§E9.28局所的な関数の貼り合わせと L^p 双対

証明.$G_n=\{|f|>1/n\}$とおく。$\mu(G_n)\leq n^p\int|f|^p\,d\mu<\infty$であり、$\{f\ne0\}=\bigcup_nG_n$である。▨

証明.$\mu$が半有限であるとする。$g\in L^\infty$と$0<t<\|g\|_\infty$を取る。$\{|g|>t\}$は正測度であるから、半有限性により有限な正測度の可測部分集合$E$を含む。$f=\mu(E)^{-1}\mathbf1_Eg/|g|$は$\|f\|_1=1$を満たし、$T_\infty(g)(f)=\mu(E)^{-1}\int_E|g|\,d\mu>t$である。$t\uparrow\|g\|_\infty$とすると$\|T_\infty(g)\|\geq\|g\|_\infty$であり、逆向きはHölder不等式による。$\|g\|_\infty=0$の場合の等号も成り立つ。

$\mu$が半有限でないとする。可測集合$A$で$\mu(A)=\infty$かつ

となるものを取る。有限部分集合列の和$B\subseteq A$を$\mu(B)=c$となるように取ることができる。$c=0$の場合には$B=\emptyset$とする。$D=A\setminus B$は無限測度である。有限測度可測集合$E\subseteq D$について、$B\cup E$の測度は有限であり$c$以下であるから、$\mu(E)=0$である。補題 1.2により、任意の$f\in L^1$は$D$上でほとんど至る所零である。したがって$T_\infty(\mathbf1_D)=0$であるが、$\mathbf1_D$の$L^\infty$類は零でない。単射性は成り立たない。▨

証明. 互いに素な可測集合列$(A_n)$の和を$A\subseteq E$とする。$\mathbf1_A-\sum_{n\leq N}\mathbf1_{A_n}$の$L^p$ノルムの$p$乗は$\mu(\bigcup_{n>N}A_n)$であり、$\mu(E)<\infty$により零へ収束する。$\Phi$の連続性により$\nu_E$は可算加法的である。零集合の指示関数は零類であるため絶対連続性も従う。

有限可測分割$A=\bigsqcup_{j=1}^m A_j$に対し、$|c_j|\leq1$と$c_j\nu_E(A_j)=|\nu_E(A_j)|$を満たすスカラーを取る。すると

左辺は非負実数である。分割の上限を取れば全変動評価を得る。▨

証明.補題 2.1と§E9.26 定理 4.1により、$\nu_E=h_E\mu|_E$と表す。実数体では$h_E$は実数値である。全変動評価と§E9.26 補題 2.2により、任意の可測集合$A\subseteq E$について$\int_A|h_E|\,d\mu\leq\|\Phi\|\mu(A)$である。$A=\{|h_E|>\|\Phi\|+1/n\}$とすれば各$A$は零集合であり、$|h_E|\leq\|\Phi\|$がほとんど至る所で成り立つ。$g_E=\overline{h_E}$とする。指示関数に対する表示から線形性により単関数の表示が従い、§E9.22 定理 2.2とHölder不等式によりすべての$L^1$関数へ延長される。$E\cap F$上の可測集合の指示関数に対する値は同じであるから、§E9.26 定理 4.1の一意性により密度は整合する。▨

証明.$\mu$が局所化可能であるとする。$\Phi\in L^1(\mu)^*$に対し、補題 2.2の局所密度$g_E$を、すべての有限測度可測集合$E$にわたって取る。§E9.27 定理 3.2と§E9.27 系 3.3により、それらを可測関数$g$へ貼り合わせる。$\{|g|>\|\Phi\|\}$は任意の有限部分との交わりが零集合であるから、§E9.27 補題 2.3により零集合である。したがって$g\in L^\infty$である。$L^1$に属する単関数の非零台は有限測度であるため、局所表示から$\Phi(s)=T_\infty(g)(s)$が従う。単関数の稠密性により$\Phi=T_\infty(g)$である。単射性と等長性は命題 1.3による。

$T_\infty$が全単射であるとする。命題 1.3により$\mu$は半有限である。任意の可測集合族$(A_i)_{i\in I}$を取り、非負な$f\in L^1$に対して

と定める。有限集合$J$は包含に関して有向であり、$f,v\geq0$に対して、両方の積分を同時に近似する有限集合は二つの有限集合の和として取ることができる。したがって$P(f+v)=P(f)+P(v)$である。非負スカラーについて斉次性も成り立ち、$0\leq P(f)\leq\|f\|_1$である。

実数値関数に対して$P(f^+)-P(f^-)$と定める。非負錐上の加法性により、$f=u-v$という別の非負分解を使っても、$u+f^-=v+f^+$への加法性から値は変わらない。この延長は実線形である。複素数体では実部と虚部へ適用して複素線形汎関数$\Phi$を得る。任意の$f$について$|\Phi(f)|=\Phi(\operatorname{Re}(cf))\leq P(|f|)\leq\|f\|_1$を満たす単位スカラー$c$を取ることができるため、$\Phi$は連続である。

全射性によって$\Phi(f)=\int f h\,d\mu$となる$h\in L^\infty$を取る。有限測度集合の指示関数について$0\leq\Phi(\mathbf1_E)\leq\mu(E)$である。虚部の正負、および実部が$0$より小さい集合と$1$より大きい集合の有限部分でこの不等式を用い、半有限性を適用すると、$h$は実数値で$0\leq h\leq1$がほとんど至る所成り立つ。零集合上を修正して、この不等式を点ごとに満たすようにする。

有限測度可測集合$E\subseteq A_i$では、$J$に$i$を含めることにより$\Phi(\mathbf1_E)=\mu(E)$である。よって$h=1$が各$A_i$上でほとんど至る所成り立つ。一方、すべての$A_i$を本質的に含む可測集合$B$があれば、$E\subseteq X\setminus B$、$\mu(E)<\infty$に対して各有限和との交わりは零集合なので$\Phi(\mathbf1_E)=0$である。半有限性により$h=0$が$X\setminus B$上でほとんど至る所成り立つ。したがって$H=\{h=1\}$は$(A_i)$の本質的上限である。任意の族に本質的上限が存在するため、測度代数はDedekind完備であり、$\mu$は局所化可能である。▨

証明.$E_n\uparrow X$、$\mu(E_n)<\infty$となる可測集合列を取る。補題 2.1と§E9.26 定理 4.1により$\Phi(\mathbf1_A)=\int_A\overline{g_n}\,d\mu$がすべての$A\subseteq E_n$で成り立つ可積分密度$g_n$を取る。密度の一意性により$g_{n+1}=g_n$が$E_n$上でほとんど至る所成り立つ。例外零集合の可算和を除き、$E_n\setminus E_{n-1}$上で$g=g_n$と定めれば、有限値可測関数$g$を得る。

各$n,k\in\NN$について$D=E_n\cap\{|g|\leq k\}$とし、$f=\mathbf1_D g|g|^{q-2}$を取る。$g=0$では$f=0$と定める。$E_n$上で$f$は有界であるため、単関数で一様に近似して指示関数の表示を$f$へ延長することができる。$K=\int_D|g|^q\,d\mu$とおくと

$K>0$ならば$K^{1/q}\leq\|\Phi\|$であり、$K=0$でも同じ不等式が成り立つ。$n,k\to\infty$として単調収束定理を用いれば、$g\in L^q$と$\|g\|_q\leq\|\Phi\|$を得る。

有限測度可測集合$A$について、$\mathbf1_{A\cap E_n}\to\mathbf1_A$が$L^p$で成り立つので、Hölder不等式により$\Phi(\mathbf1_A)=T_q(g)(\mathbf1_A)$である。$L^p$単関数の稠密性から$\Phi=T_q(g)$が従う。$g\ne0$ならば$f=g|g|^{q-2}/\|g\|_q^{q-1}$は$L^p$ノルム$1$をもち、$T_q(g)(f)=\|g\|_q$である。$g=0$の場合も含め、Hölder不等式と合わせてノルムは一致する。二つの密度の差へ同じ関数を適用すれば一意性も従う。▨

証明.$\Phi\in L^p(\mu)^*$とし、$C=\|\Phi\|$とおく。$\|f_n\|_p\leq1$と$|\Phi(f_n)|\to C$を満たす列を取る。補題 1.2により、代表元の非零集合の和$F=\bigcup_n\{f_n\ne0\}$はシグマ有限である。$F$上の関数を零延長して得る制限汎関数$\Phi_F$のノルムは$C$である。補題 4.1により密度$g_F\in L^q(\mu|_F)$を取り、$X\setminus F$上で零とした関数を$g$とする。

任意の$f\in L^p$の非零集合を$G$とし、$H=F\cup G$とする。$H$はシグマ有限であり、$\Phi_H$のノルムも$C$である。対応する密度$g_H$は、$F$への制限について一意性から$g_H|_F=g_F$を満たす。したがって

であり、$g_H=0$が$H\setminus F$上でほとんど至る所成り立つ。$f$は$H$に台をもつため、$\Phi(f)=\int_H f\overline{g_H}\,d\mu=\int_X f\overline g\,d\mu$である。$C=0$の場合も同じ構成は零密度を与える。ノルムの一致と単射性は、任意の$L^q$密度に対する関数$g|g|^{q-2}$の計算による。▨

証明. 各有限測度可測集合$E$上で§E9.14 定理 2.3により$\nu|_E=g_E\mu|_E$と表す。§E9.14 定理 3.1により、$g_E$は有限値に修正することができ、任意の$E,F$上の密度は$E\cap F$でほとんど至る所一致する。§E9.27 定理 3.2により、すべての$g_E$を非負有限値可測関数$g$に貼り合わせる。§E9.27 補題 2.3を$\mathbf1_Ag$に適用すると

である。二つの密度が同じ$\nu$を与えるならば、各有限部分でRadon–Nikodym密度の一意性が成り立ち、半有限性により全体でもほとんど至る所一致する。▨