§E9.13フィルター余極限

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有向な部分集合族の和集合では、有限個の元は同時に一つの部分集合に含まれ、元の間の等式はその部分集合の中で確かめることができる。フィルター余極限は、包含写像による和集合を一般の集合の図式へ広げる構成であり、有限個の元と、それらの間の有限個の等式を、添字圏の一つの対象で実現することができる。そのため、集合のフィルター余極限は有限極限と交換し、点の開近傍から茎を作る操作も有限極限を保つ。本記事では、フィルター余極限の元による記述を通じて、有限極限との交換が成り立つ理由と極限の添字圏の有限性の役割を明らかにする。

1 フィルター圏

定義 1.1 (フィルター圏).VV-小圏J\mathcal Jが フィルター圏 (filtered category) であるとは、次の条件を満たすことをいう。

  1. J\mathcal Jは少なくとも一つの対象をもつ。
  2. 任意の二対象i,ji,jに対し、ある対象kkと射i→ki\to k、j→kj\to kが存在する。
  3. 任意の平行二射u,v:i→ju,v:i\to jに対し、w∘u=w∘vw\circ u=w\circ vを満たす射w:j→kw:j\to kが存在する。

フィルター圏を添字とする余極限を フィルター余極限 (filtered colimit) という。この三条件は、加群の図式に用いるフィルター圏の三条件とも一致する。

補題 1.2.VV-小圏J\mathcal Jがフィルター圏であるための必要十分条件は、対象と射がともに有限個の圏K\mathcal Kからの任意の関手E:K→JE:\mathcal K\to\mathcal Jが余錐をもつことである。

証明.J\mathcal Jをフィルター圏とし、有限図式EEを取る。二対象の共通の行き先を繰り返し取ると、対象mmと射rk:E(k)→mr_k:E(k)\to mを得る。K\mathcal Kが空なら非空性によってmmだけを取る。各射a:k→la:k\to lについてrkr_kとrl∘E(a)r_l\circ E(a)は平行射である。この二射を等しくする射w:m→m′w:m\to m'を取り、すべてのrkr_kをw∘rkw\circ r_kに置き換える。既に成り立つ等式は後合成で保たれる。射は有限個なので、この操作をすべての射について行えば余錐を得る。

逆に、空圏からの図式への余錐はJ\mathcal Jの対象を与える。二点の離散圏からの図式への余錐は共通の行き先を与える。平行二射の圏からの図式への余錐は、その二射を等しくする射を与える。▨

命題 1.3.

  1. 空でないVV-小な半順序集合IIで任意の二元が共通の上界をもつなら、i≤ji\le jに射を一つ置く圏はフィルター圏である。平行射は常に等しいので定義 1.1 条件 (c)も成り立つ。位相空間X∈VX\in Vの点xxの開近傍の全体NxN_xを包含の逆で順序づけると、XXが対象で、二近傍U,U′U,U'の共通の行き先はU∩U′U\cap U'である。NxN_xはフィルター圏である。また、NxN_xはP(X)\mathcal P(X)の部分集合なのでVV-小である。
  2. 終対象ttをもつVV-小圏はフィルター圏である。任意の二対象をttへ送り、平行二射にはその終域からttへの射を後合成すればよい。その上の図式DDの余極限は§E9.6 命題 1.6によりD(t)D(t)である。
  3. 離散二点の圏とa←b→ca\leftarrow b\to cの形の圏では、離散二点の圏の二対象と、a←b→ca\leftarrow b\to cの形の圏のa,ca,cに共通の行き先がない。平行二射だけの圏では、二射の終域から出る射が恒等射しかないため、その二射を等しくすることができない。

2 集合の余極限の元表示

命題 2.1.J\mathcal Jをフィルター圏、D:J→SetD:\mathcal J\to\mathbf{Set}を図式、(C,(qi))(C,(q_i))を余極限とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 任意のz∈Cz\in Cは、ある対象iiとx∈D(i)x\in D(i)によってz=qi(x)z=q_i(x)と表される。有限個の元は、同じ一つの対象で同時に表すことができる。
  2. x∈D(i)x\in D(i)、y∈D(j)y\in D(j)に対し、qi(x)=qj(y)q_i(x)=q_j(y)であるための必要十分条件は、あるu:i→ku:i\to k、v:j→kv:j\to kに対してD(u)(x)=D(v)(y)D(u)(x)=D(v)(y)となることである。
  3. x,y∈D(i)x,y\in D(i)に対し、qi(x)=qi(y)q_i(x)=q_i(y)であるための必要十分条件は、あるw:i→kw:i\to kに対してD(w)(x)=D(w)(y)D(w)(x)=D(w)(y)となることである。

証明.主張 (2)を示す。§E9.6 命題 5.5の具体的な余極限を取る。直和の元(i,x),(j,y)(i,x),(j,y)の間に、主張 (2)の右辺で関係EEを定める。恒等射により反射律を得る。射の組u,vu,vを交換すれば対称律を得る。

推移律のため、D(u)(x)=D(v)(y)D(u)(x)=D(v)(y)を満たすu:i→k,v:j→ku:i\to k,v:j\to kと、D(u′)(y)=D(v′)(z)D(u')(y)=D(v')(z)を満たすu′:j→k′,v′:l→k′u':j\to k',v':l\to k'を取る。共通の行き先a:k→m,b:k′→ma:k\to m,b:k'\to mを取り、平行射a∘v,b∘u′a\circ v,b\circ u'をc:m→nc:m\to nによって等しくする。このときD(c∘a∘u)(x)=D(c∘a∘v)(y)=D(c∘b∘u′)(y)=D(c∘b∘v′)(z)D(c\circ a\circ u)(x)=D(c\circ a\circ v)(y)=D(c\circ b\circ u')(y)=D(c\circ b\circ v')(z)なので(i,x)E(l,z)(i,x)E(l,z)である。

関係EEは、余極限の生成関係(i,x)∼(j,D(r)(x))(i,x)\sim(j,D(r)(x))を、射rrとidj\mathrm{id}_jによって含む。逆にEEを与える射u,vu,vがあれば、両元は生成同値関係のもとで同じ元(k,D(u)(x))=(k,D(v)(y))(k,D(u)(x))=(k,D(v)(y))と同値になる。したがってEEは生成同値関係に一致し、任意の余極限についても§E9.5 命題 2.3 (2)の構造射を保つ同型により同じ等号判定が成り立つ。

主張 (1)を示す。各類には代表元があるので元表示の主張が従う。有限個の代表元の添字は補題 1.2の有限離散図式により一つの対象へ送ることができる。

主張 (3)を示す。主張 (2)により射u,v:i→ku,v:i\to kを取り、r:k→lr:k\to lによりr∘u=r∘vr\circ u=r\circ vとする。w=r∘uw=r\circ uが求める射である。逆向きは余錐の等式による。▨

例 2.2.

  1. VV-小な有向半順序集合II上の部分集合族(Li⊆M)i(L_i\subseteq M)_iがi≤j⇒Li⊆Lji\le j\Rightarrow L_i\subseteq L_jを満たすとする。包含を遷移写像とする図式の余極限は⋃iLi\bigcup_iL_iである。余極限から和集合への標準写像は元表示により全射であり、共通の行き先での等号はMMでの等号そのものなので単射でもある。
  2. 素数ppを固定し、N≥1\NN上で各値をZ\Z、i≤ji\le jの遷移写像をpj−ip^{j-i}倍とする。余極限では、qi(x)=qj(y)q_i(x)=q_j(y)であるための必要十分条件は、あるk≥i,jk\ge i,jでpk−ix=pk−jyp^{k-i}x=p^{k-j}yとなることである。qi(x)↦x/piq_i(x)\mapsto x/p^iはZ[1/p]={x/pi:x∈Z,i∈N≥1}\Z[1/p]=\{x/p^i:x\in\Z,i\in\NN\}への全単射を与える。実際、写像x↦x/pix\mapsto x/p^i（i∈N≥1i\in\NN）は余錐をなし、分母を共通のppの冪にそろえると単射性を得る。全射性は表示から従う。

3 有限極限との交換

命題 3.1.J,K\mathcal J,\mathcal KをVV-小圏、D:J→[K,Set]D:\mathcal J\to[\mathcal K,\mathbf{Set}]を関手とし、Dj=D(j)D_j=D(j)と書く。集合の極限と余極限をそれぞれ両立する族の集合と直和の商による具体形に取る。このとき、射影と入射の合成lim⁡KDj⟶Dj(k)⟶colim⁡JDj(k)\lim_{\mathcal K}D_j\longrightarrow D_j(k)\longrightarrow\operatorname{colim}_{\mathcal J}D_j(k)から、DDに自然な 標準比較写像 (canonical comparison map)θD:colim⁡j∈Jlim⁡KDj⟶lim⁡k∈Kcolim⁡j∈JDj(k)\theta_D:\operatorname{colim}_{j\in\mathcal J}\lim_{\mathcal K}D_j\longrightarrow\lim_{k\in\mathcal K}\operatorname{colim}_{j\in\mathcal J}D_j(k)が定まる。他の極限と余極限を選んで同じ形で定めた写像は、構造射と両立する標準同型によってこの写像に移る。

証明. 具体形で極限と余極限を選ぶので、§E9.11 命題 3.3により上の式の両辺は関手として構成される。固定したkkについて上の合成はjjに関する余錐であり、余極限からcolim⁡jDj(k)\operatorname{colim}_jD_j(k)への射を一意に定める。K\mathcal Kの射との両立は、各jjからの入射と合成して比較すれば図式の自然性から従う。極限の普遍性がθD\theta_Dを一意に定める。

自然変換D⇒D′D\Rightarrow D'について両辺の誘導射とθ\thetaの合成を比較すると、各jjの入射と各kkの射影との合成が同じになる。余極限と極限の一意性により合成は等しく、自然性を得る。他の選択との比較にも同じ一意性を適用する。各射は普遍性により一意に定まるので、図式ごとの選択を新たに使わない。▨

定理 3.2.J\mathcal Jをフィルター圏、K\mathcal Kを対象と射がともに有限個の圏とする。このとき、任意のD:J→[K,Set]D:\mathcal J\to[\mathcal K,\mathbf{Set}]に対してθD\theta_Dは全単射である。したがって集合のフィルター余極限は有限積（空積を含む）、等化子および引き戻しと交換する。

証明. 全射性のため、右辺の元z=(zk)kz=(z_k)_kを取る。各zkz_kの代表を選び、有限個の添字を共通のjjへ送ると、zk=qjk(xk)z_k=q_j^k(x_k)、xk∈Dj(k)x_k\in D_j(k)と表すことができる。a:k→la:k\to lごとに、Dj(a)(xk)D_j(a)(x_k)とxlx_lは同じ余極限の元を表す。命題 2.1 (3)により、あるwa:j→jaw_a:j\to j_aについて、両元をD(wa)D(w_a)で移すと等しくなる。

一つの始点と、aaごとの別々の終点をもち、始点から各終点への一射だけを恒等射以外の射としてもつ有限圏を用いる。その図式j,ja,waj,j_a,w_aに補題 1.2を適用する。得られた余錐をh:j→mh:j\to m、ha:ja→mh_a:j_a\to mとするとha∘wa=hh_a\circ w_a=hである。自然性からyk=D(h)k(xk)y_k=D(h)_k(x_k)はDm(a)(yk)=ylD_m(a)(y_k)=y_lを満たす。したがって(yk)k∈lim⁡Dm(y_k)_k\in\lim D_mであり、その余極限での類はzzの原像になる。

単射性のため、x∈lim⁡Djx\in\lim D_j、x′∈lim⁡Dj′x'\in\lim D_{j'}の類が同じ像をもつとする。各kkに対し命題 2.1 (2)によってak:j→mka_k:j\to m_k、bk:j′→mkb_k:j'\to m_kを取り、D(ak)k(xk)=D(bk)k(xk′)D(a_k)_k(x_k)=D(b_k)_k(x'_k)とする。二つの別々の始点と、kkごとの別々の終点をもち、始点から終点への射だけを恒等射以外の射としてもつ有限圏を用いる。その図式j,j′,mk,ak,bkj,j',m_k,a_k,b_kに補題 1.2を適用すると、h:j→m,h′:j′→m,ck:mk→mh:j\to m,h':j'\to m,c_k:m_k\to mでck∘ak=h,ck∘bk=h′c_k\circ a_k=h,c_k\circ b_k=h'を満たすものを得る。h,h′h,h'で移した極限の元はすべての成分で等しいので等しい。したがってx,x′x,x'の余極限での類も等しい。

K\mathcal Kが空なら、各極限は空の族からなる一点集合である。J\mathcal Jの非空性により左辺には元があり、二対象の共通の行き先に送れば任意の二元は等しい。したがって両辺は一点集合であり、比較写像は全単射である。▨

例 3.3.J=(N≥0,≤)\mathcal J=(\N,\le)、K\mathcal Kを離散圏N≥0\Nとし、Dj(k)={∗}D_j(k)=\{*\}（k≤jk\le j）、Dj(k)=∅D_j(k)=\varnothing（k>jk>j）とする。このとき、遷移写像は一意の写像である。各jjでk>jk>jの成分が空なので∏kDj(k)=∅\prod_kD_j(k)=\varnothingであり、colim⁡j∏kDj(k)=∅\operatorname{colim}_j\prod_kD_j(k)=\varnothingである。一方、各kkの余極限は一点からなり、その唯一の元をckc_kとすると∏kcolim⁡jDj(k)={(ck)k}\prod_k\operatorname{colim}_jD_j(k)=\{(c_k)_k\}である。比較写像は全射でない。両添字圏はVV-小であるが、K\mathcal Kの有限性は成り立たない。

系 3.4.J\mathcal Jをフィルター圏、α:D⇒D′\alpha:D\Rightarrow D'を集合値図式の自然変換とする。このとき、各αj\alpha_jが単射なら、colim⁡α\operatorname{colim}\alphaも単射である。

証明. 各jjでDj×Dj′DjD_j\times_{D'_j}D_jを取る。αj\alpha_jの単射性により対角Dj→Dj×Dj′DjD_j\to D_j\times_{D'_j}D_jは全単射である。定理 3.2の pullback との交換を用いると、余極限の対角colim⁡D⟶colim⁡D×colim⁡D′colim⁡D\operatorname{colim}D\longrightarrow\operatorname{colim}D\times_{\operatorname{colim}D'}\operatorname{colim}Dも全単射になる。§E9.8 命題 4.2と§E9.8 命題 3.1によりcolim⁡α\operatorname{colim}\alphaは単射である。▨

4 茎

命題 4.1.X∈TopX\in\mathbf{Top}、x∈Xx\in Xとし、NxN_xを開近傍の逆包含による圏とする。集合値前層P:O(X)op→SetP:\mathcal O(X)^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 組(U,s)(U,s)（U∈Nx,s∈P(U)U\in N_x,s\in P(U)）の全体を、二つの組(U,s),(U′,s′)(U,s),(U',s')について、あるW∈NxW\in N_xがW⊆U∩U′W\subseteq U\cap U'、s∣W=s′∣Ws|_W=s'|_Wを満たすという関係で割った集合PxP_xはP∣NxP|_{N_x}の余極限である。この集合をPPのxxにおける 茎 (stalk)、(U,s)(U,s)の類を 芽 (germ) と呼ぶ。
  2. 前層の射α:P⇒Q\alpha:P\Rightarrow Qに写像Px→QxP_x\to Q_x、[U,s]↦[U,αU(s)][U,s]\mapsto[U,\alpha_U(s)]を対応させると茎の関手が定まり、この関手は有限極限を保つ。

証明.主張 (1)を示す。NxN_xは命題 1.3 (1)によりフィルター圏である。命題 2.1 (2)の共通の行き先での等号は、ここではW⊆U∩U′W\subseteq U\cap U'上の制限の一致である。したがってPxP_xを定める関係は同値関係であり、芽の商は集合の余極限そのものである。

主張 (2)を示す。前層の射の自然性によって局所一致は像の局所一致に移り、芽への対応は定まる。恒等射と合成は同じ代表元上で保存される。

有限図式G:K→[O(X)op,Set]G:\mathcal K\to[\mathcal O(X)^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]の極限は§E9.9 定理 2.6によって各開集合で計算される。D(U)(k)=G(k)(U)D(U)(k)=G(k)(U)に定理 3.2を適用すると、(lim⁡kG(k))x→lim⁡kG(k)x\left(\lim_kG(k)\right)_x\to\lim_kG(k)_xは全単射である。▨

5 加群のフィルター余極限

命題 5.1.RRを単位的結合環、J\mathcal Jをフィルター圏、D:J→R-ModD:\mathcal J\to R\text{-}\mathbf{Mod}を図式とする。このとき、忘却関手U:R-Mod→SetU:R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Set}に対する標準写像colim⁡J(UD)⟶U(colim⁡JD)\operatorname{colim}_{\mathcal J}(UD)\longrightarrow U(\operatorname{colim}_{\mathcal J}D)は全単射である。また、加群のフィルター余極限は短完全列を保つ。

証明. 加群の余極限の構造射を忘却すると集合の余錐になり、集合の余極限から表示の標準写像が定まる。§E6.9 定理 8.4 (1)により右辺の各元は一段階の元で表されるため全射である。§E6.9 定理 8.4 (2)の等号判定は命題 2.1 (2)と一致するため単射である。短完全列の保存は§E6.9 定理 9.1による。▨

例 5.2. 平行二射d0,d1:a⇉bd_0,d_1:a\rightrightarrows bの圏上で、アーベル群の図式D=(0⇉Z)D=(0\rightrightarrows\Z)とD′=(Z⇉Z;0,id)D'=(\Z\rightrightarrows\Z;0,\mathrm{id})を取る。このとき、aa成分が0→Z0\to\Z、bb成分がidZ\mathrm{id}_{\Z}の自然変換α:D⇒D′\alpha:D\Rightarrow D'は各成分で単射である。DDの余錐はZ\Zからの任意の準同型で決まるためcolim⁡D=Z\operatorname{colim}D=\Zである。D′D'の余錐はt∘0=tt\circ0=tを満たす準同型で決まるためt=0t=0であり、colim⁡D′=0\operatorname{colim}D'=0である。したがって誘導射Z→0\Z\to0は単射でない。この添字圏はフィルター圏ではない。

6 sifted な余極限

定義 6.1 (sifted 圏).VV-小圏J\mathcal Jが sifted (sifted) であるとは、任意の有限集合IIと集合値図式の族(Di:J→Set)i∈I(D_i:\mathcal J\to\mathbf{Set})_{i\in I}について、標準写像colim⁡J∏i∈IDi⟶∏i∈Icolim⁡JDi\operatorname{colim}_{\mathcal J}\prod_{i\in I}D_i\longrightarrow\prod_{i\in I}\operatorname{colim}_{\mathcal J}D_iが全単射であることをいう。左辺の積は各点で取る。空のIIでは、定値一点図式の余極限から一点集合への写像を考える。sifted 圏を添字とする余極限を sifted な余極限という。

命題 6.2. フィルター圏は sifted である。

証明. 証明は問題 7.1 (1)の演習とする。▨

命題 6.3. 圏R\mathcal Rを、対象a,ba,bとHom⁡(a,b)={d0,d1},Hom⁡(b,a)={s},Hom⁡(a,a)={ida,sd0,sd1},Hom⁡(b,b)={idb}\operatorname{Hom}(a,b)=\{d_0,d_1\},\quad\operatorname{Hom}(b,a)=\{s\},\quad\operatorname{Hom}(a,a)=\{\mathrm{id}_a,sd_0,sd_1\},\quad\operatorname{Hom}(b,b)=\{\mathrm{id}_b\}によって定め、合成をd0s=d1s=idbd_0s=d_1s=\mathrm{id}_bから定める。このとき、R\mathcal Rは sifted であるがフィルター圏ではない。

証明. 証明は問題 7.1 (2)の演習とする。▨

例 6.4. 平行二射だけの圏は sifted ではない。図式D=({∗}⇉{0,1};∗↦0,∗↦1)D=(\{*\}\rightrightarrows\{0,1\};*\mapsto0,*\mapsto1)の余極限は一点であるが、D×DD\times Dの余極限は(0,0)∼(1,1)(0,0)\sim(1,1)とする商なので三点である。一方、定値一点図式の余極限は一点である。比較写像の計算は問題 7.1 (3)の演習とする。

7 演習

問題 7.1.

  1. 命題 6.2を証明せよ。
  2. 命題 6.3を証明せよ。
  3. 例 6.4の比較写像と空積の場合を計算せよ。
解答.

  1. 定理 3.2を有限離散圏に適用する。空圏も定理の仮定に含まれるため空積も保たれる。

  2. 命題 6.3の圏R\mathcal Rは、経路圏を関係d0s=d1s=idbd_0s=d_1s=\mathrm{id}_bで割って得られる。長い経路では現れるdisd_i sを除けば、列挙された射に帰着し、これらは区別される。例えばb={0,1}b=\{0,1\}、a=b×ba=b\times b、d0,d1d_0,d_1を二射影、ssを対角とする表現は列挙された異なる平行射を区別する。したがって合成は結合的で、圏R\mathcal Rが得られる。

    図式D=(A⇉B;f0,f1,σ)D=(A\rightrightarrows B;f_0,f_1,\sigma)はf0σ=f1σ=idBf_0\sigma=f_1\sigma=\mathrm{id}_Bを満たす。その余錐はt:B→Yt:B\to Y、tf0=tf1tf_0=tf_1によって一意に決まるため、余極限はB/∼B/{\sim}、f0(x)∼f1(x)f_0(x)\sim f_1(x)が生成する商である。別の図式D′=(A′⇉B′;f0′,f1′,σ′)D'=(A'\rightrightarrows B';f'_0,f'_1,\sigma')を取り、積図式の商をQQとする。y′∈B′y'\in B'とx∈Ax\in Aに対し、(x,σ′(y′))(x,\sigma'(y'))の二つの像は(f0(x),y′)(f_0(x),y')と(f1(x),y′)(f_1(x),y')なので、B×B′→QB\times B'\to Qは第一成分の生成関係上で一定である。第二成分もσ\sigmaを用いて同じことが成り立つ。生成同値関係の最小性と商への降下により(B/∼)×(B′/∼′)→Q(B/{\sim})\times(B'/{\sim'})\to Qが定まり、標準比較写像の逆になる。両合成はB×B′B\times B'の像で恒等写像であり、その像は全体だからである。帰納法で任意の非空有限積を得る。空積では定値一点図式の二対象の元がd0d_0の関係で同一視されるので余極限は一点である。よってR\mathcal Rは sifted である。

    しかしbbから出る射はidb,s\mathrm{id}_b,sだけであり、d0≠d1d_0\ne d_1、sd0≠sd1sd_0\ne sd_1なので、どちらもd0,d1d_0,d_1を等しくしない。フィルター圏の第三条件は成り立たない。

  3. DDの商では0∼10\sim1であり、類は一つである。積図式の商の三つの類は{(0,0),(1,1)}\{(0,0),(1,1)\}、{(0,1)}\{(0,1)\}、{(1,0)}\{(1,0)\}であり、比較写像は三点から一点への写像なので単射でない。定値一点図式では二対象の唯一の元が同一視され、空積との比較は全単射である。

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問題 7.2.

  1. 終対象ttをもつVV-小圏がフィルター圏であり、図式DDの余極限がD(t)D(t)となることを確かめよ。
解答.
  1. ttが非空性と共通の行き先を与える。平行二射に終域からttへの一意な射を後合成すれば、合成はともに始域からttへの唯一の射になる。余極限については§E9.6 命題 1.6を適用する。

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問題 7.3.

  1. 例 2.2 (2)の図式をアーベル群の図式とみなし、例 2.2 (2)の全単射が加法群の同型を与えることを示せ。
解答.
  1. 各x↦x/pix\mapsto x/p^iは加法準同型で、pp倍の遷移と両立する。加群の余極限の普遍性はcolim⁡Z→Z[1/p]\operatorname{colim}\Z\to\Z[1/p]という準同型を与える。その台写像は命題 5.1によって集合の標準比較を通じ、例 2.2 (2)の全単射に一致する。したがってこの準同型は同型である。

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