中線定理 | 初等幾何学

三角形の頂点から対辺の中点へ線分を引くと、辺の長さに加えて、この線分の長さも考えることになります。三辺の長さが分かっているとき、対辺の中点までの長さをどのように求めればよいでしょうか。

頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線と呼びます。中線定理は、中線と三辺の長さを、それぞれの2乗を用いた一つの等式で結びます。例えば、直角三角形では、直角の頂点から斜辺の中点までの長さが斜辺の半分になります。中線の長さを調べることは、三辺から別の線分の長さを求めるだけでなく、三角形の角を判定することにもつながります。

本記事では、中線の長さを表す等式と、その幾何学的な意味を扱います。

1 中線定理

定理 1.1 (中線定理). 三角形 $\triangle ABC$ で $M$ を $BC$ の中点とし、 $AB=c,\ AC=b,\ BC=a,\ AM=m$ とする。このとき

m^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}.

証明. $A$ から直線 $BC$ へ下ろした垂線の足を $H$ とし、 $r=BM=CM=a/2$ 、 $x=MH$ 、 $h=AH$ と置く。

$H$ が線分 $BC$ 上にあれば、 $BH,CH$ は順序を除いて $r+x,r-x$ である。 $H$ が線分 $BC$ の外部にあれば、 $BH,CH$ は順序を除いて $x+r,x-r$ である。どちらの場合も

BH^2+CH^2=(r+x)^2+(r-x)^2=2r^2+2x^2

が成り立つ。

§A5.4 定理 1.1により、

c^2=h^2+BH^2,\qquad b^2=h^2+CH^2,\qquad m^2=h^2+x^2

である。 $H=B$ のときは最初の式が $c^2=h^2$ 、 $H=C$ のときは二番目の式が $b^2=h^2$ 、 $H=M$ のときは三番目の式が $m^2=h^2$ となり、それぞれ長さの等しさから成り立つ。したがって

b^2+c^2=2h^2+2r^2+2x^2=2m^2+\frac{a^2}{2}.

整理すると、主張の等式を得る。▨

2 中線による直角の判定

問題 2.1. 三角形 $\triangle ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とする。 $\angle BAC$ が直角であることと、 $AM=BC/2$ であることが同値であることを、中線定理を用いて証明せよ。

解答.

$a=BC$ 、 $b=CA$ 、 $c=AB$ 、 $m=AM$ と置く。定理 1.1により、

m^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}

である。

$\angle BAC$ が直角ならば、§A5.4 定理 1.1により $b^2+c^2=a^2$ であるから、 $m^2=a^2/4$ となる。 $m,a$ は正なので、 $m=a/2$ である。

逆に $m=a/2$ ならば、中線定理に代入して

\frac{a^2}{4}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}

を得る。したがって $b^2+c^2=a^2$ であり、§A5.4 定理 1.1の逆の向きから $\angle BAC$ は直角である。▨

3 ベクトルによる別証明

証明. $M$ を原点とし、 $\vec{MA}=\mathbf v$ 、 $\vec{MB}=\mathbf u$ と置く。 $M$ は $BC$ の中点なので $\vec{MC}=-\mathbf u$ であり、

m^2=|\mathbf v|^2,\quad c^2=|\mathbf v-\mathbf u|^2,\quad b^2=|\mathbf v+\mathbf u|^2,\quad a^2=|2\mathbf u|^2.

よって

b^2+c^2 =|\mathbf v+\mathbf u|^2+|\mathbf v-\mathbf u|^2 =2|\mathbf v|^2+2|\mathbf u|^2 =2m^2+\frac{a^2}{2}.

整理して $m^2=(b^2+c^2)/2-a^2/4$ を得る。▨

注意 3.1. 三点 $A,B,C$ が同一直線上にある退化配置でも、上のベクトルの平方展開は成り立つ。したがって、中線の長さを表す等式も成り立つ。

§A5.11中線定理

1 中線定理

2 中線による直角の判定

3 ベクトルによる別証明

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