§E9.33Radon 測度の完備化と局所化

証明.§E9.8 命題 7.8により、Borel 集合$B,N$で$\mu(N)=0$、$A\mathbin\triangle B\subseteq N$、$\overline\mu(A)=\mu(B)$を満たすものを取る。コンパクト集合$L\subseteq B$と$\ep>0$を取る。§E9.30 補題 1.2により、$L$を含むコンパクトな閉包をもつ開集合$V$が存在する。$N\cap L$は$V$に含まれる Borel 零集合である。§E9.30 命題 3.2により、$N\cap L\subseteq U\subseteq V$、$\mu(U)<\ep$を満たす開集合$U$が存在する。

$K=L\setminus U$はコンパクトであり、$B\setminus N\subseteq A$であるから$K\subseteq A$である。$\mu(L)<\infty$より

$\ep$を0へ近づけ、$B$に含まれるコンパクト集合$L$の上限を取ると、主張の右辺は$\mu(B)=\overline\mu(A)$以上である。逆向きは完備化された測度の単調性による。▨

証明. 各$E\in\mathcal E_f$との交わりが完備可測であるという条件は、補集合と可算和で保存される。したがって$\Sigma_{\mathrm{loc}}$はシグマ加法族であり、$\overline{\mathcal B}_\mu$を含む。互いに交わらない$A_n\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$に対して

$m\in\NN$と$E_1,\ldots,E_m\in\mathcal E_f$を取ると、$E=\bigcup_{n=1}^mE_n$も$\mathcal E_f$に属し、左辺は$\sum_{n=1}^m\overline\mu(A_n\cap E_n)$以上である。各$E_n$と$m$について上限を取れば逆の不等式を得る。空集合の測度は0であるから、$\mu_{\mathrm{loc}}$は測度である。命題 1.1により、$\overline\mu$は半有限である。ゆえに$A\in\overline{\mathcal B}_\mu$に対して、有限部分との交わりの測度の上限は$\overline\mu(A)$である。

$A\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$、$A\subseteq E\in\mathcal E_f$ならば、定義により$A=A\cap E\in\overline{\mathcal B}_\mu$である。逆向きは、完備可測集合族が$\Sigma_{\mathrm{loc}}$に含まれることによる。

$N\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$、$\mu_{\mathrm{loc}}(N)=0$と$A\subseteq N$を取る。各$E\in\mathcal E_f$に対して$A\cap E$は完備可測な零集合$N\cap E$の部分集合であるから、完備可測で測度が0である。したがって$A\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$、$\mu_{\mathrm{loc}}(A)=0$である。任意の$A\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$について、$A\cap E$は有限測度の完備可測集合であり、それらの測度の上限が$\mu_{\mathrm{loc}}(A)$である。ゆえに半有限性が成り立つ。

$A\subseteq X$がすべての有限測度の$\Sigma_{\mathrm{loc}}$可測集合との交わりを$\Sigma_{\mathrm{loc}}$可測にすると仮定する。各$E\in\mathcal E_f$はそのような集合であるから、$A\cap E\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$である。(2)により$A\cap E\in\overline{\mathcal B}_\mu$である。定義から$A\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$となるため、局所的決定性が成り立つ。

命題 1.1により、各$\overline\mu(A\cap E)$は$A\cap E$に含まれるコンパクト集合の測度の上限である。したがって$\mu_{\mathrm{loc}}(A)$は$A$に含まれるすべてのコンパクト集合の測度の上限以下である。逆向きは測度の単調性による。コンパクト集合は Borel 集合であり、局所化はその測度を変えないから、コンパクト集合上で有限である。▨

証明.$X\in\mathcal E_f$であるから、定理 2.2 (2)で$E=X$とする。▨

証明. コンパクト集合$K\subseteq E\cap\bigcup\mathcal G$は有限個の$\mathcal G$の元で覆われる。有向性により、その有限個の開集合をすべて含む$G\in\mathcal G$が存在する。したがって$m(K)\leq m(E\cap G)$である。コンパクト内正則性によって$K$の上限を取ると、一方の不等式が従う。逆向きは測度の単調性による。▨

証明.$\mathcal G=\{G\subseteq X:G\text{ は開集合},\ m(E\cap G)=0\}$とおく。空集合が$\mathcal G$に属し、$\mathcal G$は有限和で閉じている。定理 2.2 (4)と補題 3.1により、$O=\bigcup\mathcal G$に対して$m(E\cap O)=0$である。$F=E\setminus O$とおく。

開集合$H$が$F$と交わるならば、$H\in\mathcal G$ではない。したがって$m(E\cap H)>0$である。$E\setminus F$は零集合であるから$m(F\cap H)=m(E\cap H)>0$である。ゆえに$F$は自己支持であり、$m(E\setminus F)=0$である。▨

証明.定理 2.2 (4)により、コンパクト集合$K_n\subseteq E$で$m(E\setminus K_n)<2^{-n}$を満たすものを取る。§E9.30 補題 1.2により、各$K_n$を含むコンパクトな閉包をもつ開集合$G_n$が存在する。$m(G_n)<\infty$であり、残余の測度はすべての$2^{-n}$以下であるから0である。$m(E)>0$の場合には、$m(E\cap G_n)=0$がすべての$n$で成り立つと、可算劣加法性により$m(E)=0$となる。したがってある$G_n$が正の交わりをもつ。▨

証明.$m=\mu_{\mathrm{loc}}$とおく。正の有限測度をもつ自己支持集合の、互いに交わらない族全体を包含関係で順序付ける。空の族がこの順序集合に属する。任意の鎖の和は再び互いに交わらない族であり、鎖の上界である。Zorn の補題§E1.20 定理 2.1 (3)により極大な族$(F_i)_{i\in I}$が存在する。

$N=X\setminus\bigcup_iF_i$とおく。有限測度の開集合$G$に対して、前の証明と同じ正測度の評価により$J_G$は高々可算である。したがって

は可測である。正測度をもつならば主張 4.1.1に反するため、$m(N\cap G)=0$である。

任意の有限測度の$E\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$を取る。補題 3.4の開集合列$G_n$により、$N\cap E$は、可測な零集合の可算和$\bigcup_n(N\cap E\cap G_n)$と、可測な零集合$E\setminus\bigcup_nG_n$の部分集合の和である。完備性から$N\cap E$は可測な零集合である。局所的決定性により$N$は可測であり、半有限性により$m(N)=0$である。

$A\subseteq X$がすべての$i$に対して$A\cap F_i\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$を満たすとする。有限測度の開集合$G$上では

である。第一項は可測な零集合の部分集合、第二項は可測集合の可算和であるから、$A\cap G$は可測である。任意の有限測度の$E\in\Sigma_{\mathrm{loc}}$に同じ可算開被覆を用いると、$A\cap E$も可測である。局所的決定性から$A$は可測である。逆向きはシグマ加法族が交わりで閉じていることによる。

可測な$A$と有限測度の$E$に対して、$E$の可算開被覆が交わる$F_i$の全体は高々可算である。残る$E$の部分は零集合に含まれるから、可算加法性により

半有限性によって$E$の上限を取ると$m(A)$は右辺以下である。逆に、任意の有限集合$J\subseteq I$に対して$m(A)\geq\sum_{i\in J}m(A\cap F_i)$である。$J$の上限を取れば測度の公式が従う。完備性により$A\cap N$は任意の$A$について可測であるから、この分解は§E9.27 定義 2.1 (5)の条件を満たす。▨