§E9.5Riesz の表現定理と Lax–Milgram の定理

$x,y\in H$とする。内積は第2変数について共役線形であるから

である。$x\in H$は任意であるから、$R(iy)=-iR(y)$である。

$H\neq\{0\}$ならば、$R$は複素線形でない。実際、$R$が複素線形であると仮定し、$y\in H\setminus\{0\}$をとる。$R(iy)=iR(y)$と$R(iy)=-iR(y)$から$2iR(y)=0$、すなわち$R(y)=0$である。一方、$R(y)(y)=\langle y,y\rangle=\|y\|^2>0$であるから$R(y)\neq0$である。この二つは両立しないので、$H\neq\{0\}$ならば$R$は複素線形でない。一方、系 1.2により、共役線形性$R(\alpha y+\beta z)=\overline\alpha Ry+\overline\beta Rz$は成り立つ。$H=\{0\}$の場合には$R=0$であり、線形性と共役線形性はどちらも成り立つ。▨

$H$を複素 Hilbert 空間、$a$を第1変数について線形、第2変数について共役線形な形式とし、$u\in H$と$f\in H^*$を固定する。$c\in\mathbb C$と$v\in H$に対して

である。したがって、左辺の$v\mapsto a(u,v)$は$v$について共役線形であり、右辺の$v\mapsto f(v)$は$v$について線形である。

$a(u,v)=f(v)$がすべての$v\in H$について成り立つと仮定する。$v\in H$に対して$iv$を代入すると

であり、$f$の線形性により$f(iv)=i\,f(v)$である。二つの等式から$2i\,f(v)=0$であるから$f(v)=0$である。$v\in H$は任意であるから$f=0$である。したがって$f\neq0$ならば、$a(u,v)=f(v)$をすべての$v\in H$について満たす$u\in H$は存在しない。定理 2.2 (2)の等式$a(v,u)=f(v)$では、左辺の$v\mapsto a(v,u)$が第1変数についての線形性により$v$について線形であるから、両辺の線形性の型が一致する。▨

Cauchy–Schwarz の不等式から$|a(u,v)|\leq\sum_n|u_n||v_n|\leq\|u\|_2\|v\|_2$であるから、級数は絶対収束し、$a$は有界である。双線形性と対称性は定義から従う。$a(u,u)=\sum_nu_n^2/n$は$u\neq0$のとき正である。第$n$成分だけが$1$の$e_n$について$a(e_n,e_n)=1/n$、$\|e_n\|_2=1$であるから、$a(x,x)\geq\alpha\|x\|^2$を満たす$\alpha>0$は存在せず、$a$は強圧的でない。$y=(1/n)_{n\geq1}$は$\sum_n1/n^2<\infty$から$\ell^2$に属し、$f(v)=\langle v,y\rangle$であるから$f\in(\ell^2)^*$である。

$u\in\ell^2$がすべての$v$について$a(u,v)=f(v)$を満たすと仮定する。$v=e_n$とすると$u_n/n=1/n$、すなわち$u_n=1$がすべての$n$で成り立つ。しかし$\sum_nu_n^2=\infty$であるから$u\notin\ell^2$であり、矛盾する。したがってそのような$u$は存在しない。この形式は有界で正定値であるが、強圧性を満たさないので、定理 2.2 (1)の結論は成り立たない。▨

$c_n=1+1/n$は$1<c_n\leq2$を満たすので、例 3.1の条件$0<\alpha\leq c_n\leq M$は$\alpha=1$、$M=2$で成り立つ。$\sum_n1/n^2$は収束するので$g\in\ell^2$である。解の各成分は

である。実際、$0<u_n\leq g_n$であるから$u\in\ell^2$であり、$u_n$と$g_n$は実数で$c_nu_n=(1+1/n)/(n+1)=1/n=g_n$であるから、任意の$v\in\ell^2$に対して

が成り立つ。定理 2.2により、この$u$が$a(v,u)=f(v)$をすべての$v\in\ell^2$について満たす唯一の元である。

$u$のノルムは

を満たすので、$\|u\|_2<\|g\|_2$であり、とくに$\|u\|_2\leq\|g\|_2$が成り立つ。定理 1.1により$\|f\|=\|g\|_2$であるから、この不等式は定理 2.2の評価$\|u\|\leq\|f\|/\alpha$の$\alpha=1$の場合と一致する。▨