§E9.14随伴の例

証明.§E9.10 命題 3.2 (1)を普遍射の族へ適用する。逆に§E9.10 補題 2.2により unit の各成分は普遍射である。$L$の射の対応は unit の自然性を満たすため、普遍射の族から定まる一意な対応に一致する。$\mathcal C$が$V$-小なら各点の存在から§E9.10 命題 3.4 (2)によって族を得る。一般には族をデータとして与える。▨

証明.主張 (1)を示す。$J$は充満忠実なので、§E9.10 命題 2.5 (2)により$\varepsilon$は自然同型である。

主張 (2)を示す。極限の各射影を$\eta_M$の普遍性により$\pi_i=J(f_i)\circ\eta_M$と分解する。図式の各射$u:i\to j$について$D(u)\circ f_i$と$f_j$に$\eta_M$を前合成すると同じ射になるため、普遍射の一意性から$(f_i)_i$は錐である。極限の普遍性によって$\pi_i\circ s=J(f_i)$を満たす$s:JLM\to M$を得る。$\pi_i\circ s\circ\eta_M=\pi_i$なので$s\circ\eta_M=\mathrm{id}_M$である。$\eta_M\circ s$と$\mathrm{id}_{JLM}$は$J$の充満性により$\mathcal S$の射の像であり、$\eta_M$との合成が等しい。普遍射の一意性から$\eta_M\circ s=\mathrm{id}_{JLM}$である。したがって$\eta_M$は同型であり、$JLM$の錐は極限となる。$\mathcal S$の錐の$J$による像からの媒介射は、$J$の充満忠実性により$\mathcal S$の一意な射の像である。同型について閉じる仮定があれば$M\cong JLM$から$M\in\mathcal S$となる。

主張 (3)を示す。§E9.11 定理 4.1 (2)を適用する。$LQ$は$LJD$の余極限であり、自然同型$\varepsilon D:LJD\Rightarrow D$に沿って余錐を移すと、表示の入射を得る。▨

証明.§E6.2 命題 6.3と§E6.2 命題 6.5の普遍性による。▨

証明.§E6.3 補題 4.5により、具体的な族$(R^{(X)},x\mapsto\delta_x)_X$は忘却関手への普遍射の族である。§E9.10 命題 3.2 (1)が与える関手の射は、表示の等式で一意に定まる。▨

証明. 前命題で用いた普遍射の族に§E9.10 命題 3.2 (1)を適用する。counit は$U(M)$の恒等写像の一意な線形延長なので、表示の有限和である。▨

証明.命題 2.3で$R=k$とする。▨

証明. 極限の保存は命題 2.3と§E9.11 定理 4.1による。直和への二入射は両側の零元を同じ零元へ送る。このため、二つの台集合から$\{0,1\}$への定値写像$0,1$は直和の台集合へ同時に延長することができず、集合の余積の普遍性は成り立たない。▨

証明.§E3.13 定理 3.6は、次数一への標準写像が$W$から$U$への普遍射であることを述べる。構成された族に§E9.10 命題 3.2 (1)を適用すると関手と随伴を得る。counit は$U(A)$の恒等線形写像を延長するので、標準元$a$を$a\in A$へ送る評価である。$W=0$では$\operatorname{Sym}(0)=k$であり、零写像$0\to U(A)$は唯一の構造準同型$k\to A$に対応する。▨

証明. 二点の離散圏$\mathcal I$での評価$D\mapsto(D(1),D(2))$は、組から離散図式を作る逆関手を伴う圏同型を与える。この同一視のもとで§E9.11 命題 3.3 (1)は$\Delta\dashv P$となる。対応は二つの射影との合成であり、恒等射の対応から unit と counit の表示を得る。▨

証明. 同じ二点での評価の圏同型のもとで§E9.11 命題 3.3 (2)を適用し、恒等射を対応させる。▨

証明. 任意の$(A,B)$から$(T,T)$への射は成分ごとに一意なので、$(T,T)$は直積圏の終対象である。右随伴$P$に§E9.11 定理 4.1を空図式について適用する。▨

証明. 離散空間を始域とする写像と密着空間を終域とする写像は連続である。恒等写像と合成は台写像のままなので保存される。▨

証明. 任意の写像$S\to U(X)$は$D(S)\to X$として連続である。台写像を取る対応と同じ写像を連続写像として読む対応は互いに逆で、合成と可換なので自然である。恒等写像から unit と counit を得る。▨

証明. 任意の写像$U(X)\to S$は$X\to I(S)$として連続である。台写像による全単射は合成と可換であり、恒等写像の対応は主張の形になる。▨

証明. 二つの随伴に§E9.11 定理 4.1を適用する。▨

証明.§E6.3 命題 5.3によって$I_A$を取る。商ではすべての交換子が零なので可換である。可換代数$B$への準同型$f:A\to B$の核はすべての交換子を含み、したがって$I_A$を含む。§E6.2 命題 10.2により$\bar f\circ q_A=f$を満たす環準同型がただ一つ存在する。$q_A$が全射で$f$が$k$-線形なので、$\bar f$も$k$-線形である。よって商写像の族は普遍射の族であり、§E9.10 命題 3.2 (1)により随伴を得る。可換代数は充満部分圏なので反射となり、counit の同型性は命題 1.3 (1)による。$B$が可換なら$I_B=0$なので表示の具体形を得る。中心は一般には両側イデアルではなく、この商は中心による商ではない。▨

証明. 完備化の構成は§E2.6 定理 2.6による。$1$-Lipschitz 写像$g:X\to Y$は一様連続なので、完備な$Y$に対して§E2.6 定理 3.2の一意な延長$\bar g:\widehat X\to Y$を取る。$\xi,\xi'\in\widehat X$に収束する$X$の列$x_n,x'_n$を取れば$d(\bar g(\xi),\bar g(\xi'))=\lim_n d(g(x_n),g(x'_n))\le\lim_n d(x_n,x'_n)=\widehat d(\xi,\xi')$であり、延長も$1$-Lipschitz である。したがって$\iota_X$はこの圏における普遍射であり、族に§E9.10 命題 3.2 (1)を適用する。誘導射は§E2.6 系 3.3の射と一意性によって一致する。counit は恒等写像の延長なので列の極限を取る写像であり、命題 1.3 (1)により同型である。▨

証明.$R>0$なので$d_R(x,x')=0$は$x=x'$を意味する。対称律は$d$から従い、三角不等式は$\min\{a+b,R\}\le\min\{a,R\}+\min\{b,R\}$と$d$の三角不等式から従う。$1$-Lipschitz 写像$f$に対しては$\min\{d(fx,fx'),R\}\le\min\{d(x,x'),R\}$なので関手が定まる。

直径$R$以下の$Y$への$1$-Lipschitz 写像$g:X\to Y$は$d_Y(gx,gx')\le d(x,x')$と$d_Y(gx,gx')\le R$を満たし、したがって$T_RX\to Y$としても$1$-Lipschitz である。逆に$T_RX\to Y$の$1$-Lipschitz 写像は、$d_R\le d$により$X\to Y$としても$1$-Lipschitz である。この対応は台写像を変えず自然であり、恒等写像が unit と counit を与える。充満部分圏への反射なので counit は命題 1.3 (1)の同型である。▨

証明. 所属の一致は同値関係である。異なる類の代表点を区別する開集合$O$は同値類の和なので、$q_X^{-1}(q_X(O))=O$であり、$q_X(O)$は商で開である。したがって$X_0$は$T_0$である。

$T_0$空間$Y$への連続写像$f:X\to Y$は同値な二点を同一点へ送る。像が異なれば、$Y$の開集合で二点の像を区別することができ、その開集合の逆像が元の二点を区別するので、同値性に反するからである。§E2.12 定理 8.10により$f$は$X_0$からの一意な連続写像へ降下する。商写像の族は普遍射の族なので§E9.10 命題 3.2 (1)により関手と随伴を得る。counit の同型性は命題 1.3 (1)による。▨

証明.§E6.12 定理 15.1により、この作用を備えた右加群の間の自然な Hom 全単射を得る。$\Phi$と$\Phi^{-1}$を恒等写像に適用すると unit と counit の式を得る。▨

証明.命題 6.1に§E9.11 定理 4.1を適用し、命題 2.1の直積と余積を用いる。得られる同型は射影または入射と両立する一意な同型である。▨

証明.$\Hom_Q(l(p),q)$と$\Hom_P(p,r(q))$は、それぞれ対応する不等式が成り立つ場合に一元集合、成り立たない場合に空集合である。二つの不等式の真偽が一致すれば、両方の Hom が一元集合である場合にも、両方が空集合である場合にも、一意な全単射が存在する。真偽が異なれば、一方だけが空集合となるので全単射は存在しない。したがって、各$p,q$について全単射が存在するための必要十分条件は、$l(p)\le q$と$p\le r(q)$の真偽が一致することである。射は高々一つなので、対応の自然性は自動的に成り立つ。恒等射に対応する不等式が unit と counit である。▨

証明.§E2.11 命題 2.5の最小閉集合性と最大開集合性により、閉集合$F$、開集合$O$、部分集合$A$に対して$\overline A\subseteq F\iff A\subseteq F,\qquad O\subseteq A\iff O\subseteq\tpint{A}$である。命題 7.2を適用する。第一の unit は$A\subseteq\overline A$、第二の counit は$\tpint{A}\subseteq A$であり、残りは閉集合の閉包と開集合の内部が元の集合に等しいことを表す。▨

証明. 各写像は包含を保つ。$f(A)\subseteq B$は、すべての$x\in A$について$f(x)\in B$となることであり、$A\subseteq f^{-1}(B)$と同値である。また$f^{-1}(B)\subseteq A$は、すべての$y\in B$のファイバーが$A$に含まれることであり、$B\subseteq\forall_f(A)$と同値である。小像の補集合表示は問題 8.5 (2)の演習とする。命題 7.2から二つの随伴を得る。unit と counit は$A\subseteq f^{-1}f(A),\quad f(f^{-1}B)\subseteq B,\quad B\subseteq\forall_f(f^{-1}B),\quad f^{-1}(\forall_f A)\subseteq A$である。和集合と共通部分はそれぞれ余積と直積なので、保存性は§E9.11 定理 4.1から従う。▨