数学汎典

§A5.15調和点列と調和共役

最終更新

直線上の点の位置を、端点からの距離の比で指定することがあります。たとえば、線分AB\mathrm{AB}を1:21:2に内分する点と、A\mathrm{A}側の延長上で端点からの距離の比が1:21:2となる点は、同じ比をもつ内分点と外分点です。この二点の対応は、長さを測らずに作図することができるでしょうか。

距離の比だけでは、内分と外分の違いが式に現れません。符号つきの長さを用いると、二点に対応する比は互いに反対になり、四点の複比は−1-1になります。このような二点の関係を調和共役と呼びます。調和共役は、点の位置を比で記述する方法と、直線の交点によって点を構成する方法とを結ぶ概念です。

この記事では、調和共役の性質を作図との関係から考えます。

1 複比と調和点列

直線上の符号つきの長さは、向きを定めた座標xxを用いて

UV‾=x(V)−x(U)\overline{\mathrm{UV}}=x(\mathrm{V})-x(\mathrm{U})

と表します。符号つきの長さの比UX‾/XV‾\overline{\mathrm{UX}}/\overline{\mathrm{XV}}を考えるときは、分母が00でないことを仮定します。

定義 1.1 (複比と調和点列). 同一直線上の有限な相異なる点A,B,X,Y\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{X},\mathrm{Y}に対し、

(A,B;X,Y):=AX‾/XB‾AY‾/YB‾(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{X},\mathrm{Y}) := \frac{\overline{\mathrm{AX}}/\overline{\mathrm{XB}}} {\overline{\mathrm{AY}}/\overline{\mathrm{YB}}}

を 複比 (cross ratio) という。この複比が−1-1であるとき、順序を含む四点(A,B;X,Y)(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{X},\mathrm{Y})を 調和点列 (harmonic range) といい、Y\mathrm{Y}を区間AB\mathrm{AB}に関するX\mathrm{X}の 調和共役 (harmonic conjugate) という。

この定義は、直線の向きを逆にしても変わりません。四つの符号つきの長さがすべて符号反転しますが、それぞれの比の分子と分母が同時に反転するからです。また、座標の原点をずらしたり単位を変えたりしても、各比は同じ値になります。

2 調和共役の存在と一意性

定理 2.1. 同一直線上の有限な相異なる3点A,B,X\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{X}をとり、X\mathrm{X}はA,B\mathrm{A},\mathrm{B}の中点ではないとする。このとき、有限な点Y\mathrm{Y}で(A,B;X,Y)=−1(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{X},\mathrm{Y})=-1を満たすものはただ1つ存在する。A=a,B=b,X=u\mathrm{A}=a,\mathrm{B}=b,\mathrm{X}=uとすると

y=u(a+b)−2ab2u−a−by=\frac{u(a+b)-2ab}{2u-a-b}

である。X\mathrm{X}が中点なら、有限なY\mathrm{Y}は存在しない。この記事ではその場合を射影直線上の無限遠点として拡張しない。

証明.r=AX‾/XB‾r=\overline{\mathrm{AX}}/\overline{\mathrm{XB}}と置く。§A5.9 定理 1.2によりr≠0,−1r\ne0,-1である。r=1r=1となるのはX\mathrm{X}がA,B\mathrm{A},\mathrm{B}の中点である場合に限る。したがって、X\mathrm{X}が中点でなければ−r≠0,−1-r\ne0,-1であり、同じ定理から

AY‾YB‾=−r\frac{\overline{\mathrm{AY}}}{\overline{\mathrm{YB}}}=-r

を満たす有限な点Y≠A,B\mathrm{Y}\ne\mathrm{A},\mathrm{B}がただ一つ存在する。Y=X\mathrm{Y}=\mathrm{X}ならばr=−rr=-rとなり、r≠0r\ne0に反するので、四点は相異なる。この点Y\mathrm{Y}が調和共役である。

X\mathrm{X}が中点ならばr=1r=1であり、調和条件が要求する有向比は−1-1となる。§A5.9 定理 1.2により、その有向比をもつ有限な点は存在しない。▨

3 座標表示

証明.A,B,X,Y\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{X},\mathrm{Y}の座標をそれぞれa,b,u,ya,b,u,yとする。調和条件を符号つきの長さで表すと、

u−ab−u=−y−ab−y\frac{u-a}{b-u}=-\frac{y-a}{b-y}

である。分母は00でないので、両辺に(b−u)(b−y)(b-u)(b-y)を掛けて展開すると、

(u−a)(b−y)+(y−a)(b−u)=0,(2u−a−b)y=u(a+b)−2ab(u-a)(b-y)+(y-a)(b-u)=0,\qquad (2u-a-b)y=u(a+b)-2ab

を得る。X\mathrm{X}は中点ではないので2u−a−b≠02u-a-b\ne0であり、

y=u(a+b)−2ab2u−a−by=\frac{u(a+b)-2ab}{2u-a-b}

となる。

特にA=0,B=1\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=1と正規化し、X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}の座標をu,vu,vと書くと、

AX‾XB‾=u1−u,AY‾YB‾=v1−v\frac{\overline{\mathrm{AX}}}{\overline{\mathrm{XB}}}=\frac{u}{1-u},\qquad \frac{\overline{\mathrm{AY}}}{\overline{\mathrm{YB}}}=\frac{v}{1-v}

である。したがって、調和条件は

u1−u=−v1−v,v=u2u−1\frac{u}{1-u}=-\frac{v}{1-v},\qquad v=\frac{u}{2u-1}

と表すことができる。ただしu≠0,1,12u\ne0,1,\tfrac12である。u=0,1u=0,1は端点との一致により定義域外であり、u=12u=\tfrac12では、展開した等式(2u−1)v=u(2u-1)v=uが0=120=\tfrac12となるので有限なvvは存在しない。▨

図は調和共役の位置を実演するものであり、複比が -1 であることの証明ではありません。

4 完全四辺形

定義 4.1 (完全四辺形). 相異なる4本の直線で、3本が同一の点を通らず、平行な2本もないものを 完全四辺形 (complete quadrilateral) という。4直線の6つの交点を、 2本ずつの「向かい合う直線」の組で分けると、3組の交点を結ぶ3本の直線ができる。これらを完全四辺形の 対角線 (diagonal of a complete quadrilateral) という。

ここでいう対角線は、四辺形の辺の一部ではありません。4直線を

AP,BP,AR,BQ\mathrm{AP},\quad \mathrm{BP},\quad \mathrm{AR},\quad \mathrm{BQ}

としたとき、6つの交点は

直線の組交点AP∩BPPAP∩ARAAP∩BQQBP∩ARRBP∩BQBAR∩BQS\begin{array}{c|c} \text{直線の組}&\text{交点}\\ \hline \mathrm{AP}\cap\mathrm{BP}&\mathrm{P}\\ \mathrm{AP}\cap\mathrm{AR}&\mathrm{A}\\ \mathrm{AP}\cap\mathrm{BQ}&\mathrm{Q}\\ \mathrm{BP}\cap\mathrm{AR}&\mathrm{R}\\ \mathrm{BP}\cap\mathrm{BQ}&\mathrm{B}\\ \mathrm{AR}\cap\mathrm{BQ}&\mathrm{S} \end{array}

です。向かい合う組は(AP,BP)(\mathrm{AP},\mathrm{BP})と(AR,BQ)(\mathrm{AR},\mathrm{BQ})、(AP,AR)(\mathrm{AP},\mathrm{AR})と(BP,BQ)(\mathrm{BP},\mathrm{BQ})、(AP,BQ)(\mathrm{AP},\mathrm{BQ})と(BP,AR)(\mathrm{BP},\mathrm{AR})なので、対角線はPS\mathrm{PS}、AB\mathrm{AB}、QR\mathrm{QR}になります。

5 完全四辺形による構成の図

下の図では、X\mathrm{X}を線分AB\mathrm{AB}上で動かすことができます。P\mathrm{P}とQ\mathrm{Q}を固定し、X\mathrm{X}を通る直線とBP\mathrm{BP}の交点をR\mathrm{R}とします。そこからS=AR∩BQ\mathrm{S}=\mathrm{AR}\cap\mathrm{BQ}、Y=PS∩AB\mathrm{Y}=\mathrm{PS}\cap\mathrm{AB}を作っています。4本の太い直線AP,BP,AR,BQ\mathrm{AP},\mathrm{BP},\mathrm{AR},\mathrm{BQ}が完全四辺形です。

図は構成の順番を見せるためのものです。特定の位置で一直線に見えたり、複比の値が変わらなかったりしても、それだけで全ての位置についての定理にはなりません。図を動かして得た観察は、証明ではありません。次の定理で、完全四辺形のどのような補助線を選んでも調和性が出ることを計算します。

6 完全四辺形による調和共役の定理

定理 6.1. 一直線上の相異なる点A,B,X\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{X}をとり、X\mathrm{X}はA,B\mathrm{A},\mathrm{B}の中点ではないとする。直線AB\mathrm{AB}の外に点P\mathrm{P}を選ぶ。X\mathrm{X}を通る直線がAP\mathrm{AP},BP\mathrm{BP}とそれぞれ相異なる有限点Q,R\mathrm{Q},\mathrm{R}で交わるようにし、さらに

S=AR∩BQ,Y=PS∩AB\mathrm{S}=\mathrm{AR}\cap\mathrm{BQ}, \qquad \mathrm{Y}=\mathrm{PS}\cap\mathrm{AB}

が有限な相異なる点として定まるよう、補助線を一般の位置に選ぶ。このとき4直線AP,BP,AR,BQ\mathrm{AP},\mathrm{BP},\mathrm{AR},\mathrm{BQ}は完全四辺形をなし、

(A,B;X,Y)=−1(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{X},\mathrm{Y})=-1

である。したがってY\mathrm{Y}はX\mathrm{X}の調和共役である。

証明. 非退化三角形△ABP\triangle\mathrm{ABP}において、X,R,Q\mathrm{X},\mathrm{R},\mathrm{Q}はそれぞれ直線AB,BP,PA\mathrm{AB},\mathrm{BP},\mathrm{PA}上にあり、一直線上に並ぶ。一般位置の仮定により、三点はいずれも各辺の端点と異なる。§A5.9 定理 3.1により、

AX‾XB‾BR‾RP‾PQ‾QA‾=−1\frac{\overline{\mathrm{AX}}}{\overline{\mathrm{XB}}} \frac{\overline{\mathrm{BR}}}{\overline{\mathrm{RP}}} \frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\overline{\mathrm{QA}}}=-1

である。一方、直線AR,BQ,PY\mathrm{AR},\mathrm{BQ},\mathrm{PY}は有限な点S\mathrm{S}で交わり、Y\mathrm{Y}はA,B\mathrm{A},\mathrm{B}と異なるので、§A5.9 定理 5.2により

AY‾YB‾BR‾RP‾PQ‾QA‾=1\frac{\overline{\mathrm{AY}}}{\overline{\mathrm{YB}}} \frac{\overline{\mathrm{BR}}}{\overline{\mathrm{RP}}} \frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\overline{\mathrm{QA}}}=1

である。ここに現れる比はすべて有限で00ではない。二つの等式の商をとると、共通の二辺の比が消え、

AX‾/XB‾AY‾/YB‾=−1\frac{\overline{\mathrm{AX}}/\overline{\mathrm{XB}}} {\overline{\mathrm{AY}}/\overline{\mathrm{YB}}}=-1

となる。したがって、Y\mathrm{Y}はX\mathrm{X}の調和共役である。

四直線AP,BP,AR,BQ\mathrm{AP},\mathrm{BP},\mathrm{AR},\mathrm{BQ}の六つの交点はP,A,Q,R,B,S\mathrm{P},\mathrm{A},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{B},\mathrm{S}であり、一般位置の仮定により相異なる。よって四直線は完全四辺形をなし、その対角線はPS,AB,QR\mathrm{PS},\mathrm{AB},\mathrm{QR}である。▨

7 アフィン座標による別証明

証明. アフィン座標をA=(0,0)\mathrm{A}=(0,0)、B=(1,0)\mathrm{B}=(1,0)、P=(0,1)\mathrm{P}=(0,1)となるようにとる。直線上のアフィン変換は全ての符号つきの長さを同じ非零定数倍するので、符号つきの長さの比と複比を変えない。したがって、この座標でX=(u,0)\mathrm{X}=(u,0)と書いてよい。補助線の一般位置の仮定により、ある実数q,rq,rを用いて

Q=(0,q),R=(1−r,r)\mathrm{Q}=(0,q), \qquad \mathrm{R}=(1-r,r)

と表すことができる。Q,R\mathrm{Q},\mathrm{R}が三角形の頂点と異なるので、q,r≠0,1q,r\ne0,1である。Q,R,X\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{X}が一直線上にあることを、2本のベクトルの行列式が 0であることとして書くと

u=q(1−r)q−r.u=\frac{q(1-r)}{q-r}.

ここでq−r≠0q-r\ne0は、QR\mathrm{QR}がAB\mathrm{AB}と平行でなく有限なX\mathrm{X}をもつことから従う。

直線AR\mathrm{AR}はy=r1−rxy=\dfrac{r}{1-r}x、直線BQ\mathrm{BQ}はy=q(1−x)y=q(1-x)である。D:=r+q(1−r)D:=r+q(1-r)と置くと、D≠0D\ne0（AR\mathrm{AR}とBQ\mathrm{BQ}が平行でない）なので、その交点S\mathrm{S}は

S=(q(1−r)D,qrD)\mathrm{S}=\left(\frac{q(1-r)}{D},\frac{qr}{D}\right)

となる。r+q−2qr=(q−r)(2u−1)≠0r+q-2qr=(q-r)(2u-1)\ne0である。P=(0,1)\mathrm{P}=(0,1)とS\mathrm{S}を結ぶ直線がy=0y=0と交わる点の座標をvvとすれば、直線のパラメータ表示から

v=q(1−r)r+q−2qr.v=\frac{q(1-r)}{r+q-2qr}.

先ほどのu=q(1−r)/(q−r)u= q(1-r)/(q-r)を代入して整理すると

v=u2u−1.v=\frac{u}{2u-1}.

u≠12u\ne\tfrac12なので分母は0ではなく、Y\mathrm{Y}は有限である。さらにu≠0,1u\ne0,1と相異点の仮定からv≠0,1v\ne0,1であり、定義域の条件も満たす。よって

AX‾XB‾=u1−u,AY‾YB‾=v1−v=uu−1=−u1−u.\frac{\overline{\mathrm{AX}}}{\overline{\mathrm{XB}}} =\frac{u}{1-u}, \qquad \frac{\overline{\mathrm{AY}}}{\overline{\mathrm{YB}}} =\frac{v}{1-v} =\frac{u}{u-1} =-\frac{u}{1-u}.

従ってその商は−1-1である。さらにP=AP∩BP\mathrm{P}=\mathrm{AP}\cap\mathrm{BP}、S=AR∩BQ\mathrm{S}=\mathrm{AR}\cap\mathrm{BQ}、A=AP∩AR\mathrm{A}=\mathrm{AP}\cap\mathrm{AR}、B=BP∩BQ\mathrm{B}=\mathrm{BP}\cap\mathrm{BQ}、Q=AP∩BQ\mathrm{Q}=\mathrm{AP}\cap\mathrm{BQ}、R=BP∩AR\mathrm{R}=\mathrm{BP}\cap\mathrm{AR}なので、4直線は完全四辺形であり、その対角線はPS,AB,QR\mathrm{PS},\mathrm{AB},\mathrm{QR}である。構成上X=QR∩AB\mathrm{X}=\mathrm{QR}\cap\mathrm{AB}、Y=PS∩AB\mathrm{Y}=\mathrm{PS}\cap\mathrm{AB}だから、作図の主張も示された。▨

8 平行線を用いた中点の作図

問題 8.1. 相異なる二点A,B\mathrm{A},\mathrm{B}と、直線AB\mathrm{AB}とは異なる平行線ggが与えられている。目盛りのない定規だけを用いて線分AB\mathrm{AB}の中点を作図し、作図が正しいことを証明せよ。定規では、すでにある二点を結ぶ直線を引き、二直線の交点を取ることができるものとする。また、補助点を任意に選んでよい。

解答.

直線ggに関してA,B\mathrm{A},\mathrm{B}と反対側に点P\mathrm{P}を選ぶ。直線PA,PB\mathrm{PA},\mathrm{PB}とggの交点をそれぞれQ,R\mathrm{Q},\mathrm{R}とする。続いて

S=AR∩BQ,M=PS∩AB\mathrm{S}=\mathrm{AR}\cap\mathrm{BQ},\qquad \mathrm{M}=\mathrm{PS}\cap\mathrm{AB}

を作る。

P\mathrm{P}とA,B\mathrm{A},\mathrm{B}はggの反対側にあるので、Q,R\mathrm{Q},\mathrm{R}はそれぞれ線分PA,PB\mathrm{PA},\mathrm{PB}の内部にある。四角形ABRQ\mathrm{ABRQ}は凸な台形なので、その対角線AR,BQ\mathrm{AR},\mathrm{BQ}は内部の一点S\mathrm{S}で交わる。S\mathrm{S}は三角形△PAB\triangle\mathrm{PAB}の内部にあるため、半直線PS\mathrm{PS}は線分AB\mathrm{AB}の内部で交わる。したがって、作図の交点はすべて有限に定まり、M\mathrm{M}は辺AB\mathrm{AB}の内部点である。

QR∥AB\mathrm{QR}\parallel\mathrm{AB}なので、平行線の角と§A5.1 定理 3.1 (1)により△PQR∼△PAB\triangle\mathrm{PQR}\sim\triangle\mathrm{PAB}である。

k=PQPA=PRPB(0<k<1)k=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PB}} \quad(0<k<1)

と置くと、

BRRP=1−kk,PQQA=k1−k\frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RP}}=\frac{1-k}{k},\qquad \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{k}{1-k}

となる。三本の直線AR,BQ,PM\mathrm{AR},\mathrm{BQ},\mathrm{PM}は点S\mathrm{S}で交わるので、三角形△ABP\triangle\mathrm{ABP}に§A5.9 定理 1.3を用いて

AMMB1−kkk1−k=1\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}\frac{1-k}{k}\frac{k}{1-k}=1

を得る。よってAM=MB\mathrm{AM}=\mathrm{MB}であり、M\mathrm{M}は線分AB\mathrm{AB}の中点である。

作図で引いたのは既にある二点を結ぶ直線だけであり、交点を取る操作と合わせて目盛りのない定規で行うことができる。▨

9 内分・外分と符号

補題 9.1.A,B\mathrm{A},\mathrm{B}を異なる点、X\mathrm{X}をその直線上のA,B\mathrm{A},\mathrm{B}と異なる点でX\mathrm{X}が中点でないものとする。X\mathrm{X}の座標をuu、その調和共役の座標をvvとしてA=0,B=1\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=1と正規化すると、v=u/(2u−1)v=u/(2u-1)であり、次が成り立つ。

  1. 0<u<10<u<1ならAX‾/XB‾>0\overline{\mathrm{AX}}/\overline{\mathrm{XB}}>0、AY‾/YB‾<0\overline{\mathrm{AY}}/\overline{\mathrm{YB}}<0。つまりX\mathrm{X}は内分点、Y\mathrm{Y}は外分点。
  2. u<0u<0またはu>1u>1ならX\mathrm{X}は外分点、Y\mathrm{Y}は内分点。
  3. 0<u<120<u<\tfrac12ならv<0v<0、12<u<1\tfrac12<u<1ならv>1v>1。外分点Y\mathrm{Y}がA\mathrm{A}側かB\mathrm{B}側かは、X\mathrm{X}が中点のどちら側にあるかで決まる。

証明.ρ(t):=t/(1−t)\rho(t):=t/(1-t)と置く。0<t<10<t<1なら分子と分母がともに正なのでρ(t)>0\rho(t)>0であり、t<0t<0またはt>1t>1なら分子と分母の符号が異なるのでρ(t)<0\rho(t)<0である。調和条件はρ(v)=−ρ(u)\rho(v)=-\rho(u)だから、X\mathrm{X}とY\mathrm{Y}の比の符号は必ず反対になる。

位置そのものについては、0<u<120<u<\tfrac12ならu>0u>0かつ2u−1<02u-1<0なのでv<0v<0、12<u<1\tfrac12<u<1ならu>0u>0かつ0<2u−1<u0<2u-1<uなのでv>1v>1である。外部の場合は、u<0u<0なら0<v<10<v<1、u>1u>1なら0<v<10<v<1を、それぞれ分母と分子の大小を比較して得る。中点u=12u=\tfrac12はこの式の分母が0になるため、別扱いである。▨

普通の長さだけでAX/XB\mathrm{AX}/\mathrm{XB}とAY/YB\mathrm{AY}/\mathrm{YB}を計算すると、両方とも正になってしまう場合があります。そのとき調和性の−1-1は見えません。内分・外分を一つの式に入れるために、§A5.9 定理 1.2と同じく有向比を使う必要があります。

10 退化・境界ケース

系 10.1. 次の配置では、この記事の有限な点としての調和共役または完全四辺形の構成は適用できない。

  1. A=B\mathrm{A}=\mathrm{B}、またはX=A,B\mathrm{X}=\mathrm{A},\mathrm{B}。四点が相異なるという定義の条件を満たさない。
  2. X\mathrm{X}がAB\mathrm{AB}の中点。調和条件を射影平面まで拡張すればY\mathrm{Y}は無限遠点であるが、実アフィン平面には有限なY\mathrm{Y}がない。
  3. 補助線がAP\mathrm{AP}またはBP\mathrm{BP}と平行、あるいはAR\mathrm{AR}とBQ\mathrm{BQ}が平行になる場合。必要な交点が有限に定まらないので、補助線を一般の位置に選び直す。

証明.A=B\mathrm{A}=\mathrm{B}ならAB\mathrm{AB}は区間を定めず、X=A\mathrm{X}=\mathrm{A}またはB\mathrm{B}ならAX‾\overline{\mathrm{AX}}またはXB‾\overline{\mathrm{XB}}が0になり、定義の前提を破る。

A=0,B=1\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=1の座標でX\mathrm{X}が中点ならu=12u=\tfrac12である。調和条件を展開するとv=u/(2u−1)v=u/(2u-1)だが、これは有限な実数にならない。作図の証明でもPS\mathrm{PS}とAB\mathrm{AB}が平行になり、有限な交点Y\mathrm{Y}が現れない。

最後に、補助線が指定の直線と平行ならQ\mathrm{Q}またはR\mathrm{R}が有限に作れず、AR∥BQ\mathrm{AR}\parallel\mathrm{BQ}ならS\mathrm{S}が有限に作れない。これらは定理の結論が偽になるというより、選んだ作図手順がそのままでは実行できない退化である。補助線を変えれば、u≠12u\ne\tfrac12の通常の配置では一般位置を選べる。▨

射影幾何では無限遠点を加えることで、平行な直線の交点も同じ枠組みに入ります。しかし、ここでの定義は有限な実数の有向比に基づくため、無限遠点を含む複比の定義や射影変換による不変性までは扱われません。それらは「長さが変わっても複比が残る」という次の段階の道具です。

前提記事