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立体の模型を、もとの立体と同じ形に縮めて作ると、長さだけでなく表面積や体積も小さくなります。しかし、長さを半分にしたからといって、表面積や体積も半分になるわけではありません。相似比と面積比・体積比の関係は、縮尺を図形の大きさへ結びつける基本的な性質です。たとえば、相似な多面体では、対応する長さを半分にすると表面積は四分の一、体積は八分の一になります。
相似による長さの比較を面積や体積へ広げると、模型の大きさを目的に応じて定めることができます。本記事では、相似な図形の面積や体積を比べる性質と、その使い方を解説します。
定理 1.1. 有限個の三角形に分割することができる二つの非退化な相似多角形、または対応する有限個の角錐に分割することができる二つの非退化な相似多面体について、前者から後者への相似比が（後者の長さと前者の対応する長さの比が）であるとき、
である。
面積比は、対応する三角形の面積を足し合わせることによって求めます。
非退化な三角形の三辺の中点を結ぶと、§A5.2 定理 2.1により、各線分は残りの辺と平行で、長さはその辺の半分です。四つの小三角形の三辺はそれぞれ元の三角形の三辺の半分なので、三辺相等の合同条件により四つの小三角形は合同です。各小三角形は元の三角形と相似で、相似比はです。四つの面積が等しいので、各小三角形の面積は元の三角形の面積のです。
頂点をドラッグしても、4つの三角形はいつも合同なままです。
この図は三角形を中点で分けた一例です。一般の相似比についての等式は、次の証明で示します。
冒頭の定理 1.1を、図形を三角形または角錐に分割して示します。
証明. 相似多角形を対応する対角線で有限個の三角形に分割する。対応する三角形も相似比である。三角形では底辺と高さがともに倍になるので、面積は倍になる。各三角形の面積を足し合わせても、全体の面積比はである。
相似多面体を有限個の対応する角錐に分割する。各角錐の底面積は倍、高さは倍であり、だから体積は倍になる。角錐の体積を足し合わせれば全体にも同じ比が成り立つ。▨
公式 4.1. 有限個の三角形に分割することができる二つの非退化な相似多角形の面積をとし、前者から後者への相似比をとする。このときである。対応する有限個の角錐に分割することができる二つの非退化な相似多面体の体積をとすると、前者から後者への相似比はである。
証明.定理 1.1により、面積については、体積についてはである。なので、面積の比の正の平方根と、体積の比の正の立方根は、それぞれに等しい。▨
例 4.2. 二つの非退化な相似角錐の形をした模型を考える。底面が対応し、底面積の比がである場合、相似比は、体積比はである。体積比がである場合、相似比は、対応する底面の面積比はである。
問題 4.3. 有限個の角錐に分割することができる非退化な多面体の模型を、もとの立体と相似に作る。模型の表面積はもとの立体の表面積の以下、模型の体積はもとの体積の以下とする。模型の長さともとの立体の対応する長さの比をとするとき、の最大値を求めよ。また、最大の模型の表面積の比を求めよ。
対応する各面も相似であるから、定理 1.1により各面の面積の比はである。すべての面積を足すと表面積の比もとなり、体積の比はとなる。したがって、条件はである。だから、それぞれ、と同値である。二つの条件が同時に成り立つ範囲はなので、最大値はである。このとき、表面積の比はである。表面積だけから定めたでは体積の比がとなり、体積の条件を満たさない。▨
例 4.4. 一辺がの正方形と、隣り合う辺の長さがの長方形は、面積がともにであるが相似ではない。相似ならば、等しい長さをもつ正方形の二辺に対応する長方形の二辺も等しい長さをもつはずである。しかし、長方形の隣り合う辺の長さはとである。したがって、面積比がであることだけから相似比がであるとは結論することができない。面積比の平方根が長さの比になるのは、二つの図形が相似であると分かっている場合である。