右随伴と極限 | 圏論 I

1 錐の全体

定義 1.1 (錐と余錐の全体). $\mathcal J$ を $V$ -小圏、 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を図式とする。

対象 $X\in\mathcal C$ に対し、任意の $u:i\to j$ について $D(u)\circ\psi_i=\psi_j$ を満たす射の族 $(\psi_j:X\to D(j))_j$ の全体を錐の全体 (collection of cones) といい、 $\operatorname{Cone}(X,D)$ と書く。
対象 $Y\in\mathcal C$ に対し、任意の $u:i\to j$ について $\varphi_j\circ D(u)=\varphi_i$ を満たす射の族 $(\varphi_j:D(j)\to Y)_j$ の全体を余錐の全体 (collection of cocones) といい、 $\operatorname{Cocone}(D,Y)$ と書く。

命題 1.2. $\mathcal C$ を局所 $V$ -小圏、 $\mathcal J$ を $V$ -小圏、 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を図式とする。このとき、次が成り立つ。

$\operatorname{Cone}(X,D)$ は $V$ の元であり、成分を取る写像を射影として、図式 $j\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,D(j))$ の $\mathbf{Set}$ における極限である。
$\operatorname{Cocone}(D,Y)$ は $V$ の元であり、成分を取る写像を射影として、 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ 上の図式 $j\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(D(j),Y)$ の $\mathbf{Set}$ における極限である。

証明.主張 (1)を示す。 $\operatorname{Cone}(X,D)$ は $V$ の元である直積 $\prod_j\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,D(j))$ の部分集合なので $V$ に属する。その定義条件は§E9.6 命題 5.4の両立する族の条件に一致する。

主張 (2)を示す。余錐については反対圏の図式 $D^{\mathrm{op}}$ にこの結論を適用する。▨

命題 1.3. 局所 $V$ -小圏 $\mathcal C$ の $V$ -小な図式 $D$ について次が成り立つ。

$x:X'\to X$ を $(\psi_j)_j\mapsto(\psi_j\circ x)_j$ に送る対応は、関手 $\operatorname{Cone}(-,D):\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ を定める。
$y:Y\to Y'$ を $(\varphi_j)_j\mapsto(y\circ\varphi_j)_j$ に送る対応は、関手 $\operatorname{Cocone}(D,-):\mathcal C\to\mathbf{Set}$ を定める。

証明.主張 (1)を示す。 $D(u)\circ\psi_i=\psi_j$ に $x$ を前合成すれば錐の条件が保たれる。合成の結合律と恒等射の法則により、前合成は恒等射と合成を保つ。

主張 (2)を示す。後合成についても $y\circ\varphi_j\circ D(u)=y\circ\varphi_i$ と同じ二つの法則から結論を得る。▨

2 hom と極限の交換

命題 2.1. $\mathcal J$ を $V$ -小圏、 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を図式とする。このとき、次が成り立つ。

錐 $(L,(\pi_j))$ に対する対応 $\Lambda_X:t\mapsto(\pi_j\circ t)_j$ は $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,L)\to\operatorname{Cone}(X,D)$ を定め、 $x:X'\to X$ に対して $\Lambda_{X'}(t\circ x)=\Lambda_X(t)\circ x$ を満たす。この錐が極限であることは、すべての $X$ で $\Lambda_X$ が全単射であるための必要十分条件である。 $\mathcal C$ が局所 $V$ -小なら $\Lambda$ は自然変換であり、極限錐について $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,L)\cong\lim_{j\in\mathcal J}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,D(j))$ は $X$ に自然な全単射である。
余錐 $(Q,(\iota_j))$ に対する対応 $\Lambda'_Y:t\mapsto(t\circ\iota_j)_j$ は $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Q,Y)\to\operatorname{Cocone}(D,Y)$ を定め、 $y:Y\to Y'$ に対して $\Lambda'_{Y'}(y\circ t)=y\circ\Lambda'_Y(t)$ を満たす。この余錐が余極限であることは、すべての $Y$ で $\Lambda'_Y$ が全単射であるための必要十分条件である。 $\mathcal C$ が局所 $V$ -小なら $\Lambda'$ は自然変換であり、余極限余錐について $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Q,Y)\cong\lim_{j\in\mathcal J^{\mathrm{op}}}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(D(j),Y)$ は $Y$ に自然な全単射である。

証明.主張 (1)を示す。 $D(u)\circ\pi_i=\pi_j$ に $t$ を前合成すれば $\Lambda_X(t)$ は錐になる。結合律により $x$ に関する等式が成り立つ。各錐の逆像がただ一つあるという条件は、極限の普遍性そのものである。局所 $V$ -小性を仮定すれば Hom と錐の全体は集合値関手になり、命題 1.2によって主張の $X$ に自然な全単射を得る。

主張 (2)を示す。余錐の主張は、この結果を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ と $D^{\mathrm{op}}$ に適用して得られる。▨

3 定値図式と極限の随伴

定義 3.1 (定値図式). $\mathcal J$ を $V$ -小圏とする。

$X\in\mathcal C$ に対し、すべての対象を $X$ へ、すべての射を $\mathrm{id}_X$ へ送る図式を定値図式 (constant diagram) といい、 $\Delta_{\mathcal J}X$ と書く。
対象を $X\mapsto\Delta_{\mathcal J}X$ 、射を $t\mapsto(t)_{j\in\mathcal J}$ と送る関手 $\Delta_{\mathcal J}:\mathcal C\to[\mathcal J,\mathcal C]$ を定値図式関手 (constant diagram functor) という。

命題 3.2. $\mathcal J$ を $V$ -小圏とする。このとき、定値図式の対応は関手を定め、任意の $D:\mathcal J\to\mathcal C$ と $X,Y\in\mathcal C$ について成分を変えない対応による全単射

\operatorname{Cone}(X,D)\cong\Hom_{[\mathcal J,\mathcal C]}(\Delta_{\mathcal J}X,D),\qquad \operatorname{Cocone}(D,Y)\cong\Hom_{[\mathcal J,\mathcal C]}(D,\Delta_{\mathcal J}Y)

が成り立つ。

証明. 定値図式の射は恒等射なので、成分がすべて $t$ の族は自然である。自然変換の合成は成分ごとの合成なので、 $\Delta_{\mathcal J}$ は恒等射と合成を保つ。錐の族に始域 $\Delta_{\mathcal J}X$ と終域 $D$ を添えると自然変換になる。自然変換の両端を忘れる操作はその逆である。余錐でも両端を添える操作が全単射を与える。添字圏が空でも、この二つの操作は互いに逆である。▨

命題 3.3. $\mathcal J$ を $V$ -小圏、 $\mathcal C$ を圏とする。このとき、次が成り立つ。

各図式 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ に極限錐 $(\lim D,(\pi^D_j))$ を対応させる選択が与えられたとする。このとき、 $D\mapsto\lim D$ は、自然変換 $\alpha:D\Rightarrow D'$ に対して $\pi^{D'}_j\circ\lim\alpha=\alpha_j\circ\pi^D_j$ が成り立つように関手 $\lim:[\mathcal J,\mathcal C]\to\mathcal C$ に一意に延びる。 $\Delta_{\mathcal J}\dashv\lim$ であり、その counit は極限錐の族 $\pi^D$ である。
各図式 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ に余極限余錐 $(\operatorname{colim}D,(\iota^D_j))$ を対応させる選択が与えられたとする。このとき、 $D\mapsto\operatorname{colim}D$ は、自然変換 $\alpha:D\Rightarrow D'$ に対して $(\operatorname{colim}\alpha)\circ\iota^D_j=\iota^{D'}_j\circ\alpha_j$ が成り立つように関手 $\operatorname{colim}:[\mathcal J,\mathcal C]\to\mathcal C$ に一意に延びる。 $\operatorname{colim}\dashv\Delta_{\mathcal J}$ であり、その unit は余極限余錐の族である。

証明.主張 (1)を示す。命題 3.2と命題 2.1により、極限錐は $\Delta_{\mathcal J}$ から $D$ への普遍射である。選択された極限錐の族に§E9.10 命題 3.2 (2)を適用する。

主張 (2)を示す。余極限余錐は $D$ から $\Delta_{\mathcal J}$ への普遍射なので、§E9.10 命題 3.2 (1)を適用する。射の対応の一意性は、各普遍射の一意な分解から従う。▨

注意 3.4. $\mathcal C$ が $V$ -小なら関手圏 $[\mathcal J,\mathcal C]$ も $V$ -小なので、各図式の極限が存在することから§E9.10 命題 3.4 (2)によって極限の選択を得る。集合と加群では§E9.9 命題 2.5の具体的な構成が選択を与える。一般の大きい圏については、命題 3.3は各図式の極限の存在でなく極限の選択を仮定する。

4 随伴による保存

定理 4.1. $\mathcal J$ を $V$ -小圏とする。このとき、次が成り立つ。

随伴 $F\dashv G$ 、 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ が与えられたとする。図式 $D:\mathcal J\to\mathcal D$ の極限 $(L,(\pi_j))$ に対し、 $(G(L),(G(\pi_j)))$ は $GD$ の極限である。
同じ随伴と図式 $E:\mathcal J\to\mathcal C$ の余極限 $(Q,(\iota_j))$ に対し、 $(F(Q),(F(\iota_j)))$ は $FE$ の余極限である。
関手 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ について、各 $X\in\mathcal C$ から $G$ への普遍射が存在すれば、主張 (1)の極限の保存が成り立つ。双対に、関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ について各 $Y\in\mathcal D$ への $F$ からの普遍射が存在すれば、主張 (2)の余極限の保存が成り立つ。

証明.主張 (3)の極限の主張を示す。 $GD$ への錐 $(\psi_j:X\to GD(j))_j$ を取り、 $X$ から $G$ への一つの普遍射 $u:X\to G(A)$ を取る。各 $\psi_j$ を $\psi_j=G(\bar\psi_j)\circ u$ と一意に分解する。 $v:i\to j$ に対し $G(D(v)\circ\bar\psi_i)\circ u=GD(v)\circ\psi_i=\psi_j$ なので普遍射の一意性から $D(v)\circ\bar\psi_i=\bar\psi_j$ となる。極限の普遍性によって $\pi_j\circ t=\bar\psi_j$ を満たす一意な $t:A\to L$ を得る。射 $G(t)\circ u$ は元の錐を分解する。

別の媒介射 $s:X\to G(L)$ を $s=G(t')\circ u$ と一意に分解する。 $G(\pi_j\circ t')\circ u=\psi_j$ なので $\pi_j\circ t'=\bar\psi_j$ であり、極限の普遍性の媒介射の一意性から $t'=t$ 、したがって $s=G(t)\circ u$ である。普遍射を取ったのは固定した $X$ に対してだけである。

主張 (3)の余極限の主張は、 $F^{\mathrm{op}}$ に極限の主張を適用して得る。

主張 (1)を示す。§E9.10 補題 2.2により随伴の unit は普遍射なので、示した極限の保存が従う。

主張 (2)を示す。反対圏の随伴 $G^{\mathrm{op}}\dashv F^{\mathrm{op}}$ に主張 (1)を適用すると、余極限の保存を得る。

随伴対応を $\Phi$ と書く。錐に媒介射を対応させる写像は、全単射の合成

\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,G(L))\xrightarrow{\Phi^{-1}}\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(X),L) \xrightarrow{\Lambda_{F(X)}}\operatorname{Cone}(F(X),D) \xrightarrow{\Xi_X}\operatorname{Cone}(X,GD)

の逆であり、 $\Xi_X((q_j)_j)=(\Phi_{X,D(j)}(q_j))_j$ である。第二変数の自然性により $\Xi_X$ とその逆は錐を錐へ送る。 $x:X'\to X$ に対して、三つの対応はそれぞれ

\Phi^{-1}_{X',L}(t\circ x)=\Phi^{-1}_{X,L}(t)\circ F(x),

\text{(4.1.1)}

\Lambda_{F(X')}(s\circ F(x))=\Lambda_{F(X)}(s)\circ F(x),

\text{(4.1.2)}

\Xi_{X'}((q_j\circ F(x))_j)=(\Phi_{X,D(j)}(q_j)\circ x)_j

\text{(4.1.3)}

を満たす。式 (4.1.1)と式 (4.1.3)は§E9.10 補題 1.2により成り立ち、式 (4.1.2)は合成の結合律により成り立つ。合成された対応の成分は $G(\pi_j)\circ t$ である。▨

5 例

命題 5.1.

存在する極限を保たない関手は右随伴にはならない。さらに定理 4.1 (3)の対偶により、ある対象からその関手への普遍射が存在しない。余極限を保たない関手についても双対の結論が成り立つ。
存在する極限の保存だけから、各対象からの普遍射の存在は従わない。例えば非空集合の充満部分圏の包含 $G:\mathbf{Set}_{\ne\varnothing}\to\mathbf{Set}$ は存在する極限をすべて保つが、 $\varnothing$ から $G$ への普遍射は存在しない。逆向きの十分条件を与える随伴関手定理では、極限の存在や保存に加え、解集合条件（solution set condition）を課す。

証明.主張 (1)は定理 4.1の対偶である。

主張 (2)を示す。非空集合の圏の図式 $D$ の極限錐 $(L,(\pi_j))$ が与えられたとする。図式 $GD$ の $\mathbf{Set}$ における極限 $M$ は、 $x\in L$ から族 $(\pi_j(x))_j$ を得るので非空である。 $M$ 自身が非空集合の圏の極限にもなるため、極限の一意性による $L\cong M$ は射影と両立する。したがって包含はこの極限を保つ。一方、普遍射 $\varnothing\to A$ が存在すれば、非空な $A$ から $\{0,1\}$ への異なる二つの定値写像が同じ空写像を分解することになり、一意性に反する。▨

命題 5.2. 忘却関手 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ について次が成り立つ。

$U$ は $V$ -小な図式の極限を保つ。二つの群の直積群の台集合と射影は集合の直積である。
$U$ は余積を保たず、左随伴にはならない。したがって、 $U$ からある集合 $Y$ への普遍射は存在しない。

証明.主張 (1)を示す。§E9.10 命題 4.1の随伴に定理 4.1を適用する。二つの群の外部直積は§E9.6 命題 2.12によって成分射影とともに群の圏の直積であり、その忘却像も極限保存によって集合の直積となる。

主張 (2)を示す。 $A=B=\Z/2\Z$ とする。§E7.9 定理 2.5により自由積 $A*B$ と標準入射は群の余積である。 $U(A)$ から $\{0,1\}$ への定値写像 $0$ と、 $U(B)$ からの定値写像 $1$ は、 $U(A*B)$ 上の一つの写像へ延長することができない。二つの入射はそれぞれの単位元を同じ単位元へ送るからである。したがって $U$ はこの余積を保たず、残りは定理 4.1 (2)と定理 4.1 (3)の対偶から従う。▨

6 演習

問題 6.1.

局所 $V$ -小圏の $V$ -小な図式 $D$ について、極限錐と $\operatorname{Cone}(-,D)$ の普遍元が同じものであることを示せ。対象 $L$ と自然同型 $\alpha:h_L\Rightarrow\operatorname{Cone}(-,D)$ が与えられたとき、 $\alpha$ から $L$ を頂点とする極限錐を構成せよ。

解答.

錐 $\pi\in\operatorname{Cone}(L,D)$ が普遍元であるという条件は、任意の錐 $\psi\in\operatorname{Cone}(X,D)$ に対し $\psi=\pi\circ t$ を満たす $t:X\to L$ が一意に存在することであり、極限の普遍性である。したがって極限の存在と関手 $\operatorname{Cone}(-,D)$ の表現可能性は同値である。§E9.7 命題 4.3により、与えられた自然同型から得る普遍元は $\alpha_L(\mathrm{id}_L)$ である。

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問題 6.2.

$V$ -小な集合族 $(A_i)_{i\in I}$ と集合 $Y$ に対し、 $\operatorname{Hom}(\coprod_i A_i,Y)\cong\prod_i\operatorname{Hom}(A_i,Y)$ を具体的に与えよ。

解答.

入射を $\iota_i(a)=(i,a)$ とすると、対応は $f\mapsto(f\circ\iota_i)_i$ であり、逆は $(f_i)_i\mapsto((i,a)\mapsto f_i(a))$ である。これは命題 2.1 (2)を離散図式に適用した対応である。

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問題 6.3.

自由群関手が集合の余積を保つことから $F(X\sqcup Y)\cong F(X)*F(Y)$ を導け。

解答.

自由群関手は§E9.10 命題 4.1の左随伴なので、定理 4.1 (2)により $F(X\sqcup Y)$ と誘導された二つの入射は $F(X),F(Y)$ の余積である。自由積も§E7.9 定理 2.5によって同じ余積なので、§E9.6 命題 2.4から入射と両立する一意な同型を得る。

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問題 6.4.

共変冪集合関手が $A=B=\{0,1\}$ の直積と余積を保たないことを示し、左随伴にも右随伴にもならないことを導け。

解答.

$A\times B$ の部分集合 $A\times B$ と $\{(0,0),(1,1)\}$ は異なるが、両射影による像はどちらも $A,B$ である。したがって $\mathcal P(A\times B)\to\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)$ は単射でなく、直積を保たない。余積の二つの入射に $\mathcal P$ を施すと、両側の空集合が同じ空集合へ送られる。二つの冪集合から $\{0,1\}$ への定値写像 $0,1$ を同時に延長することはできず、余積も保たない。保存定理の対偶から結論を得る。

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問題 6.5.

定理 4.1を空図式に適用し、右随伴が終対象を保ち、左随伴が始対象を保つことを示せ。群の忘却関手が終対象を保ち、始対象を保たないことを確かめよ。
群の始対象を求め、その忘却像から、忘却関手が左随伴でないことを示せ。

解答.

§E9.6 命題 1.4により、右随伴は終対象を、左随伴は始対象を保つ。自明群は終対象で、その台集合は一点集合なので $U$ は終対象を保つ。自明群は始対象でもあるが、その台集合は空集合でないので始対象を保たない。
自明群から任意の群への準同型は単位元を単位元へ送る一つだけなので、自明群は始対象である。その台集合は一点集合であり、空集合への写像がないので集合の始対象ではない。左随伴なら始対象を保つという(1)の結論に反する。

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§E9.11右随伴と極限

1 錐の全体

2 hom と極限の交換

3 定値図式と極限の随伴

4 随伴による保存

5 例

6 演習

参考文献

前提記事