§E9.37有限 Borel 測度の正則性と緊密性

証明. 閉集合$F\ne\emptyset$に対して$U_n=\{x\in X\mid d(x,F)<1/n\}$とおく。$|d(x,F)-d(y,F)|\leq d(x,y)$であるから$U_n$は開集合であり、$U_n\downarrow F$である。$\mu(X)<\infty$と§E9.8 定理 4.1 (2)から$\mu(U_n\setminus F)\to0$である。$F=\emptyset$の場合には$U=\emptyset$を取る。

任意の$\ep>0$に対して主張の近似を持つ Borel 集合全体を$\mathcal D$とする。前段により閉集合は$\mathcal D$に属する。$F\subseteq A\subseteq U$ならば$X\setminus U\subseteq X\setminus A\subseteq X\setminus F$であり、二つの近似集合の差は$U\setminus F$である。したがって$\mathcal D$は補集合で閉じている。

$A_n\in\mathcal D$と$\ep>0$を取り、各$n\in\NN$について

を満たす閉集合$F_n$と開集合$U_n$を取る。$A=\bigcup_nA_n$、$U=\bigcup_nU_n$とおくと、$\mu(U\setminus A)<\ep/4$である。§E9.8 定理 4.1 (1)と有限性から、$\mu(A\setminus\bigcup_{n=1}^NA_n)<\ep/4$となる$N$が存在する。閉集合$F=\bigcup_{n=1}^NF_n$は$A$に含まれ、

を満たす。ゆえに$\mu(U\setminus F)<\ep$であり、$A\in\mathcal D$である。$\mathcal D$は閉集合をすべて含む σ-代数であるから、$\mathcal D=\mathcal B(X)$である。上限と下限の等式は、この近似と測度の単調性から従う。▨

証明.$K$は閉集合であるから、§E2.5 定理 3.2により完備である。$\ep>0$に対して$2^{1-n}<\ep$となる$n$を取る。$U_n$を構成する有限個の球の中心を$a_1,\ldots,a_m$とすると、

である。各閉球が$K$と交わる場合だけ、交点$b_j\in K$を一つ取る。三角不等式により、その閉球内の$K$の点はすべて$B_d(b_j,\ep)$に属する。よって$K$は全有界であり、§E2.9 系 3.3によりコンパクトである。$K=\emptyset$の場合にもコンパクト性は成り立つ。▨

証明.$X=\emptyset$ならば$K=\emptyset$を取る。$X\ne\emptyset$とし、位相を定める完備距離$d$と可算な稠密集合$\{a_j\mid j\in\NN\}$を取る。$\ep>0$を固定する。各$n\in\NN$について、球$B_d(a_j,2^{-n})$は$X$を覆う。§E9.8 定理 4.1 (1)と$\mu(X)<\infty$により、ある$m_n\in\NN$が存在し、

を満たす。補題 2.2により$K=\bigcap_n\tpcl{U_n}$はコンパクトである。測度の可算劣加法性から

である。$K$は閉集合として構成したので Borel 集合であり、$\mu$は緊密である。▨

証明.$\ep>0$を取る。定理 1.1から、$F\subseteq A$と$\mu(A\setminus F)<\ep/2$を満たす閉集合$F$を取る。定理 2.3から、$\mu(X\setminus L)<\ep/2$を満たすコンパクト集合$L$を取る。$K=F\cap L$はコンパクトであり、$K\subseteq A$と

を満たす。測度の単調性と合わせて等式が従う。▨