§E9.32C₀ の双対と連続関数による近似

証明.$\eta>0$を$2\eta<\ep^p$となるように取る。内正則性により、コンパクト集合$K\subseteq A$で$\mu(A\setminus K)<\eta$を満たすものが存在する。§E9.30 補題 1.2により$K$を含むコンパクトな閉包をもつ開集合$V$を取り、§E9.30 命題 3.2により$K\subseteq U\subseteq V$、$\mu(U\setminus K)<\eta$を満たす開集合$U$を取る。$K$上で1、台が$U$に含まれる切断関数$\phi$を取ると、

したがって$\|\mathbf1_A-\phi\|_p^p<2\eta<\ep^p$である。▨

証明.$f\in L^p(\mu;\mathbb F)$と$\ep>0$を取る。§E9.22 定理 2.2により、$L^p$に属する単関数$s$で$\|f-s\|_p<\ep/2$を満たすものを取る。§E9.22 補題 2.3により

と表示される。$s=0$ならば連続近似として0を取る。$s\ne0$ならば、補題 1.1を各$A_j$に適用し、$\sum_j|c_j|\|\mathbf1_{A_j}-\phi_j\|_p<\ep/2$となる切断関数を取る。$g=\sum_jc_j\phi_j$は$C_c(X,\mathbb F)$に属する。Minkowski の不等式§E9.21 定理 6.1により

完備化に関する可測代表元には、§E9.10 命題 4.2により Borel 可測代表元を取ることができる。§E9.10 命題 4.3により、その代表元の$L^p$ノルムと連続関数からの距離は元の測度で計算した値に一致する。したがって完備化の場合にも同じ近似が成立する。▨

証明. 離散空間のコンパクト集合は有限集合である。任意の集合の数え上げ測度は、その有限部分集合の濃度の上限であるから、Radon 測度の条件が成り立つ。有限測度集合は有限集合であり、非可算集合$D$を可算個の有限集合で覆うことはできない。有限な$p$における稠密性は定理 1.2による。定数関数1は$\ell^\infty(D)$に属するが、有限集合に台をもつ任意の$g$に対して、台の外で$|1-g|=1$である。したがって$\|1-g\|_\infty\geq1$である。▨

証明.$f\in C_0(X,\mathbb F)$と$\ep>0$を取る。$K=\{|f|\geq\ep\}$はコンパクトである。$f$は$K$上で有界であり、その外では$|f|<\ep$であるから、有界である。§E9.30 補題 1.2により$0\leq\chi\leq1$、$\chi|_K=1$を満たす$\chi\in C_c(X,\R)$を取る。$f\chi\in C_c(X,\mathbb F)$であり、$\|f-f\chi\|_\infty\leq\ep$である。▨

証明.$L$の$C_c(X,\R)$への制限に§E9.31 定理 2.1を適用し、表現する Radon 測度$\mu$を取る。§E9.30 命題 4.1の開集合の公式から

したがって$\mu$は有限である。$f\in C_0(X,\R)$と$\ep>0$を取る。命題 2.1により$g\in C_c(X,\R)$で$\|f-g\|_\infty<\ep$を満たすものを取ると、

$\ep\downarrow0$とすれば表現公式を得る。有限測度に関する評価$|\int f\,d\mu|\leq\mu(X)\|f\|_\infty$は$\|L\|\leq\mu(X)$を与える。$C_c$上の一意性§E9.30 系 4.2により、表現する有限 Radon 測度は一意である。▨

証明.$0\leq P(f)\leq\|L\|\|f\|_\infty$である。正のスカラーによる同次性は、上限に現れる関数を同じスカラーで掛けることによる。$P(0)=0$であるから、零スカラーの場合も成り立つ。

$f_1,f_2\geq0$とし、$0\leq g\leq f_1+f_2$を取る。

は$C_0(X,\R)$に属し、$0\leq g_j\leq f_j$と$g=g_1+g_2$を満たす。したがって$L(g)\leq P(f_1)+P(f_2)$である。逆に、$0\leq g_j\leq f_j$ならば$g_1+g_2$は$P(f_1+f_2)$の上限に現れる。二つの$g_j$について独立に上限を取ると、$P(f_1+f_2)=P(f_1)+P(f_2)$である。

$f=u-v$、$u,v\geq0$に対して$L^+(f)=P(u)-P(v)$と定める。別の表示$f=r-s$には$u+s=r+v$が成り立ち、加法性から$P(u)+P(s)=P(r)+P(v)$である。したがって定義は表示によらず、実線形である。任意の$f\in C_0$は正部分と負部分の差であるため、この拡張は一意である。正値性と上の評価から

ゆえに$L^+$は連続である。$f\geq0$に対して$g=f$を上限の候補に取れば$P(f)\geq L(f)$であるから、$L^-$は正である。二つの連続汎関数の差として$L^-$は連続である。▨

証明.$A\in\mathcal B(X)$と$\ep>0$を取る。コンパクト集合$K\subseteq A$で$\theta(A\setminus K)<\ep$を満たすものを取ると、$\alpha(A\setminus K)<\ep$である。したがって$\alpha$はコンパクト内正則であり、$\alpha(X)\leq\theta(X)<\infty$である。有限和については、各測度に対する$A$のコンパクトな内側近似の有限和を取れば、和の測度に対する内側近似を得る。▨

証明. 全変動による積分評価§E9.26 命題 3.2により

複素積分の線形性から$T_\nu$は複素線形である。§E9.26 定理 2.4の密度$k$を取り、$|k|\ne1$である零集合上では$k=1$に変更する。$u=\overline k$は Borel 可測で$|u|=1$であり、$\int_Xu\,d\nu=|\nu|(X)$である。

定理 1.2を$|\nu|$、$p=1$に適用し、任意の$\ep>0$に対して$\|g-u\|_{L^1(|\nu|)}<\ep$を満たす$g\in C_c(X,\C)$を取る。

は$C_c(X,\C)$に属し、$\|q\|_\infty\leq1$である。$|u|\leq1$により$|q-g|=(|g|-1)^+\leq|g-u|$であるから、$\|q-u\|_1<2\ep$である。積分評価から

ゆえに$\|T_\nu\|\geq|\nu|(X)-2\ep$である。$\ep\downarrow0$とし、最初の上側評価と合わせてノルムの等式を得る。▨

証明. 実関数に対する$T$の実部と虚部を

と書く。$A,B$は連続実線形汎関数である。補題 2.3により、それぞれを二つの正汎関数の差$A=A^+-A^-$、$B=B^+-B^-$に分解する。命題 2.2により、四つの正汎関数を有限 Radon 測度$\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4$で表現する。

と定める。全変動の定義から$|\nu|\leq\theta=\mu_1+\mu_2+\mu_3+\mu_4$である。§E9.26 定理 2.3と補題 3.2により、$|\nu|$は有限 Radon 測度である。

実 Borel 単関数$s$に対して、極形式と積分の線形性から

である。任意の$h\in C_0(X,\R)$は有界であり、値域の有限分割によって Borel 単関数で一様に近似することができる。$|\nu|\leq\theta$と四つの測度の有限性による積分評価により、一様近似の誤差を0へ近づければ$\int_Xh\,d\nu=A(h)+iB(h)=T(h)$を得る。任意の$f\in C_0(X,\C)$を実部と虚部に分け、複素線形性を用いると表現公式が従う。

別の表現測度$\nu'$との差の全変動は$|\nu|+|\nu'|$以下であるから、同じ支配の補題により差も有限複素 Radon 測度である。命題 3.3により

であり、$\nu=\nu'$である。線形結合の表現測度の全変動も有限 Radon 測度に支配されるため、有限複素 Radon 測度全体は複素線形空間をなす。積分の線形性とノルムの等式により、対応は複素線形な等長全単射である。▨