導来関手 | 圏論 I

定理 1.1. $\mathcal A,\mathcal B$ をアーベル圏、 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ を加法関手、 $n\ge0$ とする。このとき、次が成り立つ。

対象 $M$ の入射分解 $I,I'$ と、 $\mathrm{id}_M$ の上の射 $u:I\to I'$ に対し、 $c_{I',I}=H^n(F(u))$ は $u$ によらない同型である。 $c_{I,I}=\mathrm{id}$ であり、三つの分解について $c_{I'',I'}c_{I',I}=c_{I'',I}$ である。
射 $f:M\to N$ と入射分解 $M\to I,N\to J$ に対し、 $f$ の上の射 $\varphi$ が誘導する $H^n(F(\varphi))$ は $\varphi$ によらない。この射は分解の取り替えの同型と可換である。対応 $f\mapsto H^n(F(\varphi))$ は恒等射・合成・射の和を保つ。

コホモロジー対象は各複体についてとり、核と余核の選択が指定されているときはその選択を用いる。

証明.§E9.23 定理 3.1 (2)により比較射が存在し、同じ射の上の二つの比較射は余鎖ホモトピックである。§E9.21 命題 6.3により加法関手はこのホモトピーを保ち、ホモトピックな射はコホモロジーに同じ射を誘導する。したがって誘導射は比較射によらない。恒等射の上の比較射は§E9.23 系 3.2によりホモトピー同値なので、誘導射は同型である。

比較射の合成は元の射の合成の上にあり、比較射の和は元の射の和の上にある。恒等射も自身の上の比較射である。この事実と $F,H^n$ の加法性・関手性から、同型の合成則、射についての関手性・加法性を得る。分解の取り替えの同型と誘導射の合成は、合成の順によらず同じ射 $f$ の上の比較射から誘導されるので、一致する。▨

定義 1.2. $\mathcal A$ を十分な入射対象をもつアーベル圏、 $\mathcal B$ をアーベル圏、 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ を加法関手とする。対象 $M$ の入射分解 $I$ に対し

R^nF(M)=H^n(F(I))\qquad(n\ge0)

とおき、分解の取り替えには定理 1.1 (1)の同型を用いる。射 $f$ の作用は定理 1.1 (2)の射とする。

各対象に入射分解を対応させる規則と、 $\mathcal B$ の核・余核の選択を固定して得る加法関手 $R^nF:\mathcal A\to\mathcal B$ を、 $F$ の第 $n$ 右導来関手 (right derived functor) という。以下、導来関手を関手として扱うときはこれらの選択を固定する。

注意 1.3. 各対象の入射分解の存在は§E9.23 定理 2.3による。対象全体が $V$ -小でないとき、この存在から全対象にわたる分解の選択は導かれない。分解の選択は追加のデータである。核と余核についても、各射に対する存在から全射にわたる選択は導かれず、選択は追加のデータである。二組の選択から得る関手は、比較定理とコホモロジー対象の普遍性による標準的な自然同型で結ばれる。

加群の圏では§E9.23 例 2.6と§E9.23 命題 2.5により分解を式で定め、核と余核を部分加群と商加群として構成する。圏が $V$ -小である場合は、対象ごとの存在と集合個の選択によって必要な選択を与えることができる。

命題 2.1. 十分な入射対象をもつアーベル圏 $\mathcal A$ からアーベル圏 $\mathcal B$ への加法関手 $F$ に対し、添加射から自然変換 $\tau:F\Rightarrow R^0F$ が定まる。 $F$ が左完全ならば $\tau$ は自然同型である。入射対象 $J$ では、左完全性を仮定せず $\tau_J$ は同型である。

証明. 入射分解 $M\xrightarrow{\eta}I$ に対し $F(d^0)F(\eta)=0$ なので、核の普遍性により $F(\eta)$ は $H^0(F(I))=\ker F(d^0)$ を一意に通る。この射を $\tau_M$ とする。比較射は添加射と可換なので、核を通る射の一意性により $\tau_M$ は射 $M\to N$ と分解の取り替えについて自然である。

$F$ が左完全なら、完全列 $0\to M\to I^0\to I^1$ に $F$ を適用した列も左端から完全であり、 $F(M)$ は $F(d^0)$ の核となる。核の一意性により $\tau_M$ は同型である。 $M=J$ が入射的なら、 $J$ を次数零に置き恒等射を添加した分解を使うと $\tau_J$ は恒等射となる。分解の取り替えの同型から任意の分解でも同型である。▨

命題 2.2. 十分な入射対象をもつアーベル圏 $\mathcal A$ からアーベル圏への加法関手 $F$ 、入射対象 $J$ 、 $n\ge1$ に対し $R^nF(J)=0$ である。

証明. 次数零に $J$ を置く入射分解に $F$ を適用した複体は、正の次数で零である。定理 1.1により、他の入射分解も同じコホモロジーを与える。▨

例 2.3. $F=\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/m\Z,-)$ 、 $m\ge2$ とする。このとき、入射分解 $0\to\Z\to\Q\to\Q/\Z\to0$ に $F$ を適用すると、次数零が零、次数一が $\operatorname{Hom}(\Z/m\Z,\Q/\Z)\cong\tfrac1m\Z/\Z$ である。したがって

R^0F(\Z)=0,\qquad R^1F(\Z)\cong\Z/m\Z,\qquad R^nF(\Z)=0\quad(n\ge2).

例 2.4. $F=-\otimes_{\Z}\Z/2\Z$ に対し $F(\Q)=0$ である。実際 $q\otimes1=(q/2)\otimes2=0$ である。上の入射分解を用いると $R^0F(\Z)=0$ となるが、 $F(\Z)\cong\Z/2\Z$ である。したがって零次と元の関手との同一視には左完全性が必要である。

補題 3.1. アーベル圏の短完全列の射 $(a,b,c):(0\to A\to B\to C\to0)\to(0\to A'\to B'\to C'\to0)$ を与える。両列の対象の入射分解が、添加射と両立する各次数で分裂した短完全列

0\to I_A\xrightarrow{j}I_B\xrightarrow{r}I_C\to0,\qquad 0\to I_{A'}\xrightarrow{j'}I_{B'}\xrightarrow{r'}I_{C'}\to0

をなすとする。このとき、 $a,c$ の上の分解の射 $u,w$ に対し、 $b$ の上の分解の射 $v$ で $vj=j'u$ 、 $r'v=wr$ を満たすものが存在する。

証明. 反対圏の射影分解について証明する。各次数で分裂する射影分解の列を $0\to P\xrightarrow{j}E\xrightarrow{r}Q\to0$ と $0\to P'\xrightarrow{j'}E'\xrightarrow{r'}Q'\to0$ と書き、両端の鎖写像を $u,w$ 、添加対象上の中央の射を $b$ とする。次数 $-1$ を添加対象とし、 $v_{-1}=b$ とおく。

$v_0,\ldots,v_{n-1}$ が鎖写像の等式と、各次数の $v_kj_k=j'_ku_k$ 、 $r'_kv_k=w_kr_k$ を満たすとする。次数 $n$ の分裂を使い、両端の成分が $u_n,w_n$ である射 $t_n:E_n\to E'_n$ をとる。たとえば双積表示で対角成分を $u_n,w_n$ 、非対角成分を零にすればよい。差

D_n=d'_nt_n-v_{n-1}d_n:E_n\to E'_{n-1}

は $D_nj_n=0$ 、 $r'_{n-1}D_n=0$ を満たす。余核 $r_n$ と核 $j'_{n-1}$ の普遍性により、一意な $z_n:Q_n\to P'_{n-1}$ が $D_n=j'_{n-1}z_nr_n$ を満たす。 $n=0$ では $P'_{-1}=A'$ とし、 $j'_{-1}$ は短完全列のモノ射である。

$n\ge1$ では、前の次数の鎖写像条件から $d'_{n-1}D_n=0$ である。 $P'$ の微分を $d'^{P}$ と書く。 $j'$ が鎖写像であることと、 $j'_{n-2}$ がモノ射、 $r_n$ がエピ射であることから $d'^{P}_{n-1}z_n=0$ を得る。したがって $z_n$ は $\ker d'^{P}_{n-1}$ を通る。 $P'$ の完全性と $Q_n$ の射影性から、 $d'^{P}_ns_n=z_n$ を満たす $s_n:Q_n\to P'_n$ がある。 $n=0$ でも添加射 $P'_0\to A'$ のエピ性によって同じ持ち上げがある。

$v_n=t_n-j'_ns_nr_n$ とおけば両端の四角形は変わらず、 $d'_nv_n-v_{n-1}d_n=D_n-j'_{n-1}z_nr_n=0$ である。帰納法によって必要な鎖写像を得る。反対圏では両端の順序も反転するので、左端に $w^{\mathrm{op}}$ 、右端に $u^{\mathrm{op}}$ を用いると、元の圏で求める $v$ を得る。▨

定理 3.2. 十分な入射対象をもつアーベル圏 $\mathcal A$ からアーベル圏 $\mathcal B$ への加法関手 $F$ と、短完全列 $E:0\to A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\to0$ をとり、分解および核・余核の選択を固定する。このとき、連結射 $\delta_E^n:R^nF(C)\to R^{n+1}F(A)$ が定まり、

0\to R^0F(A)\to R^0F(B)\to R^0F(C)\xrightarrow{\delta_E^0} R^1F(A)\to R^1F(B)\to R^1F(C)\xrightarrow{\delta_E^1}\cdots

は完全である。連結射は標準的な同型の下で分解と馬蹄構成の選び方によらず、短完全列の射 $(a,b,c):E\to E'$ に対し

R^{n+1}F(a)\delta_E^n=\delta_{E'}^nR^nF(c)

を満たす。

証明. $A,C$ の入射分解に§E9.23 定理 4.1を適用し、各次数で分裂した短完全列 $0\to I_A\to I_B\to I_C\to0$ を得る。加法関手は双積を保つので（§E9.18 定理 4.2）、 $F$ を適用した後も各次数で分裂した短完全列である。§E9.21 定理 6.4を適用し、負の次数が零であることを用いると、表示の長完全列を得る。

短完全列の射に対し、両端の比較射をとり、補題 3.1によって中央の比較射を補う。複体の長完全列の自然性から連結射の可換性が従う。元の短完全列の恒等射に同じ議論を適用すると、二つの馬蹄構成の連結射が分解の取り替えの標準同型と可換であることを得る。比較射を替えても誘導射は定理 1.1により変わらない。したがって選択した三つの導来関手の値の間の連結射は一意に定まり、短完全列全体にわたって馬蹄構成を選ぶ必要はない。▨

系 3.3. 十分な入射対象をもつアーベル圏からの加法関手 $F$ について、 $R^0F$ は左完全である。 $\tau:F\Rightarrow R^0F$ が自然同型であるための必要十分条件は、 $F$ が左完全であることである。そのとき、短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ に対する長完全列の左端は $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A)$ となる。

証明. 長完全列の左端の三項が $R^0F$ の左完全性を示す。したがって $\tau$ が同型なら $F$ も左完全である。逆は命題 2.1による。▨

例 3.4. $F=\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/2\Z,-)$ と短完全列 $0\to\Z\xrightarrow{2}\Z\to\Z/2\Z\to0$ をとる。このとき、例 2.3により長完全列の該当部分は

0\to\Z/2\Z\xrightarrow{\delta^0}\Z/2\Z\xrightarrow{R^1F(2)}\Z/2\Z\to R^1F(\Z/2\Z)\to0

となる。加法性から $R^1F(2)=2\mathrm{id}=0$ なので、 $\delta^0$ は同型であり、 $R^1F(\Z/2\Z)\cong\Z/2\Z$ である。 $\Z/2\Z$ の入射分解 $\Q/\Z\xrightarrow{2}\Q/\Z$ に $F$ を適用すると、次数零と次数一が $\Z/2\Z$ 、微分が零である複体となり、同じ値を得る。

定義 4.1. 十分な射影対象をもつアーベル圏 $\mathcal A$ からアーベル圏 $\mathcal B$ への加法関手 $G$ をとる。射影分解と核・余核の選択を固定する。 $G^{\mathrm{op}}:\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal B^{\mathrm{op}}$ の右導来関手を元の圏へ戻した関手を $L_nG$ と書き、第 $n$ 左導来関手 (left derived functor) という。

命題 4.2. 十分な射影対象をもつアーベル圏 $\mathcal A$ からアーベル圏 $\mathcal B$ への加法関手 $G$ をとり、射影分解と核・余核の選択を固定する。このとき、次が成り立つ。

射影分解 $P\to M$ に対し $L_nG(M)=H_n(G(P))$ であり、射と分解の取り替えは比較射が誘導する射で与えられる。
添加射から自然変換 $\sigma:L_0G\Rightarrow G$ が定まり、 $G$ が右完全ならば $\sigma$ は自然同型である。射影対象 $P$ では、右完全性を仮定せず $\sigma_P$ は同型である。
射影対象 $P$ と $n\ge1$ に対し $L_nG(P)=0$ である。
短完全列 $E:0\to A\to B\to C\to0$ から、自然な長完全列
$\cdots\to L_1G(C)\to L_0G(A)\to L_0G(B)\to L_0G(C)\to0$
が得られる。連結射を $\partial_n^E:L_{n+1}G(C)\to L_nG(A)$ と書くと、短完全列の射 $(a,b,c):E\to E'$ に対して $L_nG(a)\partial_n^E=\partial_n^{E'}L_{n+1}G(c)$ が成り立つ。
$L_0G$ は右完全である。 $\sigma$ が自然同型であることは、 $G$ が右完全であるための必要十分条件である。

証明.主張 (1)を示す。定理 1.1を反対圏に適用する。反対圏の余鎖コホモロジーと元の圏の鎖ホモロジーは§E9.21 命題 6.2の自然同型で一致する。

主張 (2)は命題 2.1を反対圏に適用して得る。自然変換 $\tau$ の向きを反転すると $\sigma:L_0G\Rightarrow G$ となり、入射対象での同型性は射影対象での同型性となる。

主張 (3)は命題 2.2を反対圏に適用して得る。

主張 (4)は定理 3.2を反対圏に適用して得る。短完全列と連結射の向きを反転すると、主張の長完全列と自然性の等式を得る。

主張 (5)は系 3.3を反対圏に適用して得る。▨

例 4.3. 環 $R$ と左 $R$ 加群 $N$ に対し、 $\operatorname{Tor}^R_n(-,N)$ は右完全関手 $-\otimes_RN$ の左導来関手である。§E6.38 定義 1.3は右加群の射影分解にテンソル積を適用したホモロジーを定義としており、比較射による射の作用も同じである。分解は台集合上の自由右加群と核の反復によって選ぶことができる。とくに§E6.38 例 5.1により $\operatorname{Tor}^{\Z}_1(\Z/m\Z,A)\cong A[m]$ である。

命題 5.1. 十分な入射対象をもつアーベル圏からの加法関手 $F$ について、分解と核・余核の選択から得る列 $R^\bullet F$ は、長完全列の連結射を備えたδ-関手である。二組の選択から得るδ-関手は標準的な自然同型で同型である。双対に、十分な射影対象をもつアーベル圏からの加法関手 $G$ について、 $L_\bullet G$ はホモロジー的なδ-関手である。

証明.定理 3.2の完全性と自然性がδ-関手の二つの公理であり、分解の取り替えについての可換性により、二組の選択の間の同型は連結射と可換である。左導来関手については命題 4.2 (4)を用いる。▨

系 5.2. $\mathcal A$ を十分な入射対象をもつアーベル圏、 $\mathcal B$ をアーベル圏とし、分解と核・余核の選択を固定する。このとき、次が成り立つ。

任意の加法関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ に対し $R^\bullet F$ は普遍δ-関手である。
δ-関手 $T$ が普遍的であるための必要十分条件は、すべての入射対象 $I$ と $n\ge1$ で $T^n(I)=0$ となることである。そのとき $T^0$ は左完全であり、 $\tau:T^0\to R^0T^0$ を零次とする同型 $T\cong R^\bullet T^0$ が一意に定まる。
左完全な加法関手 $\Phi$ 、自然同型 $\nu:\Phi\Rightarrow T^0$ 、普遍δ-関手 $T$ に対し、零次が $\tau_\Phi\nu^{-1}$ であるδ-関手の同型 $T\to R^\bullet\Phi$ が一意に定まる。

双対に、十分な射影対象がある場合、左導来関手は普遍的なホモロジー的δ-関手であり、普遍性は射影対象での高次の消滅によって特徴づけられる。零次の自然同型を指定した比較も双対に成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.2と§E9.24 補題 2.3により、 $R^nF$ は $n\ge1$ で消去可能である。§E9.24 定理 2.2から普遍性を得る。

主張 (2)を示す。 $T$ が入射対象で高次が零なら、§E9.24 補題 2.3と§E9.24 定理 2.2により普遍的である。逆に $T$ が普遍的なら、δ-関手の公理から $T^0$ は左完全なので $T^0\cong R^0T^0$ である。§E9.24 命題 1.4を $T$ と $R^\bullet T^0$ に適用すると、一意な同型を得る。右辺の入射対象での高次消滅から $T$ の消滅も従う。

主張 (3)を示す。 $\Phi$ が左完全なら $\tau_\Phi\nu^{-1}$ は零次の自然同型である。再び§E9.24 命題 1.4を適用すると指定した比較を得る。反対圏で同じ議論を行えば双対の主張を得る。大きい圏の普遍性と延長は§E9.24 注意 1.5の構成ごとの意味で用いる。▨

例 5.3. $F=\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/2\Z,-)$ とし、 $T^0=F$ 、 $T^1=R^1F\oplus\mathrm{id}_{\mathbf{Ab}}$ 、 $n\ge2$ で $T^n=R^nF$ とする。このとき、零次の同型 $\tau:F\to R^0F$ を用い、連結射を $\delta_T^0=(\delta^0\tau,0)$ 、 $\delta_T^1=(\delta^1,0)$ とし、以後は $R^\bullet F$ の連結射を用いる。長完全列は導来関手の長完全列と次数一に置いた元の短完全列の直和なので完全である。したがって $T$ はδ-関手である。

しかし $\mathrm{id}_T$ と、次数一の恒等関手成分を零にする射 $T\to T$ は、零次でともに恒等射である。 $\Z$ での一次の値 $\Z/2\Z\oplus\Z$ 上で二つの射は異なるので、 $T$ は普遍的でない。入射対象 $\Q/\Z$ においても $T^1(\Q/\Z)\cong\Q/\Z\ne0$ であり、 $R^\bullet F$ と同型ではない。

例 6.1. 環 $R$ の左加群 $N$ に対し、左完全関手 $\operatorname{Hom}_R(-,N):(R\text{-}\mathbf{Mod})^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Ab}$ の右導来関手は $\operatorname{Ext}^n_R(-,N)$ である。対象 $M$ の射影分解 $P$ は反対圏の入射分解なので、値は

H^n(\operatorname{Hom}_R(P,N))=\operatorname{Ext}^n_R(M,N)

となる（§E6.36 定理 1.4）。射の作用も、Ext と右導来関手で同じ比較射から誘導されるので、一致する。

必要な分解の選択は、台集合上の自由加群 $R^{(M)}\to M$ 、 $[m]\mapsto m$ と、その核への同じ構成の反復で与える。射 $f$ には $[m]\mapsto[f(m)]$ を対応させる。自由加群の普遍性と核の普遍性により、恒等射と合成を保つ射影分解の規則を得る。各項の射影性は§E6.14 系 1.2による。

命題 6.2. 環 $R$ の左加群 $M$ に対し、 $\operatorname{Ext}^\bullet_R(M,-)$ は第二変数の長完全列の連結射について普遍δ-関手である。零次の同型 $\operatorname{Ext}^0_R(M,-)\cong\operatorname{Hom}_R(M,-)$ と $\tau$ を合成した同型を零次とする、一意な同型

\operatorname{Ext}^\bullet_R(M,-)\cong R^\bullet\operatorname{Hom}_R(M,-)

がある。この同型は $M$ についても自然である。したがって $M$ の射影分解 $P$ と $N$ の入射分解 $I$ に対し、

H^n(\operatorname{Hom}_R(P,N))\cong H^n(\operatorname{Hom}_R(M,I))

が両変数について自然に成り立つ。

証明.§E6.36 定理 2.2 (1)によりδ-関手の完全性と自然性を得て、§E6.36 定理 4.1により入射加群における高次の消滅を得る。零次の同型は§E6.36 命題 1.5による。したがって系 5.2 (3)を適用することができる。

射 $f:M'\to M$ に対し、Ext の反変写像と、 $\operatorname{Hom}_R(f,-)$ を零次として延長した導来関手の射を考える。比較同型とこれらの射を合成した二つの射は、零次で同じ Hom の射となる。普遍性の一意性から全次数で一致する。最後の表示は、Ext の射影分解による定義と右導来関手の入射分解による定義を書いたものである。▨

例 6.3. 正整数 $m,n$ と $d=\gcd(m,n)$ に対し、 $\Z/m\Z$ の自由分解 $\Z\xrightarrow{m}\Z$ から

\operatorname{Ext}^1_{\Z}(\Z/m\Z,\Z/n\Z)\cong (\Z/n\Z)/m(\Z/n\Z)\cong\Z/d\Z

を得る。一方、 $\Z/n\Z$ の入射分解 $\Q/\Z\xrightarrow{n}\Q/\Z$ に Hom を適用すると、 $\operatorname{Hom}(\Z/m\Z,\Q/\Z)\cong\Z/m\Z$ 上の $n$ 倍写像となる。その余核も $\Z/d\Z$ である。零次の核はいずれも $\operatorname{Hom}(\Z/m\Z,\Z/n\Z)\cong\Z/d\Z$ であり、二次以上は零である。 $m=1$ または $n=1$ の場合も $d=1$ として同じ式に含まれる。

命題 6.4. 群 $G$ に対し、 $H^\bullet(G,-)$ は係数の長完全列について普遍δ-関手である。零次の同型 $H^0(G,M)\cong M^G$ と $\tau_{(-)^G}$ の合成を零次とする、一意なδ-関手の同型

H^\bullet(G,-)\cong R^\bullet(-)^G

がある。

証明.§E7.37 定理 5.1により、指定された連結射がδ-関手を定める。§E7.37 定義 4.1と§E6.36 定理 4.1により、入射 $\Z[G]$ 加群では高次が消える。零次の同型は§E7.37 補題 1.3による。系 5.2 (3)を適用すると結論を得る。▨

命題 6.5. 群 $G$ と部分群 $H$ に対し、次が成り立つ。

余誘導 $\operatorname{Coind}^G_H$ は完全であり、入射加群を入射加群へ送る。
$V\mapsto H^\bullet(G,\operatorname{Coind}^G_H V)$ は、余誘導を適用した係数の長完全列について普遍δ-関手である。その零次は $\phi\mapsto\phi(1)$ によって $V^H$ と同一視される。
零次をこの同一視とする一意なδ-関手の同型
$H^\bullet(G,\operatorname{Coind}^G_H-)\cong H^\bullet(H,-)$
があり、§E7.41 定理 2.3の Shapiro 同型に一致する。

証明.主張 (1)を示す。§E7.41 補題 2.2により $\Z[G]$ は左 $\Z[H]$ 加群として射影的である。したがって $\operatorname{Hom}_{\Z[H]}(\Z[G],-)$ は完全であり、台のアーベル群で完全性を判定すると余誘導は完全である。入射性の保存は§E9.23 例 1.8 (2)による。

主張 (2)を示す。余誘導した短完全列に群コホモロジーの長完全列を適用するとδ-関手を得る。入射加群 $V$ について余誘導も入射的なので高次は零であり、系 5.2 (2)により普遍的である。随伴 $\operatorname{Res}^G_H\dashv\operatorname{Coind}^G_H$ を自明加群 $\Z$ に適用すると、零次の同型は $\phi\mapsto\phi(1)$ である。§E9.24 命題 1.4から一意な同型を得る。

主張 (3)を示す。§E7.41 定理 2.3の Shapiro 同型を $S_V$ 、随伴の単位を $i_M:M\to\operatorname{Coind}\operatorname{Res}M$ 、余単位を $\varepsilon_V:\operatorname{Res}\operatorname{Coind}V\to V$ とする。§E7.41 定理 2.3の等式 $S_{\operatorname{Res}M}H^n(G,i_M)=\operatorname{res}$ と $S$ の自然性、三角等式から

H^n(H,\varepsilon_V)\operatorname{res} =H^n(H,\varepsilon_V)S_{\operatorname{Res}\operatorname{Coind}V}H^n(G,i_{\operatorname{Coind}V}) =S_V

を得る。係数写像 $H^n(H,\varepsilon_V)$ は長完全列の自然性により連結射と可換である。制限も、§E7.41 定義 1.1のコチェインの制限が§E7.37 命題 5.2の持ち上げと微分を制限後の持ち上げと微分に送るため、連結射と可換である。よって $S$ はδ-関手の射である。零次は同じ評価写像なので、一意性により構成した同型に一致する。▨

§E9.25導来関手

1 右導来関手

2 零次と入射対象

3 長完全列

4 左導来関手

5 普遍性による特徴づけ

6 Ext と群コホモロジー

参考文献

前提記事