§E9.24ベクトル値 Lp 空間と積分交換

証明.$\mu$-強可測な$F,G$が$\mu$-a.e. に一致するならば、その強可測代表元$F^\sharp,G^\sharp$も$\mu$-a.e. に一致する。各代表元のノルムは§E9.18 命題 1.2 (3)により可測であり、§E9.21 命題 2.4を実数値関数$\|F^\sharp\|_B,\|G^\sharp\|_B$に適用すると、$\|F\|_p=\|G\|_p$となる。したがって所属条件と値は、元の写像および強可測代表元の選び方に依存しない。

$[F],[G]\in L^p(\mu;B)$とし、強可測代表元$F^\sharp,G^\sharp$をとる。§E9.18 命題 1.4 (4)により$F+G$は$\mu$-強可測であり、$F^\sharp+G^\sharp$はその強可測代表元である。点ごとの三角不等式と、スカラーの§E9.21 定理 6.1により

最初の不等式は、有限指数では積分の単調性、無限大の指数では§E9.21 補題 2.2から従う。任意の$\alpha\in\mathbb K$に対して$\alpha F$も$\mu$-強可測であり、$\|\alpha F\|_p=|\alpha|\|F\|_p$である。よって加法とスカラー倍は$L^p(\mu;B)$に閉じている。

$F=F'$と$G=G'$がそれぞれ可測零集合の外で成り立つならば、二つの可測零集合の和の外で$F+G=F'+G'$および$\alpha F=\alpha F'$が成り立つ。したがって線形演算は代表元に依存しない。ベクトル空間の恒等式は各点の恒等式から同値類へ移る。

非負性は定義から従い、斉次性と三角不等式は上の評価で示されている。スカラーの§E9.21 命題 3.5 (2)により、$\|F\|_p=0$と$\|F^\sharp\|_B=0$が$\mu$-a.e. に成り立つこととは同値である。$B$のノルムの正定値性から、後者は$[F]=[0]$と同値である。▨

証明.$p=1$の場合は§E9.18 定理 3.5による。$1<p\leq\infty$とし、$L^p(\mu;B)$の Cauchy 列$(u_n)$をとる。可算選択公理により、各$u_n$の強$\Sigma$-可測な代表元$F_n$を選ぶ。

$1<p<\infty$とする。Cauchy 性により、増加する添字列$(n_k)$を

となるようにとる。$d_k(x)=\|F_{n_{k+1}}(x)-F_{n_k}(x)\|_B$とおくと、$d_k$は非負有限値可測関数である。スカラーの§E9.21 定理 6.1により、$l\geq j\geq1$に対して

$q_j=\sum_{k=j}^{\infty}d_k$とおき、§E9.11 定理 1.1を部分和の$p$乗に適用すると、

を得る。特に§E9.10 命題 3.4により、$N=\{q_1=\infty\}$は可測零集合である。

$x\in X\setminus N$と$l>j$に対して

であるから、$(F_{n_j}(x))_j$は$B$の Cauchy 列である。$B$の完備性により$F(x)=\lim_jF_{n_j}(x)$を$X\setminus N$上で定め、$N$上で$F=0$とおく。各$F_{n_j}$を$N$上で$0$に変更すると強$\Sigma$-可測性を保ち、全点で$F$に収束する。§E9.18 命題 1.4 (1)により$F$は強$\Sigma$-可測である。上の不等式で$l\to\infty$とすると、$X\setminus N$上で

となる。積分の単調性と$q_j$の評価から

を得る。$j=1$の評価によって$[F-F_{n_1}]\in L^p(\mu;B)$であり、命題 1.2の加法に関する閉性から$u=[F]\in L^p(\mu;B)$である。

任意の$\varepsilon>0$に対して、$m,n\geq M$ならば$\|u_m-u_n\|_p<\varepsilon/2$となる$M$をとる。$n_j\geq M$かつ$\|u_{n_j}-u\|_p<\varepsilon/2$となる$j$を固定すると、すべての$n\geq M$に対して

である。したがって元の列も$u$に収束する。

$p=\infty$とする。§E9.21 補題 2.2により、可測集合

はいずれも零集合である。$N=\bigcup_nN_n\cup\bigcup_{m,n}N_{m,n}$とおくと、$N$は可測零集合であり、$X\setminus N$上で

がすべての$m,n$について成り立つ。Cauchy 性と$B$の完備性から、$F(x)=\lim_nF_n(x)$を$X\setminus N$上で定めることができる。$N$上では$F=0$とおく。$N$上で$0$に変更した$F_n$の全点での極限であるから、§E9.18 命題 1.4 (1)により$F$は強$\Sigma$-可測である。

任意の$\varepsilon>0$に対して、$m,n\geq M$ならば$\|u_m-u_n\|_\infty<\varepsilon$となる$M$をとる。$n\geq M$を固定して$m\to\infty$とすると、$X\setminus N$上で$\|F-F_n\|_B\leq\varepsilon$となる。したがって$\|F-F_n\|_\infty\leq\varepsilon$である。特に$F$は$X\setminus N$上で本質的に有界な$F_M$と有界な差をもち、$[F]\in L^\infty(\mu;B)$である。よって$u_n\to[F]$が$L^\infty$ノルムで成り立つ。▨

証明.$p=1$の場合は§E9.18 命題 3.4による。$1<p<\infty$とし、§E9.18 命題 1.2により、全点で$s_n\to F^\sharp$となり、

を満たす可測単関数列$(s_n)$をとる。第二の評価により$\int_X\|s_n\|_B^p\,d\mu<\infty$である。$s_n$の非零の値$b$に対して

であるから、各非零レベル集合は有限測度をもつ。非零の値は有限個であるため$\int_X\|s_n\|_B\,d\mu<\infty$であり、$s_n$は可積分単関数である。

非負可測関数$\|F^\sharp-s_n\|_B^p$は全点で$0$に収束し、可積分関数$\|F^\sharp\|_B^p$によって支配される。§E9.11 定理 3.1により

となる。▨

証明.$s_N(n)=e_n$を$n\leq N$で、$s_N(n)=0$を$n>N$で定める。$s_N$は可測単関数であり、各$n$に対して$s_N(n)\to F(n)$であるから、$F$は強可測である。すべての$n$で$\|F(n)\|_{c_0}=1$である。数え上げ測度の零集合は空集合だけであるため、$\|F\|_\infty=1$となる。

有限値単関数$s$の値を$b_1,\ldots,b_m\in c_0$とする。各$b_i$の第$n$座標$b_i(n)$は$n\to\infty$で$0$に収束する。値が有限個であるから、任意の$\varepsilon>0$に対して、十分大きい$n$ではすべての$i$について$|b_i(n)|<\varepsilon$である。このような$n$で$s(n)=b_i$と書けば、

したがって$\|F-s\|_\infty\geq1-\varepsilon$であり、$\varepsilon\downarrow0$とすると結論を得る。▨

証明.$p=1$の空間とノルムは Bochner 積分によるものに一致するから、§E9.18 命題 3.3により積分作用素の有界線形性と最初の評価を得る。

$\mu(X)<\infty$、$1<p\leq\infty$とし、$1/p+1/q=1$を満たす$1\leq q<\infty$をとる。強可測代表元$F^\sharp$のノルムと定数関数$1$に§E9.21 定理 4.2を適用すると、

したがって$[F]\in L^1(\mu;B)$であり、積分作用素の評価を合わせると結論を得る。▨

証明.§E9.18 定理 3.5により$L^1(\nu;B)$は Banach 空間である。$L^1\bigl(\mu;L^1(\nu;B)\bigr)$への所属は、$L^1(\nu;B)$値写像の強可測性とノルム可積分性を意味する。§E9.18 定理 2.4により、この所属条件は Bochner 可積分性と同値である。したがって§E9.19 命題 4.2が所属条件の同値とノルム等式を与える。

§E9.19 定理 4.3により$S$は全射線形等長写像である。内側積分は$I_\nu\circ S_F$であり、§E9.19 定理 5.1により、その Bochner 可積分性と反復積分の等式を得る。両結果において座標を交換した結論を適用すると、逆の順序の切り口と反復積分に関する結論を得る。▨