低次群コホモロジーと群の拡大 | 群論入門

系 1.1. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とする。不変元の群 $A^G$ と零次群コホモロジーの間に、 $A$ について自然な同型

H^0(G,A)\cong A^G

が存在する。

証明.§E7.35 命題 4.2により、 $H^0(G,A)$ は $\delta^0\colon A\to C^1(G,A)$ の核であり、 $\delta^0a(g)=ga-a$ である。この核は $A^G$ に等しく、同定は係数の射による写像と可換である。▨

定義 1.2. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とする。写像 $d\colon G\to A$ が、すべての $g,h\in G$ に対して

d(gh)=d(g)+g d(h)

を満たすとき、 $d$ を交差準同型 (crossed homomorphism) という。交差準同型全体を $\operatorname{Der}(G,A)$ と書く。また、 $a\in A$ に対する写像

d_a(g)=ga-a

を主交差準同型といい、その全体を $\operatorname{PDer}(G,A)$ と書く。

命題 1.3. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とする。点ごとの加法について $\operatorname{Der}(G,A)$ はアーベル群であり、 $\operatorname{PDer}(G,A)$ はその部分群である。 $A$ について自然な同型

H^1(G,A)\cong \operatorname{Der}(G,A)/\operatorname{PDer}(G,A)

が存在する。

証明.§E7.35 命題 4.2の微分を次数一で書くと

(\delta^1d)(g,h)=g d(h)-d(gh)+d(g)

である。したがって $\operatorname{Der}(G,A)=\ker\delta^1$ 、 $\operatorname{PDer}(G,A)=\operatorname{im}\delta^0$ である。部分群の主張と商による記述はこの余鎖複体から従い、同定は係数の射と可換である。▨

定理 1.4. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とし、与えられた作用による半直積 $A\rtimes G$ を考える。対応

d\longmapsto H_d:=\{(d(g),g)\mid g\in G\}

は、交差準同型全体から $A\times\{1\}$ の補群全体への全単射である。この対応は、 $H^1(G,A)$ と補群の $A\times\{1\}$ による共役類全体との全単射を誘導する。

証明. 交差準同型 $d$ に対して、写像 $s_d\colon G\to A\rtimes G$ を $s_d(g)=(d(g),g)$ と定める。半直積の積と交差準同型の等式により、 $s_d$ は準同型である。射影 $p\colon A\rtimes G\to G$ について $ps_d=\id_G$ であるから、像 $H_d$ は $A\times\{1\}$ と単位元だけで交わる。任意の $(a,g)$ は $(a-d(g),1)s_d(g)$ と表されるので、 $H_d$ は補群である。

逆に補群 $H$ に対して、 $p|_H$ の核は $H\cap(A\times\{1\})$ であり、 $(A\times\{1\})H=A\rtimes G$ から $p|_H$ は全射である。したがって $p|_H$ は同型である。その逆写像を $g\mapsto(d(g),g)$ と書くと、準同型性から $d$ は交差準同型であり、 $H=H_d$ となる。逆写像の一意性により $d$ も一意である。

$a\in A$ による共役は

(a,1)(d(g),g)(-a,1)=(d(g)+a-ga,g)

を満たし、 $H_d$ を $H_{d-d_a}$ へ送る。よって共役類は $\operatorname{Der}(G,A)/\operatorname{PDer}(G,A)$ に対応し、命題 1.3から結論を得る。▨

定義 2.1. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とする。短完全列

1\longrightarrow A\xrightarrow{i}E\xrightarrow{p}G\longrightarrow1

が与えられた作用を誘導するとは、すべての $e\in E$ と $a\in A$ に対して

e i(a)e^{-1}=i(p(e)a)

が成り立つことをいう。このような拡大の同値では、核 $A$ と商 $G$ の双方の恒等写像を固定する。すなわち、二つの拡大 $(E,i,p)$ と $(E',i',p')$ が同値 (equivalent extensions) であるとは、群同型 $F\colon E\to E'$ が存在して $Fi=i'$ 、 $p'F=p$ となることをいう。

注意 2.2. $G$ を群、 $A$ をアーベル群とする。 $A$ の内部自己同型はすべて恒等写像である。したがって§E7.16 定理 2.2により、 $A$ による $G$ の任意の拡大の外部作用は $G\to\operatorname{Aut}(A)$ という作用である。この作用は、 $G$ の元の持上げの選択によらない。

補題 2.3. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とし、拡大 $(E,i,p)$ が与えられた作用を誘導するとする。集合としての右逆写像 $s\colon G\to E$ で $s(1)=1$ を満たすものを取る。等式

s(g)s(h)=i(f(g,h))s(gh)

は写像 $f\colon G^2\to A$ を一意に定める。この $f$ を $s$ の因子集合という。 $f$ は正規化された二次のコサイクルであり、すべての $g,h,k\in G$ に対して

f(1,g)=f(g,1)=0, \qquad g f(h,k)-f(gh,k)+f(g,hk)-f(g,h)=0

を満たす。

別の正規化された集合としての右逆写像は、一意な写像 $t\colon G\to A$ 、 $t(1)=0$ により $s'(g)=i(t(g))s(g)$ と表される。その因子集合 $f'$ は

f'=f+\delta^1t, \qquad (\delta^1t)(g,h)=g t(h)-t(gh)+t(g)

である。

証明. $p(s(g)s(h)s(gh)^{-1})=1$ と $\ker p=i(A)$ により、 $i$ の単射性から $f(g,h)$ が一意に定まる。 $s(1)=1$ から $f(1,g)=f(g,1)=0$ である。三つの元の積を二通りに括ると

\begin{aligned} (s(g)s(h))s(k)&=i(f(g,h)+f(gh,k))s(ghk),\\ s(g)(s(h)s(k))&=i(g f(h,k)+f(g,hk))s(ghk) \end{aligned}

となる。結合律と $i$ の単射性からコサイクルの等式を得る。

$s'(g)s(g)^{-1}\in i(A)$ により $t(g)$ は一意に存在し、正規化から $t(1)=0$ である。積を計算すると

s'(g)s'(h)=i(t(g)+g t(h)+f(g,h))s(gh) =i(t(g)+g t(h)+f(g,h)-t(gh))s'(gh)

である。よって $f'=f+\delta^1t$ となる。▨

補題 2.4. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群、 $f\colon G^2\to A$ を正規化された二次のコサイクルとする。集合 $A\times G$ に積

(a,g)(b,h)=(a+gb+f(g,h),gh)

を入れると、群 $E_f$ を得る。写像 $i_f(a)=(a,1)$ 、 $p_f(a,g)=g$ は、与えられた作用を誘導する拡大

1\longrightarrow A\xrightarrow{i_f}E_f\xrightarrow{p_f}G\longrightarrow1

を定める。正規化された集合としての右逆写像 $s_f(g)=(0,g)$ の因子集合は $f$ である。

さらに、任意の群 $K$ 、準同型 $u\colon A\to K$ 、写像 $v\colon G\to K$ が、すべての $g,h\in G$ と $a\in A$ に対して

v(1)=1,\qquad v(g)u(a)v(g)^{-1}=u(ga),\qquad v(g)v(h)=u(f(g,h))v(gh)

を満たすならば、 $Fi_f=u$ 、 $Fs_f=v$ を満たす準同型 $F\colon E_f\to K$ がただ一つ存在する。この準同型は $F(a,g)=u(a)v(g)$ である。

証明. $(a,g),(b,h),(c,k)\in A\times G$ に対し、二通りの三重積の第一成分はそれぞれ

a+gb+ghc+f(g,h)+f(gh,k),\qquad a+gb+ghc+g f(h,k)+f(g,hk)

である。これらはコサイクル条件により一致する。正規化条件から単位元は $(0,1)$ である。コサイクル条件を $(g^{-1},g,g^{-1})$ に適用すると

f(g^{-1},g)=g^{-1}f(g,g^{-1})

となるので、

(a,g)^{-1}=(-g^{-1}a-g^{-1}f(g,g^{-1}),g^{-1})

は左右両方の逆元である。

$i_f$ は単射準同型、 $p_f$ は全射準同型であり、 $\ker p_f=i_f(A)$ である。また

(a,g)i_f(b)=i_f(gb)(a,g)

により誘導作用は所定の作用である。積の定義から $s_f(g)s_f(h)=i_f(f(g,h))s_f(gh)$ が成り立つ。

写像 $F(a,g)=u(a)v(g)$ は、仮定の二つの積の関係から

\begin{aligned} F(a,g)F(b,h) &=u(a)v(g)u(b)v(h)\\ &=u(a+gb)u(f(g,h))v(gh)\\ &=F(a+gb+f(g,h),gh) \end{aligned}

を満たすため、準同型である。各元は $(a,g)=i_f(a)s_f(g)$ と表されるので、指定された値をもつ準同型は $F$ に限られる。▨

定理 2.5. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とする。与えられた作用を誘導する $A$ による $G$ の拡大の同値類全体と $H^2(G,A)$ との間に全単射が存在する。この全単射は、拡大を正規化された集合としての右逆写像の因子集合 $f$ の類 $[f]$ へ送り、逆に $[f]$ を拡大 $E_f$ の同値類へ送る。

証明. 拡大 $(E,i,p)$ に対して、選択公理により正規化された集合としての右逆写像 $s$ を取る。補題 2.3により、その因子集合の類 $[f]$ は $s$ によらない。拡大の同型 $F\colon E\to E'$ に対して $Fs$ の因子集合も $f$ であるから、この類は拡大の同値類だけで定まる。

§E7.35 命題 4.3により、 $H^2(G,A)$ の各元は正規化された二次のコサイクル $f$ で表される。同じ類を表す正規化コサイクル $f,f'$ に対しては、 $t(1)=0$ を満たす一次のコチェイン $t$ が存在して $f'=f+\delta^1t$ となる。 $E_{f'}$ で $u(a)=(a,1)$ 、 $v(g)=(-t(g),g)$ と置くと

v(g)v(h)=(f(g,h)-t(gh),gh)=u(f(g,h))v(gh)

であり、 $v(g)u(a)v(g)^{-1}=u(ga)$ も成り立つ。補題 2.4の普遍性により

E_f\longrightarrow E_{f'},\qquad (a,g)\longmapsto(a-t(g),g)

は準同型である。この写像は全単射であり、両端の恒等写像を固定する。したがって $[f]\mapsto[E_f]$ は代表の選択によらない。

拡大 $(E,i,p)$ と右逆写像 $s$ の因子集合を $f$ とすると、同じ普遍性を $u=i$ 、 $v=s$ に適用して準同型

\Phi\colon E_f\longrightarrow E,\qquad (a,g)\longmapsto i(a)s(g)

を得る。任意の $e\in E$ に対して $g=p(e)$ と置けば $es(g)^{-1}\in i(A)$ であり、 $i$ の単射性から $e=i(a)s(g)$ となる $a$ は一意である。よって $\Phi$ は両端の恒等写像を固定する同型である。一方、 $E_f$ の標準の右逆写像の因子集合は $f$ であるから、二つの対応は互いに逆である。▨

命題 3.1. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とし、拡大 $(E,i,p)$ と $(E',i',p')$ はともに与えられた作用を誘導するとする。繊維積とその部分群を

P=E\times_G E'=\{(e,e')\in E\times E'\mid p(e)=p'(e')\}, \qquad D=\{(i(a),i'(-a))\mid a\in A\}

と定める。 $D$ は $P$ の正規部分群であり、 $B=P/D$ 、商写像 $q\colon P\to B$ に対して

j(a)=q(i(a),1),\qquad r(q(e,e'))=p(e)

は、与えられた作用を誘導する拡大

1\longrightarrow A\xrightarrow{j}B\xrightarrow{r}G\longrightarrow1

を定める。この拡大を二つの拡大の Baer 和という。

包含 $k\colon A\times A\to P$ 、 $k(a,b)=(i(a),i'(b))$ と加法 $m\colon A\times A\to A$ 、 $m(a,b)=a+b$ に対して $qk=jm$ である。この可換図式は群の圏で押出しである。すなわち、任意の群 $K$ と準同型 $u\colon P\to K$ 、 $v\colon A\to K$ が $uk=vm$ を満たすならば、 $wq=u$ 、 $wj=v$ を満たす準同型 $w\colon B\to K$ がただ一つ存在する。

証明. $(e,e')\in P$ と $g=p(e)=p'(e')$ に対して、 $(e,e')$ による共役は $(i(a),i'(-a))$ を $(i(ga),i'(-ga))$ へ送る。したがって $D$ は正規部分群である。準同型 $P\to G$ 、 $(e,e')\mapsto p(e)$ は全射であり、 $D$ 上で自明なので全射準同型 $r\colon B\to G$ を誘導する。 $q(i(a),1)=q(1,i'(a))$ であるから

q(k(a,b))=j(a+b)

となる。 $r$ の核の各元はこの形に表されるので $\ker r=j(A)$ である。 $j(a)=1$ ならば $(i(a),1)\in D$ であり、 $i'$ の単射性により $a=0$ となる。よって $j$ は単射である。さらに

q(e,e')j(a)q(e,e')^{-1}=j(ga)

であるから、誘導作用は与えられた作用である。

$uk=vm$ を満たす準同型 $u,v$ に対して、任意の $a\in A$ について $u(k(a,-a))=v(0)=1$ である。商群の普遍性により、 $wq=u$ を満たす準同型 $w\colon B\to K$ がただ一つ存在する。 $j(a)=q(k(a,0))$ から $wj(a)=u(k(a,0))=v(a)$ であり、押出しの普遍性を得る。▨

定理 3.2. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とする。与えられた作用を誘導する二つの拡大の類が定理 2.5によって $\alpha,\beta\in H^2(G,A)$ に対応するとき、その Baer 和の類は $\alpha+\beta$ に対応する。Baer 和は拡大の同値類全体にアーベル群構造を定め、この分類の全単射はアーベル群の同型となる。零元は $E_0=A\rtimes G$ の拡大類である。任意の正規化された二次のコサイクル $f$ に対して、 $E_f$ の拡大類の逆元は $E_{-f}$ の拡大類である。

証明. 二つの拡大の正規化された集合としての右逆写像を $s,s'$ 、その因子集合を $f,f'$ とする。命題 3.1の記号で $\sigma(g)=q(s(g),s'(g))$ と置くと、 $\sigma$ は $r$ の正規化された集合としての右逆写像であり、 $qk=jm$ により

\begin{aligned} \sigma(g)\sigma(h) &=q(k(f(g,h),f'(g,h)))\sigma(gh)\\ &=j(f(g,h)+f'(g,h))\sigma(gh) \end{aligned}

である。よってその因子集合は $f+f'$ であり、対応する類は $\alpha+\beta$ となる。分類の単射性により、Baer 和の同値類は各拡大の代表によらない。結合律、可換律、零元と逆元の主張は、この全単射を通して $H^2(G,A)$ の加法から従う。▨

系 3.3. $G$ を群、 $A$ を左 $\Z[G]$ -加群とする。与えられた作用を誘導する拡大が分裂することと、その $H^2(G,A)$ における類が零であることは同値である。

証明. 拡大が分裂するとき、群準同型である切断を右逆写像に選べば因子集合は零である。逆に拡大の類が零ならば、定理 2.5により、その拡大は標準半直積拡大 $E_0=A\rtimes G$ と同値である。標準切断 $g\mapsto(0,g)$ とこの同型を合成すると、元の拡大の切断を得る。▨

例 3.4. $G=\{1,x\}$ を位数二の巡回群、 $A=\Z/2\Z$ を自明な $G$ -加群とする。正規化された写像 $f\colon G^2\to A$ は $c=f(x,x)$ だけで決まる。コサイクルの等式では、入力のいずれかが $1$ ならば項が相殺し、入力が $(x,x,x)$ ならば $c-c=0$ となる。したがって $c=0,1$ のいずれもコサイクルを与える。正規化された一次のコチェイン $t$ に対して

(\delta^1t)(x,x)=2t(x)=0

であるから、§E7.35 命題 4.3により $H^2(G,A)\cong\Z/2\Z$ である。

$c=0$ の拡大は自明作用の半直積であり、 $E_0\cong C_2\times C_2$ である。 $c=1$ の拡大では $y=(0,x)$ が $y^2=(1,1)$ を満たすので、 $y$ は位数四をもち、四元からなる $E_f$ を生成する。よって $E_f\cong C_4$ であり、系 3.3によりこの拡大は分裂しない。定理 3.2により、この非零の拡大類とそれ自身との Baer 和は、分裂拡大 $C_2\times C_2$ の類である。

§E7.36低次群コホモロジーと群の拡大

1 零次と第一次の群コホモロジー

2 因子集合と群の拡大

3 Baer 和と分裂

参考文献

前提記事