§E9.30正則 Borel 測度と Radon 測度

証明.$K=\emptyset$ならば$V=\emptyset$と$\chi=0$を取る。$K\ne\emptyset$とする。各$x\in K$に§E2.24 定理 1.6を適用し、$x\in V_x$と$\tpcl{V_x}\subseteq U$を満たす開集合$V_x$であって、閉包がコンパクトであるものを取る。有限個の$V_{x_1},\ldots,V_{x_m}$が$K$を覆う。$V=\bigcup_{j=1}^mV_{x_j}$とおくと、$\tpcl{V}=\bigcup_{j=1}^m\tpcl{V_{x_j}}$はコンパクトであり、$U$に含まれる。§E2.24 定理 2.3により、$K$上で1、$X\setminus V$上で0となる連続関数$\chi:X\to[0,1]$が存在する。$\supp\chi\subseteq\tpcl{V}$であるから、$\chi\in C_c(X,\R)$である。▨

証明.$K=\emptyset$ならばすべての$\phi_j$を0とする。各$x\in K$に対して$x\in U_{j(x)}$となる添字$j(x)$を取り、補題 1.2により$\beta_x(x)=1$と$\supp\beta_x\subseteq U_{j(x)}$を満たす$\beta_x\in C_c(X,\R)$、$0\leq\beta_x\leq1$を取る。開集合$\{\beta_x>0\}$から有限個を選んで$K$を覆う。選んだ関数を添字$j(x)$ごとに足し、$\beta_j$と書く。$s=\sum_{j=1}^m\beta_j$は$K$上で正である。補題 1.2により、$\eta|_K=1$と$\supp\eta\subseteq\{s>0\}$を満たす$\eta\in C_c(X,\R)$、$0\leq\eta\leq1$を取る。

と定める。$\supp\eta$は$\{s>0\}$に含まれるため、零による延長は連続である。$\supp\phi_j\subseteq\supp\beta_j\subseteq U_j$であり、$\sum_j\phi_j=\eta$である。▨

証明.$K=\emptyset$または$g=0$ならば$\widetilde g=0$を取る。補題 1.2により、$K\subseteq V$を満たす開集合$V$であって$L=\tpcl{V}$がコンパクトであるものを取る。同じ補題を開集合$V$に適用し、$\chi|_K=1$、$\supp\chi\subseteq V$、$0\leq\chi\leq1$を満たす$\chi\in C_c(X,\R)$を取る。$L$はコンパクト Hausdorff 空間であるから、§E2.19 定理 6.11により正規である。$K$は$L$の閉集合である。§E2.18 定理 4.1により、$g$は$\|G\|_\infty\leq\|g\|_\infty$を満たす$G\in C(L,\R)$に拡張される。$g\geq0$の場合には$G$を$\max(G,0)$に替える。$L$上で$\chi G$、$X\setminus L$上で0となる関数を$\widetilde g$とする。$\supp\chi\subseteq V\subseteq L$であるから、$L$の境界の各点は$\supp\chi$の外にあり、その近傍で$\widetilde g=0$である。したがって$\widetilde g$は連続であり、台はコンパクト集合$\supp\chi$に含まれる。$\chi|_K=1$と$0\leq\chi\leq1$が、拡張とノルムの条件を与える。▨

証明.$f\in C(X,\R)$に対して$\arctan f$は有界連続関数であり、$f=\tan(\arctan f)$である。$\tan$は$(-\pi/2,\pi/2)$上で連続であるから、$f$は$C_b(X,\R)$が生成する集合族について可測である。

$f\in C_0(X,\R)$に対して、$K_n=\{|f|\geq1/n\}$はコンパクトである。$K_1$上で$f$は有界であり、その外では$|f|<1$であるから$f$は有界である。補題 1.2により$\chi_n|_{K_n}=1$、$0\leq\chi_n\leq1$を満たす$\chi_n\in C_c(X,\R)$を取る。$f\chi_n\in C_c(X,\R)$であり、$\|f-f\chi_n\|_\infty\leq1/n$である。§E9.7 定理 5.1により$f$は$\operatorname{Ba}_c(X)$について可測である。逆に$C_c(X,\R)\subseteq C_0(X,\R)$であり、二つの生成する集合族は一致する。連続関数は Borel 可測であるため、主張の包含が成り立つ。

$X=\bigcup_{n\in\NN}K_n$を満たすコンパクト集合の列が存在するとする。$\chi_n|_{K_1\cup\cdots\cup K_n}=1$を満たす切断関数を取る。任意の$f\in C(X,\R)$に対して$f\chi_n\in C_c(X,\R)$であり、各$x\in X$で$f(x)\chi_n(x)\to f(x)$である。§E9.7 定理 5.1によりすべての連続実関数が$\operatorname{Ba}_c(X)$について可測であり、$\operatorname{Ba}(X)\subseteq\operatorname{Ba}_c(X)$である。▨

証明. 任意の$A\subseteq D$に対して指示関数$\mathbf1_A$は連続であるから、$A\in\operatorname{Ba}(D)$である。離散空間のコンパクト部分集合は有限集合であるため、$C_c(D,\R)$の関数は有限集合の外で0となる。そのような関数の Borel 集合の逆像は、有限集合または余有限集合である。したがって$\operatorname{Ba}_c(D)$は可算集合と余可算集合のシグマ加法族に含まれる。逆に一点集合の指示関数は$C_c(D,\R)$に属するから、すべての可算集合とその補集合が$\operatorname{Ba}_c(D)$に属する。▨

証明. 各点$x\in X$に§E2.24 定理 1.6を適用すると、コンパクトな閉包をもつ開近傍$V$が存在する。$\mu(V)\leq\mu(\tpcl{V})<\infty$であるから$\mu$は局所有限である。

$\ep>0$を取る。$\mu(E)<\infty$と$E\setminus A$の内正則性により、コンパクト集合$K\subseteq E\setminus A$で$\mu((E\setminus A)\setminus K)<\ep$を満たすものが存在する。$U=X\setminus K$は開集合であり、$A\subseteq E\cap U$と

を満たす。測度の単調性が逆向きの評価を与えるため、下限の等式が成り立つ。$E=V$の場合には、$V\cap U$は$X$の開集合であり、$A\subseteq V\cap U\subseteq V$である。▨

証明.$\mu(X)<\infty$ならば、命題 3.2で$E=X$とする。

$X$が σ-コンパクトならば、補題 1.2の開近傍をコンパクト被覆の各項に取ることで、$X=\bigcup_{n\in\NN}V_n$を満たす開集合列であって、各$\tpcl{V_n}$がコンパクトであるものが存在する。Borel 集合$A$について$\mu(A)=\infty$ならば、$A$を含む開集合の測度も無限大である。$\mu(A)<\infty$と$\ep>0$を取る。

とおく。命題 3.2により、$A_n\subseteq U_n\subseteq V_n$と$\mu(U_n\setminus A_n)<\ep2^{-n}$を満たす開集合$U_n$が存在する。$U=\bigcup_nU_n$は$A$を含む開集合であり、

である。したがって$\mu$はすべての Borel 集合で外正則である。▨

証明.$S$の開被覆で0を含む一つの項を取ると、その項は十分大きい$n$に対する$1/n$をすべて含む。残る有限個の点を有限個の項で覆うことができるため、$S$はコンパクトである。$S$は$\R$の部分空間であるから Hausdorff である。各$\{i\}\times S$はコンパクトな開集合であるため、$X$は局所コンパクト Hausdorff 空間である。非負の和を有限部分和の上限と定めた場合、互いに交わらない集合列に対して、和の順序を交換することができる。実際、有限個の原子と有限個の集合についての和は交換することができ、両方の有限部分について上限を取れば、どちらの順序も全ての有限部分和の上限になる。ゆえに$\mu$は正測度である。

コンパクト集合は、開被覆$(\{i\}\times S)_{i\in I}$の有限部分族で覆われる。各成分の測度は1であるから、コンパクト集合の測度は有限である。$\mu(A)$は$A$内の有限個の原子の質量和の上限であり、有限集合はコンパクトであるから、すべての Borel 集合でコンパクト内正則性が成り立つ。

$\mu(F)=0$である。$F\subseteq U$を満たす開集合$U$は、各$i\in I$に対してある$(i,1/n)$を含む。したがって各成分で$\mu(U\cap(\{i\}\times S))>0$である。非可算個の正数の和は無限大である。実際、各$k\in\NN$について$1/k$以上の項が有限個しかなければ、正の項の全体は可算となる。ゆえに$\mu(U)=\infty$であり、$F$の測度0と、開近傍の測度の下限は一致しない。▨

証明. 上限に現れる関数は$\mathbf1_U$以下であるから、その積分は$\mu(U)$以下である。任意のコンパクト集合$L\subseteq U$に対して、補題 1.2により$f|_L=1$と$\supp f\subseteq U$を満たす切断関数が存在する。その積分は$\mu(L)$以上である。$U$の内正則性から上限の等式が従う。

下限に現れる関数は$\mathbf1_K$以上であるから、その積分は$\mu(K)$以上である。補題 1.2により、$K$を含むコンパクトな閉包をもつ開集合$V$を取る。命題 3.2により、任意の$\ep>0$に対して$K\subseteq W\subseteq V$と$\mu(W)<\mu(K)+\ep$を満たす開集合$W$が存在する。$K$上で1、台が$W$に含まれる切断関数の積分は$\mu(W)$以下である。したがって下限の等式が従う。▨

証明.命題 4.1の下限公式から、$\mu$と$\nu$はすべてのコンパクト集合で一致する。任意の Borel 集合の測度は、その集合に含まれるコンパクト集合の測度の上限であるから、すべての Borel 集合で$\mu$と$\nu$は一致する。▨