非シグマ有限の積測度と積分交換 | 測度と積分

定義 1.1. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を正測度空間とする。集合 $A\subseteq X\times Y$ に対して長方形積外測度 (rectangle product outer measure) を

\theta(A)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)\nu(F_n): E_n\in\Sigma,\ F_n\in\mathcal T,\ A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}(E_n\times F_n)\right\}

と定める。積には $0\cdot\infty=\infty\cdot0=0$ の規約を用いる。空の集合の被覆には空長方形だけの列を含める。

補題 1.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を任意の正測度空間とする。可測長方形が $E\times F\subseteq\bigcup_n(E_n\times F_n)$ を満たすとき

\mu(E)\nu(F)\leq\sum_n\mu(E_n)\nu(F_n)

である。

証明. 各 $x\in E$ に対し、 $F\subseteq\bigcup_{n:x\in E_n}F_n$ であるから

\nu(F)\leq\sum_n\mathbf1_{E_n}(x)\nu(F_n).

非負級数の項別積分は単調収束定理から従う。この不等式を $E$ 上で $\mu$ に関して積分すれば

\mu(E)\nu(F)\leq\sum_n\mu(E\cap E_n)\nu(F_n)\leq\sum_n\mu(E_n)\nu(F_n)

を得る。定数が無限大である場合の積分も、定数関数の有限切断の上限として同じ規約に従う。▨

定理 1.3. 任意の正測度空間 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ に対し、 $\theta$ は $X\times Y$ 上の外測度である。そのCarathéodory可測集合族 $\mathcal C_\theta$ は $\Sigma\otimes\mathcal T$ を含み、完備測度 $\lambda_0=\theta|_{\mathcal C_\theta}$ は

\lambda_0(E\times F)=\mu(E)\nu(F)\qquad(E\in\Sigma,\ F\in\mathcal T)

を満たす。この測度を原始積測度という。

証明. 空集合の値は零であり、包含関係について単調性が成り立つ。 $\sum_n\theta(A_n)<\infty$ の場合、各 $A_n$ の長方形被覆を費用が $\theta(A_n)+\ep2^{-n}$ 以下となるように取る。それらの被覆を一つの可算列に並べると、 $\theta(\bigcup_nA_n)\leq\sum_n\theta(A_n)+\ep$ である。 $\ep\downarrow0$ として可算劣加法性を得る。右辺が無限大の場合の不等式も成り立つ。

可測集合 $E\in\Sigma$ を固定する。任意の長方形被覆の各 $E_n\times F_n$ を、 $(E_n\cap E)\times F_n$ と $(E_n\setminus E)\times F_n$ に分けると、二つの費用の和は元の費用と等しい。したがって任意の $A\subseteq X\times Y$ について

\theta(A\cap(E\times Y))+\theta(A\setminus(E\times Y))\leq\theta(A)

である。外測度の劣加法性から逆向きも成り立つため、 $E\times Y$ はCarathéodory可測である。同じ議論で $X\times F$ も可測であり、その共通部分 $E\times F$ も可測である。§E9.9 定理 3.4により $\mathcal C_\theta$ はシグマ加法族で、 $\lambda_0$ は完備測度である。長方形の値の上界は長方形自身による被覆、下界は補題 1.2による。▨

補題 2.1. 正測度空間 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ に対し、 $\mathcal R_f$ を $\mu(E)<\infty$ と $\nu(F)<\infty$ を満たす可測長方形 $R=E\times F$ の族とする。各 $R$ 上で、有限測度空間 $E,F$ の積測度の完備化を $\lambda_R$ 、その定義域を $\mathcal C_R$ とする。このとき $\mathcal R_f$ は包含について有向であり、任意の $R,S\in\mathcal R_f$ に対して $\lambda_R$ と $\lambda_S$ の $R\cap S$ への制限は、定義域も値も一致する。

証明. $R=E\times F$ と $S=G\times H$ は有限長方形 $(E\cup G)\times(F\cup H)$ に含まれる。§E9.15 定理 5.1により、 $R$ 上の積測度を $(E\cap G)\times(F\cap H)$ へ制限した測度は、その二因子の有限積測度である。実際、制限された測度は各可測長方形上で所定の積の値をもち、一意性定理の仮定を満たす。 $S$ からの制限も同じ積測度である。可測部分空間への制限と完備化は交換する。完備化可測集合は元の可測集合と可測な零集合の部分集合との差として表されるため、両制限の完備化の定義域も一致する。▨

定義 2.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を半有限な正測度空間とする。有限長方形上の完備積測度を用いて

\mathcal D=\{A\subseteq X\times Y:A\cap R\in\mathcal C_R\text{ がすべての }R\in\mathcal R_f\text{ で成り立つ}\},\qquad \lambda(A)=\sup_{R\in\mathcal R_f}\lambda_R(A\cap R)

と定める。 $\lambda$ を完備で局所的に決定する積測度 (complete locally determined product measure) という。

定理 2.3. 半有限な正測度空間 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ の上で、 $\mathcal D$ と $\lambda$ は次の性質をもつ。

$\mathcal D$ は $\Sigma\otimes\mathcal T$ を含むシグマ加法族であり、 $\lambda$ はその上の測度である。
各有限長方形 $R$ 上で、 $\lambda$ の制限は定義域も値も $\lambda_R$ と一致する。
$\lambda$ は完備、半有限、かつ局所的に決定される。
任意の $E\in\Sigma$ と $F\in\mathcal T$ に対し、 $\lambda(E\times F)=\mu(E)\nu(F)$ である。

証明.(1)を示す。各有限長方形の完備可測集合族はシグマ加法族であるから、有限長方形との交わりを取る条件で定めた $\mathcal D$ もシグマ加法族である。積シグマ加法族の集合の各 $R$ への制限は局所積に関して可測なので、 $\Sigma\otimes\mathcal T\subseteq\mathcal D$ である。

互いに素な $(A_n)$ に対して、各 $R$ 上の可算加法性から $\lambda(\bigcup_nA_n)\leq\sum_n\lambda(A_n)$ である。逆に有限個の添字 $n\leq m$ と、各 $\lambda(A_n)$ を下から近似する有限長方形 $R_n$ を取る。補題 2.1の有向性により全 $R_n$ を含む有限長方形 $R$ が存在する。整合性から

\lambda\left(\bigcup_n A_n\right)\geq\sum_{n=1}^m\lambda_R(A_n\cap R)\geq\sum_{n=1}^m\lambda_{R_n}(A_n\cap R_n).

各近似の上限と $m$ の上限を取れば逆向きの不等式を得る。

(2)を示す。 $B\in\mathcal C_R$ 、 $B\subseteq R$ とする。任意の有限長方形 $S$ について、整合性により $B\cap S\in\mathcal C_S$ であるため $B\in\mathcal D$ である。また $\lambda_S(B\cap S)=\lambda_R(B\cap S)\leq\lambda_R(B)$ であるから、上限を取り、 $S=R$ の場合と合わせれば $\lambda(B)=\lambda_R(B)$ である。逆に $B\in\mathcal D$ 、 $B\subseteq R$ ならば定義により $B\in\mathcal C_R$ である。

(3)を示す。 $\lambda(A)=0$ ならば各 $A\cap R$ は $\lambda_R$ -零集合であり、その任意の部分集合は $\mathcal C_R$ に属する。したがって $A$ の任意の部分集合は $\mathcal D$ に属して測度零であり、 $\lambda$ は完備である。任意の $A\in\mathcal D$ に対して $A\cap R$ は有限測度であり、(2)と定義から $\lambda(A)=\sup_R\lambda(A\cap R)$ であるため半有限である。集合 $B\subseteq X\times Y$ のすべての有限測度可測部分との交わりが可測であるとする。各 $R$ は有限測度であるから $B\cap R\in\mathcal D$ であり、(2)により $B\cap R\in\mathcal C_R$ である。よって $B\in\mathcal D$ となる。

(4)を示す。 $E\times F$ と有限長方形 $G\times H$ との交わりの局所測度は $\mu(E\cap G)\nu(F\cap H)$ である。両因子の半有限性により、それぞれの有限部分の測度の上限は $\mu(E)$ と $\nu(F)$ である。独立に上限を取れば積の値が得られる。いずれかの測度が零の場合には、すべての局所積が零である。▨

命題 2.4. 両因子がシグマ有限である場合、原始積測度と完備で局所的に決定する積測度は一致し、いずれも $\Sigma\otimes\mathcal T$ 上のシグマ有限積測度の完備化である。

証明. 有限長方形の増加列 $R_n$ で $X\times Y$ を覆う。定理 1.3と§E9.15 定理 5.1の一意性により、原始積測度の積シグマ加法族への制限は既存の積測度である。

有限長方形上で、Carathéodory可測集合 $A$ の外測度を $a$ とする。長方形の可算被覆を費用が $a+1/n$ 以下となるように取り、被覆の和集合とその有限長方形との交わりを $H_n$ とする。 $H=\bigcap_n H_n$ は積シグマ加法族に属し、 $A\subseteq H$ で、 $\theta(H)=\theta(A)$ である。有限測度長方形上ではCarathéodory等式から $\theta(H\setminus A)=0$ となる。零外測度集合を含む積シグマ加法族の零集合も、同じ被覆近似によって得られる。したがって原始積測度の各 $R_n$ 上の定義域は有限積測度の完備化と一致する。

$A\in\mathcal D$ ならば各 $A\cap R_n$ は原始積測度に関して可測であり、その可算和 $A$ も可測である。逆に原始積測度に関して可測な $A$ は、すべての有限長方形上の完備積測度に関して局所可測であるため $\mathcal D$ に属する。両測度の値は $A\cap R_n$ の測度の増加極限で一致する。各局所完備化での可測集合の分解を可算和にすれば、全体の定義域はシグマ有限積測度の完備化である。▨

定理 3.1. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を半有限な正測度空間とし、 $\lambda_0$ と $\lambda$ をそれぞれの原始積測度および完備で局所的に決定する積測度とする。 $f$ を $\Sigma\otimes\mathcal T$ に関して可測な関数とし、有限測度長方形列 $(E_n\times F_n)$ が存在して、点ごとに

\{(x,y):f(x,y)\ne0\}\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}(E_n\times F_n)

となると仮定する。

$f$ が非負拡張実数値ならば、両反復積分の内側の積分は可測関数を定め、 $\int f\,d\lambda_0=\int f\,d\lambda=\int_X\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\,d\mu(x)=\int_Y\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\,d\nu(y)$ が成り立つ。
$f$ が有限実数値または有限複素数値であり、 $\int|f|\,d\lambda<\infty$ ならば、両因子の可測な零集合の外で切片は可積分である。例外零集合上で内側の積分を零とすれば両反復積分は可積分であり、上の等式が成り立つ。

証明. $X_0=\bigcup_n E_n$ と $Y_0=\bigcup_n F_n$ を取る。両部分空間はシグマ有限であり、 $f$ は $X_0\times Y_0$ の外で点ごとに零である。補題 2.1と命題 2.4により、両積測度の $X_0\times Y_0$ への制限はシグマ有限積測度の完備化と一致する。原始積測度の制限については、長方形被覆を $X_0\times Y_0$ と交わらせると費用が増えず、逆に部分空間の被覆を全体の被覆とみなすことができるため、制限外測度が部分空間の長方形外測度に等しい。

(1)を示す。制限された関数へ§E9.19 定理 2.3を適用する。得られる内側の積分関数を $X\setminus X_0$ または $Y\setminus Y_0$ 上で零延長すれば、全体上の切片積分そのものである。零延長は可測であり、部分空間上と全体上の積分は等しい。

(2)を示す。 $|f|$ に(1)を適用し、制限された関数へ§E9.19 定理 3.2を適用する。部分空間上の例外零集合は全体でも可測な零集合である。部分空間の外の切片は零関数なので、全体上でも切片の可積分性と反復積分の等式が成り立つ。▨

例 4.1. $X=Y=[0,1]$ とし、 $X$ に冪集合と数え上げ測度 $\mu$ 、 $Y$ にLebesgue可測集合族とLebesgue測度 $m$ を入れる。両因子は局所化可能である。 $\mu$ は一点集合による厳密局所化可能空間であり、 $m$ は有限測度なので§E9.27 補題 1.4を適用することができる。

対角集合 $D=\{(x,y):x=y\}$ は積シグマ加法族に属する。実際、 $[0,1]$ を長さ $2^{-n}$ 以下の有限個の半開区間と最後の閉区間 $I_{n,k}$ に分割すれば

D=\bigcap_n\bigcup_k(I_{n,k}\times I_{n,k})

である。異なる二点は、区間の長さが二点の距離より小さくなった段階で同じ分割片に属さない。

有限測度長方形 $E\times F$ では $E$ が有限であり、 $D\cap(E\times F)$ は有限個の一点集合の和である。各一点集合の局所積測度は $1\cdot m(\{x\})=0$ であるため、局所的に決定する積では $\lambda(D)=0$ である。

原始積測度では $\lambda_0(D)=\infty$ である。有限費用の可算長方形被覆 $D\subseteq\bigcup_n(E_n\times F_n)$ が存在すると仮定する。 $m(F_n)>0$ の添字では $E_n$ は有限でなければならない。これらの $E_n$ の和を $H$ 、残りの $F_n$ の和を $K$ とする。 $H$ は可算であり、 $K$ はLebesgue零集合である。対角の被覆から $[0,1]\subseteq H\cup K$ が従うが、 $m(H\cup K)=0$ は $m([0,1])=1$ と両立しない。したがって有限費用の被覆は存在しない。

$f=\mathbf1_D$ に対する反復積分は

\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,dm(y)\right)d\mu(x)=0,\qquad \int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)dm(y)=1

である。各縦切片のLebesgue測度は零であり、各横切片の数え上げ測度は $1$ だからである。両因子の局所化可能性は、一般の非負可測関数に対する積分交換を保証しない。

注意 4.2.例 4.1では $\mathbf1_D=0$ が $\lambda$ に関してほとんど至る所で成り立ち、 $\mathbf1_D$ は $L^1(\lambda)$ の零類を表す。それでも一方の反復積分は $1$ である。したがって、積測度に関するほとんど至る所の同値類だけでは切片積分を定めることができない。定理 3.1の台の条件は点ごとの代表元に対する条件である。

問題 5.1. 非可算集合 $X$ の冪集合上で、可算集合に $0$ 、非可算集合に $\infty$ を与える測度 $\mu$ を考える。一点空間 $Y$ に質量 $1$ の測度を入れる。有限測度長方形上の局所積の上限を取ったとき、 $X\times Y$ の値を求め、長方形値との相違を説明せよ。

§E9.29非シグマ有限の積測度と積分交換

1 長方形被覆による積

2 有限長方形上の局所積

3 可算個の有限長方形に支持される関数

4 対角集合

5 演習

前提記事