加法圏 | 圏論 I | 数学汎典

定義 1.1. 局所 $V$ -小圏 $\mathcal C$ の各 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ にアーベル群の構造が与えられ、合成が双線形、すなわち

(g+g')f=gf+g'f,\qquad g(f+f')=gf+gf'

を満たすとき、 $\mathcal C$ を前加法圏 (preadditive category) という。各射の群の零元を零射 (zero morphism) といい、 $0$ と書く。

補題 1.2. 前加法圏において、零射との合成は零射である。

証明. 双線形性により $g0=g(0+0)=g0+g0$ である。アーベル群の消去則から $g0=0$ を得る。 $0f=(0+0)f=0f+0f$ から $0f=0$ を得る。▨

例 1.3. 環 $R$ 上の左加群の圏と右加群の圏は、準同型の各点の和について前加法圏である。§E6.2 定理 14.1により Hom はアーベル群であり、合成の双線形性は準同型の加法性から従う。 $R=\Z$ ではアーベル群の圏、体 $R=k$ では線形空間の圏となる。

環 $R$ の乗法モノイドの一対象圏 $\mathcal BR$ に $R$ の加法を入れると、分配律によって前加法圏となる。逆に一対象の前加法圏の自己射の群は、合成を積、恒等射を単位元とする環である。反対圏では積の順序だけが逆になるので、 $(\mathcal BR)^{\mathrm{op}}=\mathcal B(R^{\mathrm{op}})$ である。

命題 1.4. 前加法圏 $\mathcal C$ の対象 $Z$ について次の条件は同値である。

$Z$ は始対象である。
$Z$ は終対象である。
$Z$ は零対象である。
$\id_Z=0$ である。

零対象 $Z$ がある場合、零射 $A\to B$ は $A\to Z\to B$ の合成である。

証明. 始対象または終対象ならば $\operatorname{Hom}(Z,Z)$ が一元集合なので $\id_Z=0$ となる。逆に $\id_Z=0$ ならば、任意の $f:Z\to X$ と $g:X\to Z$ について $f=f\id_Z=0$ 、 $g=\id_Zg=0$ である。零射は存在するので $Z$ は始対象かつ終対象である。 $A\to Z$ は $\operatorname{Hom}(A,Z)$ の唯一の元なので零射であり、補題 1.2により $A\to Z\to B$ は零射である。▨

定義 2.1. 前加法圏の有限族 $A_1,\ldots,A_n$ （ $n\geq0$ ）の双積 (biproduct) とは、対象 $S$ と射 $p_k:S\to A_k$ 、 $i_k:A_k\to S$ であって

p_ki_l=\begin{cases}\id_{A_k}&k=l,\\0&k\ne l,\end{cases} \qquad \sum_{k=1}^ni_kp_k=\id_S

を満たすものをいう。 $S=A_1\oplus\cdots\oplus A_n$ と書く。空の族では条件は $\id_S=0$ である。以下、 $k=l$ のとき $\id_{A_k}$ 、 $k\ne l$ のとき零射である射 $A_l\to A_k$ を $\delta_{kl}$ と書く。

命題 2.2. 前加法圏 $\mathcal C$ の反対圏は、同じ射のアーベル群によって前加法圏となる。 $\mathcal C$ の双積 $(S,(p_k),(i_k))$ は、反対圏の双積 $(S,(i_k^{\mathrm{op}}),(p_k^{\mathrm{op}}))$ に対応する。

証明. 反対圏の合成の双線形性は元の合成の双線形性の二つの式を交換したものである。双積の二つの等式は、射の向きと合成順序を反転しても同じ形になる。▨

定理 2.3. 前加法圏の有限族 $A_1,\ldots,A_n$ について次が成り立つ。

双積 $(S,(p_k),(i_k))$ は、射影 $p_k$ について直積、入射 $i_k$ について余積である。
直積 $(P,(p_k))$ があれば、 $p_li_k=\delta_{lk}$ を満たす射 $i_k$ が一意に定まり、双積を与える。
余積 $(Q,(i_k))$ があれば、 $p_ki_l=\delta_{kl}$ を満たす射 $p_k$ が一意に定まり、双積を与える。

証明.主張 (1)を示す。射の族 $f_k:X\to A_k$ に対して $t=\sum_ki_kf_k$ と置くと、 $p_lt=f_l$ である。この条件を満たす射 $t'$ は $t'=\sum_ki_kp_kt'=t$ となる。したがって $(S,(p_k))$ は直積である。族 $g_k:A_k\to Y$ に対して $s=\sum_kg_kp_k$ とおくと、 $si_l=g_l$ である。この条件を満たす射 $s'$ は $s'=\sum_ks'i_kp_k=s$ となる。したがって $(S,(i_k))$ は余積である。

主張 (2)を示す。直積が与えられた場合、族 $(\delta_{lk})_l$ に直積の普遍性を適用して $i_k$ を定める。各 $l$ について

p_l\sum_ki_kp_k=p_l

なので、直積への射の一意性により和は恒等射である。空の族では直積は終対象であり、命題 1.4により同じ結論を得る。

主張 (3)を示す。余積の場合は命題 2.2により反対圏の直積の場合を適用する。▨

系 2.4. 前加法圏がすべての有限族の直積をもつことは、すべての有限族の余積をもつための必要十分条件であり、すべての有限族の双積をもつための必要十分条件でもある。同じ有限族の直積と余積の頂点は同型である。

証明.定理 2.3によって三つの存在条件は互いに移る。双積は直積の普遍性も余積の普遍性も満たすので、普遍性の一意性から頂点の同型を得る。▨

注意 2.5. 有限族の余積 $Q$ と直積 $P$ の間には、成分 $p_kci_l=\delta_{kl}$ をもつ標準射 $c:Q\to P$ がある。前加法圏では定理 2.3により $Q$ は $p_ki_l=\delta_{kl}$ を満たす射 $p_k:Q\to A_k$ について直積となるので、 $c$ は同型である。零対象をもつ一般の圏でも零対象を経由する射を用いてこの標準射を定めることができるが、同型とは限らない。双積の訳語には「複積」もある。

例 2.6. 環 $R$ 上の加群の有限族 $M_1,\ldots,M_n$ の直積では、座標射影 $p_k$ と座標包含 $i_k$ が $p_ki_l=\delta_{kl}$ 、 $\sum i_kp_k=\id$ を満たす。したがって有限直積は双積であり、直和と一致する（§E6.2 命題 6.2）。

無限集合 $I\in V$ と体 $k$ に対し、標準射 $k^{\oplus I}\to k^I$ の像は有限台の族である。定数族 $(1)_{i\in I}$ は像に入らないので標準射は同型でない。座標包含を備えた $k^I$ が余積ならば、普遍性による比較射はこの標準射に等しく、同型となる。しかし標準射は定数族 $(1)_{i\in I}$ を像に含まないので、矛盾する。したがって、座標包含を備えた $k^I$ は余積でない。

例 2.7. $\mathbf{Set}$ が前加法圏ならば、始対象 $\varnothing$ は命題 1.4により終対象にもなる。しかし一点集合から空集合への写像は存在しない。

$\mathbf{Grp}$ が前加法圏ならば、零射は自明群を経由する自明な準同型である。したがって二群の直積の双積入射は座標包含であり、定理 2.3により余積入射にもなる。これは§E9.12 命題 2.6の位数二の巡回群の例に反する。

非零環 $R$ の一対象前加法圏 $\mathcal BR$ は、恒等射 $1$ が零射と異なるので零対象をもたない。

定義 3.1. 空の族を含むすべての有限族が直積をもつ前加法圏を加法圏 (additive category) という。

命題 3.2. 前加法圏が零対象をもち、任意の二対象が直積をもつならば加法圏である。

証明. 演習とする（問題 6.1）。▨

命題 3.3. 加法圏の射 $f,g:A\to B$ に対して、対角射 $\delta_A:A\to A\oplus A$ 、余対角射 $\nabla_B:B\oplus B\to B$ 、成分 $f,g$ をもつ射 $f\oplus g:A\oplus A\to B\oplus B$ を用いると

f+g=\nabla_B(f\oplus g)\delta_A

である。したがって射の和は、零対象、直積、余積の普遍性で定まる射の合成である。

証明. 双積の等式とそれぞれの普遍性から

\delta_A=i_1+i_2,\qquad \nabla_B=p_1+p_2, \qquad f\oplus g=i_1fp_1+i_2gp_2

である。合成を双線形性で展開すると、交差項は零となり $f+g$ が残る。零射は零対象を経由する合成であり、双積の入射は射影と零射から一意に定まるので、右辺は圏の構造だけによる。▨

定義 4.1. 前加法圏の間の関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ が、各射の群の間にアーベル群準同型を誘導するとき、 $F$ を加法関手 (additive functor) という。

定理 4.2. 加法圏の間の関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ について次の条件は同値である。

$F$ は加法関手である。
$F$ は有限双積を双積へ移す。
$F$ は有限直積を直積へ移す。
$F$ は有限余積を余積へ移す。

とくに加法関手は零対象を零対象へ移す。

証明. 加法関手は双積を定める二つの等式を保つ。双積を保つ関手は定理 2.3により有限直積と有限余積を保つ。

有限直積を保つと仮定する。空積の像 $F(0)$ は終対象であり、命題 1.4により零対象である。したがって零射も保たれる。 $F(p_l)F(i_k)=\delta_{lk}$ なので、 $F(i_k)$ は直積 $F(A_1\oplus\cdots\oplus A_n)$ の双積入射である。対角射、余対角射、 $f\oplus g$ もその普遍性によって対応する射に移る。命題 3.3を両圏で用いると $F(f+g)=F(f)+F(g)$ となる。したがって $F$ は加法関手である。有限余積を保つ場合は、反対圏の関手にこの議論を適用する。▨

系 4.3. 加法圏の間の随伴 $F\dashv G$ の両関手は加法的である。

証明.§E9.11 定理 4.1により $F$ は有限余積を、 $G$ は有限直積を保つ。定理 4.2を適用する。▨

例 4.4. 環 $R$ 上の加群 $P,N$ に対して、 $\operatorname{Hom}_R(P,-)$ と $\operatorname{Hom}_R(-,N)$ は加法関手である。射変数について $(u+v)h=uh+vh$ と $h(u+v)=hu+hv$ が成り立つからである。係数の制限およびアーベル群への忘却も準同型の各点の和を保つ。

左 $R$ ・右 $S$ 双加群 $N$ に対して、 $-\otimes_RN$ は Hom–tensor 随伴（§E6.12 命題 16.2）と系 4.3によって加法関手である。純テンソル上でも $((f+g)\otimes1)(m\otimes n)=f(m)\otimes n+g(m)\otimes n$ であり、この式からも $-\otimes_RN$ の加法性が従う。

例 4.5. $F(M)=M\otimes_{\Z}M$ 、 $F(f)=f\otimes f$ は§E6.12 命題 12.1によって $\mathbf{Ab}$ の関手を定め、零対象を保つ。しかし $F(\Z)\cong\Z$ のもとで $F(2\id)=4\id$ なので加法的でない。また§E6.12 命題 18.1により $F(\Z\oplus\Z)\cong\Z^4$ であるが、 $F(\Z)\oplus F(\Z)\cong\Z^2$ である。この二群が同型ならば二倍の像による商も同型となるが、それぞれ16元と4元なので矛盾する。

命題 5.1. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を前加法圏とする。このとき、次が成り立つ。

関手圏 $[\mathcal C,\mathcal D]$ は自然変換の成分ごとの和について前加法圏である。
$\mathcal D$ が加法圏ならば関手圏も加法圏であり、有限双積は各点で計算される。
評価関手は加法関手である。

証明.主張 (1)を示す。自然変換 $\alpha,\beta:F\Rightarrow G$ と射 $u:c\to c'$ に対して、双線形性から

G(u)(\alpha_c+\beta_c)=(\alpha_{c'}+\beta_{c'})F(u)

である。零元と逆元も成分ごとに自然変換となるので、射の集合はアーベル群であり、合成は双線形である。局所 $V$ -小性は§E9.3 命題 4.5による。

主張 (2)を示す。有限族の関手を固定する。各点の直積錐を $V$ -小な対象集合上で§E1.21 命題 4.1により選び、§E9.9 定理 2.6を適用すると関手圏の直積を得る。定理 2.3により、この直積が双積でもあることが従う。

主張 (3)を示す。評価は成分ごとの和を保つ。▨

定義 5.2. $\mathcal C$ を $V$ -小な前加法圏、 $\mathcal D$ を前加法圏とする。加法関手を対象とする $[\mathcal C,\mathcal D]$ の充満部分圏を $\operatorname{Add}(\mathcal C,\mathcal D)$ と書く。 $\operatorname{Add}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Ab})$ の対象を $\mathcal C$ 上の加法的な前層 (additive presheaf) という。

命題 5.3. $\mathcal C$ を $V$ -小な前加法圏、 $\mathcal D$ を加法圏とする。このとき、 $\operatorname{Add}(\mathcal C,\mathcal D)$ は各点の有限双積について閉じ、加法圏となる。

証明. 加法関手の有限族の各点双積を $H$ とする。各射影と $H(u+v)$ 、 $H(u)+H(v)$ との合成は一致するので、直積への射の一意性から $H(u+v)=H(u)+H(v)$ である。したがって $H$ は加法的である。空の族の場合は零関手であり加法的である。充満部分圏なので双積の普遍性と射の群はそのまま制限される。▨

命題 5.4. 環 $R$ に対して、評価 $F\mapsto F(\ast)$ と作用 $rm=F(r)(m)$ は圏同型

\operatorname{Add}(\mathcal BR,\mathbf{Ab})\cong R\text{-}\mathbf{Mod}, \qquad \operatorname{Add}((\mathcal BR)^{\mathrm{op}},\mathbf{Ab})\cong\mathbf{Mod}\text{-}R

を与える。自然変換は加群の準同型に対応する。

証明. 加法関手の射への対応は単位的環準同型 $R\to\operatorname{End}_{\Z}(F(\ast))$ である。§E6.2 命題 1.3により、これは左加群構造と同じデータである。自然変換の唯一の成分の自然性は $f(rm)=rf(m)$ であり、線形性に一致する。加群から作用の関手を作る逆対応を取ると、対象と射の両方で互いに逆となる。反対環に適用すれば右加群の主張を得る。▨

命題 5.5. $\mathcal C$ を $V$ -小な前加法圏とする。このとき、次が成り立つ。

$h_c=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,c)$ は加法的な前層である。
任意の加法的な前層 $P$ に対して $\operatorname{Hom}(h_c,P)\longrightarrow P(c),\qquad \alpha\longmapsto\alpha_c(\id_c)$ はアーベル群の同型であり、両変数について自然である。
米田埋め込み $y:\mathcal C\to\operatorname{Add}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Ab})$ は充満忠実な加法関手である。

証明.主張 (1)を示す。合成の双線形性から $h_c$ は加法的である。

主張 (2)を示す。集合値の米田の補題（§E9.7 定理 2.1）の逆対応は $x\mapsto(u\mapsto P(u)(x))$ である。 $P(u+v)(x)=P(u)(x)+P(v)(x)$ により、この自然変換の各成分は群準同型である。したがって集合値の全単射は加法的な前層間の射の全単射になる。評価も和を保つので群の同型であり、自然性は元の米田の対応から従う。

主張 (3)を示す。 $P=h_d$ とすれば充満忠実性を得る。 $y(f)$ は後合成なので、双線形性から $y$ は加法的である。 $\mathcal C=\mathcal BR$ では $h_\ast$ は右正則加群であり、この同型は $\operatorname{Hom}_R(R,M)\cong M$ となる。▨

問題 6.1.命題 3.2を証明せよ。

§E9.18加法圏

1 前加法圏と零射

2 双積

3 加法圏と加法関手

4 加法関手

5 加法関手の圏

6 演習

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