をもつならば、$P\setminus H$は有限個の閉集合$gH$の和である。したがって$P\setminus H$は閉であり、$H$は開である。▨

証明.$x\in P\setminus H$を取る。$H$は閉なので、命題 1.2の近傍基から、$xU\subseteq P\setminus H$を満たす$U\in\mathcal U(P)$が存在する。$x=hu\in HU$ならば$h=xu^{-1}\in xU\cap H$となり、$xU\cap H=\emptyset$に反する。すべての$HU$は$H$を含むから、交わりの等式を得る。各$q_U|_H$は連続準同型であり、互いに整合するので、表示された写像は連続準同型である。異なる二点はある開正規部分群によって区別されるので、この写像は単射である。整合する族$(a_U)_U$に対して$F_U=\{h\in H\mid q_U(h)=a_U\}$とおく。各$F_U$は空でない閉集合である。有限個の$U$の共通部分$W$に対して、整合条件から$F_W$はそれらの$F_U$すべてに含まれる。$H$は命題 1.2と§E2.19 命題 4.1によりコンパクトなので、§E2.19 定理 3.2により$\bigcap_UF_U\neq\emptyset$である。したがって写像は全射である。$h\in H$の近傍基は$H\cap hU$からなる。これらは対応する逆極限の座標$q_U(h)$を指定する開集合の逆像であるから、逆写像も連続である。$H=P$とすると各$q_U(H)=P/U$となり、最後の同型を得る。▨

証明.$K=\varprojlim_iK_i$を有限$p$群の逆極限とし、$f\colon K\to A$を有限離散群への連続準同型とする。$\ker f$は開なので、命題 1.2により、ある有限集合$F$に対して$L=\bigcap_{i\in F}\ker\pi_i\subseteq\ker f$である。$K/L$は有限$p$群$\prod_{i\in F}K_i$の部分群と同型であり、$f(K)$は$K/L$の商である。したがって$f(K)$の位数も$p$の冪である。$H$が pro-p 群ならば、前段を$q_U|_H$に適用して$q_U(H)$は$p$群である。逆に、すべての$q_U(H)$が$p$群ならば、命題 2.3により$H$は有限$p$群の逆極限である。▨

証明.$N=\ker f$とすると$TN$は$A$の部分群であり、$[B:f(T)]=[A:TN]$は$[A:T]$を割る。$[A:T]$は$p$で割り切れないので、$[B:f(T)]$も$p$で割り切れない。$f(T)$の位数は$|T|$を割るので$p$の冪である。$|B|=[B:f(T)]|f(T)|$により$f(T)$は Sylow$p$部分群である。▨

証明.$X_U$を$P/U$の Sylow$p$部分群全体の有限集合とする。§E7.18 定理 1.3により各$X_U$は空でなく、補題 3.3により$T\mapsto q_{VU}(T)$は写像$X_V\to X_U$を定める。これらの写像は逆系をなし、補題 1.3により整合する族$(S_U)_U$が存在する。各$q_U^{-1}(S_U)$は閉部分群なので、その交わり$S$は閉部分群である。遷移写像$S_V\to S_U$は整合条件により全射なので、補題 1.3により各射影$\varprojlim_US_U\to S_U$は全射である。命題 2.3の同型$P\cong\varprojlim_UP/U$は$S$を$\varprojlim_US_U$に同定する。したがって$S$は pro-p 群であり、$q_U(S)=S_U$である。▨

証明.補題 3.4の部分群$S$を取る。$S\subseteq Q\le P$を満たす閉 pro-p 部分群$Q$に対して、補題 3.2により$q_U(Q)$は$p$群である。$q_U(Q)$は Sylow$p$部分群$S_U=q_U(S)$を含むので$q_U(Q)=S_U$である。命題 2.3の交わりの等式により$Q=S$である。したがって$S$は Sylow pro-p 部分群である。

任意の閉 pro-p 部分群$Q$に対して

とおく。$C_U$は有限離散群$P/U$の部分集合の逆像なので閉である。補題 3.2と§E7.18 定理 2.2 (1)により、$P/U$に所要の共役元が存在する。$q_U$は全射なので$C_U$は空でない。有限個の$U$の共通部分を$W$とすると、$q_{WU}(S_W)=S_U$により$C_W\subseteq C_U$である。したがって$(C_U)_U$は有限交差性をもち、命題 1.2と§E2.19 定理 3.2により$g\in\bigcap_UC_U$が存在する。すべての$U$で$q_U(gQg^{-1})\subseteq q_U(S)$であり、命題 2.3により$gQg^{-1}\subseteq S$となる。したがって$Q\subseteq g^{-1}Sg$である。共役は位相群の同型なので、$g^{-1}Sg$も Sylow pro-p 部分群である。$Q$自身が Sylow pro-p 部分群ならば、その極大性により$Q=g^{-1}Sg$である。したがって任意の Sylow pro-p 部分群は$S$と共役であり、任意の二つも共役である。▨

証明.定理 3.5により$T$は補題 3.4の$S$の共役なので、$q_U(T)$は$S_U$の共役であり、Sylow$p$部分群である。すべての$|P/U|$が$p$で割り切れなければ各$q_U(T)$は単位群であり、命題 2.3により$T$も単位群である。▨