数学汎典

§A5.1三角形の相似条件と、相似を使った証明

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三角形の相似条件と、相似を使った証明では、対応する角と辺の比によって二つの三角形が相似かどうかを判定し、平行線が作る相似から辺の比の等式を導きます。

1 相似の定義

通常の角は、二本の半直線がつくる0°0°以上180°180°以下の小さい方の角として扱います。

定義 1.1 (三角形の相似). 二つの非退化な三角形ABC,A1B1C1\mathrm{ABC},\mathrm{A_1B_1C_1}について、対応する三組の角がそれぞれ等しく、対応する三辺の長さの比がすべて等しいとき、二つの三角形は相似 (similarity of triangles) であるといい、△ABC∼△A1B1C1\triangle\mathrm{ABC}\sim\triangle\mathrm{A_1B_1C_1}と書く。頂点の順序はA↔A1\mathrm{A}\leftrightarrow\mathrm{A_1}、B↔B1\mathrm{B}\leftrightarrow\mathrm{B_1}、C↔C1\mathrm{C}\leftrightarrow\mathrm{C_1}という対応を表す。

A1B1AB=B1C1BC=C1A1CA=k>0\frac{\mathrm{A_1B_1}}{\mathrm{AB}} =\frac{\mathrm{B_1C_1}}{\mathrm{BC}} =\frac{\mathrm{C_1A_1}}{\mathrm{CA}}=k>0

のとき、△ABC\triangle\mathrm{ABC}から△A1B1C1\triangle\mathrm{A_1B_1C_1}への相似比 (similarity ratio) をkkとする。

2 平行線による辺の比

三角形の一辺に平行な直線を引くと、頂点を共有する二つの三角形の対応する角が等しくなります。

下の図では、スライダーによって平行線 DE の位置を変えることができます。DE\mathrm{DE}がBC\mathrm{BC}と平行である限り、△ADE\triangle \mathrm{ADE}は△ABC\triangle \mathrm{ABC}と相似で、3つの比ADAB\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}、AEAC\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}、DEBC\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}はつねに等しく保たれます。

この図は0<AD/AB<10<\mathrm{AD}/\mathrm{AB}<1の範囲だけを表示しています。図を動かした有限個の配置は証明ではありません。次の辺の比は、相似を使わずに面積から導きます。

定理 2.1. 非退化な△ABC\triangle \mathrm{ABC}の辺AB\mathrm{AB}の内部点D\mathrm{D}、辺AC\mathrm{AC}の内部点E\mathrm{E}について、DE∥BC\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC}ならばADAB=AEAC=DEBC.\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}.

証明. 三角形XYZ\mathrm{XYZ}の面積を[XYZ][\mathrm{XYZ}]と書く。△ADE\triangle \mathrm{ADE}と△BDE\triangle \mathrm{BDE}は直線AB\mathrm{AB}への高さが等しく、△ADE\triangle \mathrm{ADE}と△CDE\triangle \mathrm{CDE}は直線AC\mathrm{AC}への高さが等しい。また、DE∥BC\mathrm{DE}\parallel \mathrm{BC}だから、△BDE\triangle \mathrm{BDE}と△CDE\triangle \mathrm{CDE}は共通の底辺DE\mathrm{DE}に対する高さが等しい。したがって

ADDB=[ADE][BDE]=[ADE][CDE]=AEEC.\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} =\frac{[\mathrm{ADE}]}{[\mathrm{BDE}]} =\frac{[\mathrm{ADE}]}{[\mathrm{CDE}]} =\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}.

E\mathrm{E}を通ってAB\mathrm{AB}に平行な直線とBC\mathrm{BC}との交点をF\mathrm{F}とする。同じ面積比の議論を△CBA\triangle \mathrm{CBA}に用いるとCEEA=CFFB\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FB}}となる。r=AD/DBr=\mathrm{AD}/\mathrm{DB}とおけば、以上の二つの等式からr=AE/EC=FB/FCr=\mathrm{AE}/\mathrm{EC}=\mathrm{FB}/\mathrm{FC}を得る。一方、四角形DBFE\mathrm{DBFE}は平行四辺形だからDE=BF\mathrm{DE}=\mathrm{BF}である。ゆえに

ABAD=r+1r=ACAE=BCDE.\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} =\frac{r+1}{r} =\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}} =\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}.

各比の逆数をとれば結論を得る。▨

DE∥BC\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC}なら、平行線の同位角から∠ADE=∠ABC\angle \mathrm{ADE} = \angle \mathrm{ABC}、∠AED=∠ACB\angle \mathrm{AED} = \angle \mathrm{ACB}です。平行線で作った三角形の角と辺の比を用いると、相似条件を合同条件へ帰着させることができます。

3 相似条件

三角形の相似は、次の三条件のいずれかによって判定することができます。

定理 3.1 (三角形の相似条件). 二つの非退化な三角形ABC,A1B1C1\mathrm{ABC},\mathrm{A_1B_1C_1}は、次のいずれかを満たせば、この頂点の順序で相似である。角は通常の角とする。

  1. 二組の角がそれぞれ等しい（AA）。すなわち、∠A=∠A1\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{A_1}、∠B=∠B1\angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{B_1}である。
  2. 二組の辺の比とその間の角が等しい（SAS）。すなわち、A1B1/AB=A1C1/AC\mathrm{A_1B_1}/\mathrm{AB}=\mathrm{A_1C_1}/\mathrm{AC}、∠A1=∠A\angle\mathrm{A_1}=\angle\mathrm{A}である。
  3. 三組の辺の比が等しい（SSS）。すなわち、A1B1/AB=A1C1/AC=B1C1/BC\mathrm{A_1B_1}/\mathrm{AB}=\mathrm{A_1C_1}/\mathrm{AC}=\mathrm{B_1C_1}/\mathrm{BC}である。

証明. 必要なら二つの三角形を入れ替え、k=A1B1/AB≤1k=\mathrm{A_1B_1}/\mathrm{AB}\leq1とする。k=1k=1のとき、(1)では角辺角、(2)では二辺夾角、(3)では三辺相等の合同条件により二つの三角形は合同となる。したがって相似である。

0<k<10<k<1とする。辺AB\mathrm{AB}の内部にAD=A1B1\mathrm{AD}=\mathrm{A_1B_1}となる点D\mathrm{D}をとり、D\mathrm{D}を通るBC\mathrm{BC}に平行な直線と辺AC\mathrm{AC}の内部との交点をE\mathrm{E}とする。定理 2.1により

AD=kAB,AE=kAC,DE=kBC\mathrm{AD}=k\mathrm{AB},\qquad \mathrm{AE}=k\mathrm{AC},\qquad \mathrm{DE}=k\mathrm{BC}

である。平行線の同位角により、△ADE\triangle\mathrm{ADE}と△ABC\triangle\mathrm{ABC}の対応する角は等しい。

(1)の仮定の下では、AD=A1B1\mathrm{AD}=\mathrm{A_1B_1}と∠DAE=∠B1A1C1\angle\mathrm{DAE}=\angle\mathrm{B_1A_1C_1}、∠ADE=∠A1B1C1\angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{A_1B_1C_1}から、角辺角の合同条件により△ADE≡△A1B1C1\triangle\mathrm{ADE}\equiv\triangle\mathrm{A_1B_1C_1}となる。(2)の仮定の下では、AD=A1B1\mathrm{AD}=\mathrm{A_1B_1}、AE=kAC=A1C1\mathrm{AE}=k\mathrm{AC}=\mathrm{A_1C_1}とその間の角の相等から、二辺夾角の合同条件により同じ合同を得る。(3)の仮定の下では、さらにDE=kBC=B1C1\mathrm{DE}=k\mathrm{BC}=\mathrm{B_1C_1}となり、三辺相等の合同条件により同じ合同を得る。

どの場合も、△A1B1C1\triangle\mathrm{A_1B_1C_1}の角と辺を合同な△ADE\triangle\mathrm{ADE}の角と辺に置き換えると、△ABC\triangle\mathrm{ABC}との対応する角がすべて等しく、辺の比がすべてkkである。相似の定義により△ABC∼△A1B1C1\triangle\mathrm{ABC}\sim\triangle\mathrm{A_1B_1C_1}である。▨

合同の SAS 条件では対応する二辺の長さがそれぞれ等しいことを用いますが、相似の SAS 条件では対応する二辺の比が等しいことを用います。合同の SSS 条件と相似の SSS 条件も、対応する三辺の長さの相等と、対応する三辺の比の相等という違いがあります。

4 相似を使った証明

定理 4.1. 非退化な△ABC\triangle\mathrm{ABC}の辺AB,AC\mathrm{AB},\mathrm{AC}の内部点をそれぞれD,E\mathrm{D},\mathrm{E}とする。∠ADE=∠ABC\angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{ABC}かつ∠AED=∠ACB\angle\mathrm{AED}=\angle\mathrm{ACB}なら△ADE∼△ABC\triangle\mathrm{ADE}\sim\triangle\mathrm{ABC}。特にDE∥BC\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}ならこの条件が成り立つ。

証明. 二組の角の相等と定理 3.1 (1)により、△ADE∼△ABC\triangle\mathrm{ADE}\sim\triangle\mathrm{ABC}である。対応する頂点はA↔A\mathrm{A}\leftrightarrow\mathrm{A}、D↔B\mathrm{D}\leftrightarrow\mathrm{B}、E↔C\mathrm{E}\leftrightarrow\mathrm{C}なので、相似の定義から

ADAB=AEAC=DEBC\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}

を得る。特にDE∥BC\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}なら、平行線の同位角によって∠ADE=∠ABC\angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{ABC}、∠AED=∠ACB\angle\mathrm{AED}=\angle\mathrm{ACB}となる。▨

問題 4.2. 非退化な三角形ABC\mathrm{ABC}の辺AB,AC\mathrm{AB},\mathrm{AC}の内部点を、それぞれD,E\mathrm{D},\mathrm{E}とする。ADAB=AEAC\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}ならばDE∥BC\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}であることを、平行線による辺の比を用いて証明せよ。

解答.

D\mathrm{D}を通るBC\mathrm{BC}に平行な直線と辺AC\mathrm{AC}の内部との交点をE′\mathrm{E'}とする。定理 2.1と仮定から

AE′AC=ADAB=AEAC\frac{\mathrm{AE'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}

なので、AE′=AE\mathrm{AE'}=\mathrm{AE}である。半直線AC\mathrm{AC}上でA\mathrm{A}からの距離が指定した正の数に等しい点は一つだから、E′=E\mathrm{E'}=\mathrm{E}となる。したがってDE∥BC\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}である。▨

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