§A5.5円周角の定理とその逆

証明.定理 1.1 (1)を示す。円$\Gamma$の中心を$\mathrm{O}$とし、直線$\mathrm{PO}$と円の交点のうち$\mathrm{P}$でない方を$\mathrm{Q}$とする。$\mathrm{P}$を含まない弧$\mathrm{AB}$に対する中心角を$\omega$とおく。$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OP}$である。

$\mathrm{O}$が$\angle \mathrm{APB}$の内部にあるとする。$\triangle \mathrm{OPA}$は$\mathrm{OP} = \mathrm{OA}$の二等辺三角形なので$\angle \mathrm{OPA} = \angle \mathrm{OAP}$。これを$\alpha$とおく。三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和だから$\angle \mathrm{AOQ} = \alpha + \alpha = 2\alpha .$同じ議論を$\triangle \mathrm{OPB}$に適用し、$\angle \mathrm{OPB} = \beta$とおけば$\angle \mathrm{BOQ} = 2\beta$。$\mathrm{O}$が$\angle \mathrm{APB}$の内部にあるので$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$を含まない弧$\mathrm{AB}$上にある。したがって、その弧に対する中心角は$\omega=2\alpha + 2\beta=2(\alpha+\beta)=2\,\angle \mathrm{APB}$である。

$\mathrm{O}$が$\angle \mathrm{APB}$の外部にあるとする。$\alpha=\angle\mathrm{OPA}$、$\beta=\angle\mathrm{OPB}$とおき、必要なら$\mathrm{A},\mathrm{B}$を入れ替えて$\beta\geq\alpha$とする。$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$を含まない弧$\mathrm{AB}$の外にあり、二等辺三角形と外角の定理から得た二つの中心角は重なる。したがって和の代わりに差をとり、$\omega=2\beta - 2\alpha=2(\beta-\alpha)=2\,\angle \mathrm{APB}$を得る。

直線$\mathrm{PO}$が$\mathrm{A}$を通る場合は$\mathrm{A}=\mathrm{Q}$である。二等辺三角形$\mathrm{OPB}$の底角を$\beta$とすると、外角の定理により$\omega=\angle\mathrm{AOB}=2\beta=2\angle\mathrm{APB}$である。直線$\mathrm{PO}$が$\mathrm{B}$を通る場合も、$\mathrm{A},\mathrm{B}$を入れ替えると同じ等式を得る。

$\mathrm{P}$を含まない弧が小弧であるときは$0°<\omega<180°$、大弧であるときは$180°<\omega<360°$である。$\mathrm{AB}$が直径である場合は$\omega=180°$である。いずれの場合も$\angle \mathrm{APB}=\dfrac{\omega}{2}$であり、$\omega$は$\mathrm{P}$を含まない弧$\mathrm{AB}$によって定まる。したがって、$\angle \mathrm{APB}$は同じ側の弧上を動く$\mathrm{P}$の位置によらない。

定理 1.1 (2)を示す。

必要性を示す。4点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が一つの円周上にあるとする。この円は相異なる2点$\mathrm{A},\mathrm{B}$を通るので半径が正である。$\mathrm{P},\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{AB}$について同じ側にあるので、$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で分けられる2つの弧のうち同じ弧の上にある。したがって、定理 1.1 (1)より$\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$である。

十分性を示す。$\mathrm{P},\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AB}$の同じ側にあり、$\angle\mathrm{APB}=\angle\mathrm{AQB}=\theta$とする。三点$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}$は同一直線上にないので、線分$\mathrm{AB},\mathrm{AP}$の垂直二等分線は平行でなく、一点$\mathrm{O_P}$で交わる。垂直二等分線上の点から両端までの距離は等しいから、$\mathrm{O_P A}=\mathrm{O_P B}=\mathrm{O_P P}$である。$\mathrm{A}\ne\mathrm{B}$なので、この共通の距離は正である。したがって、$\mathrm{O_P}$を中心とする三点を通る円$\Gamma_P$が存在する。三点を通る円の中心は二本の垂直二等分線の交点でなければならず、半径は中心から$\mathrm{A}$までの距離であるから、この円はただ一つである。同じ構成により、三点$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{Q}$を通る円$\Gamma_Q$もただ一つ存在する。その中心を$\mathrm{O_Q}$とする。

$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$、垂直二等分線を$\ell$とする。二つの円の中心はともに$\ell$上にある。円$\Gamma_P$の半径を$r_P$とすると、$\mathrm{O_P}=\mathrm{M}$の場合は$\mathrm{O_P M}=0<r_P$である。$\mathrm{O_P}\ne\mathrm{M}$の場合は、直角三角形$\mathrm{O_P MA}$に§A5.4 定理 1.1 (1)を用いて$r_P^2=\mathrm{O_P M}^2+\mathrm{MA}^2>\mathrm{O_P M}^2$を得る。したがって、どちらの場合も$\mathrm{O_P M}<r_P$である。円$\Gamma_P$と$\ell$の交点は、中心$\mathrm{O_P}$から$\ell$に沿って半径$r_P$だけ離れた二点である。$\mathrm{O_P M}<r_P$なので二点は$\mathrm{M}$を挟み、直線$\mathrm{AB}$の両側に一つずつある。円$\Gamma_Q$についても同じ議論が成り立つ。$\mathrm{P},\mathrm{Q}$と同じ側の交点を、それぞれ$\mathrm{T_P},\mathrm{T_Q}$とする。

定理 1.1 (1)により

ここで$\mathrm{T_P}=\mathrm{P}$または$\mathrm{T_Q}=\mathrm{Q}$の場合には、対応する等式は恒等式として成り立つ。各等式で異なる二点を比べる場合には、二点は同じ円の、直線$\mathrm{AB}$の同じ側の弧にあるので、円周角の定理の仮定を満たす。$\mathrm{T_P},\mathrm{T_Q}$は$\ell$上にあるので、三角形$\mathrm{AT_P B},\mathrm{AT_Q B}$は二等辺三角形である。内角の和から$\angle\mathrm{BAT_P}=\angle\mathrm{BAT_Q}=\frac{180°-\theta}{2}$となる。点$\mathrm{T_P},\mathrm{T_Q}$は直線$\mathrm{AB}$の同じ側にあるから、半直線$\mathrm{AT_P}$と$\mathrm{AT_Q}$は一致する。この半直線と$\ell$との交点は一つなので、$\mathrm{T_P}=\mathrm{T_Q}$である。二つの円は同一直線上にない三点$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{T_P}$を通る。両中心は線分$\mathrm{AB},\mathrm{AT_P}$の二本の垂直二等分線の交点であり、同じ点である。半径もその点から$\mathrm{A}$までの距離に等しいので、$\Gamma_P=\Gamma_Q$である。したがって四点$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$は同一円周上にある。▨

証明.$\mathrm{P},\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AB}$の同じ側にあり、$\angle\mathrm{APB}=\angle\mathrm{AQB}$とする。相似変換によって$\mathrm{A}=(-1,0)$、$\mathrm{B}=(1,0)$とし、直線$\mathrm{AB}$の同じ側を上半平面とする。$\mathrm{P}=(u,v)$、$\mathrm{Q}=(x,y)$とおけば、同じ側であるという仮定から$v>0$、$y>0$である。

上半平面の点$\mathrm{X}=(s,t)$に対して$t>0$である。通常角$\angle \mathrm{AXB}$は$0°$より大きく$180°$より小さいので、

が成り立つ。仮定$\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{AQB}$により、二つの角の cot の値を$c$とおくことができる。したがって、$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はともに$s^2+(t-c)^2=1+c^2$を満たす。$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$もこの方程式を満たす。ゆえに、4点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は、中心$(0,c)$、半径$\sqrt{1+c^2}$の同一円周上にある。▨

証明.$\mathrm{AB}$が直径なら、$\mathrm{AB}$が定めるどちらの弧に対する中心角も$180°$である。したがって、定理 1.1 (1)より円周角はその半分の$90°$である。▨