Riesz–Markov–Kakutani の表現定理 | 測度と積分

定理 1.1. $K$ をコンパクト Hausdorff 空間とする。実線形汎関数 $\Lambda:C(K,\R)\to\R$ が正、すなわち $f\geq0$ ならば $\Lambda(f)\geq0$ を満たすとする。このとき、有限正則 Borel 測度 $\mu$ が一意に存在して、すべての $f\in C(K,\R)$ に対して

\Lambda(f)=\int_Kf\,d\mu

を満たす。また、 $\mu(K)=\Lambda(1)$ である。

v(U)=\sup\{\Lambda(f)\mid f\in C(K,\R),\ 0\leq f\leq1,\ \supp f\subseteq U\}

と定める。零関数が上限に現れるから $0\leq v(U)\leq m$ であり、 $v(\emptyset)=0$ 、 $v(K)=m$ である。 $U\subseteq V$ ならば $v(U)\leq v(V)$ である。

主張 1.1.1. 任意の開集合列 $(U_n)_{n\in\NN}$ に対して

v\left(\bigcup_nU_n\right)\leq\sum_nv(U_n)

が成り立つ。互いに交わらない二つの開集合 $U,V$ に対して $v(U\cup V)=v(U)+v(V)$ である。

証明. $0\leq f\leq1$ 、 $\supp f\subseteq\bigcup_nU_n$ を満たす $f\in C(K,\R)$ を取る。コンパクト集合 $\supp f$ は有限個の $U_n$ で覆われる。§E9.30 補題 1.3により、その有限被覆に従属する関数 $\phi_j$ であって、 $\supp f$ 上で和が1となるものが存在する。各 $f\phi_j$ は対応する $U_n$ の上限に現れる関数であり、 $f=\sum_jf\phi_j$ である。したがって $\Lambda(f)\leq\sum_nv(U_n)$ である。 $f$ について上限を取ると劣加法性が従う。

$U\cap V=\emptyset$ とする。 $U$ と $V$ の上限に現れる関数 $f,g$ に対して、 $f+g$ は $U\cup V$ の上限に現れる。ゆえに $v(U\cup V)\geq\Lambda(f)+\Lambda(g)$ であり、両方の関数について上限を取ると $v(U\cup V)\geq v(U)+v(V)$ である。逆向きは劣加法性による。▨

$A\subseteq K$ に対して

\mu^*(A)=\inf\{v(U)\mid A\subseteq U,\ U\text{ は開集合}\}

と定める。

主張 1.1.2. $\mu^*$ は外測度である。すべての開集合は $\mu^*$ に関して Carathéodory 可測であり、開集合 $G$ に対して $\mu^*(G)=v(G)$ である。

証明. $\mu^*(\emptyset)=0$ と単調性は $v$ の性質から従う。集合列 $A_n\subseteq K$ と $\ep>0$ に対して、 $A_n\subseteq U_n$ と $v(U_n)<\mu^*(A_n)+\ep2^{-n}$ を満たす開集合 $U_n$ を取る。主張 1.1.1により

\mu^*\left(\bigcup_nA_n\right) \leq v\left(\bigcup_nU_n\right) \leq\sum_n\mu^*(A_n)+\ep

である。 $\ep\downarrow0$ として可算劣加法性を得る。 $G$ が開集合ならば、 $G$ を含む開集合の費用は $v(G)$ 以上であり、 $G$ 自身も候補であるから $\mu^*(G)=v(G)$ である。

開集合 $G$ と $\ep>0$ を取る。 $0\leq f\leq1$ 、 $C=\supp f\subseteq G$ 、 $\Lambda(f)>v(G)-\ep$ を満たす $f\in C(K,\R)$ が存在する。 $G\setminus C$ の上限に現れる関数 $h$ に対して、 $f+h$ は $G$ の上限に現れる。したがって

v(G\setminus C)\leq v(G)-\Lambda(f)<\ep.

§E9.30 補題 1.2により $C\subseteq O\subseteq\tpcl{O}\subseteq G$ を満たす開集合 $O$ が存在する。任意の $A\subseteq K$ と、 $A\subseteq W$ を満たす開集合 $W$ に対して、 $W\cap O$ と $W\cap(K\setminus\tpcl{O})$ は互いに交わらない。主張 1.1.1と単調性から

v(W)\geq v(W\cap O)+v(W\cap(K\setminus\tpcl{O})) \geq\mu^*(A\cap C)+\mu^*(A\setminus G)

である。 $W$ について下限を取ると

\mu^*(A)\geq\mu^*(A\cap C)+\mu^*(A\setminus G)

を得る。一方、外測度の劣加法性から

\mu^*(A\cap G)\leq\mu^*(A\cap C)+\mu^*(G\setminus C) <\mu^*(A\cap C)+\ep.

ゆえに $\mu^*(A)\geq\mu^*(A\cap G)+\mu^*(A\setminus G)-\ep$ である。 $\ep\downarrow0$ とし、外測度の劣加法性による逆の不等式と合わせると、 $G$ の Carathéodory 可測性が従う。▨

§E9.9 定理 3.4により、 $\mu=\mu^*|_{\mathcal B(K)}$ は有限正 Borel 測度である。 $\mu(K)=m$ であり、定義によりすべての Borel 集合で外正則である。

主張 1.1.3. $\mu$ はすべての Borel 集合でコンパクト内正則である。また、任意のコンパクト集合 $C\subseteq K$ に対して

\mu(C)=\inf\{\Lambda(g)\mid g\in C(K,\R),\ g\geq0,\ g|_C\geq1\}

である。

証明. Borel 集合 $A\subseteq K$ と $\ep>0$ に対して、 $K\setminus A\subseteq U$ と $\mu(U)<\mu(K\setminus A)+\ep$ を満たす開集合 $U$ を取る。 $F=K\setminus U$ は $A$ に含まれるコンパクト集合であり、有限性から

\mu(A)-\mu(F)=\mu(U)-\mu(K\setminus A)<\ep

である。したがってコンパクト内正則性が成り立つ。

$g\geq0$ 、 $g|_C\geq1$ と $0<\ep<1$ を取る。 $G=\{g>1-\ep\}$ は $C$ を含む開集合である。 $G$ の上限に現れる関数 $h$ に対して $(1-\ep)h\leq g$ であるから、正値性により $(1-\ep)v(G)\leq\Lambda(g)$ である。ゆえに

\mu(C)\leq\frac{\Lambda(g)}{1-\ep}.

$\ep\downarrow0$ とすると $\mu(C)\leq\Lambda(g)$ である。逆に、 $C\subseteq U$ を満たす開集合 $U$ に対して、§E9.30 補題 1.2により $0\leq g\leq1$ 、 $g|_C=1$ 、 $\supp g\subseteq U$ を満たす $g$ が存在する。この関数は $\Lambda(g)\leq v(U)=\mu(U)$ を満たす。 $U$ について下限を取れば、主張の下限は $\mu(C)$ 以下である。▨

$f\in C(K,\R)$ 、 $f\geq0$ とする。 $\delta>0$ と $N\in\NN$ を $N\delta\geq\|f\|_\infty$ となるように取り、 $0\leq k<N$ に対して

h_k=\min\left(1,\max\left(0,\frac{f-k\delta}{\delta}\right)\right)

とおく。点ごとに $f=\delta\sum_{k=0}^{N-1}h_k$ である。 $h_k$ は閉集合 $\{f\geq(k+1)\delta\}$ 上で1となるから、主張 1.1.3により

\mu\{f\geq(k+1)\delta\}\leq\Lambda(h_k).

$1-h_k$ は閉集合 $\{f\leq k\delta\}$ 上で1となる。同じ公式と $\mu(K)=\Lambda(1)=m$ により

\Lambda(h_k)\leq m-\mu\{f\leq k\delta\}=\mu\{f>k\delta\}.

したがって $\Lambda(f)$ は

L_\delta=\delta\sum_{k=0}^{N-1}\mu\{f\geq(k+1)\delta\},\qquad U_\delta=\delta\sum_{k=0}^{N-1}\mu\{f>k\delta\}

の間にある。対応する二つの単関数は $f$ を下と上から挟み、その差は点ごとに $\delta$ 以下である。積分の単調性§E9.10 命題 1.2により $\int_Kf\,d\mu$ も同じ区間にあり、 $U_\delta-L_\delta\leq\delta m$ である。 $\delta\downarrow0$ として $\Lambda(f)=\int_Kf\,d\mu$ を得る。任意の連続実関数を正部分と負部分の差に分け、§E9.10 定理 2.3 (1)を適用すると、すべての $f\in C(K,\R)$ に対する表現が従う。

有限正則 Borel 測度は Radon 測度である。 $C_c(K,\R)=C(K,\R)$ であるから、§E9.30 系 4.2により表現測度は一意である。▨

定理 2.1. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。実線形汎関数 $\Lambda:C_c(X,\R)\to\R$ が正であるならば、Radon 測度 $\mu$ が一意に存在して、すべての $f\in C_c(X,\R)$ に対して

\Lambda(f)=\int_Xf\,d\mu

を満たす。

証明. $0\leq\chi\in C_c(X,\R)$ とし、 $K_\chi=\supp\chi$ とおく。 $g\in C(K_\chi,\R)$ に対して、§E9.30 補題 1.4の拡張 $\widetilde g$ を用いて

\Lambda_\chi(g)=\Lambda(\chi\widetilde g)

と定める。二つの拡張の差は $K_\chi$ 上で零であり、 $\chi$ は $K_\chi$ の外で零であるから、積 $\chi\widetilde g$ は拡張の選び方によらない。拡張の和とスカラー倍も対応する関数の拡張であるため、 $\Lambda_\chi$ は実線形である。 $g\geq0$ には非負の拡張を取ることができるから、 $\Lambda_\chi$ は正である。

定理 1.1により、 $\Lambda_\chi$ を表現する有限正則 Borel 測度が $K_\chi$ 上に存在する。この測度を $X\setminus K_\chi$ で零として延長し、 $\mu_\chi$ と書く。 $K_\chi$ のコンパクト集合は $X$ でもコンパクトであるから、 $\mu_\chi$ は有限 Radon 測度である。任意の $f\in C_c(X,\R)$ に対して

\int_Xf\,d\mu_\chi=\Lambda(\chi f)

である。

主張 2.1.1. 非負の $\chi,\psi\in C_c(X,\R)$ に対して、Borel 測度として

\psi\,\mu_\chi=\chi\,\mu_\psi

が成り立つ。ここで $\psi\,\mu_\chi$ は $A\mapsto\int_A\psi\,d\mu_\chi$ という測度である。

証明. Borel 集合 $A$ と $\ep>0$ に対して、 $\mu_\chi$ の有限性と内正則性により、コンパクト集合 $C\subseteq A$ で $\mu_\chi(A\setminus C)<\ep$ を満たすものが存在する。したがって

\int_{A\setminus C}\psi\,d\mu_\chi\leq\|\psi\|_\infty\ep.

ゆえに $\psi\,\mu_\chi$ は有限 Radon 測度である。 $\chi\,\mu_\psi$ も同じ理由で有限 Radon 測度である。任意の $f\in C_c(X,\R)$ は、これらの有限測度について可積分である。§E9.12 命題 3.4を、基準測度 $\mu_\chi$ 、密度 $\psi$ 、関数 $f$ の正部分と負部分に適用すると、

\int_Xf\,d(\psi\mu_\chi)=\int_Xf\psi\,d\mu_\chi =\Lambda(\chi\psi f)

を得る。 $\chi$ と $\psi$ を交換して同じ公式を適用すると、 $\int_Xf\,d(\chi\mu_\psi)=\Lambda(\chi\psi f)$ である。§E9.30 系 4.2により二つの測度は一致する。▨

コンパクトな閉包をもつ開集合全体を $\mathcal V$ とする。各 $V\in\mathcal V$ に対して、§E9.30 補題 1.2により $0\leq\chi_V\leq1$ 、 $\chi_V|_{\tpcl{V}}=1$ を満たす $\chi_V\in C_c(X,\R)$ を取り、

\nu_V(A)=\mu_{\chi_V}(A\cap V)\qquad(A\in\mathcal B(X))

と定める。 $\nu_V$ は有限 Radon 測度である。実際、 $\mu_{\chi_V}$ の内正則性を Borel 集合 $A\cap V$ に適用すれば、 $\nu_V$ の内正則性が従う。主張 2.1.1を $V\cap W$ に制限すると、 $\chi_V=\chi_W=1$ であるから

\nu_V(A\cap W)=\nu_W(A\cap V)

を得る。同じ公式を二つの $\chi_V$ に適用すると、 $\nu_V$ は切断関数の選び方によらない。 $V\subseteq W$ ならば $\nu_V(A)=\nu_W(A\cap V)\leq\nu_W(A)$ である。 $\mathcal V$ は有限和について閉じており、 $X$ を覆う。

Borel 集合 $A$ に対して

\mu(A)=\sup_{V\in\mathcal V}\nu_V(A)

と定める。

主張 2.1.2. $\mu$ は正 Borel 測度であり、 $\mu(A\cap V)=\nu_V(A)$ がすべての $A\in\mathcal B(X)$ と $V\in\mathcal V$ に対して成り立つ。 $\mu$ は Radon 測度である。

証明. 互いに交わらない Borel 集合列 $A_n$ に対して

\mu\left(\bigcup_nA_n\right) =\sup_V\sum_n\nu_V(A_n)\leq\sum_n\mu(A_n)

である。 $N\in\NN$ と $V_1,\ldots,V_N\in\mathcal V$ に対して $W=\bigcup_{n=1}^NV_n$ とおくと、 $W\in\mathcal V$ であり、

\mu\left(\bigcup_nA_n\right)\geq\sum_{n=1}^N\nu_W(A_n) \geq\sum_{n=1}^N\nu_{V_n}(A_n).

各 $V_n$ について上限を取ると右辺は $\sum_{n=1}^N\mu(A_n)$ となる。 $N$ について上限を取れば逆の不等式が従う。 $\mu(\emptyset)=0$ と合わせて可算加法性を得る。

整合性の公式から、任意の $W\in\mathcal V$ に対して

\nu_W(A\cap V)=\nu_V(A\cap W)\leq\nu_V(A)

である。 $W=V$ とすれば等号であるから、 $\mu(A\cap V)=\nu_V(A)$ である。任意のコンパクト集合 $C$ は、§E9.30 補題 1.2によりある $V\in\mathcal V$ に含まれる。ゆえに $\mu(C)=\nu_V(C)<\infty$ である。

$\nu_V$ の内正則性により、 $\nu_V(A)$ は $A\cap V$ に含まれるコンパクト集合 $C$ の $\nu_V(C)=\mu(C)$ の上限である。したがって

\mu(A)=\sup_V\nu_V(A) \leq\sup_{\substack{C\subseteq A\\C\text{ はコンパクト}}}\mu(C) \leq\mu(A).

ゆえに $\mu$ はすべての Borel 集合でコンパクト内正則である。▨

$f\in C_c(X,\R)$ に対して、 $\supp f\subseteq V$ を満たす $V\in\mathcal V$ を取る。 $\mu$ と $\nu_V$ は $V$ 内で一致し、 $\chi_V=1$ は $V$ 上で成り立つため、

\int_Xf\,d\mu=\int_Xf\,d\mu_{\chi_V} =\Lambda(\chi_Vf)=\Lambda(f).

§E9.30 系 4.2により、この表現をもつ Radon 測度は一意である。▨

系 2.2. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。写像

\mu\longmapsto\left(f\longmapsto\int_Xf\,d\mu\right)

は、 $X$ 上の Radon 測度全体から $C_c(X,\R)$ 上の正実線形汎関数全体への全単射である。

証明. $f\in C_c(X,\R)$ はコンパクト集合 $\supp f$ 上で有界であり、その集合の測度は有限である。したがって $f$ は任意の Radon 測度について可積分である。積分の線形性§E9.10 定理 2.3 (1)と単調性§E9.10 命題 1.2により、積分汎関数は正実線形である。全射性は定理 2.1、単射性は§E9.30 系 4.2による。▨

§E9.31Riesz–Markov–Kakutani の表現定理

1 コンパクト空間上の表現

2 局所コンパクト空間上の表現

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