§E9.27測度代数と局所化可能性

証明.$A\sim A'$と$B\sim B'$ならば、和集合と共通部分の対称差はいずれも$(A\mathbin\triangle A')\cup(B\mathbin\triangle B')$に含まれ、補集合の対称差は$A\mathbin\triangle A'$に等しい。演算は代表元によらず、集合のBoolean恒等式が商に降りる。各$[A_n]$の上界$[B]$に対して、$\bigcup_n(A_n\setminus B)$は零集合の可算和である。したがって$[\bigcup_n A_n]\leq[B]$であり、所要の上限が得られる。▨

証明. 族を$(A_i)_{i\in I}$とし、$\gamma=\sup_{J\subseteq I,\ J\text{ 有限}}\mu(\bigcup_{i\in J}A_i)$とおく。空の有限集合も含める。各$n\in\NN$に対して有限集合$J_n$を取り、その和集合の測度を$\gamma-1/n$より大きくする。$H=\bigcup_n\bigcup_{i\in J_n}A_i$とすれば、増加する有限和への測度の連続性により$\mu(H)=\gamma$である。任意の$i$について、同じ有限和へ$A_i$を加えても測度は$\gamma$以下であるから、$\mu(H\cup A_i)=\gamma$である。$\mu(H)<\infty$なので$\mu(A_i\setminus H)=0$である。すべての$A_i$を本質的に含む$B$に対して$H\setminus B$は零集合の可算和であり、$\mu(H\setminus B)=0$である。▨

証明.$0\leq s=\sum_{j=1}^m a_j\mathbf1_{A_j}\leq f$を互いに素な$A_j$と正の有限係数$a_j$による単関数とする。半有限性により、各$\mu(A_j)$は有限測度可測部分集合$B_j\subseteq A_j$の測度の上限である。有限個の部分集合を独立に動かすと

となる。$E=\bigcup_{j=1}^m B_j$は有限測度であり、右辺の各値は$\int_E f\,d\mu$以下である。非負積分の定義によってすべての$s\leq f$の上限を取れば、一方向の不等式が従う。逆向きは積分の単調性による。

零集合の判定は半有限性の定義から従う。$H$がすべての有限測度可測集合を本質的に含むならば、$X\setminus H$の任意の有限測度可測部分集合は零集合であるから$\mu(X\setminus H)=0$である。したがって$[H]=[X]$である。▨

証明.(1)を示す。有限測度可測集合による可算被覆を、先行する集合を差し引いて互いに素な可算分解へ変える。正測度の成分を$X_i$とし、零測度の成分の可算和を$N$とする。各成分との交わりが可測ならば、全体は可測集合の可算和である。測度の公式は可算加法性から従う。

(2)を示す。可測集合$A$に対し、有限個の$A\cap X_i$の和は有限測度である。分解の測度公式から、その測度の上限は$\mu(A)$であるため、半有限性が従う。可測集合族$(A_j)_{j\in J}$に対し、各有限測度空間$X_i$上で補題 1.4により$(A_j\cap X_i)_{j\in J}$の本質的上限$H_i$を取る。$H=\bigcup_iH_i$は分解の可測性条件により可測である。各$A_j\setminus H$の測度は、零である成分測度の和であるから零である。別の本質的上界$B$について各$H_i\setminus B$は零集合であり、同じ和の公式により$H\setminus B$も零集合である。よって$H$は本質的上限である。

(3)を示す。$A\subseteq X$がすべての有限測度可測集合との交わりを可測にすると仮定する。各$X_i$と$N$は有限測度であるから、$A\cap X_i$と$A\cap N$は可測である。分解の可測性条件から$A$は可測である。半有限性は(2)から従う。▨

証明.$c=\bigvee_i(a\wedge b_i)$とおく。各$i$について$a\wedge b_i\leq c$であるため、Boolean演算により$b_i\leq\neg a\vee c$となる。したがって$\bigvee_i b_i\leq\neg a\vee c$であり、$a\wedge\bigvee_i b_i\leq c$を得る。逆向きは、各$a\wedge b_i$が$a\wedge\bigvee_i b_i$以下であることから従う。▨

証明. 各$q\in\Q$について

を取り、代表元$A_q\in\Sigma$を選ぶ。補題 3.1と局所関数の整合性により

である。各局所関数の上位集合は$\{f_j>q\}=\bigcup_{r\in\Q,\ r>q}\{f_j>r\}$を満たすので、上の等式と$\bigvee_j[E_j]=[X]$から$a_q=\bigvee_{r>q}a_r$である。ここで、すべての$[E_j]$との交わりが等しい二元は、交わりと上限の交換により等しい。

$B_q=\bigcup_{r\in\Q,\ r>q}A_r$とおく。$[B_q]=a_q$であり、$q<s$ならば$B_s\subseteq B_q$である。拡張実数値関数

を定める。$\{u>q\}=\bigcup_{r>q}B_r$であるため$u$は可測であり、各$E_j$上ではすべての有理上位集合が$f_j$の有理上位集合と零集合を除いて一致する。有理数は可算であるから、$u=f_j$が各$E_j$上でほとんど至る所成り立つ。

局所関数が非負ならば、$\{u<0\}$の類はすべての$[E_j]$と交わって零となるため零である。$f=\max\{0,u\}$とすればよい。局所関数が有限実数値ならば、$\{u=\infty\}$と$\{u=-\infty\}$は同じ理由で零集合である。それらの集合上で値を$0$へ変えて$f$を得る。有限実数値の局所関数がすべて非負である場合には、$\max\{0,f\}$を取ることで有限性と非負性を同時に保つ。二つの貼り合わせの不一致集合もすべての$[E_j]$との交わりが零であるから零集合である。最後の適用は補題 2.3による。▨

証明. 実部と虚部へそれぞれ定理 3.2を適用し、得られる実数値関数を$u,v$とする。$u+iv$は所要の貼り合わせであり、一意性も両成分の一意性から従う。▨