§E9.38測度の弱収束と Portmanteau の定理

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点列の収束に伴って、その点に質量を集中させた測度も変化する。実数直線上の点1/n1/nに単位質量を集中させた測度は、有界連続関数の積分については零に単位質量を集中させた測度へ近づくが、任意の可測関数の積分について同じ近づき方をするわけではない。測度の弱収束は、このように空間の位相を反映する基本的な収束である。積分による記述と集合の測度による記述を結ぶ Portmanteau の定理によって、弱収束を異なる観点から調べることができる。本記事では、有限 Borel 測度の弱収束と Portmanteau の定理を扱う。

1 弱収束と弱位相

定義 1.1.XXを Polish 空間とし、Mf+(X)\mathcal M_f^+(X)をXX上の有限正 Borel 測度全体とする。μn,μ∈Mf+(X)\mu_n,\mu\in\mathcal M_f^+(X)に対して、任意の有界連続関数f:X→Rf:X\to\Rが

∫Xf dμn⟶∫Xf dμ\int_Xf\,d\mu_n\longrightarrow\int_Xf\,d\mu

を満たすとき、μn\mu_nはμ\muに 弱収束 (weak convergence of measures) するといい、μn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muと書く。

Mf+(X)\mathcal M_f^+(X)の 弱位相 (weak topology of measures) は、すべての有界連続実数値関数ffに対してμ↦∫Xf dμ\mu\mapsto\int_Xf\,d\muを連続にする最も粗い位相とする。μ\muにおける近傍基は、有限個の有界連続関数f1,…,fmf_1,\ldots,f_mとε>0\ep>0による集合

{ν∈Mf+(X) | ∣∫Xfj dν−∫Xfj dμ∣<ε(1≤j≤m)}\left\{\nu\in\mathcal M_f^+(X)\ \middle|\ \left|\int_Xf_j\,d\nu-\int_Xf_j\,d\mu\right|<\ep \quad(1\leq j\leq m)\right\}

である。

命題 1.2.XXを Polish 空間、μn,μ\mu_n,\muを有限正 Borel 測度とする。μn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muならばμn(X)→μ(X)\mu_n(X)\to\mu(X)である。また、弱収束の定義で実数値の有界連続関数を複素数値の有界連続関数に置き換えても、同じ収束条件が得られる。

証明. 定数関数11を試験関数に取れば全質量の収束が従う。複素数値関数を実部と虚部に分け、積分の線形性を適用すれば複素数値の試験関数に関する収束が従う。逆に実数値関数は複素数値関数でもある。▨

2 Portmanteau の定理

定義 2.1. 位相空間XX上の正 Borel 測度μ\muと Borel 集合A⊆XA\subseteq Xに対して、μ(∂A)=0\mu(\partial A)=0であるとき、AAをμ\muの 連続集合 (continuity set) という。ここで∂A=A‾∖int⁡(A)\partial A=\tpcl{A}\setminus\tpint{A}は境界である。

補題 2.2.(X,Σ,μ)(X,\Sigma,\mu)を有限正測度空間、M>0M>0とし、f:X→[0,M]f:X\to[0,M]を可測関数とする。このとき

∫Xf dμ=∫0Mμ({x∈X∣f(x)>t}) dt\int_Xf\,d\mu=\int_0^M\mu(\{x\in X\mid f(x)>t\})\,dt

である。また、μ({f=t})>0\mu(\{f=t\})>0となるt∈Rt\in\Rは高々可算個である。

証明. 集合E={(x,t)∈X×[0,M]∣t<f(x)}E=\{(x,t)\in X\times[0,M]\mid t<f(x)\}は

E=⋃q∈Q{x∣f(x)>q}×{t∈[0,M]∣t<q}E=\bigcup_{q\in\Q}\{x\mid f(x)>q\}\times\{t\in[0,M]\mid t<q\}

であるから積 σ-代数に属する。XX上のμ\muと[0,M][0,M]上の Lebesgue 測度はともに有限であり、§E9.19 定理 2.3を1E\mathbf1_Eへ適用すると積分表示が得られる。

各k∈N≥1k\in\NNに対し、μ({f=t})≥1/k\mu(\{f=t\})\geq1/kとなるttは有限個である。実際、相異なるrr個の値を取れば、対応する水準集合は互いに交わらず、r/k≤μ(X)r/k\leq\mu(X)である。正の測度を持つ水準集合の値全体は、この有限集合の可算合併に含まれる。▨

定理 2.3.XXを Polish 空間、μn,μ\mu_n,\muを有限正 Borel 測度とする。次の条件は同値である。

  1. μn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muである。
  2. μn(X)→μ(X)\mu_n(X)\to\mu(X)であり、任意の閉集合F⊆XF\subseteq Xに対してlim sup⁡nμn(F)≤μ(F)\limsup_n\mu_n(F)\leq\mu(F)である。
  3. μn(X)→μ(X)\mu_n(X)\to\mu(X)であり、任意の開集合U⊆XU\subseteq Xに対してlim inf⁡nμn(U)≥μ(U)\liminf_n\mu_n(U)\geq\mu(U)である。
  4. 任意のμ\muの連続集合AAに対してμn(A)→μ(A)\mu_n(A)\to\mu(A)である。

証明.μn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muと仮定する。全質量の収束は命題 1.2による。位相を定める距離ddを取り、空でない閉集合FFに対して

fm(x)=max⁡{1−md(x,F),0}(m∈N≥1)f_m(x)=\max\{1-m d(x,F),0\}\qquad(m\in\NN)

とおく。∣d(x,F)−d(y,F)∣≤d(x,y)|d(x,F)-d(y,F)|\leq d(x,y)であるからfmf_mは有界連続であり、1F≤fm≤1\mathbf1_F\leq f_m\leq1とfm↓1Ff_m\downarrow\mathbf1_Fを満たす。固定したmmについて弱収束から

lim sup⁡nμn(F)≤lim⁡n∫Xfm dμn=∫Xfm dμ\limsup_n\mu_n(F)\leq\lim_n\int_Xf_m\,d\mu_n=\int_Xf_m\,d\mu

である。§E9.11 定理 3.1により右辺はm→∞m\to\inftyでμ(F)\mu(F)へ収束する。F=∅F=\emptysetの場合には不等式は0≤00\leq0である。

(2)⇔\Leftrightarrow(3)を示す。全質量の収束を用いてμn(U)=μn(X)−μn(X∖U)\mu_n(U)=\mu_n(X)-\mu_n(X\setminus U)と書けば、閉集合に関する上極限の不等式と開集合に関する下極限の不等式は互いに移る。

(2)⇒\Rightarrow(4)を示す。前段から開集合に関する条件も成り立つ。μ(∂A)=0\mu(\partial A)=0ならばμ(int⁡(A))=μ(A)=μ(A‾)\mu(\tpint{A})=\mu(A)=\mu(\tpcl{A})であり、

μ(A)≤lim inf⁡nμn(int⁡(A))≤lim inf⁡nμn(A)≤lim sup⁡nμn(A)≤lim sup⁡nμn(A‾)≤μ(A)\mu(A)\leq\liminf_n\mu_n(\tpint{A})\leq\liminf_n\mu_n(A) \leq\limsup_n\mu_n(A)\leq\limsup_n\mu_n(\tpcl{A})\leq\mu(A)

である。

(4)⇒\Rightarrow(1)を示す。XXは境界が空であるから、全質量は収束し、C=sup⁡nμn(X)<∞C=\sup_n\mu_n(X)<\inftyである。f:X→[0,M]f:X\to[0,M]を有界連続関数とする。集合At={f>t}A_t=\{f>t\}の境界は{f=t}\{f=t\}に含まれる。補題 2.2により、Lebesgue 測度に関してほとんどすべてのt∈[0,M]t\in[0,M]でμ({f=t})=0\mu(\{f=t\})=0であり、仮定からμn(At)→μ(At)\mu_n(A_t)\to\mu(A_t)である。0≤μn(At)≤C0\leq\mu_n(A_t)\leq Cと§E9.11 定理 3.1を[0,M][0,M]に適用し、積分表示を用いると∫Xf dμn→∫Xf dμ\int_Xf\,d\mu_n\to\int_Xf\,d\muを得る。任意の有界連続実数値関数は、非負の有界連続関数と定数関数の差に書くことができる。積分の線形性から弱収束が従う。▨

3 弱収束列の一様緊密性

定義 3.1. 位相空間XX上の有限正 Borel 測度の族H\mathcal Hが 一様に緊密 (uniformly tight family) であるとは、任意のε>0\ep>0に対してコンパクトな Borel 集合K⊆XK\subseteq Xが存在し、すべてのν∈H\nu\in\mathcal Hがν(X∖K)<ε\nu(X\setminus K)<\epを満たすことをいう。

補題 3.2.XXを Polish 空間、μn,μ\mu_n,\muを有限正 Borel 測度とし、μn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muと仮定する。このとき族{μ}∪{μn∣n∈N≥1}\{\mu\}\cup\{\mu_n\mid n\in\NN\}は一様に緊密である。

証明.X=∅X=\emptysetならば空集合を取る。X≠∅X\ne\emptysetとし、位相を定める完備距離ddと可算稠密集合{aj∣j∈N≥1}\{a_j\mid j\in\NN\}を取る。ε>0\ep>0を固定する。各r∈N≥1r\in\NNに対して、半径2−r2^{-r}の球の有限合併VrV_rをμ(X∖Vr)<ε2−r−1\mu(X\setminus V_r)<\ep2^{-r-1}となるように取る。定理 2.3 (3)と全質量の収束から

lim sup⁡nμn(X∖Vr)≤μ(X∖Vr)<ε2−r−1\limsup_n\mu_n(X\setminus V_r)\leq\mu(X\setminus V_r)<\ep2^{-r-1}

である。したがってn≥Nrn\geq N_rならばμn(X∖Vr)<ε2−r\mu_n(X\setminus V_r)<\ep2^{-r}となるNrN_rが存在する。

有限個の測度μ1,…,μNr−1\mu_1,\ldots,\mu_{N_r-1}についても、可算球被覆と§E9.8 定理 4.1 (1)によって、半径2−r2^{-r}の球の有限合併で補集合の測度をε2−r\ep2^{-r}未満にすることができる。それらの有限合併とVrV_rの合併をUrU_rとすれば、μ\muとすべてのμn\mu_nについてν(X∖Ur)<ε2−r\nu(X\setminus U_r)<\ep2^{-r}である。§E9.37 補題 2.2によりK=⋂rUr‾K=\bigcap_r\tpcl{U_r}はコンパクトであり、可算劣加法性からすべてのν\nuについてν(X∖K)<ε\nu(X\setminus K)<\epである。▨

4 有界 Lipschitz 距離

定義 4.1.XXを Polish 空間、ddをその位相を定める距離とする。関数族

L1(X,d)={f:X→R∣∣f(x)∣≤1 (x∈X), ∣f(x)−f(y)∣≤d(x,y) (x,y∈X)}\mathcal L_1(X,d)=\{f:X\to\R\mid |f(x)|\leq1\ (x\in X),\ |f(x)-f(y)|\leq d(x,y)\ (x,y\in X)\}

と、有限正 Borel 測度μ,ν\mu,\nuに対する 有界 Lipschitz 距離 (bounded Lipschitz distance)

βd(μ,ν)=sup⁡f∈L1(X,d)∣∫Xf dμ−∫Xf dν∣\beta_d(\mu,\nu)=\sup_{f\in\mathcal L_1(X,d)} \left|\int_Xf\,d\mu-\int_Xf\,d\nu\right|

を定める。

補題 4.2.(X,d)(X,d)を距離空間、K⊆XK\subseteq Xをコンパクト集合とする。任意のη>0\eta>0に対し、有限個の関数f1,…,fm∈L1(X,d)f_1,\ldots,f_m\in\mathcal L_1(X,d)が存在し、各f∈L1(X,d)f\in\mathcal L_1(X,d)に対して

sup⁡x∈K∣f(x)−fj(x)∣<η\sup_{x\in K}|f(x)-f_j(x)|<\eta

を満たすjjが存在する。

証明.K=∅K=\emptysetならばf1=0f_1=0を取る。K≠∅K\ne\emptysetとし、0<a<η/30<a<\eta/3を取る。半径aaの球によるKKの有限被覆の中心をx1,…,xN∈Kx_1,\ldots,x_N\in Kとする。区間[−1,1][-1,1]を長さaa以下の有限個の区間に分け、各ffを値f(xi)f(x_i)の属する区間の組によって分類する。空でない各類から代表元を一つ取る。ffと代表元fjf_jが同じ類に属するとき、d(x,xi)<ad(x,x_i)<aとなるiiを用いれば

∣f(x)−fj(x)∣≤∣f(x)−f(xi)∣+∣f(xi)−fj(xi)∣+∣fj(xi)−fj(x)∣<3a<η|f(x)-f_j(x)|\leq|f(x)-f(x_i)|+|f(x_i)-f_j(x_i)|+|f_j(x_i)-f_j(x)|<3a<\eta

である。類は有限個であるから主張が従う。▨

定理 4.3.XXを Polish 空間、ddをその位相を定める距離とする。

  1. βd\beta_dはMf+(X)\mathcal M_f^+(X)上の距離である。
  2. 任意のμn,μ∈Mf+(X)\mu_n,\mu\in\mathcal M_f^+(X)について、βd(μn,μ)→0\beta_d(\mu_n,\mu)\to0とμn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muは同値である。
  3. βd\beta_dが定める位相は弱位相に一致する。

証明. 任意のμ,ν∈Mf+(X)\mu,\nu\in\mathcal M_f^+(X)に対してβd(μ,ν)≤μ(X)+ν(X)<∞\beta_d(\mu,\nu)\leq\mu(X)+\nu(X)<\inftyであり、対称性と三角不等式は各試験関数の積分に関する絶対値の不等式から従う。βd(μ,ν)=0\beta_d(\mu,\nu)=0と仮定する。任意の空でない閉集合FFとm∈N≥1m\in\NNに対して、fm=max⁡{1−md( ⋅ ,F),0}f_m=\max\{1-md(\,·\,,F),0\}は∣fm∣≤1|f_m|\leq1で Lipschitz 定数がmm以下であるから、fm/m∈L1(X,d)f_m/m\in\mathcal L_1(X,d)である。したがって∫fm dμ=∫fm dν\int f_m\,d\mu=\int f_m\,d\nuである。§E9.11 定理 3.1によりm→∞m\to\inftyとするとμ(F)=ν(F)\mu(F)=\nu(F)を得る。空集合についても等式は成り立つ。§E9.37 定理 1.1の閉集合による内側からの近似を両測度へ適用すると、すべての Borel 集合で測度が等しい。ゆえにμ=ν\mu=\nuである。

(2)を示す。βd(μn,μ)→0\beta_d(\mu_n,\mu)\to0と仮定する。定数関数11により全質量が収束する。前段のfm/mf_m/mにより、固定したmmについて∫fm dμn→∫fm dμ\int f_m\,d\mu_n\to\int f_m\,d\muである。1F≤fm\mathbf1_F\leq f_mと優収束定理からlim sup⁡nμn(F)≤μ(F)\limsup_n\mu_n(F)\leq\mu(F)が従い、定理 2.3によって弱収束を得る。

逆にμn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muと仮定する。全質量の収束からC=μ(X)+sup⁡nμn(X)<∞C=\mu(X)+\sup_n\mu_n(X)<\inftyである。ε>0\ep>0を取り、補題 3.2によって、μ(X∖K)<ε\mu(X\setminus K)<\epおよびすべてのnnについてμn(X∖K)<ε\mu_n(X\setminus K)<\epを満たすコンパクト集合KKを取る。補題 4.2によりKK上で誤差η\etaの有限近似f1,…,fmf_1,\ldots,f_mを取る。各f∈L1(X,d)f\in\mathcal L_1(X,d)に対応するfjf_jを用いれば

∣∫Xf dμn−∫Xf dμ∣≤max⁡1≤j≤m∣∫Xfj dμn−∫Xfj dμ∣+Cη+4ε\left|\int_Xf\,d\mu_n-\int_Xf\,d\mu\right| \leq\max_{1\leq j\leq m}\left|\int_Xf_j\,d\mu_n-\int_Xf_j\,d\mu\right|+C\eta+4\ep

である。有限個の試験関数の積分は収束するので、lim sup⁡nβd(μn,μ)≤Cη+4ε\limsup_n\beta_d(\mu_n,\mu)\leq C\eta+4\epである。η\etaとε\epは任意であるから距離は00へ収束する。

(3)を示す。前段の順方向により、各有界連続関数の積分はβd\beta_dに関して連続である。実際、μ\muにおいて連続でなければ、あるε>0\ep>0とβd(νn,μ)<1/n\beta_d(\nu_n,\mu)<1/nを満たす列について積分の差が常にε\ep以上となり、前段の弱収束に反する。したがって弱位相はβd\beta_dの位相より粗い。

μ∈Mf+(X)\mu\in\mathcal M_f^+(X)とε>0\ep>0を固定する。X=∅X=\emptysetの場合には測度は零測度だけである。X≠∅X\ne\emptysetとし、0<b<ε/160<b<\ep/16と§E9.37 定理 2.3によって、μ(X∖K)<b\mu(X\setminus K)<bを満たす空でないコンパクト集合KKを取る。正数η,δ\eta,\deltaを

η+2δ<ε4(2μ(X)+1)\eta+2\delta<\frac{\ep}{4(2\mu(X)+1)}

となるように選び、KK上の誤差η\etaの有限近似f1,…,fmf_1,\ldots,f_mを取る。h(x)=max⁡{1−d(x,K)/δ,0}h(x)=\max\{1-d(x,K)/\delta,0\}、V={x∣d(x,K)<δ}V=\{x\mid d(x,K)<\delta\}とおく。hhは有界連続であり、1K≤h≤1V\mathbf1_K\leq h\leq\mathbf1_Vである。

0<a<min⁡{1,ε/16}0<a<\min\{1,\ep/16\}とし、試験関数1,h,f1,…,fm1,h,f_1,\ldots,f_mに関する積分の差をすべてaa未満にするμ\muの弱近傍を取る。その近傍内のν\nuは

ν(X)<μ(X)+a,ν(X∖V)≤ν(X)−∫Xh dν<b+2a\nu(X)<\mu(X)+a,\qquad \nu(X\setminus V)\leq\nu(X)-\int_Xh\,d\nu<b+2a

を満たす。f∈L1(X,d)f\in\mathcal L_1(X,d)と対応するfjf_jに対し、y∈Vy\in Vならばd(x,y)<δd(x,y)<\deltaとなるx∈Kx\in Kが存在するので、∣f(y)−fj(y)∣<η+2δ|f(y)-f_j(y)|<\eta+2\deltaである。したがって

∣∫Xf dν−∫Xf dμ∣<a+(2μ(X)+a)(η+2δ)+2(μ(X∖V)+ν(X∖V))<a+ε4+4b+4a<ε.\begin{aligned} \left|\int_Xf\,d\nu-\int_Xf\,d\mu\right| &<a+(2\mu(X)+a)(\eta+2\delta)+2\bigl(\mu(X\setminus V)+\nu(X\setminus V)\bigr)\\ &<a+\frac{\ep}{4}+4b+4a<\ep. \end{aligned}

よって、この弱近傍はβd\beta_dの半径ε\epの球に含まれる。各距離球が中心の弱近傍を含むため、βd\beta_dの位相も弱位相より粗い。二つの位相は一致する。▨

5 全変動収束との比較

定義 5.1.XXを Polish 空間とする。有限正 Borel 測度μ,ν\mu,\nuに対して

D(μ,ν)=sup⁡g:X→R は Borel 可測∣g∣≤1∣∫Xg dμ−∫Xg dν∣D(\mu,\nu)=\sup_{\substack{g:X\to\R\text{ は Borel 可測}\\|g|\leq1}} \left|\int_Xg\,d\mu-\int_Xg\,d\nu\right|

を 全変動距離 (total variation distance) と呼ぶ。D(μn,μ)→0D(\mu_n,\mu)\to0であるとき、μn\mu_nはμ\muに 全変動収束 (total variation convergence) するという。

命題 5.2.XXを Polish 空間、μn,μ\mu_n,\muを有限正 Borel 測度とする。μn\mu_nがμ\muに全変動収束するならば、μn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muである。

証明. 有界連続関数ffに対してM=max⁡{1,∥f∥∞}M=\max\{1,\|f\|_\infty\}とすればf/Mf/MはDDの試験関数である。したがって、積分の差はMD(μn,μ)M D(\mu_n,\mu)以下であり、00へ収束する。▨

例 5.3.R\R上でμn=δ1/n\mu_n=\delta_{1/n}、μ=δ0\mu=\delta_0とする。任意の有界連続関数ffに対して∫f dμn=f(1/n)→f(0)=∫f dμ\int f\,d\mu_n=f(1/n)\to f(0)=\int f\,d\muであり、μn⇒μ\mu_n\Rightarrow\muである。一方、Borel 可測関数gn=1{1/n}−1{0}g_n=\mathbf1_{\{1/n\}}-\mathbf1_{\{0\}}は∣gn∣≤1|g_n|\leq1であり、積分の差は22である。上限の定義からD(μn,μ)=2D(\mu_n,\mu)=2であり、全変動では収束しない。

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