像測度と密度による積分変換 | 測度と積分

定義 1.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $(Y,\mathcal G)$ を可測空間とし、 $T:(X,\mathcal F)\to(Y,\mathcal G)$ を可測写像とする。各 $B\in\mathcal G$ に対して

(T_\#\mu)(B)=\mu(T^{-1}(B))

と定める。集合関数 $T_\#\mu:\mathcal G\to[0,\infty]$ を $\mu$ の $T$ による像測度 (pushforward measure) という。

命題 1.2. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $(Y,\mathcal G)$ を可測空間とする。可測写像 $T:(X,\mathcal F)\to(Y,\mathcal G)$ に対して、 $T_\#\mu$ は $(Y,\mathcal G)$ 上の測度である。

証明. 逆像は空集合と可算非交和を保つ。 $T$ の可測性により各逆像が $\mathcal F$ に属するので、 $\mu$ の空集合での零値と可算加法性を逆像へ適用すれば、 $T_\#\mu$ の同じ性質を得る。▨

定理 1.3. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $(Y,\mathcal G)$ を可測空間とし、 $T:(X,\mathcal F)\to(Y,\mathcal G)$ を可測写像とする。 $\nu=T_\#\mu$ とおく。

任意の非負拡張実数値可測関数 $h:Y\to[0,\infty]$ に対して、 $h\circ T$ は可測であり、 $\int_Yh\,d\nu=\int_Xh\circ T\,d\mu$ が $[0,\infty]$ において成り立つ。
$h:Y\to\R$ が $\nu$ に関して可積分ならば、 $h\circ T$ は $\mu$ に関して可積分であり、 $\int_Yh\,d\nu=\int_Xh\circ T\,d\mu$ が成り立つ。
$h:Y\to\C$ が $\nu$ に関して可積分ならば、 $h\circ T$ は $\mu$ に関して可積分であり、 $\int_Yh\,d\nu=\int_Xh\circ T\,d\mu$ が成り立つ。

証明. 非負可測関数 $h$ に対して $J(h)=\int_Xh\circ T\,d\mu$ とおく。合成は可測性、非負線形結合、点ごとの増加極限を保つ。したがって、 $J$ は非負線形であり、§E9.11 定理 1.1により増加極限を保つ。任意の $B\in\mathcal G$ に対して

J(\mathbf1_B)=\mu(T^{-1}(B))=\nu(B)

であるから、非負線形性により $J$ は非負単関数上で $\nu$ に関する積分と一致する。§E9.10 定理 1.7の一意性から(1)を得る。

有限実数値または複素数値の可測関数 $h$ に対して、非負版を $|h|$ へ適用すると

\int_X|h\circ T|\,d\mu=\int_Y|h|\,d\nu

である。右辺が有限ならば $h\circ T$ は可積分である。実数値の場合は $(h\circ T)^\pm=h^\pm\circ T$ に非負版を適用して差をとる。複素数値の場合は実部と虚部へ実数値版を適用する。(2)と(3)を得る。▨

系 1.4. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $(Y,\mathcal G)$ を可測空間とし、 $T:(X,\mathcal F)\to(Y,\mathcal G)$ を可測写像とする。有限実数値または複素数値の可測関数 $h$ が $T_\#\mu$ に関して可積分であることと、 $h\circ T$ が $\mu$ に関して可積分であることは同値である。

証明.定理 1.3 (1)を $|h|$ へ適用すると、二つの絶対値の積分が一致する。▨

例 1.5. $X=\{1,2,3\}$ と $Y=\{a,b\}$ に冪集合のシグマ加法族を入れ、

\mu(A)=\sum_{x\in A}w_x,\qquad (w_1,w_2,w_3)=(1,2,4)

と定める。写像 $T(1)=T(2)=a$ 、 $T(3)=b$ に対して

(T_\#\mu)(\{a\})=3,\qquad (T_\#\mu)(\{b\})=4

である。 $h(a)=-1$ 、 $h(b)=2$ と定めると、

\int_Yh\,d(T_\#\mu)=-3+8=5 =-1-2+8=\int_Xh\circ T\,d\mu

となる。

定義 2.1. $(X,\mathcal F)$ 上の正測度 $\nu,\mu$ について、任意の $A\in\mathcal F$ に対して $\mu(A)=0$ ならば $\nu(A)=0$ であるとき、 $\nu$ は $\mu$ に関して絶対連続 (absolutely continuous) であるといい、 $\nu\ll\mu$ と書く。

定義 2.2. $(X,\mathcal F)$ を可測空間とし、 $\alpha,\beta$ をその上の正測度とする。

$\alpha$ が可測集合 $S\in\mathcal F$ に集中する (concentrated) とは、 $\alpha(X\setminus S)=0$ が成り立つことをいう。
可測集合 $S\in\mathcal F$ が存在して $\alpha(X\setminus S)=0$ かつ $\beta(S)=0$ であるとき、 $\alpha$ と $\beta$ は相互特異 (mutually singular) であるといい、 $\alpha\perp\beta$ と書く。

補題 2.3. 同じ可測空間上の任意の正測度 $\alpha,\beta$ に対して、 $\alpha\perp\beta$ と $\beta\perp\alpha$ は同値である。

証明. $\alpha(X\setminus S)=\beta(S)=0$ を満たす可測集合 $S$ の補集合をとると、 $\beta$ が集中し $\alpha$ が零となる可測集合を得る。▨

定義 3.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を非負拡張実数値可測関数とする。 $E\in\mathcal F$ に対して、可測集合上の積分 (integral over a measurable set) を

\int_E f\,d\mu=\int_X f\mathbf1_E\,d\mu

と定める。積では $0\cdot\infty=0$ とする。

補題 3.2. 可測空間 $(X,\mathcal F)$ 上の非負拡張実数値可測関数 $f,g$ に対して、 $0\cdot\infty=0$ によって定めた積 $fg$ は可測である。

証明. 有限値可測関数 $\min(f,n)\min(g,n)$ は、§E9.7 命題 3.1と有限次元の連続な乗法によって可測である。この列は点ごとに $fg$ へ増加する。どちらかの因子が零ならば列の値も零であり、どちらも正ならば通常の積の極限になる。§E9.7 定理 5.1により $fg$ は可測である。▨

命題 3.3. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を非負拡張実数値可測関数とする。

\lambda_f(E)=\int_Ef\,d\mu\qquad(E\in\mathcal F)

と定めると、 $\lambda_f$ は正測度であり、 $\lambda_f\ll\mu$ である。

証明. $\lambda_f(\emptyset)=0$ である。二つずつ交わらない可測集合列 $E_n$ に対して、非負級数の積分公式§E9.11 系 1.2から

\lambda_f\left(\bigcup_nE_n\right) =\int_X\sum_nf\mathbf1_{E_n}\,d\mu =\sum_n\lambda_f(E_n)

を得る。 $\mu(E)=0$ ならば§E9.10 補題 3.1により $\lambda_f(E)=0$ である。▨

命題 3.4. $(X,\mathcal F,\rho)$ を測度空間、 $g:X\to[0,\infty]$ を非負拡張実数値可測関数とし、正測度 $\mu$ を

\mu(E)=\int_Eg\,d\rho\qquad(E\in\mathcal F)

\text{(3.4.1)}

によって定める。任意の非負拡張実数値可測関数 $h$ に対して

\int_Xh\,d\mu=\int_Xhg\,d\rho

\text{(3.4.2)}

が $[0,\infty]$ において成り立つ。積では $0\cdot\infty=0$ とする。

証明. $K(h)=\int_Xhg\,d\rho$ とおく。補題 3.2により積は可測である。非負線形性と $h_n\uparrow h$ に対する $h_ng\uparrow hg$ 、および§E9.11 定理 1.1により、 $K$ は非負線形であり増加極限を保つ。指示関数では $K(\mathbf1_E)=\mu(E)$ である。非負線形性により単関数上で $K$ は $\mu$ に関する積分に一致するので、§E9.10 定理 1.7の一意性が積分公式を与える。▨

系 3.5. 測度空間 $(X,\mathcal F,\rho)$ の非負拡張実数値可測関数 $g$ から $\mu(E)=\int_Eg\,d\rho$ を定める。有限実数値または複素数値の可測関数 $h$ が $\mu$ に関して可積分であるための必要十分条件は

\int_X|h|g\,d\rho<\infty

である。この条件が成り立つとき、 $g<\infty$ の点では $w=hg$ 、 $g=\infty$ の点では $w=0$ と定めた有限値可測関数 $w$ は $\rho$ に関して可積分であり、 $\int_Xh\,d\mu=\int_Xw\,d\rho$ である。

証明.命題 3.4を $|h|$ へ適用すると必要十分条件を得る。その条件のもとで§E9.10 命題 3.4を $|h|g$ へ適用すると、 $F=\{g=\infty,\ |h|>0\}$ は $\rho$ -零集合である。 $|w|=|h|g$ は $F$ の外で成り立つため、a.e. 不変性から $w$ は可積分である。実数値の場合は密度積分公式を $h^+$ と $h^-$ へ適用し、 $F$ 上の変更を a.e. 不変性で除いて差をとる。複素数値の場合は実部と虚部へ実数値の場合を適用する。▨

系 3.6. $(X,\mathcal F,\rho)$ を測度空間、 $f,g:X\to[0,\infty]$ を非負拡張実数値可測関数とする。 $\mu(E)=\int_Eg\,d\rho$ 、 $\nu(E)=\int_Ef\,d\mu$ と定めると、任意の $E\in\mathcal F$ に対して $\nu(E)=\int_Efg\,d\rho$ である。

証明.命題 3.4を $f\mathbf1_E$ へ適用する。▨

補題 4.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $D\in\mathcal F$ とし、 $\mathcal F|_D=\{E\cap D\mid E\in\mathcal F\}$ 、 $\mu_D(B)=\mu(B)$ （ $B\in\mathcal F|_D$ ）と定める。 $\mu_D$ は $(D,\mathcal F|_D)$ 上の正測度である。非負拡張実数値可測関数 $h:D\to[0,\infty]$ の零延長 $\widehat h:X\to[0,\infty]$ は可測であり、

\int_Dh\,d\mu_D=\int_X\widehat h\,d\mu

が成り立つ。

証明.§E9.10 命題 4.1を $A=D$ として適用する。▨

§E9.12像測度と密度による積分変換

1 像測度

2 正測度の絶対連続性と相互特異性

3 密度による測度と積分

4 制限測度と零延長

参考文献

前提記事