Kan 拡張 | 圏論 I | 数学汎典

1 Kan 拡張と普遍射

定義 1.1 (Kan 拡張). $\mathcal A,\mathcal B$ を $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を圏、 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ を関手とする。前合成関手 (precomposition functor) $K^*:[\mathcal B,\mathcal D]\to[\mathcal A,\mathcal D]$ を $G\mapsto G\circ K$ 、 $\delta\mapsto(\delta_{K(a)})_a$ で定める。関手 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ に対して次の二つを定める。

左 Kan 拡張 (left Kan extension) とは、関手 $L:\mathcal B\to\mathcal D$ と自然変換 $\eta:F\Rightarrow LK$ の組であって、任意の $G:\mathcal B\to\mathcal D$ と $\gamma:F\Rightarrow GK$ に対し、 $K^*(\delta)\circ\eta=\gamma$ を満たす自然変換 $\delta:L\Rightarrow G$ がただ一つ存在するものをいう。 $L=\operatorname{Lan}_KF$ と書く。
右 Kan 拡張 (right Kan extension) とは、関手 $R:\mathcal B\to\mathcal D$ と自然変換 $\varepsilon:RK\Rightarrow F$ の組であって、任意の $G$ と $\gamma:GK\Rightarrow F$ に対し、 $\varepsilon\circ K^*(\delta)=\gamma$ を満たす自然変換 $\delta:G\Rightarrow R$ がただ一つ存在するものをいう。 $R=\operatorname{Ran}_KF$ と書く。

命題 1.2. $\mathcal A,\mathcal B$ を $V$ -小圏、 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ を関手、 $\mathcal D$ を圏とする。このとき、次が成り立つ。

$(L,\eta)$ が $F$ の左 Kan 拡張であることは、 $\eta:F\to K^*(L)$ が $F$ から $K^*$ への普遍射であるための必要十分条件である。左 Kan 拡張は $\eta$ と両立する一意な自然同型を除いて一意である。
各 $F$ の左 Kan 拡張 $(L_F,\eta_F)$ の族が与えられれば、 $F\mapsto L_F$ は $\eta_F$ が $F$ について自然になる関手 $\operatorname{Lan}_K$ に一意に延び、 $\operatorname{Lan}_K\dashv K^*$ である。逆に $K^*$ の左随伴が unit とともに与えられれば、各 $F$ での値と unit の組は左 Kan 拡張である。
各 $F$ の右 Kan 拡張 $(R_F,\varepsilon_F)$ の族が与えられれば、 $F\mapsto R_F$ は $\varepsilon_F$ が $F$ について自然になる関手 $\operatorname{Ran}_K$ に一意に延び、 $K^*\dashv\operatorname{Ran}_K$ であり、counit は $\varepsilon$ である。逆に $K^*$ の右随伴が counit とともに与えられれば、各 $F$ での値と counit の組は右 Kan 拡張である。

証明. 前合成は自然変換の恒等射と合成を成分ごとに保つ。主張 (1)を示す。二つの条件は同じ一意な分解を述べているため、一意性は§E9.10 命題 3.3による。主張 (2)を示す。§E9.10 命題 3.2 (1)を関手 $K^*$ に適用する。逆向きは§E9.10 補題 2.2の unit による復元式から従う。

主張 (3)を示す。§E9.10 命題 3.2を関手 $K^*$ に適用する。逆向きは§E9.10 補題 2.2の counit による復元式から従う。 $\mathcal D$ も $V$ -小なら関手圏は $V$ -小であり、各 $F$ での存在から§E9.10 命題 3.4 (2)によって族を得る。一般の $\mathcal D$ では族をデータとして与える。▨

2 コンマ圏

定義 2.1 (コンマ圏). 関手 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ と $b\in\mathcal B$ に対して次の圏を定める。

コンマ圏 (comma category) $(K\downarrow b)$ の対象は組 $(a,f:K(a)\to b)$ 、射 $(a,f)\to(a',f')$ は $f'\circ K(u)=f$ を満たす $u:a\to a'$ である。
$(b\downarrow K)$ の対象は組 $(a,g:b\to K(a))$ 、射 $(a,g)\to(a',g')$ は $K(u)\circ g=g'$ を満たす $u:a\to a'$ である。

合成と恒等射は $\mathcal A$ から受け継ぐ。対象 $(a,f)$ または $(a,g)$ を $a$ に送る射影関手を、それぞれ $\pi_b$ 、 $\pi^b$ と書く。射 $\beta:b\to b'$ は $(a,f)\mapsto(a,\beta f)$ によって $(K\downarrow b)\to(K\downarrow b')$ を、 $(a,g)\mapsto(a,g\beta)$ によって $(b'\downarrow K)\to(b\downarrow K)$ を定める。

命題 2.2. 関手 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ について、次が成り立つ。

$\mathcal B$ が局所 $V$ -小なら、 $(K\downarrow b)$ は前層 $\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(K(-),b)$ の元の圏であり、 $(b\downarrow K)$ は共変関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(b,K(-))$ の元の圏である。射影も一致する。
$\mathcal A$ が $V$ -小で $P$ がその前層なら、米田埋め込み $y$ に対して $(y\downarrow P)$ と $\int P$ の間に射影と両立する圏同型がある。
$\mathcal A$ が $V$ -小で $\mathcal B$ が局所 $V$ -小なら、 $(K\downarrow b)$ と $(b\downarrow K)$ は $V$ -小である。

証明. コンマ圏の射の条件は合成で保たれ、射影と $\beta$ による対応も同じ合成を保つ。主張 (1)を示す。§E9.7 命題 4.1の条件 $P(u)(x')=x$ または $F(u)(x)=x'$ に Hom 関手を代入したものである。主張 (2)の証明は問題 9.1 (1)の演習とする。

主張 (3)を示す。 $(K\downarrow b)$ の対象集合は $\coprod_{a\in\mathcal A}\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(K(a),b)$ であり、 $V$ に属する。両端を含む射のデータは $\coprod_{u:a\to a'}\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(K(a'),b)$ で符号化されるため、その集合も $V$ に属する。 $(b\downarrow K)$ では対象に $\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(b,K(a))$ を、射にも $u$ の始域 $a$ についての同じ Hom を用いる。▨

3 各点 Kan 拡張

定義 3.1 (各点 Kan 拡張). $\mathcal A$ を $V$ -小圏、 $\mathcal B$ を局所 $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を圏とし、 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ 、 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ を与える。

関手 $L:\mathcal B\to\mathcal D$ と自然変換 $\eta:F\Rightarrow LK$ の組が各点左 Kan 拡張 (pointwise left Kan extension) であるとは、各 $b\in\mathcal B$ において $(L(f)\circ\eta_a:F(a)\to L(b))_{(a,f)\in(K\downarrow b)}$ が $F\pi_b$ の余極限錐であることをいう。
関手 $R:\mathcal B\to\mathcal D$ と自然変換 $\varepsilon:RK\Rightarrow F$ の組が各点右 Kan 拡張 (pointwise right Kan extension) であるとは、各 $b$ において $(\varepsilon_a\circ R(g):R(b)\to F(a))_{(a,g)\in(b\downarrow K)}$ が $F\pi^b$ の極限錐であることをいう。

各点拡張にも $\operatorname{Lan}_KF$ 、 $\operatorname{Ran}_KF$ の記号を用いる。 $\mathcal B$ が $V$ -小でない場合、関手と自然変換は構成で与え、その組について各点の条件を課す。

命題 3.2. 関手 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ 、 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ について、次が成り立つ。

$\mathcal A,\mathcal B$ が $V$ -小なら、 $(R,\varepsilon)$ が右 Kan 拡張であることは、 $(R^{\mathrm{op}},\varepsilon^{\mathrm{op}})$ が $F^{\mathrm{op}}$ の $K^{\mathrm{op}}$ に沿う左 Kan 拡張であるための必要十分条件である。
$\mathcal A$ が $V$ -小、 $\mathcal B$ が局所 $V$ -小なら、同じ対応は各点右 Kan 拡張と各点左 Kan 拡張を対応させる。

証明.主張 (1)を示す。§E9.9 命題 2.1の反対関手と自然変換の対応は前合成と両立し、 $\varepsilon\circ(\delta K)=\gamma$ を $(\delta^{\mathrm{op}}K^{\mathrm{op}})\circ\varepsilon^{\mathrm{op}}=\gamma^{\mathrm{op}}$ に移す。

主張 (2)を示す。 $(b\downarrow K)^{\mathrm{op}}\to(K^{\mathrm{op}}\downarrow b)$ を対象上では同じ組、射上では同じ反対圏の射で与えると射影と両立する圏同型になる。§E9.5 命題 2.1によって極限錐は余極限錐に移る。▨

定理 3.3. $\mathcal A$ を $V$ -小圏、 $\mathcal B$ を局所 $V$ -小圏とし、 $(L,\eta)$ を $F:\mathcal A\to\mathcal D$ の $K:\mathcal A\to\mathcal B$ に沿う各点左 Kan 拡張とする。関手 $G:\mathcal B\to\mathcal D$ と自然変換 $\gamma:F\Rightarrow GK$ が与えられたとする。このとき、各 $b$ において $\delta_b\circ L(f)\circ\eta_a=G(f)\circ\gamma_a\qquad ((a,f)\in(K\downarrow b))$ を満たす一意な射 $\delta_b:L(b)\to G(b)$ が定まり、その族は自然変換 $\delta:L\Rightarrow G$ である。 $\delta_{K(a)}\circ\eta_a=\gamma_a$ であり、この条件を満たす自然変換は $\delta$ に限る。 $\mathcal B$ が大きい場合も、与えられた $G,\gamma$ ごとにこの構成を行う。

証明. $(K\downarrow b)$ の射 $u:(a,f)\to(a',f')$ に対し $G(f')\circ\gamma_{a'}\circ F(u)=G(f')\circ G(K(u))\circ\gamma_a=G(f)\circ\gamma_a$ である。したがって右辺の族は余錐であり、各点の余極限の普遍性が $\delta_b$ を一意に定める。 $\beta:b\to b'$ に対して $G(\beta)\circ\delta_b$ と $\delta_{b'}\circ L(\beta)$ を各入射 $L(f)\circ\eta_a$ と合成すると、ともに $G(\beta f)\circ\gamma_a$ になる。余極限の一意性から両射は等しく、 $\delta$ は自然である。

対象 $(a,\mathrm{id}_{K(a)})$ での定義式は $\delta_{K(a)}\circ\eta_a=\gamma_a$ を与える。別の自然変換 $\delta'$ がこの条件を満たせば、 $f:K(a)\to b$ についての自然性により $\delta'_b\circ L(f)\circ\eta_a=G(f)\circ\gamma_a$ となる。各点の一意性から $\delta'_b=\delta_b$ である。▨

命題 3.4. $\mathcal A$ が $V$ -小、 $\mathcal B$ が局所 $V$ -小で、 $(L,\eta),(L',\eta')$ が $F$ の $K$ に沿う各点左 Kan 拡張であるとする。このとき、 $\sigma_{K(a)}\circ\eta_a=\eta'_a$ を満たす自然変換 $\sigma:L\Rightarrow L'$ はただ一つ存在し、自然同型である。その成分は $\sigma_b\circ L(f)\circ\eta_a=L'(f)\circ\eta'_a$ をすべての $(a,f)$ について満たす一意な射である。

証明.定理 3.3を $(G,\gamma)=(L',\eta')$ に適用して $\sigma$ を構成し、逆向きにも適用して $\sigma':L'\Rightarrow L$ を構成する。 $\sigma'\sigma$ と恒等自然変換はともに $\eta$ と両立するため、同定理の一意性から等しい。 $\sigma\sigma'$ も同じく恒等自然変換になる。▨

4 各点の公式と存在

定理 4.1. $\mathcal A$ を $V$ -小圏、 $\mathcal B$ を局所 $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を圏とし、関手 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ 、 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ を与える。このとき、次が成り立つ。

各点左 Kan 拡張 $(L,\eta)$ は、各 $b$ の余極限錐 $(L(b),(\lambda^b_{(a,f)}))$ 、 $\lambda^b_{(a,f)}=L(f)\circ\eta_a$ を与える。
逆に、各 $b$ に $F\pi_b$ の余極限錐 $(L(b),(\lambda^b_{(a,f)}))$ の族が与えられれば、 $L(\beta)\circ\lambda^b_{(a,f)}=\lambda^{b'}_{(a,\beta f)}$ を満たす関手 $L$ が一意に定まる。 $\eta_a=\lambda^{K(a)}_{(a,\mathrm{id})}$ は自然変換を定め、 $(L,\eta)$ は各点左 Kan 拡張である。したがって $\operatorname{Lan}_KF(b)=\operatorname{colim}_{(a,f)\in(K\downarrow b)}F(a),\qquad L(f)\circ\eta_a=\lambda^b_{(a,f)}.$
前二項の構成は互いに逆である。
$\mathcal B$ が $V$ -小で各 $F\pi_b$ の余極限が存在するなら、第二項の族が存在し、各点左 Kan 拡張が存在する。特に $\mathcal D$ が余完備なら成り立つ。 $\mathcal B$ が小さいとは限らない場合も、 $\mathcal D$ に余極限の選択が与えられれば、その規則を各 $F\pi_b$ に適用して第二項の族と各点左 Kan 拡張を構成することができる。
双対に、各 $b$ の $F\pi^b$ の極限錐の族は、各点右 Kan 拡張と互いに対応する。その値は $\operatorname{Ran}_KF(b)=\lim_{(a,g)\in(b\downarrow K)}F(a)$ であり、 $\varepsilon_a$ は $(a,\mathrm{id})$ での射影である。第四項の存在と選択についても、余極限を極限に替えた主張が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。各点拡張の条件は、主張の余極限錐の条件そのものである。

主張 (2)を示す。余極限錐の族を与える。 $\beta:b\to b'$ に対し $(\lambda^{b'}_{(a,\beta f)})_{(a,f)}$ は $F\pi_b$ の余錐なので、普遍性から $L(\beta)$ が一意に定まる。 $\mathrm{id}_{L(b)}$ は $L(\mathrm{id}_b)$ の定義式を満たすので、一意性から $L(\mathrm{id}_b)=\mathrm{id}_{L(b)}$ である。 $\beta':b'\to b''$ に対して $L(\beta')L(\beta)$ と $L(\beta'\beta)$ は各入射との合成が $\lambda^{b''}_{(a,\beta'\beta f)}$ に一致するため等しい。したがって $L$ は関手である。

$u:a\to a'$ を $(K\downarrow K(a'))$ の射 $(a,K(u))\to(a',\mathrm{id})$ とみなすと、余錐の条件から $\eta_{a'}F(u)=\lambda^{K(a')}_{(a,K(u))}=L(K(u))\eta_a$ を得る。この等式は $\eta$ の自然性を表す。 $\beta=f$ の定義式から $L(f)\eta_a=\lambda^b_{(a,f)}$ が従うので、 $(L,\eta)$ は各点拡張の条件を満たす。

主張 (3)を示す。元の $(L,\eta)$ から出発した場合、 $L$ の射への作用が同じ定義式を満たすので、一意性から元の $(L,\eta)$ を得る。族から出発した場合も最後の等式が同じ族を復元する。

主張 (4)を示す。 $\mathcal B$ が $V$ -小なら、添字 $\operatorname{Ob}\mathcal B$ は $V$ の元である。各余極限錐は頂点と $V$ -小なコンマ圏で添字づけた射の族の組なので $V$ の元である。§E1.21 命題 4.1を適用して各 $b$ の錐を選び、 $V$ の閉包性によってその族を得る。 $\mathcal D$ も $V$ -小なら通常の選択公理で十分である。余極限の選択が与えられている場合は、その規則を使うだけである。大きい $\mathcal B$ では与えられた規則ごとに後者の構成を適用し、すべての対象にわたる選択は行わない。

主張 (5)を示す。ここまでの構成を $K^{\mathrm{op}},F^{\mathrm{op}}$ に適用し、命題 3.2 (2)によって戻したものである。▨

命題 4.2. $\mathcal A,\mathcal B$ を $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を圏とし、 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ 、 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ を与える。このとき、次が成り立つ。

各点左 Kan 拡張は左 Kan 拡張である。
各 $b$ において $F\pi_b$ の余極限が存在するなら、左 Kan 拡張は各点左 Kan 拡張である。 $\mathcal D$ の余完備性はこの十分条件である。
右 Kan 拡張についても、余極限を極限に替えて同じ二つの主張が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。定理 3.3の結論が Kan 拡張の普遍性そのものであることによる。

主張 (2)を示す。定理 4.1 (4)によって各点左 Kan 拡張 $(L',\eta')$ を取る。第一項と命題 1.2 (1)により、与えられた左 Kan 拡張 $(L,\eta)$ との間に $\sigma_{K(a)}\eta'_a=\eta_a$ を満たす自然同型 $\sigma:L'\Rightarrow L$ がある。自然性から $L(f)\eta_a=\sigma_bL'(f)\eta'_a$ である。この余錐からの媒介射は $L'$ の余極限の媒介射に $\sigma_b^{-1}$ を前合成したものであり、一意である。したがって $(L,\eta)$ も各点拡張である。

主張 (3)を示す。命題 3.2による。▨

例 4.3. 五元の半順序集合 $\mathcal D=\{p_1,p_2,u_1,u_2,q\}$ の順序を、 $p_i\le u_1,p_i\le u_2$ と $u_1\le q$ から生成する。 $p_1,p_2$ の上界は $u_1,u_2,q$ であり、 $u_1,u_2$ は比較不能なので最小上界はない。 $\mathcal B=\{a_1,a_2,b,c\}$ を $a_i\le b\le c$ で順序づけ、 $\mathcal A=\{a_1,a_2,c\}$ を充満部分圏、 $K$ を包含とする。 $F(a_i)=p_i,F(c)=q$ と置く。

$L(a_i)=p_i,L(b)=u_1,L(c)=q$ と恒等の $\eta:F\Rightarrow LK$ は左 Kan 拡張である。実際、 $F\le GK$ を満たす単調写像 $G$ について、 $G(c)\ge q$ から $G(c)=q$ である。 $G(b)$ は $p_1,p_2$ の上界で $q$ 以下なので $u_1$ または $q$ であり、 $L(b)=u_1\le G(b)$ となる。他の対象でも $L\le G$ であり、順序の圏では自然変換は一意である。

しかし $(K\downarrow b)$ は離散二点の圏であり、 $p_i\le u_1$ という余錐は $u_2$ への余錐を分解しない。したがってこの左 Kan 拡張は各点拡張ではない。 $a_i,c$ でのコンマ圏は対応する恒等射の対象を終対象にもつため、各点の条件が破れるのは $b$ だけである。

系 4.4. $\mathcal A,\mathcal B$ を $V$ -小圏、 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ を関手とする。ただし最後の項では $\mathcal B$ を局所 $V$ -小圏とする。このとき、次が成り立つ。

$\mathcal D$ が余完備なら、各 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ に左 Kan 拡張が存在する。この左 Kan 拡張は各点左 Kan 拡張である。
$\mathcal D$ が局所 $V$ -小で余極限の選択をもつなら、その選択と各点の公式から関手 $\operatorname{Lan}_K$ と随伴 $\operatorname{Lan}_K\dashv K^*$ が定まる。unit は各点の公式の $\eta$ であり、二つの選択から得られる関手は自然同型である。
$\mathcal D$ が完備なら各 $F$ に各点右 Kan 拡張が存在する。 $\mathcal D$ が局所 $V$ -小で極限の選択をもつなら、 $K^*\dashv\operatorname{Ran}_K$ が定まり、counit は各点の公式の $\varepsilon$ である。
$\mathcal B$ が局所 $V$ -小で、 $\mathcal D$ に余極限の選択が与えられていれば、各 $F$ に各点左 Kan 拡張 $L_F$ が構成される。構成で与えた $G:\mathcal B\to\mathcal D$ ごとに、 $\delta\mapsto(\delta_{K(a)}\eta_a)_a$ は自然変換 $L_F\Rightarrow G$ と $F\Rightarrow GK$ の一対一の対応を与える。 $\mathcal B$ が $V$ -小でない場合は、 $[\mathcal B,\mathcal D]$ を圏として扱わず、この対応を $F,G$ ごとの構成として用いる。

証明.主張 (1)を示す。定理 4.1 (4)と命題 4.2による。

主張 (2)を示す。与えられた選択から各 $F$ の拡張の族を構成し、命題 1.2 (2)を適用する。関手圏は§E9.3 命題 4.5によって局所 $V$ -小なので、随伴対応は Hom 集合の全単射である。

二つの選択を比較する自然同型 $\sigma_F:L_1F\Rightarrow L_2F$ は命題 3.4によって得られる。 $\tau:F\Rightarrow F'$ に対して $\sigma_{F'}L_1(\tau)$ と $L_2(\tau)\sigma_F$ は、すべての余極限入射との合成が同じになるので等しい。したがって $\sigma$ は $F$ についても自然である。

主張 (3)を示す。双対の公式と命題 1.2 (3)を用いる。

主張 (4)を示す。与えられた余極限の選択に各点の公式を適用し、定理 3.3の構成を用いる。▨

例 4.5. 離散圏 $\N$ から一点の圏への関手 $K$ と、各対象を一点集合に送る $F:\N\to\mathbf{FinSet}$ を取る。このとき、 $F$ の $K$ に沿う左 Kan 拡張は存在しない。存在すれば有限集合 $L$ と点の族 $(\eta_n)_{n\in\N}$ があり、任意の有限集合 $Z$ と族 $(z_n)$ に対し、 $\delta(\eta_n)=z_n$ を満たす写像 $\delta:L\to Z$ がただ一つ存在する。しかし $L$ は有限なので、 $\eta_m=\eta_n$ を満たす異なる $m,n$ がある。 $Z=\{0,1\}$ とし、 $z_m=0,z_n=1$ となる族を取れば、同じ点の像が異なる値をとることになって矛盾する。ここでは各点拡張だけでなく、Kan 拡張そのものが存在しない。

5 充満忠実な関手と米田埋め込み

命題 5.1. $\mathcal A$ を $V$ -小圏、 $\mathcal B$ を局所 $V$ -小圏とし、 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ を充満忠実な関手とする。このとき、 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ の各点左 Kan 拡張 $(L,\eta)$ に対し、 $\eta:F\Rightarrow LK$ は自然同型である。

証明. $(K\downarrow K(a))$ の任意の対象 $(a',f)$ に対して、 $K(u)=f$ を満たす $u:a'\to a$ は充満忠実性によりただ一つ存在する。したがって $(a,\mathrm{id})$ は終対象である。§E9.6 命題 1.6により $F(a)$ と終対象への射の像も同じ図式の余極限錐になる。その錐から $L(K(a))$ への比較射は $\eta_a$ なので、§E9.5 命題 2.3 (2)によって同型である。▨

命題 5.2. $\mathcal A$ を $V$ -小圏、 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ を関手、 $y:\mathcal A\to\widehat{\mathcal A}$ を米田埋め込みとする。このとき、次が成り立つ。

各前層 $P$ について $(y\downarrow P)$ は $V$ -小圏 $\int P$ と射影に両立して同型である。 $\mathcal D$ が余完備なら各 $P$ で $\operatorname{colim}_{(a,x)\in\int P}F(a)$ が存在する。その余極限錐の族が $P$ ごとに与えられていれば、各点左 Kan 拡張 $\operatorname{Lan}_yF$ が構成され、その値はこの余極限である。 $\mathcal D$ の余極限の選択はこの族を与える。
$y$ に沿う各点左 Kan 拡張の unit は自然同型である。
恒等関手と恒等自然変換 $y\Rightarrow\mathrm{id}\circ y$ は、 $y$ の $y$ に沿う各点左 Kan 拡張である。したがって任意の各点左 Kan 拡張 $\operatorname{Lan}_yy$ は恒等関手と標準的に自然同型である。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.2と定理 4.1を適用する。前層圏は§E9.3 命題 4.5により局所 $V$ -小なので各点の公式を適用することができる。

主張 (2)を示す。米田埋め込みは§E9.7 命題 3.3により充満忠実なので、命題 5.1を適用する。

主張 (3)を示す。 $F=y,L=\mathrm{id}$ とすると、各 $P$ の入射は自然変換 $\alpha:h_a\Rightarrow P$ そのものである。米田対応で $\alpha$ に対応する $x=\alpha_a(\mathrm{id}_a)$ を用いれば、この入射の族は§E9.9 定理 4.1の余極限錐に一致する。したがって $(\mathrm{id},\mathrm{id})$ は各点拡張の条件を満たし、他の拡張との比較は命題 3.4による。▨

注意 5.3. $\mathcal A$ が非空なら、各集合 $S\in V$ を値とする定値前層があるため、 $\widehat{\mathcal A}$ は $V$ -小ではない。この場合、各前層について余極限が存在するという事実から、すべての前層にわたる族を選ぶことはしない。命題 5.2 (2)と命題 5.2 (3)には選択を要しない。 $\mathcal A$ が空なら前層圏は一点の圏である。

6 余極限と評価関手

例 6.1. $V$ -小圏 $\mathcal J$ から一点の圏への関手 $K:\mathcal J\to\mathbf1$ に対し、 $(K\downarrow*)$ と $(*\downarrow K)$ はともに $\mathcal J$ と射影に両立して同型である。一点での評価 $[\mathbf1,\mathcal D]\to\mathcal D$ と、その逆である一点上の関手を作る操作のもとで、 $K^*$ は定値図式関手になる。したがって各 $F$ の余極限または極限が存在すれば、各点の公式はそれぞれ $\operatorname{Lan}_KF=\operatorname{colim}F$ 、 $\operatorname{Ran}_KF=\lim F$ となる。各図式の選択を与えた場合の随伴は§E9.11 命題 3.3の $\operatorname{colim}\dashv\Delta_{\mathcal J}\dashv\lim$ に一致する。

命題 6.2. $V$ -小圏 $\mathcal B$ の対象 $c$ を選び、 $K:\mathbf1\to\mathcal B$ を $c$ を指す関手とする。このとき、前合成は評価 $\mathrm{ev}_c$ である。余完備な圏 $\mathcal D$ の各対象 $X$ について、各点左 Kan 拡張は $\operatorname{Lan}_KX(b)=\coprod_{f\in\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(c,b)}X$ で与えられる。完備な $\mathcal D$ では各点右 Kan 拡張は $\operatorname{Ran}_KX(b)=\prod_{g\in\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(b,c)}X$ で与えられる。 $\mathcal D$ が局所 $V$ -小で対応する余極限または極限の選択をもつ場合、これらは評価関手の左随伴または右随伴を定める。

証明. $(K\downarrow b)$ は $\operatorname{Hom}(c,b)$ を対象集合とする離散圏であるため、左の公式は定理 4.1による。右の公式は問題 9.4 (1)の演習とする。選択のもとでの随伴は系 4.4による。

$\mathcal D=\mathbf{Set}$ 、 $X=\{*\}$ なら、直和の元 $(f,*)$ を $f$ に送る写像が $\operatorname{Lan}_KX\Rightarrow\operatorname{Hom}(c,-)$ という自然同型を与える。 $\operatorname{Hom}(c,c)$ が一点でなく $X\ne\varnothing$ なら、unit $X\to\coprod_{\operatorname{Hom}(c,c)}X$ は恒等射で添字づけた成分への入射であり、他の成分の元を像にもたない。したがって充満忠実性を外すと unit は同型とは限らない。▨

7 前層の逆像

命題 7.1. 連続写像 $f:Y\to X$ に対し、開集合の逆像から定まる関手を $K_f=(f^{-1})^{\mathrm{op}}:\mathcal O(X)^{\mathrm{op}}\to\mathcal O(Y)^{\mathrm{op}}$ とする。このとき、次が成り立つ。

$X$ の集合値前層 $F$ に対し、 $K_f$ に沿う各点左 Kan 拡張 $f^{-1}_{\mathrm{pre}}F$ は $(f^{-1}_{\mathrm{pre}}F)(U)=\operatorname{colim}_{W\supseteq f(U)}F(W)$ で構成される。添字は $f(U)$ を含む開集合の逆包含による有向集合である。
$Y$ の前層 $G$ に対し、 $(f_*G)(W)=G(f^{-1}(W))$ と制限写像で順像前層を定めると $f_*=K_f^*$ であり、 $f^{-1}_{\mathrm{pre}}\dashv f_*$ である。随伴対応は $\operatorname{Nat}(f^{-1}_{\mathrm{pre}}F,G)\cong\operatorname{Nat}(F,f_*G)$ である。

証明.主張 (1)を示す。逆像は包含を保つ。 $(K_f\downarrow U)$ の対象は $U\subseteq f^{-1}(W)$ 、すなわち $f(U)\subseteq W$ を満たす開集合 $W$ であり、射は逆包含である。全空間 $X$ が対象となり、二つの対象の共通部分も対象となるため有向である。開集合の圏は $V$ -小であり、集合の具体的余極限の選択に系 4.4 (2)を適用すると公式を得る。

主張 (2)を示す。順像の対象と射への作用は前合成そのものなので関手となり、同じ系 4.4 (2)から随伴を得る。▨

命題 7.2. 連続写像 $f:Y\to X$ 、 $y\in Y$ 、集合値前層 $F$ に対し、随伴の unit $\eta$ は全単射 $F_{f(y)}\longrightarrow(f^{-1}_{\mathrm{pre}}F)_y,\qquad[W,s]\longmapsto[f^{-1}(W),\eta_W(s)]$ を与える。特に一点 $\{x\}$ の包含による逆像前層の一点での値は、茎 $F_x$ と標準的に全単射である。

証明. 証明は問題 9.2 (1)の演習とする。茎は§E9.13 命題 4.1の集合値前層の芽の商である。▨

8 誘導加群

命題 8.1. 体 $k$ 、群 $G\in V$ 、部分群 $H\le G$ を与え、 $i:\mathcal BH\to\mathcal BG$ を包含から定まる一対象圏の間の関手とする。このとき、次が成り立つ。

関手圏 $[\mathcal BG,\mathbf{Vect}_k]$ は線形表現と絡作用素の圏であり、左 $k[G]$ -加群の圏と同一視される。この同一視で $i^*$ は制限 $\operatorname{Res}^G_H$ である。
この同一視のもとで自然同型 $\operatorname{Lan}_i\cong\operatorname{Ind}^G_H$ 、 $\operatorname{Ran}_i\cong\operatorname{Coind}^G_H$ がある。
$(i\downarrow*)$ は対象を $g\in G$ 、射 $g\to g'$ を $g=g'h$ を満たす $h\in H$ とする作用亜群である。 $H$ -表現 $W$ のこの上の余極限は $k[G]\otimes_{k[H]}W$ であり、入射は $w\mapsto g\otimes w$ である。

証明.主張 (1)を示す。一対象圏上の関手は各群元を可逆な線形写像へ送るので表現であり、自然変換はすべての群元の作用と可換な線形写像である。§E7.32 命題 1.3の対応で、この線形写像は群環の任意の有限和の作用とも可換するため、ちょうど加群準同型になる。制限の対応もこの記述から従う。

主張 (2)を示す。両一対象圏は $V$ -小であり、線形空間の具体的な極限・余極限の選択に系 4.4を適用すれば $\operatorname{Lan}_i\dashv i^*\dashv\operatorname{Ran}_i$ を得る。一方、§E7.36 命題 2.1と§E7.36 命題 2.2により誘導と余誘導について同じ随伴を得る。§E9.10 命題 3.5により主張の自然同型を得る。

主張 (3)を示す。コンマ圏の定義により、その対象は $g\in G$ 、射 $g\to g'$ は $g'h=g$ を満たす $h\in H$ である。余極限の直接計算は問題 9.3 (1)の演習とする。▨

9 演習

問題 9.1.

命題 2.2 (2)の同型を米田対応の自然性から構成せよ。

解答.

対象 $(a,\alpha:h_a\Rightarrow P)$ を $(a,\alpha_a(\mathrm{id}_a))$ に送る。§E9.7 命題 3.2により、 $\alpha'\circ y(u)=\alpha$ という条件は $P(u)(x')=x$ に一致する。したがって射を同じ $u$ に送ると関手になる。逆は $x\in P(a)$ を米田対応の自然変換 $\alpha$ に送り、射を同じ $u$ に送る構成である。対象と射の両方で合成が恒等になるため圏同型であり、射影も保つ。

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問題 9.2.

命題 7.2を証明せよ。

解答.

$s\in F(W)$ を小さい近傍 $W'\subseteq W$ に制限すると、unit の自然性によって $\eta_{W'}(s|_{W'})$ は $\eta_W(s)$ の $f^{-1}(W')$ への制限になる。したがって表示の芽は代表元によらない。 $y$ の近傍 $U$ 上の逆像前層の元は、§E9.13 命題 2.1 (1)により $f(U)\subseteq W$ を満たす開集合 $W$ と $s\in F(W)$ で表される。この元は $\eta_W(s)$ の $U$ への制限なので、誘導写像は全射である。

二つの像の芽が等しいなら、 $y$ の近傍 $U\subseteq f^{-1}(W\cap W')$ 上で $\eta_W(s)|_U=\eta_{W'}(s')|_U$ となる。§E9.13 命題 2.1 (2)によって $f(U)\subseteq W''\subseteq W\cap W'$ を満たす開集合 $W''$ で $s|_{W''}=s'|_{W''}$ である。 $f(y)\in W''$ なので元の芽も等しく、単射性を得る。一点空間ではその一点の唯一の開近傍は全空間なので、前層の値と茎は同じである。

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問題 9.3.

命題 8.1 (3)の余極限を直和の商として計算せよ。

解答.

加群の余極限の構成§E6.3 定理 2.4により、求める空間は $\bigoplus_{g\in G}W$ を $\iota_{g'h}(w)-\iota_{g'}(hw)$ が生成する部分空間で割った商 $Q$ である。 $\iota_g(w)\mapsto g\otimes w$ はこれらの関係を零に送るため $Q\to k[G]\otimes_{k[H]}W$ を定める。逆向きには $(\sum_g a_gg,w)\longmapsto\sum_g a_g[\iota_g(w)]$ とする。これは双線形であり、 $h\in H$ について $[\iota_{gh}(w)]=[\iota_g(hw)]$ なので $k[H]$ に関して平衡である。したがってテンソル積からの線形写像を定める。二つの合成は $[\iota_g(w)]$ と $g\otimes w$ のそれぞれで恒等となり、これらが各空間を生成するため互いに逆である。 $G$ の作用は添字の左乗法で、 $g\otimes w$ の左因子への作用と一致する。

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問題 9.4.

命題 6.2の右 Kan 拡張の公式を双対性から導け。

解答.

命題 3.2 (2)により右 Kan 拡張は反対圏の左 Kan 拡張から得られる。 $(b\downarrow K)$ は $\operatorname{Hom}(b,c)$ 上の離散圏なので、反対圏での余積を戻すと $\prod_{g:b\to c}X$ になる。counit は $b=c$ における恒等射の成分への射影である。

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§E9.15Kan 拡張

1 Kan 拡張と普遍射

2 コンマ圏

3 各点 Kan 拡張

4 各点の公式と存在

5 充満忠実な関手と米田埋め込み

6 余極限と評価関手

7 前層の逆像

8 誘導加群

9 演習

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