§A5.12ヴィヴィアーニの定理

最終更新 2026-10-05

正三角形の内部で点を動かすと、点から各辺を含む直線までの距離も変わります。一つの辺に近づけば、その辺を含む直線までの距離は小さくなりますが、三つの距離の和まで変わるとは限りません。

ヴィヴィアーニの定理は、この和が点の位置によらず、正三角形の高さに等しいことを述べます。例えば、点を辺の上へ移すと、その辺を含む直線までの距離は0になりますが、残る二つの距離の和は正三角形の高さに等しいままです。個々の長さが変わっても一定に保たれる量を見いだすことは、図形の変化を理解するうえで重要です。

本記事では、正三角形の点から三辺を含む直線までの距離の和と、点を置く位置との関係を扱います。

1 ヴィヴィアーニの定理

定理 1.1 (ヴィヴィアーニの定理). 一辺の長さが $s>0$ 、高さが $h$ の正三角形 $\triangle ABC$ を考える。内部または境界上の点 $P$ から、直線 $BC,CA,AB$ までの距離をそれぞれ $x,y,z$ とすると、

x+y+z=h=\frac{\sqrt3}{2}s

が成り立つ。

図では内部の点を動かしていますが、観察は証明ではなく、内部と境界のすべての点についての等式は次の面積計算で示します。

証明. $[XYZ]$ で三角形 $\triangle XYZ$ の面積を表し、三点が一直線上にある場合には $[XYZ]=0$ とする。 $P$ が $\triangle ABC$ の内部または境界上にあるので、三つの小三角形の内部は互いに重ならず、

[PBC]+[PCA]+[PAB]=[ABC]

である。各小三角形の底辺の長さは $s$ 、高さはそれぞれ $x,y,z$ なので、

[PBC]=\frac12sx,\qquad [PCA]=\frac12sy,\qquad [PAB]=\frac12sz.

境界上では一つまたは二つの小三角形の面積が $0$ となるが、同じ等式が成り立つ。全体の面積は $sh/2$ だから、

\frac12s(x+y+z)=\frac12sh.

$s>0$ より、 $x+y+z=h$ である。

$A$ から $BC$ へ下ろした垂線の足を $D$ とする。直角三角形 $\triangle ADB$ と $\triangle ADC$ は斜辺と一辺がそれぞれ等しいので合同であり、 $BD=CD=s/2$ である。§A5.4 定理 1.1により、

h^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2=s^2.

$h>0$ なので、 $h=\sqrt3s/2$ を得る。▨

例 1.2. 高さが $h$ の正三角形 $\triangle ABC$ において、 $A$ を直線 $BC$ に関して反射した点を $P$ とする。 $P$ は三角形の外部にあり、直線 $BC$ までの距離は $h$ である。 $P$ は直線 $CA,AB$ のいずれの上にもないので、直線 $CA,AB$ までの距離はともに正である。したがって、三辺を含む三直線までの距離の和は $h$ より大きい。

前提記事

§A5.4三平方の定理とその逆