1 入射対象と射影対象 定義 1.1. アーベル圏A \mathcal A A I I I 入射的 (injective )i : A → B i:A\to B i : A → B f : A → I f:A\to I f : A → I g i = f gi=f g i = f g : B → I g:B\to I g : B → I P P P 射影的 (projective )p : B → C p:B\to C p : B → C f : P → C f:P\to C f : P → C p g = f pg=f p g = f g : P → B g:P\to B g : P → B
すべての対象が入射対象へのモノ射をもつとき、A \mathcal A A 十分な入射対象 (enough injectives )十分な射影対象 (enough projectives )
命題 1.3. アーベル圏A \mathcal A A I I I
I I I Hom A ( − , I ) : A o p → A b \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(-,I):\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Ab} Hom A ( − , I ) : A op → Ab 任意のモノ射i i i Hom ( i , I ) \operatorname{Hom}(i,I) Hom ( i , I )
双対に、P P P Hom A ( P , − ) \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(P,-) Hom A ( P , − )
証明. 条件 (a) と条件 (c) は同じ延長条件である。§E9.19 命題 8.3 により、短完全列0 → A → i B → C → 0 0\to A\xrightarrow{i}B\to C\to0 0 → A i B → C → 0 Hom ( B , I ) \operatorname{Hom}(B,I) Hom ( B , I ) Hom ( i , I ) \operatorname{Hom}(i,I) Hom ( i , I ) §E9.19 命題 4.3 により条件 (b) と条件 (c) は同値である。反対圏に適用すると射影側を得る。▨
例 1.4. 環R R R P P P Hom R ( P , − ) \operatorname{Hom}_R(P,-) Hom R ( P , − ) P P P N N N − ⊗ R N -\otimes_R N − ⊗ R N §E6.12 命題 19.1 により右完全である。
− ⊗ Z Z / 2 Z -\otimes_{\Z}\Z/2\Z − ⊗ Z Z /2 Z 2 : Z → Z 2:\Z\to\Z 2 : Z → Z Z / 2 Z → Z / 2 Z \Z/2\Z\to\Z/2\Z Z /2 Z → Z /2 Z n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 Hom Z ( Z / n Z , − ) \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/n\Z,-) Hom Z ( Z / n Z , − ) Z → Z / n Z \Z\to\Z/n\Z Z → Z / n Z
環準同型R → S R\to S R → S S - M o d → R - M o d S\text{-}\mathbf{Mod}\to R\text{-}\mathbf{Mod} S - Mod → R - Mod R - M o d → A b R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab} R - Mod → Ab §E9.19 命題 2.3 ）。
例 1.5. R - M o d R\text{-}\mathbf{Mod} R - Mod §E6.16 定理 5.4 と§E6.14 系 1.2 により、この圏は十分な入射対象と十分な射影対象をもつ。
A b \mathbf{Ab} Ab Q \Q Q Q / Z \Q/\Z Q / Z §E6.16 命題 3.4 により入射的である。Z \Z Z 2 Z → Z 2\Z\to\Z 2 Z → Z 2 m ↦ m 2m\mapsto m 2 m ↦ m Z → Z \Z\to\Z Z → Z A b o p \mathbf{Ab}^{\mathrm{op}} Ab op A b \mathbf{Ab} Ab
命題 1.6. アーベル圏A \mathcal A A V V V J J J ( I j ) (I_j) ( I j ) V V V
証明. モノ射i : A → B i:A\to B i : A → B f : A → ∏ j I j f:A\to\prod_j I_j f : A → ∏ j I j p j p_j p j g j i = p j f g_ji=p_jf g j i = p j f g j : B → I j g_j:B\to I_j g j : B → I j Hom ( B , I j ) \operatorname{Hom}(B,I_j) Hom ( B , I j ) J J J V V V p j g = g j p_jg=g_j p j g = g j g : B → ∏ j I j g:B\to\prod_jI_j g : B → ∏ j I j g i = f gi=f g i = f ▨
命題 1.7. アーベル圏の間の随伴L : B ⇄ A : G L:\mathcal B\rightleftarrows\mathcal A:G L : B ⇄ A : G L ⊣ G L\dashv G L ⊣ G L L L G G G G G G L L L L L L L L L
証明. 入射対象I ∈ A I\in\mathcal A I ∈ A i : B → C i:B\to C i : B → C Hom B ( i , G I ) \operatorname{Hom}_{\mathcal B}(i,G I) Hom B ( i , G I ) Hom A ( L i , I ) \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(Li,I) Hom A ( L i , I ) L i Li L i I I I 命題 1.3 によりG I GI G I L L L §E9.19 命題 8.4 により右完全なので、モノ射を保つことと完全性との同値は§E9.19 命題 8.2 による。▨
例 1.8.
忘却関手U : R - M o d → A b U:R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab} U : R - Mod → Ab D ↦ Hom Z ( R , D ) D\mapsto\operatorname{Hom}_{\Z}(R,D) D ↦ Hom Z ( R , D ) ( r h ) ( s ) = h ( s r ) (r h)(s)=h(sr) ( r h ) ( s ) = h ( sr ) ϕ : U M → D \phi:UM\to D ϕ : U M → D ϕ ^ ( m ) ( r ) = ϕ ( r m ) \widehat\phi(m)(r)=\phi(rm) ϕ ( m ) ( r ) = ϕ ( r m ) r = 1 r=1 r = 1 U U U D D D Hom Z ( R , D ) \operatorname{Hom}_{\Z}(R,D) Hom Z ( R , D ) R R R
群G G G H H H Res H G \operatorname{Res}^G_H Res H G Coind H G \operatorname{Coind}^G_H Coind H G §E7.36 命題 2.2 ）。制限は台のアーベル群を変えず完全であるから、余誘導は入射加群を保つ。
いずれも命題 1.7 の適用である。
2 分解の存在 定義 2.1. アーベル圏A \mathcal A A M M M 射影分解 (projective resolution )P P P ε : P 0 → M \varepsilon:P_0\to M ε : P 0 → M
⋯ ⟶ P 1 ⟶ P 0 → ε M ⟶ 0 \cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\xrightarrow{\varepsilon}M\longrightarrow0 ⋯ ⟶ P 1 ⟶ P 0 ε M ⟶ 0 が完全であり、各P n P_n P n M M M 分解 (resolution )
双対に、負の次数で零である余鎖複体I I I η : M → I 0 \eta:M\to I^0 η : M → I 0 0 → M → η I 0 → I 1 → ⋯ 0\to M\xrightarrow{\eta}I^0\to I^1\to\cdots 0 → M η I 0 → I 1 → ⋯ I n I^n I n 入射分解 (injective resolution )M M M ε \varepsilon ε η \eta η 添加射 (augmentation )
射f : M → N f:M\to N f : M → N 分解の射 (morphism of resolutions )ε N φ 0 = f ε M \varepsilon_N\varphi_0=f\varepsilon_M ε N φ 0 = f ε M φ \varphi φ φ 0 η M = η N f \varphi^0\eta_M=\eta_Nf φ 0 η M = η N f φ \varphi φ
命題 2.2. 分解P → ε M P\xrightarrow{\varepsilon}M P ε M H 0 ( P ) ≅ M H_0(P)\cong M H 0 ( P ) ≅ M n ≠ 0 n\ne0 n = 0 H n ( P ) = 0 H_n(P)=0 H n ( P ) = 0 M → η I M\xrightarrow{\eta}I M η I M ≅ H 0 ( I ) M\cong H^0(I) M ≅ H 0 ( I ) n ≠ 0 n\ne0 n = 0 H n ( I ) = 0 H^n(I)=0 H n ( I ) = 0
証明. 完全性からim d 1 = ker ε \operatorname{im}d_1=\ker\varepsilon im d 1 = ker ε ε \varepsilon ε H 0 ( P ) = coker d 1 ≅ M H_0(P)=\operatorname{coker}d_1\cong M H 0 ( P ) = coker d 1 ≅ M A \mathcal A A ▨
定理 2.3.
十分な射影対象をもつアーベル圏の各対象は射影分解をもつ。
十分な入射対象をもつアーベル圏の各対象は入射分解をもつ。
証明. 主張 (1) を示す。K − 1 = M K_{-1}=M K − 1 = M n ≥ 0 n\ge0 n ≥ 0 q n : P n → K n − 1 q_n:P_n\to K_{n-1} q n : P n → K n − 1 k n : K n → P n k_n:K_n\to P_n k n : K n → P n ε = q 0 \varepsilon=q_0 ε = q 0 d n = k n − 1 q n d_n=k_{n-1}q_n d n = k n − 1 q n q n k n = 0 q_nk_n=0 q n k n = 0 d n d n + 1 = 0 d_nd_{n+1}=0 d n d n + 1 = 0 q n + 1 q_{n+1} q n + 1 im d n + 1 = im k n \operatorname{im}d_{n+1}=\operatorname{im}k_n im d n + 1 = im k n k n − 1 k_{n-1} k n − 1 ker d n = ker q n = im k n \ker d_n=\ker q_n=\operatorname{im}k_n ker d n = ker q n = im k n
各段の選択は直前の核に依存する。対象と射の有限組はV V V §E1.21 系 4.3 をこの逐次構成に適用すると、候補全体がV V V N ≥ 0 ∈ V \N\in V N ≥ 0 ∈ V §E9.1 命題 2.3 により分解を表す列もV V V M M M 主張 (2) を示す。反対圏に適用すると入射分解の存在を得る。▨
例 2.4. 有限アーベル群の充満部分圏F A b ⊂ A b \mathbf{FAb}\subset\mathbf{Ab} FAb ⊂ Ab §E9.19 命題 7.1 ）。しかし、非零の入射対象も射影対象ももたない。
非零有限アーベル群I I I e ≥ 2 e\ge2 e ≥ 2 §E6.53 定理 16.2 によりe I = 0 eI=0 e I = 0 e e e x x x 1 ↦ x 1\mapsto x 1 ↦ x Z / e Z → I \Z/e\Z\to I Z / e Z → I Z / e Z → Z / e 2 Z \Z/e\Z\to\Z/e^2\Z Z / e Z → Z / e 2 Z 1 ↦ e 1\mapsto e 1 ↦ e g : Z / e 2 Z → I g:\Z/e^2\Z\to I g : Z / e 2 Z → I x = g ( e ) = e g ( 1 ) = 0 x=g(e)=e g(1)=0 x = g ( e ) = e g ( 1 ) = 0 x x x
また最大単因子への全射I → Z / e Z I\to\Z/e\Z I → Z / e Z Z / e 2 Z → Z / e Z \Z/e^2\Z\to\Z/e\Z Z / e 2 Z → Z / e Z g : I → Z / e 2 Z g:I\to\Z/e^2\Z g : I → Z / e 2 Z g g g e e e e Z / e 2 Z e\Z/e^2\Z e Z / e 2 Z I I I
命題 2.5. アーベル圏A \mathcal A A E : A → A E:\mathcal A\to\mathcal A E : A → A u : i d ⇒ E u:\mathrm{id}\Rightarrow E u : id ⇒ E E ( A ) E(A) E ( A ) Q 0 = i d Q^0=\mathrm{id} Q 0 = id
I n ( A ) = E ( Q n ( A ) ) , Q n + 1 ( A ) = coker u Q n ( A ) I^n(A)=E(Q^n(A)),\qquad Q^{n+1}(A)=\operatorname{coker}u_{Q^n(A)} I n ( A ) = E ( Q n ( A )) , Q n + 1 ( A ) = coker u Q n ( A ) とおく。余核射をq A n : I n ( A ) → Q n + 1 ( A ) q^n_A:I^n(A)\to Q^{n+1}(A) q A n : I n ( A ) → Q n + 1 ( A ) d A n = u Q n + 1 ( A ) q A n d^n_A=u_{Q^{n+1}(A)}q^n_A d A n = u Q n + 1 ( A ) q A n A → I ( A ) A\to I(A) A → I ( A ) Q n ( f ) Q^n(f) Q n ( f ) I n ( f ) = E ( Q n ( f ) ) I^n(f)=E(Q^n(f)) I n ( f ) = E ( Q n ( f ))
証明. Q n Q^n Q n u u u E ( Q n ( f ) ) u Q n ( A ) = u Q n ( B ) Q n ( f ) E(Q^n(f))u_{Q^n(A)}=u_{Q^n(B)}Q^n(f) E ( Q n ( f )) u Q n ( A ) = u Q n ( B ) Q n ( f ) Q n + 1 ( f ) Q^{n+1}(f) Q n + 1 ( f ) Q n + 1 Q^{n+1} Q n + 1 q n q^n q n
q n + 1 u Q n + 1 = 0 q^{n+1}u_{Q^{n+1}}=0 q n + 1 u Q n + 1 = 0 d n + 1 d n = 0 d^{n+1}d^n=0 d n + 1 d n = 0 q n − 1 q^{n-1} q n − 1 u Q n + 1 u_{Q^{n+1}} u Q n + 1
im d n − 1 = im u Q n = ker q n = ker d n . \operatorname{im}d^{n-1}=\operatorname{im}u_{Q^n}=\ker q^n=\ker d^n. im d n − 1 = im u Q n = ker q n = ker d n . 零次ではu A u_A u A q A 0 q^0_A q A 0 u , q n u,q^n u , q n E E E ▨
例 2.6. 環R R R M M M
J M = Hom Z ( M , Q / Z ) , D M = ( Q / Z ) J M , E ( M ) = Hom Z ( R , D M ) J_M=\operatorname{Hom}_{\Z}(M,\Q/\Z),\quad
D_M=(\Q/\Z)^{J_M},\quad E(M)=\operatorname{Hom}_{\Z}(R,D_M) J M = Hom Z ( M , Q / Z ) , D M = ( Q / Z ) J M , E ( M ) = Hom Z ( R , D M ) とおき、ι M ( m ) ( r ) = ( χ ( r m ) ) χ ∈ J M \iota_M(m)(r)=(\chi(rm))_{\chi\in J_M} ι M ( m ) ( r ) = ( χ ( r m ) ) χ ∈ J M E ( M ) E(M) E ( M ) ( r h ) ( s ) = h ( s r ) (rh)(s)=h(sr) ( r h ) ( s ) = h ( sr ) ι M \iota_M ι M R R R §E6.16 命題 4.3 (1) ）、r = 1 r=1 r = 1 ι M \iota_M ι M D M D_M D M 命題 1.6 により入射的であり、例 1.8 (1) によりE ( M ) E(M) E ( M )
射f : M → N f:M\to N f : M → N D ( f ) ( ( x χ ) χ ) = ( x ψ f ) ψ ∈ J N D(f)((x_\chi)_\chi)=(x_{\psi f})_{\psi\in J_N} D ( f ) (( x χ ) χ ) = ( x ψ f ) ψ ∈ J N D D D E ( f ) = Hom Z ( R , D ( f ) ) E(f)=\operatorname{Hom}_{\Z}(R,D(f)) E ( f ) = Hom Z ( R , D ( f )) R R R E ( f ) ι M = ι N f E(f)\iota_M=\iota_Nf E ( f ) ι M = ι N f 命題 2.5 により、入射分解とその射を得る関手的な規則を定める。各集合と加群はV V V V V V
3 比較定理 定理 3.1. アーベル圏A \mathcal A A f : M → N f:M\to N f : M → N
P → M P\to M P → M Q → N Q\to N Q → N f f f P → Q P\to Q P → Q f f f M → J M\to J M → J N → I N\to I N → I f f f J → I J\to I J → I f f f 証明. 主張 (1) を示す。P − 1 = M P_{-1}=M P − 1 = M Q − 1 = N Q_{-1}=N Q − 1 = N d 0 P = ε P d_0^P=\varepsilon_P d 0 P = ε P d 0 Q = ε Q d_0^Q=\varepsilon_Q d 0 Q = ε Q φ − 1 = f \varphi_{-1}=f φ − 1 = f P 0 P_0 P 0 f ε P f\varepsilon_P f ε P ε Q \varepsilon_Q ε Q φ 0 \varphi_0 φ 0 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 d n − 1 Q φ n − 1 d n P = φ n − 2 d n − 1 P d n P = 0 d_{n-1}^Q\varphi_{n-1}d_n^P=\varphi_{n-2}d_{n-1}^Pd_n^P=0 d n − 1 Q φ n − 1 d n P = φ n − 2 d n − 1 P d n P = 0 φ n − 1 d n P \varphi_{n-1}d_n^P φ n − 1 d n P ker d n − 1 Q \ker d_{n-1}^Q ker d n − 1 Q Q n → ker d n − 1 Q Q_n\to\ker d_{n-1}^Q Q n → ker d n − 1 Q P n P_n P n φ n \varphi_n φ n
二つの射の差をθ = φ − ψ \theta=\varphi-\psi θ = φ − ψ θ − 1 = 0 \theta_{-1}=0 θ − 1 = 0 h − 1 = 0 h_{-1}=0 h − 1 = 0 n = 0 n=0 n = 0 d 0 Q θ 0 = 0 d_0^Q\theta_0=0 d 0 Q θ 0 = 0
θ n − 1 = d n Q h n − 1 + h n − 2 d n − 1 P \theta_{n-1}=d_n^Qh_{n-1}+h_{n-2}d_{n-1}^P θ n − 1 = d n Q h n − 1 + h n − 2 d n − 1 P が成り立つならば、鎖写像の等式から
d n Q ( θ n − h n − 1 d n P ) = θ n − 1 d n P − d n Q h n − 1 d n P = 0. d_n^Q(\theta_n-h_{n-1}d_n^P)=
\theta_{n-1}d_n^P-d_n^Qh_{n-1}d_n^P=0. d n Q ( θ n − h n − 1 d n P ) = θ n − 1 d n P − d n Q h n − 1 d n P = 0. したがってθ n − h n − 1 d n P \theta_n-h_{n-1}d_n^P θ n − h n − 1 d n P ker d n Q \ker d_n^Q ker d n Q Q n + 1 → ker d n Q Q_{n+1}\to\ker d_n^Q Q n + 1 → ker d n Q h n h_n h n θ n = d n + 1 Q h n + h n − 1 d n P \theta_n=d_{n+1}^Qh_n+h_{n-1}d_n^P θ n = d n + 1 Q h n + h n − 1 d n P §E1.21 系 4.3 を用いる。
主張 (2) を示す。A o p \mathcal A^{\mathrm{op}} A op f o p : N → M f^{\mathrm{op}}:N\to M f op : N → M 主張 (1) を適用すると主張 (2) を得る。▨
系 3.2. 同じ対象の二つの射影分解の間には恒等射の上の射が両向きに存在する。この二つの射は互いに鎖ホモトピー逆である。同じ対象の二つの入射分解の間には恒等射の上の射が両向きに存在する。この二つの射は互いに余鎖ホモトピー逆である。
証明. 定理 3.1 により恒等射を両向きに持ち上げる。各合成と分解の恒等射は同じ対象の恒等射の上にあるので、比較定理の一意性によりホモトピックである。▨
例 3.4. 正整数n n n η n ( 1 ) = 1 / n + Z \eta_n(1)=1/n+\Z η n ( 1 ) = 1/ n + Z
0 ⟶ Z / n Z → η n Q / Z → ⋅ n Q / Z ⟶ 0 0\longrightarrow\Z/n\Z\xrightarrow{\eta_n}\Q/\Z
\xrightarrow{\cdot n}\Q/\Z\longrightarrow0 0 ⟶ Z / n Z η n Q / Z ⋅ n Q / Z ⟶ 0 は入射分解である。η n \eta_n η n n n n Q / Z \Q/\Z Q / Z n n n
商写像Z / 6 Z → Z / 2 Z \Z/6\Z\to\Z/2\Z Z /6 Z → Z /2 Z 0 , 1 0,1 0 , 1 ( ⋅ 3 , ⋅ 1 ) (\cdot3,\cdot1) ( ⋅ 3 , ⋅ 1 ) φ \varphi φ ( ⋅ 9 , ⋅ 3 ) (\cdot9,\cdot3) ( ⋅ 9 , ⋅ 3 ) ψ \psi ψ 3 / 6 = 9 / 6 = 1 / 2 ( m o d Z ) 3/6=9/6=1/2\pmod\Z 3/6 = 9/6 = 1/2 ( mod Z ) 2 ⋅ 3 = 1 ⋅ 6 2\cdot3=1\cdot6 2 ⋅ 3 = 1 ⋅ 6 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 2\cdot9=3\cdot6 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 h 1 = ⋅ ( − 1 ) h^1=\cdot(-1) h 1 = ⋅ ( − 1 ) φ 0 − ψ 0 = h 1 ( ⋅ 6 ) \varphi^0-\psi^0=h^1(\cdot6) φ 0 − ψ 0 = h 1 ( ⋅ 6 ) φ 1 − ψ 1 = ( ⋅ 2 ) h 1 \varphi^1-\psi^1=(\cdot2)h^1 φ 1 − ψ 1 = ( ⋅ 2 ) h 1
例 3.5. Z → Q → Q / Z \Z\to\Q\to\Q/\Z Z → Q → Q / Z Z \Z Z Z \Z Z g : Q → Z g:\Q\to\Z g : Q → Z Z → Q \Z\to\Q Z → Q g ( 1 ) = n g ( 1 / n ) g(1)=n g(1/n) g ( 1 ) = n g ( 1/ n ) n n n n g ( m / n ) = m g ( 1 ) = 0 n g(m/n)=m g(1)=0 n g ( m / n ) = m g ( 1 ) = 0 g = 0 g=0 g = 0
4 馬蹄補題 定理 4.1. アーベル圏の短完全列0 → A → i B → p C → 0 0\to A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\to0 0 → A i B p C → 0
A , C A,C A , C P , Q P,Q P , Q B B B E E E i , p i,p i , p P → E → Q P\to E\to Q P → E → Q E n = P n ⊕ Q n E_n=P_n\oplus Q_n E n = P n ⊕ Q n A , C A,C A , C I A , I C I_A,I_C I A , I C B B B I B I_B I B i , p i,p i , p I A → I B → I C I_A\to I_B\to I_C I A → I B → I C I B n = I A n ⊕ I C n I_B^n=I_A^n\oplus I_C^n I B n = I A n ⊕ I C n 証明. 主張 (1) を示す。短完全列0 → U → α V → β W → 0 0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0 0 → U α V β W → 0 a : P ′ → U a:P'\to U a : P ′ → U c : Q ′ → W c:Q'\to W c : Q ′ → W Q ′ Q' Q ′ β ℓ = c \beta\ell=c β ℓ = c ℓ : Q ′ → V \ell:Q'\to V ℓ : Q ′ → V b = ( α a , ℓ ) : P ′ ⊕ Q ′ → V b=(\alpha a,\ell):P'\oplus Q'\to V b = ( α a , ℓ ) : P ′ ⊕ Q ′ → V ( a , b , c ) (a,b,c) ( a , b , c ) §E9.20 定理 2.5 を適用する。coker a = coker c = 0 \operatorname{coker}a=\operatorname{coker}c=0 coker a = coker c = 0 coker b = 0 \operatorname{coker}b=0 coker b = 0
0 ⟶ ker a ⟶ ker b ⟶ ker c ⟶ 0 0\longrightarrow\ker a\longrightarrow\ker b\longrightarrow\ker c\longrightarrow0 0 ⟶ ker a ⟶ ker b ⟶ ker c ⟶ 0 は短完全列である。
第1段の構成を、まず( U , V , W ) = ( A , B , C ) (U,V,W)=(A,B,C) ( U , V , W ) = ( A , B , C ) ( a , c ) = ( ε P , ε Q ) (a,c)=(\varepsilon_P,\varepsilon_Q) ( a , c ) = ( ε P , ε Q ) E 0 = P 0 ⊕ Q 0 → B E_0=P_0\oplus Q_0\to B E 0 = P 0 ⊕ Q 0 → B P 1 → ker ε P P_1\to\ker\varepsilon_P P 1 → ker ε P Q 1 → ker ε Q Q_1\to\ker\varepsilon_Q Q 1 → ker ε Q E n = P n ⊕ Q n E_n=P_n\oplus Q_n E n = P n ⊕ Q n b n b_n b n k n − 1 k_{n-1} k n − 1 d n E = k n − 1 b n d_n^E=k_{n-1}b_n d n E = k n − 1 b n 定理 2.3 の像と核の計算から完全性を得る。各E n E_n E n 命題 1.6 の双対により射影的である。
各段の核への射は元の可換図式から核の普遍性で誘導される。その定義式に核の包含を合成すると、双積の入射と射影が微分と可換であることを得る。可算反復には§E1.21 系 4.3 を適用する。主張 (2) を示す。反対圏の短完全列0 → C → B → A → 0 0\to C\to B\to A\to0 0 → C → B → A → 0 ▨